Matemáticas universitarias — Grado 1 · Graduação — Ano 1

21Matrices

Una matriz es una aplicación lineal escrita en coordenadas. Este capítulo establece el diccionario —la composición pasa a ser el producto de matrices, la biyectividad pasa a ser la invertibilidad y el cambio de base pasa a ser la conjugación— y también el lado algorítmico: las operaciones por filas y el cálculo de rangos e inversas. Vistas por primera vez en el volumen anterior, las matrices quedan ahora fundadas en la teoría de los Capítulos 18, 19 y 20.

21.1 Matrices y aplicaciones lineales

Definición 21.1

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ es el espacio vectorial de las tablas $n \times p$ de escalares $A = (a_{ij})$ ( $i$ : fila, $j$ : columna), de dimensión $np$ (base: las matrices $E_{ij}$ con un único $1$ ). Dadas bases $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ y $\mathcal{C}$ de $F$ ( $\dim F = n$ ), la matriz de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ es la tabla cuya columna $j$ -ésima enumera las coordenadas de $u(e_j)$ en $\mathcal{C}$ :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

La aplicación $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ es un isomorfismo de $\mathcal{L}(E, F)$ sobre $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (Proposición 20.2: una aplicación lineal es exactamente una elección de imágenes de los $e_j$ ).

Ejemplo 21.2 (La derivada, como matriz)

Sea $D(P) = P'$ en $\R_3[X]$ . En la base monomial $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , luego

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

En la base dividida $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ , cada vector de la base va al anterior ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ) y la matriz se convierte en el desplazamiento puro: unos en la superdiagonal y ceros en el resto. Dos moralejas: la matriz pertenece a la pareja (aplicación, base), no a la aplicación sola; y una buena base vuelve visible la estructura de un vistazo — la forma de desplazamiento muestra al instante que $D^4 = 0$ en $\R_3[X]$ , pues cada potencia de la matriz empuja su diagonal de unos un paso más lejos.

Definición 21.3 (Producto)

Para $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ y $B \in \mathcal{M}_{p,q}$ :

(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk} \qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).

Esta es precisamente la matriz de la composición: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\, \operatorname{Mat}(u)$ (con las bases coincidiendo en el medio). De igual modo, si $X$ es la columna de coordenadas de $x$ , la columna de $u(x)$ es $AX$ .

Demostración de la fórmula de la composición.

v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j) = \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i = \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere

∎

Proposición 21.4 (El álgebra $\mathcal{M}_n(K)$ )

Las matrices cuadradas $\mathcal{M}_n(K)$ forman un anillo (no conmutativo para $n \geq 2$ ), con unidad $I_n$ ; su grupo de unidades es el grupo lineal general $GL_n(K)$ , que corresponde a los endomorfismos biyectivos. Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ y } B = A^{-1}

(las inversas por un lado lo son por los dos, por el Corolario 20.9).

Demostración. Los axiomas de anillo se transportan desde $\mathcal{L}(E)$ por el isomorfismo de la Definición 21.1: convierte la composición en producto y la suma en suma, de modo que la asociatividad, la distributividad y el papel de $I_n$ se heredan de los hechos correspondientes sobre aplicaciones, sin ninguna comprobación entrada a entrada. No conmutatividad: $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22} = E_{21}E_{12}$ . Si $AB = I_n$ : el endomorfismo $a$ de $A$ cumple $a \circ b = \mathrm{id}$ , luego $a$ es sobreyectivo ( $x = a(b(x))$ exhibe una imagen recíproca de cada $x$ ) y, por tanto, biyectivo en dimensión finita (Corolario 20.9); componiendo $a \circ b = \mathrm{id}$ con $a^{-1}$ por la izquierda se obtiene $b = a^{-1}$ y, entonces, también $b\circ a = \mathrm{id}$ : la inversa por un lado lo era por los dos desde el principio — un favor estrictamente de dimensión finita. ∎

Definición 21.5 (Traspuesta; traza)

La traspuesta de $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ es $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ ; cumple $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ y $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ . La traza de una matriz cuadrada es $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ ; es lineal, y

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).

Demostración de la identidad de la traza. $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ y $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$ : la misma suma doble. ∎

Ejemplo 21.6 (La traza en acción)

La proyección del Capítulo 20 sobre $\operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $\operatorname{Vect}(0,1)$ , $p(x, y) = (x, x)$ , tiene matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ en la base canónica: en efecto, $A^2 = A$ , y

\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,

lo que ilustra el Ejercicio 21.8: para los idempotentes, la traza cuenta la dimensión de la imagen, sea cual sea la base torcida en la que esté escrita la matriz. El mecanismo de la invariancia es la identidad $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ :

\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,

de modo que todas las matrices semejantes a $A$ comparten su traza — el primer invariante numérico de un endomorfismo, al que se sumará el determinante en el Capítulo 22 (la pareja $(s, p)$ del problema del fin de semana de más abajo).

Ejemplo 21.7 (Simétrica más antisimétrica)

Dígase que $A$ es simétrica cuando $A^{\mathsf T} = A$ , y antisimétrica cuando $A^{\mathsf T} = -A$ . Toda matriz cuadrada se parte de forma única como una más la otra:

A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{simétrica}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antisimétrica}},

y una matriz que sea las dos cosas es nula ( $A = -A$ ): los dos conjuntos son subespacios suplementarios de $\mathcal{M}_n(K)$ — el análogo exacto de la separación par/impar de las funciones (Ejemplo 18.11), con la trasposición en el papel de $x \mapsto -x$ . Dimensiones: una matriz simétrica es libre en la diagonal y por encima, y una antisimétrica, estrictamente por encima (diagonal nula):

\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,

y el que la cuenta cuadre es la confirmación de Grassmann de que la suma es directa. Para $n = 2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ . Las matrices simétricas vuelven como los datos de segunda derivada del Capítulo 25 (la terna de Monge $r, s, t$ ), y las simétricas ortogonales se clasifican en el Ejercicio 23.12.

