20المتنوعات الجزئية في ℝn

حل التمرين 20.1.

(a) كلٌّ منها $F^{-1}(0)$ من أجل غمر غامر: $\norm x^2 - 1$ على $\R^n\setminus\{0\}$ (بتدرّج $2x \neq 0$): البُعد $n-1$؛ و $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (بتدرّج $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ على القطع الزائد، حيث $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$): البُعد $2$؛ ودالة الحلقة الدائرية $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$، $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$، من الصنف $\mathcal C^\infty$ بجوار الحلقة (إذ $\rho \geq R - r > 0$ هناك) مع $\nabla G \neq 0$ (إذ مركّبتها على $z$ هي $2z$، وحيث $z = 0$ تكون المركّبة الشعاعية $2(\rho - R)\ne0$ لأن $\abs{\rho - R} = r$): البُعد $2$.

(b) من أجل $\varepsilon$ صغير، للمجموعة $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ عددٌ من المركّبات المترابطة يساوي $2$ بالضبط (أي الصفيحتان العليا والسفلى المثقوبتان، وكلٌّ منهما مترابطة بالمسارات: بالوصل عبر دوائر وأنصاف مستقيمات). ولو كانت $C$ متنوعة جزئية ذات بُعد $2$ عند $0$، لأعطت التسوية تماثلًا طوبولوجيًّا من $C\cap\Omega$ على قطعة مفتوحة من مستوٍ يرسل $0$ إلى نقطة $p$؛ ولجوارات مستوية مثقوبة صغيرة للنقطة $p$ مركّبةٌ واحدة، والتماثلات الطوبولوجية تحفظ عدد مركّبات الجوارات المثقوبة: وهو تناقض.

حل التمرين 20.2.

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$. (b) عند $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$: $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$، ومنه يكون المستوي المماسّ $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$: أي المستوي الشاقولي المماسّ لخط الاستواء الخارجي. (c) الولب منحنٍ مغمور مع $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$: فالمستقيم المماسّ عند $\varphi(t_0)$ هو $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$، كما تقرّر القضية 20.6(2).

حل التمرين 20.3.

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$، $\det = 4(x^2 + y^2)$: فتنطبق المبرهنة عند كل نقطة عدا المبدأ. (b) $f(-z) = f(z)$: فليست متباينة أبدًا على مجموعة متناظرة حول $0$؛ وعلى $\R^2\setminus\{0\}$ تكون تماثلًا تفاضليًّا محليًّا في كل مكان ومع ذلك اثنين إلى واحد شاملًا. وبجوار $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$، يكون المقلوبان فرعَي الجذر التربيعي: أي بالاصطلاح العقدي $w \mapsto \pm\sqrt w$ (بالفرع الرئيسي)، أي

(c) المحدد الياكوبي $r > 0$: أي تماثل تفاضلي محلي على $\intoo0\infty\times\R$، لكن $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ يعطي النقطة نفسها: فهي قابلة للقلب محليًّا (إذ تتعيّن الزاوية إلى غاية $2\pi$ على نصف مستوٍ)، ولا شاملًا أبدًا.

حل التمرين 20.4.

(a) ينعدم $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ إذا وفقط إذا كان $y = x^2$ و $x = y^2$، أي $x^4 = x$: عند $(0,0)$ وعند $(1,1)$؛ ولا تقع على $\mathcal C$ سوى $(0,0)$ (إذ $F(1,1) = -1$). ومنه على $\mathcal C\setminus\{0\}$ يكون $F$ غمرًا غامرًا: أي متنوعة جزئية ذات بُعد $1$، وهي محليًّا منحنٍ بياني $y = \psi(x)$ حيث $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$، و $x = \chi(y)$ حيث $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (ويصح أحدهما على الأقل خارج المبدأ).

(b) عند $(\frac32, \frac32)$: $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32) (1, 1) = \frac94(1,1)$: فالمستقيم المماسّ $x + y = 3$.

(c) الوسطنة الناطقة $x = \frac{3t}{1 + t^3}$، $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ تمرّ بالنقطة $0$ عند $t = 0$ بسرعة $(3, 0)$؛ وبتبادل $x \leftrightarrow y$ (فالمنحني متناظر، أو أعد الوسطنة بالمقدار $1/t$) نجد منحنيًا ثانيًا من الصنف $\mathcal C^1$ يمرّ بالنقطة $0$ بسرعة $(0, 3)$. واتجاهان مماسّان مستقلان مستحيلان من أجل متنوعة جزئية ذات بُعد $1$ (إذ فضاؤها المماسّ مستقيم، القضية 20.6): فليست $\mathcal C$ متنوعةً جزئية عند المبدأ — أي تقاطع ذاتي مستعرض.

