ما معنى الفرونسكيان؟ — الرياضيات

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

تعريف 16.6 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · অধ্যায় 16 — المعادلات التفاضلية

من أجل حلول $X_1, \dots, X_n$ للجملة المتجانسة، يكون الفرونسكيان هو $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . وبحسب التشاكل السابق، إما أن ينعدم $W$ تطابقا (فالعائلة مرتبطة) وإما ألا ينعدم أبدا (جملة أساسية)؛ وكمّيا، لدينا $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ ، ومنه

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(صيغة ليوفيل)}.

উদাহরণ

مثال 16.7 (التحقق من ليوفيل على معادلة أويلر)

على $\intoo{0}{\infty}$ ، تقبل المعادلة $t^2y'' + ty' - y = 0$ الحلين $y_1(t) = t$ و $y_2(t) = \frac1t$ (بالتعويض). وفرونسكيانهما:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

لا ينعدم أبدا: فهما جملة أساسية. ولنتحقق الآن من ليوفيل: في الصيغة الموحدة $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ ، يكون أثر المصفوفة المرافقة $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ هو $-\frac1t$ ، ومنه

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

والخلاصة: يتنبأ ليوفيل بشكل الفرونسكيان قبل معرفة أي حل — وهنا، بأن $W$ يجب أن يكون $\frac{c}{t}$ ؛ وهذا هو ما يشغّل طريقة خفض الرتبة (القضية 16.15)، حيث تحدد معرفة $y_1$ وشكل الفرونسكيان الحل $y_2$ بمكاملة واحدة.

مثال 16.5 (تشاكل التقويم، بصورة ملموسة)

من أجل $y'' + y = 0$ ، منظورا إليها بوصفها الجملة $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ مع $X = (y, y')$ : تقول المبرهنة إن فضاء الحلول مستو، وإن $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ تشاكل تقابلي على $\R^2$ . والحلان $\cos$ و $\sin$ يقوَّمان إلى $(1, 0)$ و $(0, 1)$ — وهما الأساس القانوني للفضاء $\R^2$ — ومنه فهما يشكلان أساسا لفضاء الحلول، وكل حل يكتب

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

مع قراءة المعاملين مباشرة من المعطيات الابتدائية، دون أي جملة خطية تُحل. والخلاصة: اختيار الجملة الأساسية التي قيمها الابتدائية هي الأساس القانوني (هنا $\cos, \sin$ ) هو بالضبط اختيار أعمدة المصفوفة $\eu^{tA}$ ؛ وتشاكل التقويم هو السبب في أن الشروط الابتدائية توسّم المسارات — وهو المضمون الهندسي “للديناميكا الحتمية” في حالة المعادلات الخطية.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←