21.2 Cambio de base

Definición 21.8

Sean $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ bases de $E$ . La matriz de cambio de base $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base nueva en la base antigua. Es invertible, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$ , y las coordenadas se transforman por $X = PX'$ (antiguas $=$ $P\,\cdot$ nuevas).

Ejemplo 21.9 (Leer la matriz de cambio de base)

En $\R^2$ , de la canónica $\mathcal B$ a $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

(los vectores nuevos escritos en coordenadas antiguas, columna a columna). El vector de coordenadas antiguas $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ tiene coordenadas nuevas $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ : en efecto, $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$ . Ojo con el sentido — la matriz $P$ se construye con la base nueva pero convierte de nuevas a antiguas las coordenadas ( $X = PX'$ ); pasar de antiguas a nuevas cuesta la inversa. Escribir la comprobación $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ tras cada conversión atrapa el error de invertir $P$ , que es el fallo más frecuente del capítulo.

Teorema 21.10 (Cambio de base para una aplicación)

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ con matriz $A$ en $\mathcal{B}$ y $A'$ en $\mathcal{B}'$ , y sea $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ . Entonces

A' = P^{-1} A\, P .

Dos matrices relacionadas así se llaman semejantes. (Para $u \colon E \to F$ con dos parejas de bases, la fórmula es $A' = Q^{-1} A P$ — matrices equivalentes.)

Demostración. Para cualquier $x$ : $X = PX'$ y la imagen cumple $Y = AX$ , $Y = PY'$ . Luego $PY' = APX'$ , es decir, $Y' = (P^{-1}AP)X'$ para todo $X'$ : la matriz de $u$ en la base nueva es $P^{-1}AP$ (tómense como $X'$ las columnas canónicas). ∎

Ejemplo 21.11 (Una buena base vuelve transparente una aplicación)

Sea $u(x, y) = (y, x)$ (el intercambio), con matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ en la base canónica. En la base $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

En realidad no hacía falta ningún producto de matrices: $u$ deja fijo $(1,1)$ e invierte $(1,-1)$ , así que en $\mathcal B'$ su matriz tiene que ser $\operatorname{diag}(1, -1)$ — el intercambio es la reflexión respecto de la recta $y = x$ . Hallar, para un endomorfismo dado, una base en la que su matriz sea diagonal es el problema central del volumen del segundo año (la teoría de reducción); y el problema del fin de semana de más abajo muestra hasta dónde llegan ya las solas identidades polinómicas.

Ejemplo 21.12 (Cambio de base, al revés)

La proyección sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ tiene, en la base adaptada $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$ , la matriz transparente $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$ . Para obtener su matriz en la base canónica, ejecútese al revés el Teorema 21.10, $A = P A' P^{-1}$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Comprobación: $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$ y $A\binom{1}{1} = \binom11$ , $A\binom{1}{-1} = 0$ , como se prescribió. Este sentido inverso —diséñese la matriz en la base buena y conjúguese después de vuelta— es como se producen en la práctica las matrices de rotación, de reflexión y de proyección.

Teorema 21.13 (Forma normal del rango)

El rango de una matriz (el rango de sus columnas, equivalentemente el de la aplicación lineal asociada) es el único invariante de la equivalencia: toda $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ de rango $r$ es equivalente a

J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},

y $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$ : el rango por filas es igual al rango por columnas.

Demostración. Sea $u \colon E \to F$ de rango $r$ . Elíjase un suplementario $S$ de $\ker u$ ( $\dim S = r$ , Teorema 20.7) con base $(e_1, \dots, e_r)$ , completada por una base de $\ker u$ hasta una base de $E$ ; las imágenes $f_i = u(e_i)$ , $i \leq r$ , forman una base de $\operatorname{im} u$ (la restricción es un isomorfismo), completada hasta una base de $F$ . En esas bases, la matriz de $u$ es exactamente $J_r$ . Luego $A = Q J_r P^{-1}$ con $P, Q$ invertibles.

Trasponiendo: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ con $J_r^{\mathsf T}$ de la misma forma (rango $r$ ) y los factores exteriores invertibles (la traspuesta de una invertible es invertible, aplicando $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ a $AA^{-1} = I$ ): $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$ . ∎

21.3 Operaciones por filas

Método 21.14 (Eliminación de Gauss sobre matrices)

Las tres operaciones elementales por filas —intercambiar dos filas, multiplicar una fila por $\lambda \neq 0$ , sumar a una fila un múltiplo de otra— no cambian el rango (cada una es una multiplicación por la izquierda por una matriz invertible). Algoritmo: créese un pivote (la entrada no nula más a la izquierda), límpiese su columna por debajo y pásese a la fila y la columna siguientes; el número de pivotes de la forma escalonada resultante es el rango.

Cálculo de la inversa: ejecútese el algoritmo sobre el bloque $(A \mid I_n)$ hasta que el bloque izquierdo sea $I_n$ (posible si y solo si $A$ es invertible); el bloque derecho es entonces $A^{-1}$ — en efecto, el producto de las matrices elementales usadas es igual a $A^{-1}$ .