حل التمرين 20.5.

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$: $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$. ومن أجل $M \in O_n$ ومن أجل $S$ متناظرة، يعطي $H = \frac12MS$ أن $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$: أي غامر على $S_n$.

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ مع $F$ غمرًا غامرًا (على $S_n$، وبُعده $\frac{n(n+1)}2$) عند كل نقطة من نقاطها: أي متنوعة جزئية بُعدها $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$. ومتراصة: مغلقة (لأن $F$ متصلة) ومحدودة (إذ الأعمدة متجهات واحدية). والمماسّ عند $I$: $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$.

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (إذ يمرّ المنقول عبر المتسلسلة؛ وتُضرب أُسّيات المصفوفات المتبادلة، المبرهنة 19.8).

حل التمرين 20.6.

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ من أجل $M$ قابلة للقلب (بنشر $\det$ بجوار $I$: أي الحدّ الخطي للمقدار $\prod(1 + \lambda_i)$)؛ ومع $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$: $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com} (M)^{\mathsf T}H\bigr)$، وتمتدّ الصيغة إلى كل $M$ بالكثافة والاتصال. وعلى $SL_n$، $\det M = 1$: ومنه $D\det(M) \ne 0$ (إذ قيمته عند $H = M$ هي $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ مع $\det$ غمرًا غامرًا هناك (بقيم في $\R$): فالبُعد $n^2 - 1$؛ و $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$.

(c) و $GL_n$ جزء مفتوح من $M_n(\R)$ (التمرين 6.8): أي متنوعة جزئية بالبُعد الكامل $n^2$ (والتسوية: خريطة المطابقة).

حل التمرين 20.7.

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ و $x^2 + y^2 = 1$: فيعطي $y = 2\lambda x$ و $x = 2\lambda y$ أن $x^2 = y^2 = \frac12$. وقيم $xy$: $\pm\frac12$: فالقيمة العظمى $\frac12$ عند $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$، والصغرى $-\frac12$ عند $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (ومجموعة القيد متراصة: فتوجد القيم القصوى).

(b) على داخل المُبسَّط (حيث $p_i > 0$)، تعطي لاغرانج من أجل $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ بالقيد $\sum p_i = 1$ أن $-\ln p_i - 1 = \lambda$ من أجل كل $i$: أي إن كل $p_i$ متساوية، $p_i = \frac1n$، مع $H = \ln n$. وتُبلَغ القيمة العظمى على المُبسَّط المتراص؛ ولو بُلغت على الحافة (بأن كان $p_i = 0$ ما)، لعاش التوزيع على $\leq n - 1$ نقطة ولكان بالتراجع $H \leq \ln(n-1) < \ln n$: فالنقطة الحرجة الداخلية هي القيمة العظمى الشاملة — أي إن الجهل المنتظم يعظّم الإنتروبيا.

(c) نصغّر $(x-1)^2 + y^2$ على القطع الناقص المتراص: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$. فإذا كان $y \neq 0$: $\lambda = 1$، ثم يعطي $2(x - 1) = \frac x2$ أن $x = \frac43$ و $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$: فمربّع المسافة $= \frac19 + \frac59 = \frac23$. وإذا كان $y = 0$: $x = \pm2$، والمسافتان $1$ و $3$. فأقرب النقاط: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$، على المسافة $\sqrt{2/3} < 1$. وتقول معادلة المضاعفات إن القطعة من $(1,0)$ إلى أقرب نقطة موازية للمقدار $\nabla$(القطع الناقص): أي إنها تلاقي القطع الناقص تعامديًّا، كما تقتضي الهندسة.

حل التمرين 20.8.

