Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

14Series de Fourier

¿Puede reconstruirse toda señal periódica a partir de senos y cosenos puros? El audaz “sí” de Fourier creó un siglo de análisis. Este capítulo demuestra los dos pilares al alcance de este nivel: el teorema de Dirichlet (reconstrucción puntual para funciones $C^1$ a trozos, mediante el núcleo de Dirichlet) y la identidad de Parseval (la energía de una señal es la suma de las energías de sus armónicos), y cosecha las series numéricas clásicas, con la de Basilea $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ a la cabeza.

En todo el capítulo, las funciones son $2\pi$ -periódicas, continuas a trozos y con valores complejos; $\mathcal{C}$ denota las continuas.

14.1 Coeficientes de Fourier

Definición 14.1

Los coeficientes de Fourier de $f$ son

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

y los coeficientes en forma real son $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , de modo que las sumas parciales de Fourier son

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Sobre $\mathcal{C}$ definimos el producto escalar hermítico $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : las exponenciales $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ son ortonormales ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , por cálculo directo) y $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : el análisis de Fourier es geometría hermítica (Capítulo 13) en dimensión infinita.

Proposición 14.2 (Desigualdad de Bessel)

$S_N(f)$ es la proyección ortogonal de $f$ sobre el espacio $\mathcal{T}_N$ de los polinomios trigonométricos de grado $\leq N$ , y

\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :

la serie $\sum \abs{c_n}^2$ converge y $c_n(f) \to 0$ cuando $\abs n \to \infty$ (Riemann–Lebesgue para coeficientes).

Demostración. $f - S_N(f)$ es ortogonal a cada $e_k$ con $\abs k \leq N$ ( $\langle e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$ ): $S_Nf$ es la proyección ortogonal sobre $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)$ (el teorema de la proyección del volumen del primer año, palabra por palabra en el marco hermítico). Pitágoras: $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$ ; hágase $N \to \infty$ . ∎

Ejemplo 14.3 (La mejor aproximación, medida)

¿Con qué precisión aproximan los polinomios trigonométricos de grado bajo a la señal en diente de sierra $f(t) = t$ (sobre $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) en media cuadrática? Por la Proposición 14.2, la mejor aproximación de grado $N$ es $S_N(f)$ , con error cuadrático

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Aquí $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , y de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Ejemplo 14.12) resulta $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Por tanto,

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numéricamente } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

para $N = 1, 2, 3, 4$ : decreciente, pero despacio; la cola $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ la gobierna el lento decaimiento $\frac1n$ de los coeficientes, que a su vez es la firma del salto (el Ejercicio 14.6 leído al revés). Moraleja: Parseval convierte la calidad de la aproximación en la cola de una serie numérica, y predice, antes de dibujar nada, que los saltos hacen que las series de Fourier converjan de mala gana.

Método 14.4 (Calcular coeficientes de Fourier con eficacia)

Antes de integrar nada:

Paridad: si $f$ es par, $b_n = 0$ ; si es impar, $a_n = 0$ , y las integrales supervivientes se reducen a $\frac2\pi \int_0^\pi$ : la mitad de trabajo y el doble de fiabilidad.
Los polinomios trigonométricos ya están hechos: linealícense los productos ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) y léanse los coeficientes (Ejercicio 14.9); la ortonormalidad hace redundante cualquier integración posterior.
Exponenciales complejas para las exponenciales: ante factores $\eu^{at}$ u oscilaciones amortiguadas, calcúlese $c_n$ directamente; una integral de $\eu^{(a - \iu n)t}$ gana a dos integraciones por partes (Ejercicio 14.10).
Derívese un desarrollo conocido: si se conocen los coeficientes de $f'$ y $f$ es continua, $c_n(f) = \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) recupera todos salvo $c_0$ , que es la media; a menudo es la vía más rápida, y es legítima exactamente bajo las hipótesis del Teorema 14.10 (1).

14.2 El teorema de Dirichlet

Lema 14.5 (Núcleo de Dirichlet)

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd u$ , donde

D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu} = \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} \quad (u \notin 2\pi\Z), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .

Demostración. Insértese la definición de $c_n$ en $S_N$ e intercámbiense suma e integral (es legítimo: la suma es finita):

S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;

sustitúyase $u = t - x$ y deslícese el segmento de integración de vuelta a $\intcc{-\pi}{\pi}$ mediante la $2\pi$ -periodicidad del integrando; el rango simétrico de índices hace que $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$ . La forma cerrada: suma geométrica de razón $\eu^{\iu u}$ ,

D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} - 1} = \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}} {\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,

que es el cociente de senos. Su media vale $1$ : solo contribuye $n = 0$ . ∎

Teorema 14.6 (Lema de Riemann–Lebesgue)

Para $g$ continua a trozos sobre un segmento, $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ cuando $\lambda \to +\infty$ .

Demostración. Aproxímese $g$ uniformemente por funciones escalonadas (no hace falta el Teorema 10.16: basta la aproximación elemental de las funciones continuas a trozos por funciones escalonadas) e intégrese cada escalón explícitamente: cada trozo aporta $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$ , y el error de aproximación aporta $\varepsilon(b - a)$ . Este argumento se desarrolló por completo como último ejercicio del capítulo de integración del volumen del primer año; para trozos $C^1$ puede integrarse en su lugar por partes y acotarse por $\frac C\lambda$ . ∎

Ejemplo 14.7 (¿Con qué rapidez mueren los coeficientes?)

Riemann–Lebesgue dice que los coeficientes tienden a $0$ ; su ritmo es un medidor de regularidad. Tres especímenes de este capítulo y de sus ejercicios:

\text{onda cuadrada: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{impar}), \qquad \abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{impar}), \qquad \abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .

Un salto en $f$ (onda cuadrada, diente de sierra) deja coeficientes de orden $\frac1n$ : no hay convergencia normal, y sí sobreoscilación de Gibbs en los saltos. La continuidad con un pico —un salto solo en $f'$ — mejora el orden a $\frac{1}{n^2}$ : convergencia normal y reconstrucción uniforme. En general, $k$ derivadas compran $c_n = O(n^{-k})$ (Ejercicio 14.6) y, recíprocamente, un espectro que decae más deprisa que toda potencia fuerza a $f$ a ser $C^\infty$ (derívese término a término, ahora legítimamente). Moraleja: la regularidad de la señal y el decaimiento del espectro son la misma información; un ingeniero lee una en la pendiente del otro sin llegar a dibujar la función.

Teorema 14.8 (Dirichlet)

Sea $f$ $2\pi$ -periódica y $C^1$ a trozos. Entonces, para todo $x$ ,

S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

(la media de los límites laterales); en particular, $S_N(f)(x) \to f(x)$ en todo punto de continuidad.

Demostración. Por el lema del núcleo y su media unidad, partiendo la integral en las mitades $u > 0$ y $u < 0$ (cada una de media $\frac12$ ):

\begin{align*} S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\ &\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u . \end{align*}

Tratemos la primera (la segunda es simétrica). Escribamos

\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u) = \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\, \sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .

La función $g$ es continua a trozos sobre $\intoc{0}{\pi}$ y tiene límite finito en $0^+$ : escribiendo

g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,

el primer factor tiende a $f'(x^+)$ (derivabilidad lateral, consecuencia de ser $C^1$ a trozos) y el segundo a $2$ (el límite estándar $\frac{\sin v}{v} \to 1$ con $v = \frac u2$ ): existe $g(0^+) = 2f'(x^+)$ . Así pues, $g$ se extiende de manera continua a trozos a $\intcc{0}{\pi}$ , y Riemann–Lebesgue (Teorema 14.6) manda la integral a $0$ . En esto consiste precisamente la hipótesis: sin derivadas laterales, el factor $\frac{1}{\sin(u/2)}$ estalla en $0$ más deprisa de lo que Riemann–Lebesgue puede compensar, y la convergencia puntual puede fallar de verdad para $f$ meramente continua; la laguna que el teorema de Fejér (problema de fin de semana) cierra promediando. ∎

Ejemplo 14.9 (Dirichlet en un salto)

Para el diente de sierra $f(t) = t$ sobre $\intoo{-\pi}{\pi}$ (Ejemplo 14.12 más abajo), la extensión periódica salta en $t = \pi$ de $f(\pi^-) = \pi$ a $f(\pi^+) = -\pi$ . Dirichlet promete allí el valor $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ , y, en efecto, todos los términos de $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ se anulan en $t = \pi$ : la serie converge educadamente al punto medio, ignorando ambos valores laterales. Si en cambio se evalúa en $t = \frac\pi2$ (un punto de continuidad), esa misma serie se convierte en el $\frac\pi4$ de Leibniz. Una serie, dos comportamientos: exactamente las dos cláusulas del teorema.

Teorema 14.10 (Convergencia normal para $C^1$ ; Parseval)

Si $f$ es continua, $2\pi$ -periódica y $C^1$ a trozos, entonces $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , la serie de Fourier de $f$ converge normalmente sobre $\R$ y su suma es $f$ .
(Parseval) Para toda $f$ $2\pi$ -periódica continua a trozos:

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2 = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$

(Se demuestra aquí para $f$ continua y $C^1$ a trozos; se admite en general.)

Demostración. (1) Integración por partes en cada trozo $C^1$ (los términos de frontera se cancelan por continuidad y periodicidad): $c_n(f') = \iu n c_n(f)$ . Entonces, por Cauchy–Schwarz sobre las dos familias sumables al cuadrado (Proposición 14.2 aplicada a $f'$ ):

\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0} \frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :

convergencia normal de la serie de Fourier. Su suma es continua y coincide con $f$ en todo punto por Dirichlet (Teorema 14.8: $f$ es continua): la serie converge a $f$ uniformemente.

(2) Para tal $f$ : $S_N f \to f$ uniformemente, luego $\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$ , y Pitágoras ( $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ ) pasa al límite. La forma real es contabilidad con $a_n$ y $b_n$ . ∎

Ejemplo 14.11 (La cota de la cola en el caso $C^1$ , cuantificada)

La demostración del Teorema 14.10 (1) esconde una estimación utilizable. Para $f$ continua y $C^1$ a trozos, el mismo Cauchy–Schwarz aplicado solo a la cola da

\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)} = \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2} \Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,

usando Bessel para $f'$ y $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$ . Así pues, el error uniforme de las sumas parciales obedece

\norm{f - S_Nf}_\infty \leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .

Para $f(t) = \abs t$ : $\norm{f'}_2 = 1$ (la derivada vale $\pm1$ ), de modo que diez términos ya reconstruyen $\abs t$ uniformemente con error $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ , y $N = 10^4$ con error $0.015$ . Moraleja: una derivada compra el ritmo uniforme $\frac{1}{\sqrt N}$ ; comparado con el mundo de coeficientes $\frac1n$ de la onda cuadrada (sin convergencia uniforme en absoluto), el diccionario del Ejemplo 14.7 adquiere números.

Ejemplo 14.12 (Basilea y compañía)

Sea $f(t) = t$ sobre $\intoo{-\pi}{\pi}$ , extendida $2\pi$ -periódicamente (un diente de sierra, $C^1$ a trozos). Calculando, $a_n = 0$ (por imparidad) y

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .

Dirichlet en $t = \frac\pi2$ recupera el $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$ de Leibniz; y Parseval da

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

la suma de Basilea de Euler, en dos líneas. La función $f(t) = t^2$ da análogamente $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ (Ejercicio 14.3).