Ejemplo 21.15

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ : redúzcase $(A \mid I_2)$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix},

(operaciones: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ ; después $L_1 \leftarrow L_1 + L_2$ , $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$ ). Luego $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$ . Comprobación: $AA^{-1} = I_2$ .

Ejemplo 21.16 (Rango con un parámetro, solo por filas)

Para $m \in \R$ , el rango de $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{pmatrix}$ . Redúzcase: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ y $L_3 \leftarrow L_3 - mL_1$ dan las filas

(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad (0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).

Caso $m = 1$ : las dos últimas filas se anulan — un pivote, $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (las tres filas originales eran iguales). Caso $m \neq 1$ : escálese $L_2$ por $\frac1{m-1}$ y $L_3$ por $\frac1{1-m}$ para obtener $(0, 1, -1)$ y $(0, 1, 1 + m)$ , y después $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$ . Si $m = -2$ : dos pivotes, rango $2$ ; en los demás casos, tres pivotes, rango $3$ . Resumen:

\operatorname{rk} M_m = \begin{cases} 1 & m = 1,\\ 2 & m = -2,\\ 3 & \text{en los demás casos}. \end{cases}

Los mismos umbrales saldrán de un solo cálculo de determinante en el Capítulo 22 (el polinomio $-(m+2)(m-1)^2$ del Ejercicio 22.7) — pero obsérvese lo que da la eliminación y no da el determinante: el valor del rango en los casos degenerados, y no solo el hecho de que haya bajado.

Ejemplo 21.17 (Calcular potencias)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ con $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ . Como $I$ y $N$ conmutan, el teorema del binomio (Proposición 7.20) se trunca:

A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (k \in \N, \text{ y } k \in \Z \text{ usando } A^{-1} = I - N).

Método 21.18 (Calcular $A^n$ : los tres caminos)

Camino binomial: si $A = \lambda I + N$ con $N$ nilpotente, el teorema del binomio se trunca (Ejemplo 21.17, Ejercicio 21.5); y se aplica porque $\lambda I$ conmuta con todo.
Camino polinómico: hállese una identidad polinómica que cumpla $A$ (en dimensión $2$ , siempre $A^2 = sA - pI$ ) y redúzcase $X^n$ módulo ella; el problema del fin de semana de más abajo construye este camino por completo.
Camino de la semejanza: hállese una $P$ invertible con $P^{-1}AP = D$ sencilla (diagonal, o de desplazamiento), calcúlese $D^n$ y deshágase: $A^n = P D^n P^{-1}$ (Teorema 21.10, Ejemplo 21.11); la búsqueda sistemática de esa $P$ es la teoría de reducción del segundo año.

Sea cual sea el camino, compruébese el resultado en $n = 0, 1, 2$ : tres pruebas baratas que atrapan casi todos los resbalones.

Observación 21.19 (Errores frecuentes: el precio de la no conmutatividad)

Toda identidad del álgebra escalar cuya demostración reordene factores muere en $\mathcal{M}_n(K)$ , $n \geq 2$ . Cuadrados: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , y el centro se colapsa a $2AB$ solo si $AB = BA$ (Ejercicio 21.1). Potencias de productos: $(AB)^k$ es $ABAB\cdots$ , no $A^kB^k$ . Divisores de cero: $E_{12}E_{12} = 0$ con $E_{12} \neq 0$ ; y, en consecuencia, no hay cancelación: $AB = AC$ implica $B = C$ solo cuando $A$ es invertible (multiplíquese por $A^{-1}$ — por el lado correcto). Trazas: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ siempre, pero $\operatorname{tr}(AB) \neq \operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ en general (tómese $A = B = I_2$ : $2 \neq 4$ ), y $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$ (cíclica) mientras que $\operatorname{tr}(ACB)$ puede ser distinta. Las traspuestas invierten el orden: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ — olvidar la inversión es el error más frecuente en los cálculos de ortogonalidad (Capítulo 23). En caso de duda, pruébese toda identidad supuesta con $E_{12}$ y $E_{21}$ : la pareja no conmutativa más pequeña refuta en una línea casi todas las fórmulas falsas.

Observación 21.20 (Adónde va el diccionario)

El diccionario matricial se usa en todas las páginas restantes de este volumen: el Capítulo 22 asocia a cada matriz cuadrada un único número que decide la invertibilidad, y resuelve $AX = B$ de forma sistemática; el Capítulo 23 señala las matrices que conservan las longitudes (las matrices ortogonales); y en el Capítulo 25, el comportamiento de segundo orden de una función de dos variables es una matriz simétrica $2 \times 2$ . La traza, introducida arriba casi de pasada, se convierte en un invariante potente: los Ejercicios 21.6 y 21.8 dan un primer sabor, y el volumen del segundo año construye sobre ella la teoría de valores propios. El problema del fin de semana desarrolla el otro caballo de batalla: las identidades polinómicas que cumple una matriz, que convierten el cálculo de $A^n$ en una recurrencia lineal de dos términos.

Observación 21.21 (Perspectivas dentro del libro 3)

Tres familias de matrices presentadas aquí tienen cita más adelante en este volumen. Las matrices simétricas (Ejemplo 21.7) llevan los datos de segundo orden de las funciones de dos variables: el test de Monge del Capítulo 25 es un enunciado sobre el comportamiento del signo de una matriz simétrica $2\times2$ , y su determinante $rt - s^2$ lo calcula la maquinaria del Capítulo 22. Las matrices ortogonales ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) son las isometrías del Capítulo 23, donde la traspuesta adquiere por fin su significado geométrico: es la sombra algebraica del producto escalar. Y las matrices invertibles encuentran su prueba práctica en el Capítulo 22 —un solo número, $\det A \neq 0$ —, cerrando la búsqueda que este capítulo empezó con la reducción por filas. La traza y el determinante viajan después como la pareja invariante $(s, p)$ del problema del fin de semana, hasta la teoría de valores propios del segundo año.

