Álgebra কী?

Ejemplo 1.34 (Un morfismo de evaluación y su núcleo)

Tomemos $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y la evaluación $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$, $P \mapsto P(A)$. Como $A^2 = 0$,

(solo sobreviven los términos constante y lineal de $P$). Por tanto $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: un ideal principal, exactamente como predice el Teorema 1.26, generado por el polinomio mónico $X^2$ de menor grado del núcleo —el polinomio mínimo de $A$, protagonista del Capítulo 3—. La imagen es el álgebra conmutativa de dimensión dos $\{aI + bA\}$: los morfismos de evaluación comprimen el $\R[X]$ de dimensión infinita sobre álgebras pequeñas y calculables.