Ejemplo 14.13 (Un desarrollo completo con comprobación incorporada: $\abs{\sin t}$ )

La función $f(t) = \abs{\sin t}$ es continua, par, $\pi$ -periódica (luego $2\pi$ -periódica) y $C^1$ a trozos. La paridad mata los $b_n$ ; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$ ; y para $n \geq 1$ , la fórmula de producto a suma da

a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t + \sin(1-n)t\bigr)\dd t = \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}

para $n \neq 1$ (y $a_1 = 0$ directamente): cero para $n$ impar, y $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$ . Por el Teorema 14.10 (1), la convergencia es normal, y

\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1} \qquad (t \in \R) .

Comprobación incorporada en $t = 0$ : la identidad exige $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$ , lo que confirma un telescopaje:

\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark

Moraleja: el espectro de $\abs{\sin}$ vive solo en las frecuencias pares; rectificar un seno duplica su contenido frecuencial, y por eso los rectificadores de onda completa zumban a $100$ o $120$ hercios, el doble de la frecuencia de la red.

Ejemplo 14.14 (Parseval como máquina de calcular)

Parseval convierte desarrollos en series numéricas al por mayor. Apliquémoslo a $f(t) = \abs t$ (Ejercicio 14.2: $a_0 = \pi$ , $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ para $n$ impar, y los demás nulos):

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ impar}} a_n^2 = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ impar}}\frac{1}{n^4} ,

de donde

\sum_{n\text{ impar}}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .

Contraste con el Ejercicio 14.3: partir $\sum\frac1{n^4}$ en sus partes impar y par da la contabilidad al estilo $\zeta$ $S = S_{\mathrm{impar}} + \frac{S}{16}$ , luego $S = \frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ , exactamente el valor hallado allí con otra función. Dos desarrollos, un número: la coherencia es la isometría de Parseval en acción. Moraleja: cada nuevo desarrollo de Fourier es una máquina de generar identidades entre series; la parte II del problema de fin de semana explica por qué la máquina nunca puede contradecirse.

La onda cuadrada (gris) y las sumas parciales de Fourier S_1 (azul) y S_9 (roja): convergencia en todo punto de continuidad, pero con una sobreoscilación persistente de 9\,\% cerca de los saltos, el fenómeno de Gibbs. La convergencia uniforme falla justamente porque el límite es discontinuo. — La onda cuadrada (gris) y las sumas parciales de Fourier $S_1$ (azul) y $S_9$ (roja): convergencia en todo punto de continuidad, pero con una sobreoscilación persistente de $\sim 9\,\%$ cerca de los saltos, el *fenómeno de Gibbs*. La convergencia uniforme falla justamente porque el límite es discontinuo.

Ejemplo 14.15 (Traslación y modulación)

Dos reglas de una línea generan muchos desarrollos a partir de uno. Para $a \in \R$ , sustituyendo $s = t - a$ :

c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t = \eu^{-\iu na}\,c_n(f) \qquad\text{(trasladar modula el espectro)},

y, directamente de la definición,

c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f) \qquad\text{(modular traslada el espectro)}.

Ejemplo resuelto: el diente de sierra desplazado en $\pi$ , $g(t) = f(t - \pi)$ con $f(t) = t$ , tiene coeficientes $b_n$ iguales a $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$ : el desarrollo $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ del diente de sierra que salta en $0$ en vez de en $\pi$ , sin recalcular ninguna integral. Moraleja: los desplazamientos temporales solo giran fases, nunca amplitudes ( $\abs{c_n}$ es invariante por traslación), y por eso la energía (Parseval) y la clase de convergencia son propiedades de la forma de la señal, no de dónde empieza el reloj.

Observación 14.16 (Errores frecuentes)

(i) Tres convergencias, tres monedas: la puntual (Dirichlet: exige $C^1$ a trozos y paga el punto medio en cada salto, nunca el valor lateral), la uniforme (exige un límite continuo; imposible a través de un salto, y Gibbs es el síntoma visible) y la de la media cuadrática (Parseval: la más robusta, ciega a los puntos aislados). Dígase siempre cuál se está afirmando. (ii) Nada de derivar término a término por defecto: derivar término a término la serie del diente de sierra del Ejemplo 14.12 produce $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$ , cuyos términos ni siquiera tienden a $0$ ; los teoremas de transferencia del capítulo de sucesiones de funciones exigen la convergencia uniforme de la serie derivada, que el salto destruye. Primero la regularidad, después la derivación (el Ejercicio 14.6 es el diccionario). (iii) Sumas parciales simétricas: el teorema de Dirichlet se refiere a $S_N = \sum_{-N}^{N}$ ; reordenar o sumar primero un lado puede convertir la divergencia en convergencia y viceversa. (iv) Deriva de normalización: los convenios difieren de un libro a otro ( $\frac{1}{2\pi}$ o $\frac1\pi$ delante, periodo $2\pi$ o $1$ ); los invariantes fiables son las relaciones de ortonormalidad: recalcúlese $\langle e_m, e_n\rangle$ en el convenio en uso antes de fiarse de ninguna fórmula.

Observación 14.17 (Dónde se usa)

Parseval es el germen de la teoría $L^2$ de las series de Fourier: el volumen del tercer año completa el cuadro (las exponenciales son una base de Hilbert de $L^2$ , y la aplicación $f \mapsto (c_n)$ es una isometría biyectiva). Dentro de este volumen, el problema de fin de semana demuestra el teorema de Fejér —las medias de Cesàro de la serie de Fourier convergen uniformemente para toda $f$ periódica continua—, que asciende a teorema el Parseval general admitido, da el teorema de Weierstrass trigonométrico y rinde dos dividendos espectaculares: el teorema de equidistribución de Weyl y la desigualdad isoperimétrica. La matemática aplicada lee este capítulo a diario: espectros de señales, armónicos de sistemas vibrantes y la transformada rápida de Fourier (cuyo avatar finito fue el Ejercicio 13.10).