21.4 Ejercicios

Ejercicio 21.1 ★

Sean $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Calcúlense $AB$ , $BA$ , $A^2 - B^2$ y $(A+B)(A-B)$ ; explíquese por qué los dos últimos difieren.

Solución

Solución de Ejercicio 21.1.

AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},

(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

Difieren en $BA - AB \neq 0$ : la identidad $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ exige la conmutatividad, que aquí falla.

Ejercicio 21.2 ★

Calcúlese el rango de

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Solución

Solución de Ejercicio 21.2.

$M$ : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ mata la segunda fila; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ da $(0, -1, -2)$ . Dos pivotes: $\operatorname{rk} M = 2$ .

$N$ : $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ da $(0,1,1,1) = L_2$ ; después $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = 0$ . Dos pivotes: $\operatorname{rk} N = 2$ .

Ejercicio 21.3 ★

Inviértase, por reducción por filas, $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , y compruébese con un producto.

Solución

Solución de Ejercicio 21.3.

Reduciendo $(A \mid I_3)$ : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},

después $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$ :

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Comprobación: la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$ : $1 \cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$ ; por la segunda columna: $1 - 0 - 1 = 0$ ; por la tercera: $-1 + 0 + 1 = 0$ .

Ejercicio 21.4 ★

Escríbase la matriz, en la base canónica de $\R_2[X]$ , del endomorfismo $u(P) = P(X + 1)$ . Explíquese, sin calcular, por qué es invertible, y dese la matriz de $u^{-1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.4.

$u(1) = 1$ , $u(X) = X + 1$ , $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$ : las columnas de coordenadas en $(1, X, X^2)$ dan

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

$u$ es invertible porque tiene la inversa obvia $P \mapsto P(X - 1)$ (composición de sustituciones). Su matriz se obtiene igual a partir de $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$ :

M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ejercicio 21.5 ★★

Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Escríbase $A = 2I + N$ , calcúlese $N^2$ y dedúzcase $A^k$ para todo $k \in \N$ con el teorema del binomio.

Solución

Solución de Ejercicio 21.5.

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $N^2 = 0$ . Como $2I$ y $N$ conmutan, el desarrollo binomial se trunca tras dos términos:

A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N = \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.

(Compruébese $k = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ , correcto por producto directo.)

Ejercicio 21.6 ★★

Demuéstrese que no hay matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (con $K = \R$ o $\C$ ) tales que $AB - BA = I_n$ . (Tómense trazas.)

Solución

Solución de Ejercicio 21.6.

Trazas: $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0$ (Definición 21.5), mientras que $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ en $\R$ o en $\C$ . No hay solución. (En espacios de dimensión infinita, la identidad sí es realizable —la derivación y la multiplicación por $x$ la cumplen— precisamente porque allí no existe ninguna traza.)

Ejercicio 21.7 ★★

Una matriz $A$ es nilpotente cuando $A^m = 0$ para algún $m$ . Demuéstrese que entonces $I - A$ es invertible, con

(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .

Aplicación: inviértase $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.7.

Producto telescópico, conmutando todas las potencias de $A$ :

(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,

y la Proposición 21.4 eleva la inversa por un lado. Para la aplicación: la matriz dada es $I + N$ con

N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \quad N^3 = 0 ,

luego, sustituyendo $A$ por $-N$ en la fórmula:

(I + N)^{-1} = I - N + N^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ejercicio 21.8 ★★

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ con $A^2 = A$ (idempotente). Demuéstrese que $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$ . (Interprétese $A$ como una proyección y elíjase una base adaptada; el Teorema 21.10 dice que la traza no depende de la base, ya que $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr} M$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 21.8.

$A^2 = A$ : el endomorfismo $a$ es una proyección (Teorema 20.15), $E = \operatorname{im} a \oplus \ker a$ con $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$ . En una base adaptada a esa descomposición ( $r$ vectores de la imagen y después una base del núcleo), la matriz de $a$ es $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , de traza $r$ . Y la traza es invariante por cambio de base: $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) = \operatorname{tr} M$ por la identidad cíclica. Por tanto, $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$ .

Ejercicio 21.9 ★★★

Sea $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ la matriz de todo unos. Calcúlese $J^2$ y dedúzcase, para $a, b \in \R$ , la condición de invertibilidad de $M = aI + bJ$ junto con $M^{-1}$ (búsquese una inversa de la misma forma $\alpha I + \beta J$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 21.9.

$J^2 = nJ$ (cada entrada de $J^2$ suma $n$ unos). Búsquese $M^{-1} = \alpha I + \beta J$ :

(aI + bJ)(\alpha I + \beta J) = a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .

Esto es igual a $I$ si y solo si $a\alpha = 1$ y $a\beta + b\alpha + nb\beta = 0$ , es decir, $\alpha = \frac1a$ y $\beta(a + nb) = -\frac ba$ . Si $a \neq 0$ y $a + nb \neq 0$ :

M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .

Recíprocamente, si $a = 0$ : $M = bJ$ tiene rango $\leq 1 < n$ (para $n \geq 2$ ): no invertible ( $n = 1$ es el caso escalar). Si $a + nb = 0$ : el vector $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ cumple $Mv = (a + nb)v = 0$ con $v \neq 0$ : no invertible. Luego $M \in GL_n \iff a \neq 0$ y $a + nb \neq 0$ .

