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Matemáticas · 术语表

什么是 clausura？

又称： conjunto denso

Definición 6.3 Matemáticas universitarias — Grado 3 · 第 6 章 — Topología general

Para $A \subseteq X$ : el interior $\mathring A$ es el mayor abierto contenido en $A$ (la unión de todos ellos); la clausura $\bar A$ , el menor cerrado que contiene $A$ ; la frontera $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . $A$ es denso si $\bar A = X$ . Se tiene $x \in \bar A$ si y solo si todo entorno de $x$ corta a $A$ (si algún entorno no corta a $A$ , el complementario de su núcleo abierto es un cerrado más pequeño alrededor de $A$ ; y recíprocamente).

示例

Ejemplo 6.22 (La curva seno del topólogo)

Sean $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ y $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo punto $(0, y)$ con $\abs y \leq 1$ es límite de puntos de $\Gamma$ : resuélvase $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$ ). Entonces $S$ es conexo — clausura del conexo $\Gamma$ , imagen continua de $(0, 1]$ (el Teorema 6.20(3)) — pero no es conexo por caminos: un camino de $(1, \sin 1)$ a $(0,0)$ tendría que recorrer abscisas $\to 0$ mientras la ordenada oscila entre $\pm1$ ; el Ejercicio 6.9 lo hace riguroso. La conexión y la conexión por caminos son genuinamente distintas.

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