الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

58مبرهنة فيثاغورس

أشهر مبرهنة في الرياضيات كلها تربط أضلاع المثلث القائم الزاوية الثلاثة. وبها تصير أطوال قابلة للحساب لم تكن أيّ مسطرة تستطيع قياسها مباشرةً: كالأقطار والمسافات والارتفاعات. وهي أيضًا أول لقاء كبير لنا مع الفرق بين المبرهنة وعكسها.

58.1 المبرهنة

مبرهنة 58.1 (فيثاغورس)

إذا كان المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ ، فإن

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

أي إن مربع الوتر (وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعَي الضلعين الآخرين.

فكرة البرهان. أربع نسخ من المثلث، مرتّبة داخل مربع كبير طول ضلعه $AB + AC$ ، تترك دون تغطية مربعًا مائلًا مبنيًّا على الوتر: فمقارنة المساحات تعطي التساوي. والحساب المفصّل مقترح في التمرين 58.11؛ والمبرهنة تنتج أيضًا من الجداء السلّمي، المدروس في مجلّد المرحلة الثانوية. ∎

المبرهنة عبارةً عن مساحات: فالمربع المبني على الوتر (25) له بالضبط مساحة المربعين الآخرين معًا (16 + 9). والأضلاع هنا 3 و 4 و 5. — المبرهنة عبارةً عن مساحات: فالمربع المبني على الوتر ( $25$ ) له بالضبط مساحة المربعين الآخرين معًا ( $16 + 9$ ). والأضلاع هنا $3$ و $4$ و $5$ .

طريقة 58.2 (حساب طول)

في مثلث قائم الزاوية معلوم فيه ضلعان:

سمِّ الوتر (وهو المقابل للزاوية القائمة — وأطول الأضلاع دائمًا)؛
واُكتب تساوي المبرهنة 58.1 بالقيم المعلومة؛
وحُلّ لإيجاد المربع الناقص: اِجمع المربعين إذا كان الوتر مجهولًا، واِطرح إذا كان أحد ضلعَي القائمة مجهولًا؛
وخذ الجذر التربيعي، بالضبط أو بالآلة الحاسبة، وتحقّق من أن الوتر خرج أطولها.

مثال 58.3 (إيجاد الوتر)

مثلث قائم الزاوية ضلعا قائمته $6$ و $8$ . والوتر $c$ :

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(والعدد $\sqrt{100}$ ، أي الجذر التربيعي للعدد $100$ ، هو العدد الموجب الذي مربعه $100$ ؛ وللجذور التربيعية فصل كامل في الفصل 65.)

مثال 58.4 (إيجاد ضلع قائمة)

سُلَّم طوله $5$ م مسنود إلى جدار، وقدمه على بُعد $1.4$ م من الجدار. والارتفاع المبلوغ $h$ : فالسُّلَّم هو الوتر، ومنه

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

اِطرح ولا تجمع: فالمجهول هنا ضلع قائمة.

58.2 المبرهنة العكسية

مبرهنة 58.5 (عكس فيثاغورس)

إذا كانت أضلاع مثلث $ABC$ تحقّق $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ، فإن المثلث قائم الزاوية في $A$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

طريقة 58.6 (اِختبار زاوية قائمة)

من أجل أضلاع مثلث معطاة:

اِحسب على حدة مربع الضلع الأطول، ومجموع مربعَي الضلعين الآخرين؛
فإن تساوت النتيجتان، كان المثلث قائم الزاوية (بالعكس)، عند الرأس المقابل للضلع الأطول؛
وإن اِختلفتا، فليس قائم الزاوية — لأن مبرهنة فيثاغورس كانت ستفرض التساوي.

مثال 58.7

الأضلاع $5$ و $12$ و $13$ : مربع الضلع الأطول $13^2 = 169$ ؛ ومجموع المربعين الآخرين $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . متساويان: إذن قائم الزاوية (في مقابل الضلع $13$ ).