Ejercicio 21.10 ★★★

(Desigualdades de rango) Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ , demuéstrese

\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B, \qquad \operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n .

(Para la segunda —la desigualdad de Sylvester— aplíquese el teorema del rango a la restricción de la aplicación de $A$ a $\operatorname{im} B$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 21.10.

Suma: $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A + \operatorname{im} B$ (cada $(A+B)x = Ax + Bx$ ), y Grassmann acota la dimensión de una suma por la suma de las dimensiones.

Sylvester: sea $a$ la aplicación de $A$ restringida a $V = \operatorname{im} B$ (de dimensión $\operatorname{rk} B$ ). Su imagen es $\operatorname{im}(AB)$ ( $a(Bx) = ABx$ ), y el teorema del rango en $V$ :

\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .

Ahora bien, $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$ , de dimensión $n - \operatorname{rk} A$ : luego

\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n - \operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n . \qedhere

Ejercicio 21.11 ★★

Sea $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ con los $d_i$ distintos dos a dos.

Demuéstrese que una matriz $A$ conmuta con $D$ si y solo si $A$ es diagonal. (Compárense las entradas $(i,j)$ de $AD$ y de $DA$ .)
Dedúzcase el centro de $\mathcal{M}_n(K)$ : las matrices que conmutan con todas las matrices son exactamente las matrices escalares $\lambda I_n$ . (Pruébese contra $D$ y después contra las $E_{ij}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 21.11.

Entrada a entrada, $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ y $(DA)_{ij} = d_i\,a_{ij}$ . Luego $AD = DA$ si y solo si $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ para todos $i, j$ ; y cuando $i \neq j$ el factor $d_j - d_i$ es no nulo, lo que fuerza $a_{ij} = 0$ : $A$ es diagonal. Recíprocamente, las matrices diagonales conmutan entre sí.
Si $A$ conmuta con todas las matrices, conmuta con $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ , luego $A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ por (1). Entonces $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (solo sobrevive la fila $i$ de $E_{ij}$ ), mientras que $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : conmutar con $E_{ij}$ fuerza $\lambda_i = \lambda_j$ . Por tanto, $A = \lambda I_n$ ; y las matrices escalares sí conmutan con todo. El centro de $\mathcal{M}_n(K)$ es $K\,I_n$ .

Ejercicio 21.12 ★★★

(Matrices de rango uno) Sea $A \in \mathcal{M}_n(K)$ , $A \neq 0$ .

Demuéstrese que $\operatorname{rk} A = 1$ si y solo si $A = CL$ para cierta columna no nula $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ y cierta fila no nula $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ .
Para una $A$ así, demuéstrese $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ; dedúzcase que una matriz de rango uno es nilpotente si y solo si su traza es nula.
Si $\operatorname{tr} A \neq -1$ , demuéstrese que $I_n + A$ es invertible con

$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr} A}\,A ,$

y que $I_n + A$ no es invertible cuando $\operatorname{tr} A = -1$ . (Hállese un vector que mate $I_n + A$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 21.12.

Si $\operatorname{rk} A = 1$ : la imagen de $A$ es una recta $\operatorname{Vect}(C)$ , $C \neq 0$ , de modo que la columna $j$ -ésima de $A$ es $\ell_j\,C$ para ciertos escalares $\ell_j$ (no todos nulos), es decir, $A = C L$ con $L = (\ell_1, \dots, \ell_n) \neq 0$ . Recíprocamente, si $A = CL \neq 0$ , todas las columnas son múltiplos de $C$ : rango $1$ .
$A^2 = C\,(L C)\,L$ , y $LC$ es el escalar $\sum_i \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr} A$ . Luego $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ y, por inducción, $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . Si $\operatorname{tr} A \neq 0$ , ninguna potencia se anula; y si $\operatorname{tr} A = 0$ , entonces $A^2 = 0$ : una matriz de rango uno es nilpotente si y solo si su traza es nula.
Con $t = \operatorname{tr} A \neq -1$ :

$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr) = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t} = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$

usando $A^2 = tA$ . Si $t = -1$ : $(I_n + A)A = A + A^2 = A - A = 0$ con $A \neq 0$ , de modo que $I_n + A$ mata todas las columnas (no nulas) de $A$ : no es inyectiva ni invertible.

21.5 Problema: potencias de una matriz por división polinómica

Problema 21.1

Calcular $A^{100}$ entrada a entrada es desesperado; calcularlo mediante una identidad polinómica que cumpla $A$ son tres líneas. Este problema construye el método desde cero: la división euclídea de $X^n$ , la identidad $A^2 - sA + pI = 0$ que cumple toda matriz $2 \times 2$ (el teorema de Cayley–Hamilton en dimensión $2$ ) y el diccionario entre las potencias de una matriz y las recurrencias lineales — con los números de Fibonacci como ejemplo recurrente.

Parte I — El cálculo con restos. Fíjense $s, p \in K$ y $D = X^2 - sX + p$ .

