ما معنى نصف قطر الانحناء؟ — الرياضيات

تعريف 18.14 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · 第 18 章 — المنحنيات

عندما يكون $\kappa(s) \neq 0$ ، يكون نصف قطر الانحناء هو $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ ويكون مركز الانحناء هو $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ؛ والدائرة ذات هذا المركز وهذا النصف قطر $R(s)$ هي دائرة التقبيل، أي أفضل تقريب دائري للمنحنى في $\tilde\gamma(s)$ .

القطع المكافئ y = x2/2، ومعلم فرينيه المتحرك (T, N)، ودائرة التقبيل عند الرأس (نصف قطرها 1، لأن (0) = 1). ويدور المعلم مع تحرك النقطة؛ والانحناء هو معدل ذلك الدوران لكل وحدة من طول القوس. — **شكل 18.1.** القطع المكافئ $y = x^2/2$ ، ومعلم فرينيه المتحرك $(T, N)$ ، ودائرة التقبيل عند الرأس (نصف قطرها $1$ ، لأن $\kappa(0) = 1$ ). ويدور المعلم مع تحرك النقطة؛ والانحناء هو معدل ذلك الدوران لكل وحدة من طول القوس.

示例

مثال 18.15 (دائرة التقبيل للدالة الأسية)

من أجل $y = \eu^x$ في النقطة $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$ ، ومنه، بصيغة التمثيل البياني أدناه،

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

والمماس الواحدي هو $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ ، والناظم المباشر $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ ، ومركز الانحناء هو

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

ومنه فإن معادلة دائرة التقبيل هي $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . وللتحقق من دعوى “أفضل تقريب دائري”: فحل معادلة الدائرة بدلالة $y$ بجوار $(0,1)$ ونشره يعطي $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — وهو بالضبط نشر تايلور من الرتبة الثانية للدالة $\eu^x$ . فدائرة التقبيل توافق القيمة والميل والمشتقة الثانية؛ أما دائرة مماسة عادية فتوافق الأولين فقط.

مثال 18.16 (مطوّرة الدائرة مركزها)

من أجل الدائرة ذات نصف القطر $R$ المقطوعة عكس عقارب الساعة، لدينا $\kappa = 1/R$ ويشير $N$ نحو المركز، ومنه فإن مركز الانحناء $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ هو مركز الدائرة، من أجل كل $s$ : فدائرة التقبيل للدائرة هي الدائرة نفسها، وينهار محل مراكز الانحناء إلى نقطة. وتعاير هذه الحالة المنحلة التمرين 18.6: فهناك تكون سرعة المطوّرة $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ ، وهي تنعدم تطابقا إذا وفقط إذا كان $\kappa$ ثابتا.

مثال 18.18 (الدائرة والمستقيم والقطع المكافئ)

للمستقيم $\kappa = 0$ (والعكس صحيح: فالشرط $T' = 0$ يعني أن $T$ ثابت، ومنه $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ ، وهو مستقيم). وللدائرة ذات نصف القطر $R$ المقطوعة عكس عقارب الساعة $\kappa = 1/R$ : فمع $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ ، تعطي الصيغة $\kappa = R^2/R^3$ . ومن أجل القطع المكافئ $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ ، وهو أعظمي عند الرأس — فالقطع المكافئ أشد انثناء حيث يستدير.

在原文中阅读 ←