Observación 14.18 (Perspectivas dentro de este volumen)

Tres capítulos conversan con este. Hacia atrás: el capítulo hermítico suministró la geometría (familias ortonormales, proyecciones, Bessel) y el de sucesiones de funciones, el análisis (convergencia uniforme, teoremas de transferencia, identidades aproximadas: el núcleo de Fejér es a las series de Fourier lo que los polinomios de Bernstein fueron a Weierstrass). De lado: la teoría de la frontera del capítulo de series de potencias vuelve mediante la sumación de Abel, realizada aquí por el núcleo de Poisson (Ejercicio 14.12), donde el radio $r$ del disco hace de parámetro de sumación. Hacia delante: el capítulo de ecuaciones diferenciales descompone en armónicos las excitaciones periódicas y alimenta con cada uno la respuesta en frecuencia del oscilador; hay resonancia cuando un modo de Fourier de la entrada coincide con una frecuencia propia, razón por la cual su problema de fin de semana y el de este capítulo son dos mitades de una misma historia.

El núcleo de Dirichlet D_8 (azul) oscila y toma valores negativos; el núcleo de Fejér F_8 (rojo) es no negativo, se concentra en 0 y tiene media 1: una identidad aproximada. La positividad es exactamente lo que le falta al núcleo de Dirichlet, y lo que hace incondicional el teorema de Fejér del problema de fin de semana. — El núcleo de Dirichlet $D_8$ (azul) oscila y toma valores negativos; el núcleo de Fejér $F_8$ (rojo) es no negativo, se concentra en $0$ y tiene media $1$ : una *identidad aproximada*. La positividad es exactamente lo que le falta al núcleo de Dirichlet, y lo que hace incondicional el teorema de Fejér del problema de fin de semana.

14.3 Ejercicios

Ejercicio 14.1 ★

Calcula los coeficientes de Fourier de la onda cuadrada ( $f = -1$ sobre $\intoo{-\pi}{0}$ y $+1$ sobre $\intoo{0}{\pi}$ ), enuncia la conclusión de Dirichlet en $t = \frac\pi2$ y en el salto $t = 0$ , y recupera la serie de Leibniz.

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

La imparidad mata los $a_n$ . Para $n \geq 1$ :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ impar},\\ 0 & n \text{ par}. \end{cases}

Por tanto, $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t\bigr)}{2k+1}$ . Dirichlet en $t = \frac\pi2$ (un punto de continuidad, de valor $1$ ): $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$ , lo que da

1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} \quad\text{(Leibniz)}.

En el salto $t = 0$ , la serie suma $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$ , como prescribe Dirichlet (todos los términos se anulan: coherente).

Ejercicio 14.2 ★

Desarrolla en serie de Fourier $f(t) = \abs t$ ( $\abs t \leq \pi$ , $2\pi$ -periódica); justifica la convergencia normal; evalúa en $t = 0$ para obtener $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ y vuelve a deducir de ahí la suma de Basilea.

Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

La paridad mata los $b_n$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs t\,\dd t = \pi$ , y para $n \geq 1$ :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ impar},\\ 0 & n \text{ par}, \end{cases}

(una integración por partes). De ahí,

\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,

con convergencia normal ( $\sum (2k+1)^{-2} < \infty$ ), como predice el Teorema 14.10 (1) para esta función continua y $C^1$ a trozos. En $t = 0$ :

0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

Partiendo $\sum \frac{1}{n^2}$ en sus partes impar y par: $S = \frac{\pi^2}{8} + \frac S4$ , luego $S = \frac{\pi^2}{6}$ : Basilea de nuevo.

Ejercicio 14.3 ★

Desarrolla $f(t) = t^2$ ( $\abs t \leq \pi$ ) y deduce

\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad\text{(Parseval)}.

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

Paridad: $b_n = 0$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 = \frac{2\pi^2}{3}$ ; dos integraciones por partes dan $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ ( $n \geq 1$ ). De ahí,

t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt \qquad (\abs t \leq \pi),

normalmente convergente. En $t = 0$ : $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ , es decir, $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ . Parseval:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2 = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,

luego $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$ .

Ejercicio 14.4 ★★

Sea $f$ continua $2\pi$ -periódica con $c_n(f) = 0$ para todo $n$ . Demuestra que $f = 0$ (Parseval; ¿para qué clase se demuestra aquí? justifica que la continuidad y el ser $C^1$ a trozos pueden suprimirse admitiendo el Parseval general, o esboza el argumento de densidad).

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

Si además $f$ es $C^1$ a trozos: Parseval (ya demostrado) da $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$ , y la positividad estricta de la integral de la función continua $\abs f^2$ fuerza $f = 0$ .

Para $f$ meramente continua, admítase el Parseval general: la misma demostración de una línea. (Esbozo de la vía por densidad: la aproximación trigonométrica de tipo Fejér–Weierstrass muestra que los polinomios trigonométricos son densos en $\norm\cdot_2$ entre las funciones periódicas continuas; como $f \perp$ a todos ellos, $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ para los aproximantes $P$ , lo que fuerza $\norm f_2 = 0$ .)

Ejercicio 14.5 ★★

Para $\alpha \notin \Z$ , desarrolla $f(t) = \cos(\alpha t)$ ( $\abs t \leq \pi$ ) y deduce el desarrollo en fracciones simples de la cotangente:

\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

Paridad: $b_n = 0$ ;

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}

(fórmula de producto a suma y después integrar; $a_0 = \frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$ ). Dirichlet en $t = \pi$ (un punto de continuidad de la extensión periódica, cuyos valores laterales coinciden por paridad):

\cos(\pi\alpha) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 - n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),

usando $(-1)^n\cos n\pi = 1$ . Dividiendo entre $\sin(\pi\alpha)/\pi$ se obtiene el desarrollo de la cotangente.

