التواء কী?

مثال 3.2

الحالات الثلاث المحرّكة.

1. $A = K$ حقل: فالمقاسات فضاءات متجهية.
2. $A = \Z$: فالمقاسات هي بالضبط الزمر الأبيلية (إذ يُفرض على $nx$ أن يكون $x + \dots + x$)، والمقاسات الجزئية هي الزمر الجزئية.
3. $A = K[X]$: فالمقاس فضاء متجهي $V$ على $K$ مزوَّد بتطبيق خطي على $K$ هو $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — وبالعكس، يصير كل زوج $(V, u)$ مع $u \in \mathcal L(V)$ مقاسًا على $K[X]$ بواسطة $P \cdot x = P(u)(x)$. والمقاسات الجزئية هي بالضبط الفضاءات الجزئية الصامدة تحت $u$.

والمثالي في $A$ هو بالضبط مقاس جزئي من $A$؛ وحلقة القسمة $A/I$ مقاسٌ على $A$. وخلافًا للفضاءات المتجهية، يمكن أن يكون للمقاسات التواء: ففي $\Z/6\Z$، يُبيد العنصرَ $\bar 3 \ne 0$ العنصرُ $2 \neq 0$.