والأضلاع $6$ و $7$ و $9$ : $9^2 = 81$ لكن $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : فليس مثلثًا قائم الزاوية (وهو «يكاد» يكون كذلك — فالأعداد تقرّر، لا العين).

ملاحظة 58.8 (المبرهنة وعكسها)

المبرهنة وعكسها يقولان أمرين مختلفين: فالمبرهنة تستعمل زاوية قائمة لحساب أطوال؛ والعكس يستعمل الأطوال ليبرهن على زاوية قائمة. وقد اِستعمل البنّاؤون العكس منذ آلاف السنين: فحبل بعقد عند $3$ و $4$ و $5$ وحدات مشدود يعطي زاوية قائمة تامّة.

مثال 58.9 (قطر المربع)

قطر مربع طول ضلعه $1$ هو وتر مثلث قائم الزاوية ضلعا قائمته $1$ و $1$ :

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

إذن $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — وهو عدد ليس كسرًا، كما سيبرهن مجلّد المرحلة الثانوية. ومن أجل مربع طول ضلعه $c$ ، يكون القطر $c\sqrt2$ .

58.3 تمارين

تمرين 58.1 ★

في كل مثلث قائم الزاوية، اِحسب الوتر: ضلعا القائمة $9$ و $12$ ؛ وضلعا القائمة $5$ و $12$ ؛ وضلعا القائمة $8$ و $15$ .

حل

حل التمرين 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

تمرين 58.2 ★

مثلث قائم الزاوية وتره $25$ وأحد ضلعَي قائمته $7$ . اِحسب ضلع القائمة الآخر.

حل

حل التمرين 58.2.

ضلع القائمة $^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ ، إذن ضلع القائمة هو $\sqrt{576} = 24$ .

تمرين 58.3 ★

اِحسب قطر مستطيل ضلعاه $12$ سم و $9$ سم؛ وقطر مربع طول ضلعه $5$ سم (القيمة المضبوطة بجذر تربيعي، ثم مقرّبة إلى المم).

حل

حل التمرين 58.3.

المستطيل: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ سم.

والمربع: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ سم (المثال 58.9).

تمرين 58.4 ★

أيّ المثلثات قائمة الزاوية؟ بَرِّر حسب الطريقة 58.6:

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

حل

حل التمرين 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ و $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : إذن قائم الزاوية.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : فليس قائم الزاوية.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : إذن قائم الزاوية (وهو $(3,4,5)$ منصَّفًا).

تمرين 58.5 ★

بوابة مدعّمة بلوح قُطري. وعرض البوابة $3$ م واِرتفاعها $1.6$ م: فكم يبلغ طول اللوح؟

حل

حل التمرين 58.5.

اللوح $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ م.

تمرين 58.6 ★

مثلث متساوي الساقين ساقاه $10$ سم وقاعدته $12$ سم. واِرتفاعه يشقّه إلى مثلثين قائمَي الزاوية: اِحسب ذلك الارتفاع، ثم مساحة المثلث.

حل

حل التمرين 58.6.

يقع الارتفاع على منتصف القاعدة (فالمثلث متساوي الساقين)، إذن لكل نصف مثلث وتر $10$ وضلع قائمة $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ سم. والمساحة: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ سم $^2$ .

تمرين 58.7 ★★

شاشة تلفاز مستطيل $16{:}9$ قياسه $88.5$ سم في $49.8$ سم. وتُباع الشاشات بالقطر، بالبوصة ( $1$ بوصة $= 2.54$ سم). اِحسب القطر بالسنتيمتر، ثم بالبوصة (مقرّبًا إلى أقرب بوصة).

حل

حل التمرين 58.7.

القطر: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ سم. وبالبوصة: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ بوصة.

تمرين 58.8 ★★

يبحر قارب $24$ كم شرقًا، ثم $10$ كم شمالًا. فكم يبعد عن نقطة اِنطلاقه (في خطّ مستقيم)؟ اُرسم الوضعية أولًا.

حل

حل التمرين 58.8.

ضلعا القائمة هما $24$ كم و $10$ كم: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ كم.