Ejercicio 14.6 ★★

Demuestra que si $f$ es $2\pi$ -periódica y de clase $C^k$ con $f^{(k)}$ continua a trozos, entonces $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$ : regularidad de la señal $=$ decaimiento de su espectro.

Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

Iterando $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ ( $k$ veces, con integración por partes a través de los trozos $C^{k}$ y valores de frontera que casan): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$ . Los coeficientes de la función continua a trozos $f^{(k)}$ están acotados (de hecho, $\to 0$ , por Bessel):

\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k} = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .

Ejercicio 14.7 ★★★

(Desigualdad de Wirtinger) Sea $f$ de clase $C^1$ , $2\pi$ -periódica y con $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$ . Demuestra que

\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,

con igualdad si y solo si $f(t) = a\cos t + b\sin t$ . (Parseval en ambos miembros; compara $\abs{c_n}^2$ con $n^2\abs{c_n}^2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

Parseval para $f$ y para $f'$ (ambos legítimos: $f$ es $C^1$ y $f'$ es continua a trozos, de hecho continua):

\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2 \quad (c_0 = 0 \text{ por la hipótesis de media nula}), \qquad \frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .

Término a término, $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ para $\abs n \geq 1$ : se sigue la desigualdad. La igualdad fuerza $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ para todo $n$ , es decir, $c_n = 0$ para $\abs n \geq 2$ : $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (forma real); y recíprocamente, tales $f$ dan la igualdad.

Ejercicio 14.8 ★★★

(La constante de Gibbs) Para la onda cuadrada del Ejercicio 14.1, evalúa la suma parcial en $x_N = \frac{\pi}{2N}$ : escribiendo $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ y $\Delta u = \frac{\pi}{N}$ , prueba que

S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :

una suma de Riemann de $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ sobre $\intcc{0}{\pi}$ en los puntos medios. Concluye que la sobreoscilación por encima del valor de salto $1$ no se desvanece cuando $N \to \infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

Por el Ejercicio 14.1, $S_{2N-1}(x) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ . En $x_N = \frac{\pi}{2N}$ , con $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ :

S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{\pi}{N},

puesto que $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$ . Los puntos $u_k$ son los puntos medios de los $N$ subintervalos de $\intcc{0}{\pi}$ de longitud $\frac{\pi}{N}$ : la suma es una suma de Riemann por el punto medio de la función continua $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$ , luego converge a

\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .

Las sumas parciales cerca del salto sobrepasan el valor $1$ en un $\approx 18\,\%$ de la semialtura del salto para siempre: el fenómeno de Gibbs, cuantificado.

Ejercicio 14.9 ★

Desarrolla $\cos^3 t$ y $\sin^2 t\,\cos t$ en serie de Fourier (linealiza; un polinomio trigonométrico es su propia serie de Fourier, por la unicidad de los coeficientes). ¿Cuánto valen $c_n$ , $a_n$ y $b_n$ en cada caso?

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

De $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$ :

\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}, \qquad \sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t = \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .

Cada uno es un polinomio trigonométrico, luego igual a su propia serie de Fourier (por unicidad de los coeficientes: dos desarrollos diferirían en un polinomio trigonométrico de coeficientes todos nulos). Para $\cos^3t$ : $a_1 = \frac34$ , $a_3 = \frac14$ , todos los demás $a_n$ y todos los $b_n$ nulos; $c_{\pm1} = \frac38$ , $c_{\pm3} = \frac18$ . Para $\sin^2t\cos t$ : $a_1 = \frac14$ , $a_3 = -\frac14$ ; $c_{\pm1} = \frac18$ , $c_{\pm3} = -\frac18$ .

Ejercicio 14.10 ★★

Sean $a > 0$ y $f(t) = \eu^{at}$ sobre $\intoc{-\pi}{\pi}$ , extendida $2\pi$ -periódicamente. Calcula

c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

aplica el teorema de Dirichlet en el salto $t = \pi$ y deduce el desarrollo en fracciones simples de la cotangente hiperbólica:

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1} \frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

Cálculo directo:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t = \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}} {2\pi(a - \iu n)} = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

usando $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$ . En $t = \pi$ , la extensión periódica salta de $\eu^{a\pi}$ a $\eu^{-a\pi}$ ; Dirichlet (con sumas parciales simétricas) da

\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\, = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} + \frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,

pues las partes imaginarias de los términos apareados se cancelan. Dividiendo entre $\sinh(a\pi)$ :

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,

la gemela hiperbólica del Ejercicio 14.5.

Ejercicio 14.11 ★★

(Convolución) Para $f, g$ continuas y $2\pi$ -periódicas definimos

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\, \dd t .

Prueba que $f * g = g * f$ , que $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ (para intercambiar las dos integrales de un integrando continuo, compara las dos funciones del límite superior: ambas se anulan en el extremo izquierdo y tienen la misma derivada, por continuidad y derivación bajo el signo integral), y que $S_N(f) = f * D_N$ para el núcleo de Dirichlet. (Las medias de Fejér del problema de fin de semana son también convoluciones, $\sigma_N(f) = f * F_N$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

Conmutatividad: sustitúyase $s = x - t$ y úsese la periodicidad del integrando. Para $c_n(f * g)$ , el integrando $(x, t) \mapsto f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ es continuo; las dos integrales iteradas coinciden (ambas, como funciones del límite superior de la variable exterior, se anulan en el extremo izquierdo y tienen la misma derivada: la continuidad más el Teorema 9.10 justifican derivar la integral iterada). Por tanto,

c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt} \Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t = c_n(f)\,c_n(g),

pues la integral interior vale $c_n(f)$ para todo $t$ (sustitución y periodicidad). Por último, el Lema 14.5 dice que $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$ ; la sustitución $u \mapsto -t$ y la paridad de $D_N$ convierten esto en $(f * D_N)(x)$ .