Justifíquese que para cada $n \in \N$ hay unos únicos $Q_n \in K[X]$ y $(a_n, b_n) \in K^2$ con

$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$

y calcúlense $(a_0, b_0)$ y $(a_1, b_1)$ .
Multiplicando por $X$ y dividiendo de nuevo, establézcanse las recurrencias

$a_{n+1} = s\,a_n + b_n, \qquad b_{n+1} = -p\,a_n ,$

y dedúzcase $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ : la sucesión de coeficientes obedece la recurrencia lineal asociada a $D$ .
Supóngase que $D$ tiene dos raíces distintas $\lambda \neq \mu$ . Evaluando la identidad de la división, demuéstrese

$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$
Supóngase $D = (X - \lambda)^2$ . Usando la derivada de la identidad de la división, demuéstrese $a_n = n\lambda^{n-1}$ y $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ .
Véase que sustituir una matriz fija $M \in \mathcal{M}_k(K)$ en los polinomios respeta las sumas y los productos: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$ . Dedúzcase que si $D(M) = 0$ , entonces

$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$

Parte II — Dimensión 2: traza, número determinante, Cayley–Hamilton. Para $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ , póngase $s = a + d = \operatorname{tr} A$ y $p = ad - bc$ (el número que el Capítulo 22 llamará determinante).

Compruébese por cálculo directo la identidad de Cayley–Hamilton en dimensión $2$ :

$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$
Demuéstrese, desarrollando directamente, que $p$ es multiplicativo: con notación evidente, $p(AB) = p(A)\,p(B)$ . Véase después que $A$ es invertible si y solo si $p \neq 0$ , y en ese caso

$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$
Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Calcúlense $s$ , $p$ y las raíces de $D$ , y dedúzcase una fórmula cerrada para $A^n$ ; compruébese con un cálculo directo de $A^2$ .
Sea $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . Véase que $D$ tiene una raíz doble y calcúlese $A^n$ ; compruébese en $n = 2$ .
Sea $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ y defínanse los números de Fibonacci por $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Demuéstrese

$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$

dedúzcase la fórmula de Binet $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$ , donde $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ , $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$ y, usando la pregunta 7, la identidad de Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ .

Parte III — Recurrencias lineales, estructuralmente. Fíjense $s, p \in K$ con $p \neq 0$ , y sea $E_D$ el conjunto de las sucesiones con $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ para todo $n$ .

Véase que $E_D$ es un espacio vectorial de dimensión $2$ (adáptese el Ejercicio 19.10).
Véase que la sucesión $(a_n)$ de la parte I es el elemento de $E_D$ con valores iniciales $0, 1$ , y que todo $u \in E_D$ cumple

$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$

con $(b_n)$ como en la parte I: los restos de la división resuelven todas las recurrencias a la vez.
Si $\lambda \neq \mu$ son las raíces de $D$ , véase que $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ es una base de $E_D$ ; y si $D = (X-\lambda)^2$ con $\lambda \neq 0$ , véase que lo es $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ .
Resuélvase por completo: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; compruébese la respuesta en $u_2$ y $u_3$ .
Sea $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (la matriz compañera de $D$ ). Véase que

$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix} \quad (u \in E_D),$

y que $\operatorname{tr} C = s$ y $p(C) = p$ : la recurrencia y la matriz llevan el mismo polinomio $D$ .

Parte IV — Grado tres. Sea $D_3 = X^3 - \alpha X^2 - \beta X - \gamma$ y

C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix}.

Véase que $D_3(C_3) = 0$ . (Calcúlense las imágenes de los vectores de la base canónica por las potencias de $C_3$ : la aplicación de $C_3$ manda $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ una combinación que fuerza la última fila.)
Véase que si $D_3$ tiene tres raíces distintas $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ , el resto $R_n$ de $X^n$ dividido entre $D_3$ es el interpolador de Lagrange de los valores $\lambda_i^n$ en los nodos $\lambda_i$ (Teorema 8.23); dedúzcase que toda entrada de $C_3^{\,n}$ es una combinación lineal fija de $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
Resuélvase: $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ con $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ . (Factorícese $D_3 = (X - 1)(X + 1)(X - 2)$ .) Compruébese en $u_3$ .
Calcúlese el resto de $X^n$ módulo $(X - \lambda)^3$ (desarrollo de Taylor de $X^n$ en $\lambda$ ), y dedúzcase una fórmula para $(\lambda I + N)^n$ cuando $N^3 = 0$ y $N$ conmuta con todo lo que hay a la vista; compruébese con el teorema del binomio.
Véase que, para $D_3$ con raíces distintas, la solución general de la recurrencia de orden $3$ es $u_n = c_1 \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ : demuéstrese que las tres sucesiones geométricas forman una base del espacio de soluciones. (Para la libertad, evalúese una combinación nula en $n = 0, 1, 2$ y reconózcase un sistema de interpolación en los nodos distintos $\lambda_i$ .)

Parte V — Dividendos de Fibonacci, y síntesis.

Demuéstrese $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
De $F^{m+n} = F^m F^n$ , dedúzcase la fórmula de adición

$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$

y dedúzcase $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$ .
Demuéstrese que $F_n$ es el entero más próximo a $\varphi^n/\sqrt5$ para todo $n \geq 0$ .
Sea $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (los números de Lucas $L_n$ ). Véase que $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ , que $L_n = \varphi^n + \psi^n$ , y recupérese $F_{2n} = F_n L_n$ .
Síntesis, en cuatro frases: por qué las potencias de una matriz $2 \times 2$ viven en el plano $\operatorname{Vect}(I, A)$ de $\mathcal{M}_2(K)$ (qué argumento de dimensión garantiza una identidad cuadrática y qué identidad explícita produjo la parte II); cómo la división euclídea convierte la exponenciación en una recurrencia de dos términos; qué enunciado de este problema es el caso $n = 2$ de un teorema válido en todas las dimensiones (nómbrese, y dígase dónde se demuestra en esta serie); y qué añade al cuadro la construcción de la matriz compañera.

Solución

Solución de Problema 21.1.