تمرين 58.9 ★★

سُلَّم طوله $2.5$ م يجب أن يبلغ عتبة نافذة على اِرتفاع $2.4$ م عن الأرض. فكم يجب أن تبعد قدمه عن الجدار؟ وهل الجواب متوافق مع نصيحة السلامة (القدم على نحو رُبع طول السُّلَّم من الجدار)؟

حل

حل التمرين 58.9.

بُعد القدم: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ م. ورُبع السُّلَّم هو $2.5 \div 4 \approx 0.6$ م: فالمسافة $0.7$ م الموجودة قريبة من الوضع المنصوح به — وهي مقبولة.

تمرين 58.10 ★★

على شبكة إحداثيات، ضع $A(1, 2)$ و $B(5, 5)$ ، واُرسم المثلث القائم الزاوية الذي ضلعا قائمته موازيان للمحورين ووتره $[AB]$ . واِحسب $AB$ . (وهذا الإنشاء، من أجل أيّ نقطتين، يصير صيغة المسافة في الهندسة الإحداثية، في مجلّد المرحلة الثانوية.)

حل

حل التمرين 58.10.

يقيس ضلعا القائمة $5 - 1 = 4$ (أفقيًّا) و $5 - 2 = 3$ (عموديًّا)، إذن

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

تمرين 58.11 ★★★

أربع نسخ من مثلث قائم الزاوية ضلعا قائمته $a$ و $b$ ووتره $c$ موضوعة في أركان مربع طول ضلعه $a + b$ ، فتترك مربعًا مائلًا طول ضلعه $c$ دون تغطية في الوسط.

عبّر عن مساحة المربع الكبير بطريقتين: مباشرةً، و على صورة (أربعة مثلثات) $+$ (المربع المائل).
واُنشر $(a + b)^2$ (اُنظر المبرهنة 57.1) و اِستنتج $c^2 = a^2 + b^2$ : فتكون قد برهنت على مبرهنة فيثاغورس.

حل

حل التمرين 58.11.

1. مباشرةً: $(a + b)^2$ . وعلى صورة قطع: أربعة مثلثات مساحة كل منها $\frac{ab}{2}$ ، زائد المربع المائل $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. بنشر الطرف الأيسر: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . ومنه

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed

58.4 مسألة: الثلاثيات الفيثاغورية

مسألة 58.1

مسألة نهاية الأسبوع — المثلثات القائمة الزاوية ذات الأعداد الصحيحة، والمتطابقة $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ التي تولّدها كلها

الثلاثية الفيثاغورية ثلاثية أعداد صحيحة $(a, b, c)$ تحقّق

a^2 + b^2 = c^2 ,

مثل ثلاثية البنّائين $(3, 4, 5)$ . وقد فهرس لوح طيني بابلي ثلاثيات ضخمة — منها $(4601,\ 4800,\ 6649)$ — قبل فيثاغورس بأكثر من ألف سنة. وتصطاد هذه المسألة الثلاثيات، ثم تبني الآلة التي تنتجها: متطابقة جبرية مأخوذة مباشرةً من الفصل 57، موضوعة في خدمة الهندسة.

الجزء الأول — صيد الثلاثيات.

تحقّق من أن $(5, 12, 13)$ و $(8, 15, 17)$ و $(20, 21, 29)$ ثلاثيات فيثاغورية. فماذا تقول المبرهنة 58.5 عن المثلثات ذات أطوال الأضلاع هذه؟
اِشرح لماذا يعطي حبل مشدود ذو اِثنتي عشرة قطعة متساوية، موضوع مثلثًا أضلاعه $3$ و $4$ و $5$ قطع، البنّائين زاوية قائمة تامّة.
بيّن أنه إذا كانت $(a, b, c)$ ثلاثية فيثاغورية، فكذلك $(ka, kb, kc)$ من أجل كل عدد صحيح $k \geq 1$ . واِستنتج ثلاث ثلاثيات جديدة من $(3, 4, 5)$ .
مضاعفات $(3, 4, 5)$ هي الثلاثيات $(3k, 4k, 5k)$ . بيّن أن $(5, 12, 13)$ ليست واحدة منها.
اِشرح لماذا يبرهن السؤالان 3 و4 معًا على أن تكبير $(3, 4, 5)$ لا يمكن أن ينتج كل ثلاثية فيثاغورية: فلا بدّ من آلة أخرى.