Ejercicio 14.12 ★★★

(Núcleo de Poisson: medias de Abel de las series de Fourier) Para $0 \leq r < 1$ , pongamos $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$ .

Suma las dos series geométricas y prueba que

$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$
Prueba que para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ cuando $r \to 1^-$ , uniformemente.
Deduce que, para toda $f$ continua $2\pi$ -periódica, las medias de Abel $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ convergen a $f$ uniformemente cuando $r \to 1^-$ : la hermana de parámetro continuo del teorema de Fejér, y la encarnación en Fourier de la sumación de Abel del capítulo de series de potencias.

Solución

Solución de Ejercicio 14.12.

Con $w = r\eu^{\iu t}$ :

$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w} = \Re\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$

Media $1$ : la integración término a término de la serie normalmente convergente solo conserva $n = 0$ .
Para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $\cos t \leq \cos\delta$ , luego $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2}$ , cuyo denominador tiende a $2 - 2\cos\delta > 0$ mientras el numerador tiende a $0$ : convergencia uniforme a $0$ fuera de todo entorno de $0$ .
La integración término a término (convergencia normal en $t$ ) da $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$ . El argumento de identidad aproximada: con media $1$ y positividad,

$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$

pártase en $\abs t = \delta$ : a lo sumo $\varepsilon$ (Heine) más $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$ : convergencia uniforme cuando $r \to 1^-$ . Esta es la sumación de Abel de la serie de Fourier: la gemela en Fourier de la teoría de la frontera del capítulo de series de potencias.

14.4 Problema: el teorema de Fejér y sus dividendos

Problema 14.1

El teorema de Dirichlet necesita que $f$ sea $C^1$ a trozos; para $f$ meramente continua, las sumas parciales $S_N(f)$ pueden portarse mal. El descubrimiento de Fejér: sus medias de Cesàro nunca lo hacen. El motor es la positividad del núcleo de Fejér, y la cosecha es inmensa: aproximación trigonométrica uniforme (Weierstrass), unicidad de los coeficientes de Fourier, Parseval para toda función de este capítulo (lo que elimina el “admitido” del Teorema 14.10), el teorema de equidistribución de Weyl y —coronando un siglo de geometría— la desigualdad isoperimétrica. En todo el problema, $f$ es $2\pi$ -periódica y continua a trozos, y

\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots + S_{N-1}(f)}{N} .

Parte I — El núcleo de Fejér.

Prueba que $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ con $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ , y que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
Demuestra la forma cerrada, para $u \notin 2\pi\Z$ :

$F_N(u) = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)} {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$

(suma $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ como parte imaginaria de una serie geométrica).
Prueba la estimación de concentración: para $0 < \delta \leq \abs u \leq \pi$ ,

$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \quad\text{uniformemente} :$

$(F_N)$ es una identidad aproximada positiva.
(Teorema de Fejér) Demuestra que si $f$ es continua y $2\pi$ -periódica, entonces $\sigma_N(f) \to f$ uniformemente sobre $\R$ (parte la integral de $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ en $\abs u = \delta$ ; usa Heine y las preguntas 1–3).
Para $f$ continua a trozos, prueba la versión puntual $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ en todo $x$ , y la cota uniforme $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ (¡positividad!).

Parte II — Weierstrass, unicidad, Parseval.

(Weierstrass trigonométrico) Deduce que toda función continua $2\pi$ -periódica es límite uniforme de polinomios trigonométricos.
(Unicidad) Deduce que una $f$ continua con $c_n(f) = 0$ para todo $n$ es idénticamente nula: dos funciones periódicas continuas con los mismos coeficientes de Fourier coinciden (Ejercicio 14.4, ahora sin nada admitido).
(Parseval, caso continuo) Usando la propiedad de proyección de $S_N$ (Proposición 14.2) y que $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ , demuestra que

$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$

y concluye la identidad de Parseval para toda $f$ $2\pi$ -periódica continua.
(Parseval, caso continuo a trozos) Dadas $f$ continua a trozos y $\varepsilon > 0$ , construye una $g$ periódica continua con $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ (sustituye $f$ por una interpolación afín en intervalos minúsculos alrededor de los saltos) y deduce que $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ (usa Bessel: $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$ ): Parseval vale en toda la generalidad enunciada en el Teorema 14.10; el “admitido” ha desaparecido.
(Sin Gibbs para Fejér) Contrasta con el Ejercicio 14.8: prueba que, para la onda cuadrada $f$ , $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ en todas partes y para todo $N$ ; promediar al modo de Cesàro borra la sobreoscilación que persigue a $S_N$ . Explica en una frase qué propiedad de $F_N$ es la responsable.

Parte III — Ritmos.

Demuestra las dos cotas del núcleo, para $0 < \abs u \leq \pi$ :

$F_N(u) \leq N, \qquad F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$

(para la primera, $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ por inducción; para la segunda, $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ sobre $\intcc{0}{\pi}$ ).
Deduce la estimación del primer momento

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N} \qquad (N \geq 2)$

para una constante explícita (parte en $\abs u = \frac1N$ ).
Concluye: si $f$ es $L$ -lipschitziana y $2\pi$ -periódica, entonces

$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$
(Saturación) Calcula $\sigma_N(e_1)$ para $e_1(t) = \eu^{\iu t}$ y prueba que $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ : incluso para las funciones más regulares, Fejér no converge más deprisa que $\frac1N$ ; el análogo exacto de la saturación de Bernstein del problema de fin de semana del capítulo de sucesiones de funciones.
(Localización) Prueba que si $f$ (continua a trozos) se anula sobre $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ , entonces $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , por muy salvaje que sea $f$ en el resto: la convergencia de las medias en $x$ solo ve a $f$ cerca de $x$ .