1. División euclídea de $X^n$ entre el polinomio mónico de grado $2$ , $D$ (Teorema 8.3): el cociente y el resto existen y son únicos, y el resto tiene grado $\leq 1$ : $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ . Para $n = 0$ : $Q_0 = 0$ , $(a_0, b_0) = (0, 1)$ ; y para $n = 1$ : $(a_1, b_1) = (1, 0)$ .

2. Multiplíquese por $X$ y redúzcase $X^2 = D + sX - p$ :

X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X = (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .

La última expresión tiene forma de resto (grado $\leq 1$ ), así que, por unicidad, $a_{n+1} = s a_n + b_n$ y $b_{n+1} = -p a_n$ . Sustituyendo $b_{n+1} = -pa_n$ en $a_{n+2} = s a_{n+1} + b_{n+1}$ se obtiene $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ .

3. Evalúese $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ en las raíces: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ y $\mu^n = a_n\mu + b_n$ . Restando y dividiendo por $\lambda - \mu \neq 0$ :

a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \lambda^n - a_n\lambda = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .

4. En la raíz doble: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ . Derivando la identidad, $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2 + 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$ y evaluando en $\lambda$ : $a_n = n\lambda^{n-1}$ ; y entonces $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 - n)\lambda^{n}$ .

5. Para $P = \sum_i p_i X^i$ y $Q = \sum_j q_j X^j$ ,

P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),

porque las potencias de una misma matriz $M$ conmutan entre sí (las sumas son claras por linealidad). Si $D(M) = 0$ , sustituir $M$ en $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ da $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n M + b_n I = a_n M + b_n I$ .

6. Productos directos:

A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a + d)\\ c(a + d) & d^2 + bc \end{pmatrix}, \qquad s A = \begin{pmatrix} a(a+d) & b(a+d)\\ c(a+d) & d(a+d) \end{pmatrix},

de modo que $A^2 - sA$ tiene nulas las entradas de fuera de la diagonal y, en la diagonal, $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$ : $A^2 - sA + pI_2 = 0$ .

7. Con $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' & d'\end{pmatrix}$ , desarrollando $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') - (ab' + bd')(ca' + dc')$ : los términos $aa'cb'$ y $ab'ca'$ se cancelan, los términos $bc'dd'$ y $bd'dc'$ se cancelan, y lo que queda es

aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c' = (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').

Si $p \neq 0$ , Cayley–Hamilton da $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 - A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$ , de donde la inversa (y la Proposición 21.4 la vuelve bilátera). Y si $p = 0$ y $A$ fuera invertible, la multiplicatividad daría $1 = p(I_2) = p(A)\,p(A^{-1}) = 0$ : imposible. Luego $A \in GL_2 \iff p \neq 0$ .

8. $s = 3$ , $p = 2$ , $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$ : $\lambda = 2$ , $\mu = 1$ , luego $a_n = 2^n - 1$ y $b_n = 2 - 2^n$ (pregunta 3). Por tanto,

A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.

Comprobación: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ , tanto por la fórmula como elevando al cuadrado directamente.

9. $s = 4$ , $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$ : $D = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ , con raíz doble $\lambda = 2$ . Pregunta 4: $a_n = n\,2^{n-1}$ , $b_n = (1 - n)2^n$ , luego

A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I = 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n \end{pmatrix}.

En $n = 2$ : $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ , que es $A^2$ calculado directamente.

10. Inducción: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 & F_0\end{pmatrix}$ , y

F^{n+1} = F^n F = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\ F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n \end{pmatrix}.

Aquí $s = 1$ , $p = -1$ , $D = X^2 - X - 1$ con raíces $\varphi, \psi$ ( $\varphi - \psi = \sqrt5$ , $\varphi\psi = -1$ ). La sucesión $(F_n)$ tiene $F_0 = 0 = a_0$ , $F_1 = 1 = a_1$ y obedece la misma recurrencia que $(a_n)$ : $F_n = a_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$ , la fórmula de Binet. Cassini: aplicando la multiplicatividad de la pregunta 7 a $F^n$ ,

F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .

11. La condición es lineal y contiene la sucesión nula: un subespacio. Por inducción, $u_0, u_1$ determinan $u$ de forma lineal, y cada pareja de valores iniciales la realiza exactamente una solución: como en el Ejercicio 19.10, $E_D$ está parametrizado biyectiva y linealmente por $(u_0, u_1) \in K^2$ : $\dim E_D = 2$ .

12. $(a_n)$ obedece la recurrencia (pregunta 2) con $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ . Y $(b_n)$ también: $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} = -p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (usando dos veces $b_{n+1} = -pa_n$ ), con $b_0 = 1$ , $b_1 = 0$ . La combinación $v_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ es entonces una solución con $v_0 = u_0$ , $v_1 = u_1$ ; y dos soluciones con los mismos valores iniciales coinciden (inducción), luego $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ para todo $n$ .

13. $(\lambda^n)$ es solución si y solo si $\lambda^{n+2} = s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ para todo $n$ , es decir, $D(\lambda) = 0$ (tras dividir por $\lambda^n \neq 0$ ; nótese que $\lambda, \mu \neq 0$ , ya que $p = \lambda\mu \neq 0$ ). Libertad de $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ : una relación en $n = 0, 1$ da $c + c' = 0$ , $c\lambda + c'\mu = 0$ , luego $c(\lambda - \mu) = 0$ : $c = c' = 0$ . Dos vectores libres en dimensión $2$ : una base. Raíz doble: $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ es solución, ya que, con $s = 2\lambda$ , $p = \lambda^2$ :

s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n = \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;

libertad en $n = 0, 1$ : $c = 0$ y después $c'\lambda = 0$ con $\lambda \neq 0$ .