الجزء الثاني — الآلة. خذ عددين صحيحين $m > n \geq 1$ وكوّن الأعداد الثلاثة

a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2 .

باستعمال المتطابقات الشهيرة في المسألة 57.1 (اُكتب $A = m^2$ و $B = n^2$ )، اُنشر $a^2$ و $b^2$ ، وبَرهِن على أن

$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$

أي إن الآلة تُخرج دائمًا ثلاثية فيثاغورية.
شغّل الآلة على $(m, n) = (2, 1)$ و $(3, 1)$ و $(3, 2)$ و $(4, 1)$ و $(4, 3)$ ، واِعرض الثلاثيات الخمس في جدول.
إحدى الثلاثيات في جدولك نسخة مكبّرة من أصغر منها. فأيّها، ومن أيّها؟
جِد $(m, n)$ التي تُخرج بها الآلة الثلاثية $(20, 21, 29)$ في السؤال 1 (بضلعَي قائمة بأيّ ترتيب).
جِد $m$ و $n$ يحقّقان $m^2 + n^2 = 100$ ، واِستنتج ثلاثية فيثاغورية وترها $100$ .

الجزء الثالث — العائلات، وخاتمة زوجية.

شغّل الآلة مع $m = n + 1$ . بيّن أن ضلع القائمة الفردي هو $2n + 1$ ، وضلع القائمة الزوجي $2n^2 + 2n$ ، والوتر $2n^2 + 2n + 1$ — إذن يفترق الوتر وضلع القائمة الزوجي بمقدار $1$ بالضبط. واُكتب الثلاثيات من أجل $n = 1, 2, 3, 4$ .
اِستنتج أن كل عدد فردي $3, 5, 7, 9, \dots$ هو ضلع لمثلث قائم الزاوية ذي أعداد صحيحة، وأعطِ ثلاثية تحوي $11$ .
والأعداد الزوجية تصلح أيضًا: شغّل الآلة مع $n = 1$ ، و أنتج ثلاثية تحوي $14$ . ثم اِحصل على الثلاثية نفسها مرة ثانية، بتكبير واحدة من جدول السؤال 7.
بيّن أن مربع العدد الزوجي زوجي وأن مربع العدد الفردي فردي. (اُكتب العدد على صورة $2k$ أو $2k + 1$ واِستعمل متطابقة.)
اُختم بخاتمة الزوجية: لا توجد ثلاثية فيثاغورية أعدادها الثلاثة كلها فردية — ففي كل مثلث قائم الزاوية ذي أعداد صحيحة، ضلع واحد على الأقلّ زوجي.

حل

حل المسألة 58.1.

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ؛ و $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ؛ و $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ . فالثلاث كلها ثلاثيات، وحسب المبرهنة 58.5 يكون المثلث ذو أطوال الأضلاع هذه قائم الزاوية، والزاوية القائمة تواجه الضلع الأطول.

2. يكوّن الحبل مثلثًا أضلاعه $3$ و $4$ و $5$ (بالقطع)، و $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : فبالعكس (المبرهنة 58.5)، تكون الزاوية بين ضلعَي $3$ و $4$ قطع قائمة بالضبط — بلا منقلة، بالعقد وحدها.

3. إذا كان $a^2 + b^2 = c^2$ ، فإن

(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .

ومن $(3, 4, 5)$ : مثلًا $(6, 8, 10)$ و $(9, 12, 15)$ و $(30, 40, 50)$ .

4. المضاعف $(3k, 4k, 5k)$ الذي يحوي $5$ عددًا أصغر فيه كان يستلزم $3k = 5$ ، ولا عدد صحيح $k$ يحقّق ذلك ( $k = 1$ يعطي $3$ ، و $k = 2$ يعطي $6$ ). إذن $(5, 12, 13)$ ليست مضاعفًا للثلاثية $(3, 4, 5)$ .