Parte IV — El teorema de equidistribución de Weyl. Una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ de $\intco{0}{1}$ está equidistribuida cuando, para todo intervalo $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$ ,

\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .

Prueba que $(x_n)$ está equidistribuida en cuanto $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ para toda $f$ $1$ -periódica continua (encaja la indicatriz de $\intcc ab$ entre dos funciones continuas afines a trozos cuyas integrales difieran en $\varepsilon$ ).
(Criterio de Weyl, suficiencia) Supongamos que

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \qquad\text{para todo } k \in \Z\setminus\{0\} .$

Prueba que $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ primero para los polinomios trigonométricos y después para toda $f$ $1$ -periódica continua gracias a la pregunta 6 (trasladada al periodo $1$ ): con la pregunta 16, $(x_n)$ está equidistribuida.
Sea $\alpha$ irracional y $x_n = \{n\alpha\}$ (la parte fraccionaria). Acota la suma geométrica

$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}} \qquad (k \neq 0),$

y concluye el teorema de Weyl: $(\{n\alpha\})$ está equidistribuida en $\intco{0}{1}$ .
Deduce que $(\{n\alpha\})$ es densa en $\intcc{0}{1}$ para $\alpha$ irracional, y explica en una frase por qué la equidistribución es estrictamente más fuerte que la densidad.
(Dígitos iniciales) Demuestra que la proporción de enteros $n \leq N$ tales que $2^n$ tiene por primer dígito (decimal) un $1$ tiende a $\log_{10}2 \approx 0.301$ (que el primer dígito sea $1$ significa $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ ; prueba que $\log_{10}2$ es irracional).

Parte V — La desigualdad isoperimétrica. Sea $\Gamma$ una curva cerrada simple de clase $C^1$ , de longitud $L$ , que encierra un área con signo $A$ , parametrizada por longitud de arco reescalada: $z(t) = x(t) + \iu y(t)$ , $2\pi$ -periódica, con $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ constante; el área encerrada es

A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t = \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t

(tomada aquí como definición del área con signo; el capítulo de integrales múltiples demuestra que coincide con la intuitiva, mediante la fórmula de Green).

Desarrolla $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (la serie de una función $C^1$ , normalmente convergente) y demuestra, aplicando Parseval a $z'$ , que

$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$
Demuestra igualmente que $A = \pi\sum_{n\in\Z} n\,\abs{c_n}^2$ (Parseval en su forma polarizada: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$ , aplicada a $f = z$ , $g = z'$ ).
(Hurwitz) Concluye que

$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z} (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$

con igualdad si y solo si $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ , es decir, una circunferencia. La desigualdad isoperimétrica: entre las curvas cerradas de longitud $L$ , solo la circunferencia encierra un área $\frac{L^2}{4\pi}$ .
Comprobaciones de sensatez: verifica la igualdad para la circunferencia de radio $R$ y la desigualdad estricta para el cuadrado de lado $a$ ; explica por qué $n^2 - n \geq 0$ para todo entero $n$ , incluidos los negativos, y dónde se usó que la parametrización tiene velocidad constante.
Síntesis. Una frase para cada punto: (i) la única propiedad de $F_N$ de la que fluyen las partes I–III, y de la que carece $D_N$ ; (ii) cómo se relaciona aquí la sumación de Cesàro con el problema de fin de semana del capítulo de series de potencias (Frobenius); (iii) qué dividendo usó solo Weierstrass (pregunta 6) y cuál necesitó el Parseval completo; (iv) una frase sobre lo que añade el volumen del tercer año (la completitud de $L^2$ : las series de Fourier como base de Hilbert).

Solución

Solución de Problema 14.1.

1. Promediando el Lema 14.5 sobre $n = 0, \dots, N-1$ (linealidad de la integral) se obtiene $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$ ; cada $D_n$ tiene media $1$ , luego $F_N$ tiene media $1$ .

2. Con $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$ :

\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr) = \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u} - 1}\Bigr] = \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2} = \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2} = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .

Dividiendo entre $N\sin\frac u2$ :

F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .

3. Sobre $\delta \leq \abs u \leq \pi$ : $\sin^2\frac u2 \geq \sin^2\frac\delta2$ y $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$ , luego $F_N \leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ uniformemente ahí.

4. Por la media unidad, $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$ . Dado $\varepsilon$ , Heine proporciona un $\delta$ con $\abs{f(x+u) - f(x)} \leq \varepsilon$ para $\abs u \leq \delta$ , uniformemente en $x$ . Entonces, usando $F_N \geq 0$ y su media unidad,

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \varepsilon + 2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi} \int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N \leq \varepsilon + \frac{2\norm f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2} \leq 2\varepsilon

para $N$ grande, uniformemente en $x$ : el teorema de Fejér.

5. $F_N$ es par y de media $1$ : cada mitad $\intcc{0}{\pi}$ e $\intcc{-\pi}{0}$ aporta media $\frac12$ . Entonces

\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;

en cada mitad, pártase en $\abs u = \delta$ , donde el límite lateral está $\varepsilon$ -cerca, y que la pregunta 3 mate la parte lejana: ambas integrales tienden a $0$ . La cota: $F_N \geq 0$ da $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$ .

6. Cada $\sigma_N(f)$ es un polinomio trigonométrico (una media de las $S_n(f)$ , $n < N$ ), y $\sigma_N(f) \to f$ uniformemente: el teorema de Weierstrass trigonométrico.

7. Que $c_n(f) = 0$ para todo $n$ hace que toda $S_n(f) = 0$ , luego toda $\sigma_N(f) = 0$ ; por Fejér, $f = \lim\sigma_Nf = 0$ . Aplicándolo a una diferencia: las funciones periódicas continuas quedan determinadas por sus coeficientes de Fourier.