14. $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$ . Solución general $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$ ; las condiciones iniciales dan $A + B = 1$ y $3A - 2B = 8$ , luego $A = 2$ , $B = -1$ :

u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .

Comprobación: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$ ; $u_3 = 54 + 8 = 62 = u_2 + 6u_1 = 14 + 48$ .

15. $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$ , y la inducción da la fórmula con $C^n$ . Además, $\operatorname{tr} C = 0 + s = s$ y $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$ : la matriz compañera tiene exactamente $D$ como polinomio de Cayley–Hamilton.

16. Para cualquier solución $u$ de $u_{n+3} = \alpha u_{n+2} + \beta u_{n+1} + \gamma u_n$ , los vectores de estado $v_n = (u_n, u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ cumplen $C_3 v_n = v_{n+1}$ (las dos primeras filas desplazan y la última aplica la recurrencia). Por tanto,

D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,

cuyas tres componentes son $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ ( $k = 0, 1, 2$ ). Y como el estado inicial $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ recorre todo $K^3$ (los valores iniciales son libres), la matriz $D_3(C_3)$ mata a todos los vectores: $D_3(C_3) = 0$ .

17. Escríbase $X^n = Q\,D_3 + R_n$ con $\deg R_n \leq 2$ y evalúese en cada raíz: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$ . Así, $R_n$ es un polinomio de grado $\leq 2$ que interpola los tres valores $\lambda_i^n$ en los tres nodos distintos $\lambda_i$ : por la unicidad del Teorema 8.23, $R_n = \sum_i \lambda_i^n L_i$ , con $(L_i)$ la base de Lagrange de los nodos. Sustituyendo $C_3$ (preguntas 5 y 16):

C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),

con las tres matrices $L_i(C_3)$ independientes de $n$ : toda entrada de $C_3^{\,n}$ es una combinación fija de $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .

18. $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$ . Solución general $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$ . Condiciones iniciales: $A + B + C = 0$ , $A - B + 2C = 1$ , $A + B + 4C = 1$ . Restando la primera de la tercera: $3C = 1$ , $C = \frac13$ ; entonces $A + B = -\frac13$ y $A - B = \frac13$ : $A = 0$ , $B = -\frac13$ . Por tanto,

u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}

(los números de Jacobsthal). Comprobación: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 = 2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$ .

19. Desarrollo de Taylor del polinomio $X^n$ en $\lambda$ :

X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,

y todos los términos con $k \geq 3$ son divisibles por $(X - \lambda)^3$ : el resto es

R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .

Para $M = \lambda I + N$ con $N^3 = 0$ : $(M - \lambda I)^3 = N^3 = 0$ , así que la pregunta 5 da

M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2 \lambda^{n-2} N^2 ,

que es exactamente el desarrollo binomial de $(\lambda I + N)^n$ truncado en $N^2$ — los dos métodos coinciden.

20. El espacio de soluciones tiene dimensión $3$ (la misma parametrización por $(u_0, u_1, u_2)$ que en la pregunta 11), y cada $(\lambda_i^n)$ es solución. Libertad: supóngase $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ para $n = 0, 1, 2$ . Fíjese $i$ y sea $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ el polinomio de Lagrange de los nodos con $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ . Entonces

0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr) = \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .

Así, todos los $c_i = 0$ : tres soluciones libres en dimensión $3$ , una base; y la solución general es $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ .

21. De $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ , la suma telescopa:

\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

22. Tómese la entrada $(1,2)$ de $F^{m+n} = F^m F^n$ : el miembro izquierdo es $F_{m+n}$ ; y el derecho es (la fila $1$ de $F^m$ ) por (la columna $2$ de $F^n$ ), es decir, $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$ . Con $m = n$ :

F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).

23. Por Binet, $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} = -\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$ , y $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 < 1$ , luego

\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr| \leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12 \qquad (n \geq 0):

$F_n$ es el entero más próximo a $\varphi^n/\sqrt5$ .

24. $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ es una combinación de sucesiones de Fibonacci desplazadas, luego cumple la misma recurrencia: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ ; y $t_1 = F_2 + F_0 = 1$ , $t_2 = F_3 + F_1 = 3$ : son los números de Lucas $L_n$ . La sucesión $\varphi^n + \psi^n$ es una solución con los mismos dos primeros valores ( $\varphi + \psi = 1$ , $\varphi^2 + \psi^2 = ( \varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$ ), luego $L_n = \varphi^n + \psi^n$ . Por último,

F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n + \psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} = F_{2n},

lo que recupera la pregunta 22.

25. (i) Las cinco matrices $I, A, A^2, A^3, A^4$ viven en el espacio de dimensión $4$ , $\mathcal{M}_2(K)$ , así que algún polinomio no nulo de grado $\leq 4$ mata a $A$ ; la parte II afinó esto hasta la cuadrática explícita $A^2 = sA - pI$ , que encierra todas las potencias en el plano $\operatorname{Vect}(I, A)$ . (ii) La división euclídea reduce $X^n$ módulo esa cuadrática, y los dos coeficientes del resto obedecen la recurrencia de dos términos $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ : la exponenciación se ha convertido en iteración. (iii) La pregunta 6 es el caso $n = 2$ del teorema de Cayley–Hamilton, válido en toda dimensión y demostrado en el volumen del segundo año. (iv) La matriz compañera cierra el círculo: toda recurrencia lineal es una potencia de matriz, con el mismo polinomio $D$ apareciendo como datos de traza y determinante, de modo que el cálculo con restos resuelve recurrencias y calcula potencias de un solo golpe.

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