5. يبيّن السؤال 3 أن التكبير لا ينتج إلا الثلاثيات $(3k, 4k, 5k)$ ؛ ويعرض السؤال 4 ثلاثية حقيقية ليست من هذه الصورة. إذن عائلة كل الثلاثيات الفيثاغورية أوسع تمامًا من مضاعفات $(3, 4, 5)$ : فإنتاجها يحتاج شيئًا جديدًا.

6. اُكتب $A = m^2$ و $B = n^2$ . وبالمتطابقات الشهيرة (المسألة 57.1):

a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2, \qquad b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .

وبالجمع:

a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .

$(m, n)$	$m^2 - n^2$	$2mn$	$m^2 + n^2$
$(2, 1)$	$3$	$4$	$5$
$(3, 1)$	$8$	$6$	$10$
$(3, 2)$	$5$	$12$	$13$
$(4, 1)$	$15$	$8$	$17$
$(4, 3)$	$7$	$24$	$25$

8. الثلاثية $(8, 6, 10)$ هي ضعف $(4, 3, 5)$ — أي ضعف ثلاثية البنّائين $(3, 4, 5)$ . فالآلة تعيد اِكتشاف ثلاثية قديمة متنكّرة أحيانًا.

9. نحتاج $m^2 - n^2 = 21$ و $2mn = 20$ ، إذن $mn = 10$ : وبتجريب $m = 5$ و $n = 2$ نجد $25 - 4 = 21$ و $2 \times 10 = 20$ ، والوتر $25 + 4 = 29$ . فتُخرج الآلة $(21, 20, 29)$ من أجل $(m, n) = (5, 2)$ .

10. القيمتان $m = 8$ و $n = 6$ تعطيان $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$ . والثلاثية هي

\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),

وفعلًا $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$ .

11. مع $m = n + 1$ :

m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

(فرق مربعين متتاليين، المسألة 57.1)؛ و $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ؛ و $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$ . فالوتر يزيد على ضلع القائمة الزوجي بمقدار $1$ بالضبط. ومن أجل $n = 1, 2, 3, 4$ :

(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad (9, 40, 41) .

12. كل عدد فردي لا يقلّ عن $3$ هو $2n + 1$ من أجل $n \geq 1$ ما، والسؤال 11 يقدّم ثلاثية ضلع قائمتها الفردي هو $2n + 1$ بالضبط. ومن أجل $11 = 2 \times 5 + 1$ ، خذ $n = 5$ :

(11,\ 60,\ 61), \qquad 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .

13. مع $n = 1$ تعطي الآلة $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$ ، وضلع قائمتها الزوجي $2m$ يمكن أن يكون أيّ عدد زوجي من $4$ فصاعدًا. ومن أجل $14 = 2 \times 7$ ، خذ $m = 7$ : فتكون الثلاثية $(48, 14, 50)$ . وتظهر الثلاثية نفسها بمضاعفة $(7, 24, 25)$ من جدول السؤال 7: $(14, 48, 50)$ — أي الأعداد الثلاثة نفسها.

14. العدد الزوجي هو $2k$ ، والمربع $(2k)^2 = 4k^2$ زوجي (فهو مضاعف للعدد $4$ ، وهو زوجي). والعدد الفردي هو $2k + 1$ ، و المتطابقة الشهيرة الأولى تعطي

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,

أي عدد زوجي زائد $1$ : فهو فردي.

15. اِفترض أن $a$ و $b$ و $c$ كلها فردية. فبالسؤال 14، يكون $a^2$ و $b^2$ فرديين، إذن $a^2 + b^2$ مجموع عددين فرديين: أي زوجي. لكن $c^2$ كان سيكون فرديًّا. فيصير التساوي $a^2 + b^2 = c^2$ مستحيلًا. إذن في كل ثلاثية فيثاغورية واحد على الأقلّ من الأعداد الثلاثة زوجي — كما يؤكد كل سطر من جدول السؤال 7.