بالتراجع على $n$؛ والحالة $n = 1$ بديهية. تبلغ دالة رايلي $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ قيمتها العظمى $\lambda_1$ على المتراصة $S^{n-1}$ عند $v_1$ ما؛ وتعطي لاغرانج (المبرهنة 20.7، بالكرة بوصفها مجموعة مستوى) أن $2Av_1 = 2\lambda v_1$، و $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$. والفضاء الفائق $v_1^\perp$ صامد بالمصفوفة $A$ (بالتناظر: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$)؛ والتضييق متناظر، ويعطي التراجع أساسًا ذاتيًّا متعامدًا متجانسًا $v_2, \dots, v_n$ للفضاء $v_1^\perp$ بقيم ذاتية $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$، كلٌّ منها القيمةَ العظمى للدالة $f$ على كرة المتمم المتعامد الباقي. وتنتج كورانت–فيشر تمامًا كما في التمرين 15.8: بنشر $x = \sum c_iv_i$؛ وعلى فضاء اختبار ذي بُعد $k$ نقاطع مع $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (بعدّ الأبعاد في $\R^n$) لنجد $\min \leq \lambda_k$، ويحقق $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ المقدارَ $\min = \lambda_k$.

حل التمرين 20.9.

تحجيم كل عمود إلى معيار واحدي يقسم $\abs{\det}$ على $\prod\norm{c_i}$: فيكفي أن نبرهن على $\abs{\det M} \leq 1$ حين تكون جميع الأعمدة واحدية، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $M \in O_n$. والدالة $\det$ متصلة على المتراصة $(S^{n-1})^n$: فتبلغ قيمةً عظمى $m \geq \det I = 1 > 0$ عند $M$ ما. وبتثبيت جميع الأعمدة عدا ذي الرتبة $i$، يكون $\det$ خطيًّا في $c_i$ بتدرّج هو العمود ذو الرتبة $i$ من $\operatorname{com}(M)$؛ وتعطي لاغرانج على الكرة ذات الرتبة $i$: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$. وتُقرأ المتطابقة $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ على الصورة $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$، أي $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$؛ وبأخذ $j = i$: $\lambda_i = \det M = m \neq 0$، ثم يعطي $j \neq i$ أن $\langle c_i, c_j\rangle = 0$: أي إن الأعمدة متعامدة متجانسة، و $M \in O_n$، و $m = \abs{\det M} = 1$. ومنه $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ دائمًا، مع التساوي من أجل الأعمدة المتعامدة بالضبط (بإعادة التحجيم): أي إن حجم متوازي السطوح أكبر ما يكون، من أجل أطوال حروف معطاة، حين تكون الحروف متعامدة.

حل التمرين 20.10.

تصلح $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ بجوار كل نقطة تحقق $y \neq 0$؛ وتصلح $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ بجوار كل نقطة تحقق $x \neq 0$؛ وعند $(1, 0)$: المنحني البياني $x = \sqrt{1 - y^2}$ فوق $y \in \intoo{-1}1$، وهي المبرهنة 20.3(3) بالإحداثيات مبدَّلة. ويصلح تبديلٌ ما دائمًا لأن المستقيم المماسّ، بكونه ذا بُعد واحد، لا يمكن أن يكون شاقوليًّا وأفقيًّا معًا — لكنه قد يكون أيًّا منهما، ومنه لا يخدم أي اختيار ثابت للإحداثي «التابع» عند كل نقطة.

حل التمرين 20.11.

(a) التطبيق المعرِّف $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ متصل: ومنه $O_n = F^{-1}(0)$ مغلقة؛ وأعمدة مصفوفة متعامدة متجهاتٌ واحدية، ومنه يكون المعيار الإقليدي (معيار فروبنيوس) $\sqrt n$ بالضبط: أي محدودة. فمتراصة بهاينه–بوريل في $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$.

(b) و $O_n$ مجموعة المستوى $F = 0$ المدروسة في الفصل: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$، وهو غامر على المصفوفات المتناظرة عند كل $A \in O_n$ (بإعطاء $S$ متناظرة، نأخذ $H = \frac12AS$)، ومنه تكون $O_n$ متنوعةً جزئية بُعدها $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ مع

وعند $A = I$ تكون هذه المصفوفات المتخالفة.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T}) \exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (إذ تتبادل المصفوفتان $\pm tK$، ومنه يكون جداء الأُسّيين أُسّيَ المجموع): أي $\exp(tK) \in O_n$، ويكون $\gamma(t) = A\exp(tK)$ منحنيًا في $O_n$ مع $\gamma(0) = A$ و $\gamma'(0) = AK$. وحين تجول $K$ على المصفوفات المتخالفة، يمسح $AK$ الفضاءَ $T_AO_n$: فيحقق الأُسّي الفضاءَ المماسّ كله بمنحنيات صريحة — أي اختصار زمر لي الذي تستثمره المسألة 20.1 من أجل $SO(3)$.