العمليات على المجموعات কী?

مثال 1.17 (التآلف مع مجموعة الأجزاء)

من أجل $E = \{a, b\}$:

أربعة عناصر — ولاحظ انضباط الأنماط: $a \in E$ لكن $\{a\} \in \mathcal P(E)$؛ والعبارتان $a \in \mathcal P(E)$ و$\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ كاذبتان كما كُتبتا (إذ تقتضي الثانية أن يكون $a$ جزءًا من $E$). وبالانطلاق من لا شيء: $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ له عنصر واحد، و$\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ له عنصران، والتالي له أربعة — فمجموعات المجموعات مجموعات عادية، وسيؤكد الفصل 2 نمط التضاعف: $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$. والحفاظ على تمييز المستويات ($x$ و $\{x\}$ و $\{\{x\}\}$) نصف المعركة في تمارين مثل التمارين 1.11 و1.12.

مثال 1.27 (النقطة (2) دقيقة)

في القضية 1.26 (2) لا يمكن تقوية الاستنتاجين: فكون $g \circ f$ تقابليًا لا يفرض شمول $f$ ولا تباين $g$. خذ $E = G = \{1\}$، و$F = \{1, 2\}$، مع $f(1) = 1$ و $g(1) = g(2) = 1$: عندئذ $g \circ f = \mathrm{id}_E$ تقابليّ، ومع ذلك يفوت $f$ العنصر $2$ ويطوي $g$ العنصرين في واحد. والعبرة قاعدةُ محاسبة دقيقة: تنتقل معلومة التركيب إلى التطبيق الداخلي في مسألة التباين، وإلى التطبيق الخارجي في مسألة الشمول، ولا تنتقل قط في الاتجاه المعاكس. (ويبني التمرين 1.9 الظاهرة نفسها على مجموعات لا نهائية، حيث تكون المحرك وراء المقلوبات أحادية الجانب.)

مثال 1.32

على $\Z$، التوافق بترديد $n$ (أي $x \equiv y \pmod n$ عندما يقسم $n$ الفرق $x - y$) علاقةُ تكافؤ؛ وصفوفها هي المجموعات $n$ المكوَّنة من الأعداد الصحيحة ذات باقٍ معطى عند القسمة على $n$. ويصير هذا المثال الحلقة $\Z/n\Z$ في الفصل 7.