8. $S_Nf$ es la proyección ortogonal de $f$ sobre $\mathcal T_N$ (Proposición 14.2), de modo que minimiza $\norm{f - P}_2$ sobre $P \in \mathcal T_N$ ; y como $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ :

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0

(la desigualdad central, porque la media de $\abs\cdot^2$ es a lo sumo el supremo al cuadrado). Pitágoras, $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ , pasa entonces al límite: Parseval para toda $f$ periódica continua.

9. Sean $t_1, \dots, t_p$ los saltos de $f$ en un periodo y $M = \norm f_\infty$ . Para $\eta$ pequeño, defínase $g = f$ fuera de los intervalos $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ y como la cuerda afín a través de cada uno de ellos: $g$ es continua, periódica, $\norm g_\infty \leq M$ , y

\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta \leq \varepsilon^2

para $\eta$ pequeño. Bessel hace de $S_N$ una contracción para $\norm\cdot_2$ , así que

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g - f)}_2 \leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,

y la pregunta 8 da $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ para todo $\varepsilon$ : $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ , y Pitágoras rinde Parseval para toda $f$ continua a trozos; el “admitido” del Teorema 14.10 es ya un teorema.

10. La onda cuadrada tiene $\norm f_\infty = 1$ , luego la pregunta 5 da $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ en todas partes y para todo $N$ —nunca hay sobreoscilación—, mientras que el Ejercicio 14.8 muestra que $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx 1.179$ . La propiedad responsable: $F_N \geq 0$ , de modo que $\sigma_Nf(x)$ es una media ponderada de valores de $f$ y nunca puede salir de $\intcc{\min f}{\max f}$ ; $D_N$ toma valores negativos, y por eso $S_N$ sí puede.

11. $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ por inducción ( $\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq (N+1)\abs{\sin\theta}$ ): con $\theta = \frac u2$ ,

F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2} \leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .

La concavidad de $\sin$ sobre $\intcc{0}{\frac\pi2}$ da $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ para $0 \leq u \leq \pi$ , luego $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$ .

12. Por paridad y partiendo en $\frac1N$ :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N = \frac1\pi\int_0^\pi uF_N \leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u + \int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr) = \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .

Para $N \geq 2$ : $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 + \frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ y $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$ , de modo que el momento es $\leq \frac{9\ln N}{N}$ .

13. Para $f$ $L$ -lipschitziana:

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u \leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N \leq \frac{9L\ln N}{N},

uniformemente en $x$ .

14. $c_0(e_1) = 0$ da $S_0(e_1) = 0$ , mientras que $S_n(e_1) = e_1$ para $n \geq 1$ : $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$ , luego $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ . Incluso para esta señal entera y de banda limitada, el ritmo es $\frac1N$ : Fejér se satura, exactamente igual que el operador de Bernstein se satura en $\frac1n$ (Voronovskaya, en el problema de fin de semana del capítulo de sucesiones de funciones).

15. Si $f$ se anula sobre $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$ , entonces $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$ , de valor absoluto a lo sumo $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ : las medias de Cesàro en $x$ solo ven a $f$ cerca de $x$ .

16. Dados $\intcc ab$ y $\varepsilon$ , elíjanse funciones $\varphi^\pm$ continuas, $1$ -periódicas y afines a trozos con $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ y $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (trapecios con rampas sobre intervalos de longitud total $\varepsilon$ ). Entonces

\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n) = \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,

y simétricamente $\liminf \geq b - a - \varepsilon$ : la proporción tiende a $b - a$ .

17. Para $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ con $k \neq 0$ , la hipótesis da el límite $0 = \int_0^1f$ ; para $k = 0$ , ambos miembros valen $1$ ; y la linealidad cubre todo polinomio trigonométrico. Para $f$ continua $1$ -periódica y $\varepsilon > 0$ , la pregunta 6 (trasladada mediante $t = 2\pi x$ ) proporciona un polinomio trigonométrico $P$ con $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$ :

\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr| \leq 2\varepsilon + \Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr| \longrightarrow 2\varepsilon .

Con la pregunta 16: $(x_n)$ está equidistribuida.

18. Para $k \neq 0$ y $\alpha$ irracional, $w = \eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr| = \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,

una cota independiente de $N$ ; dividiendo entre $N$ se obtiene el criterio de Weyl, y la pregunta 17 concluye: $(\{n\alpha\})$ está equidistribuida.

19. Todo subintervalo recibe una proporción asintótica igual a su longitud, en particular infinitos puntos: $(\{n\alpha\})$ es densa. La equidistribución es más fuerte: una sucesión puede ser densa y pasar casi todo su tiempo en un rincón (la densidad dice adónde va la sucesión; la equidistribución, con qué frecuencia).

20. $2^n$ tiene primer dígito $1$ si y solo si $10^m \leq 2^n < 2\cdot10^m$ para algún $m$ , es decir, si y solo si $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ . Irracionalidad: $\log_{10}2 = \frac pq$ daría $2^q = 10^p = 2^p5^p$ , imposible para $p \geq 1$ por la factorización única. El teorema de Weyl (pregunta 18 con $\alpha = \log_{10}2$ ; el intervalo semiabierto se encaja entre cerrados de longitudes próximas) da la proporción $\log_{10}2 \approx 0.301$ : los primeros dígitos de $2^n$ siguen la ley de Benford.

21. $z$ es $C^1$ , así que su serie de Fourier converge normalmente con suma $z$ (Teorema 14.10 (1)), y $c_n(z') = \iu n\,c_n$ . Como $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ es constante,

\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2} = \frac{L^2}{2\pi} ,

y Parseval aplicado a la función continua $z'$ da $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$ , es decir, $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$ .

22. El Parseval polarizado $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ se sigue de aplicar Parseval a $f + g$ y a $f + \iu g$ (identidad de polarización), ambas continuas. Con $f = z$ , $g = z'$ :

A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z' = \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n) = \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .

23. Combinando las preguntas 21–22:

L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 - 4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2 = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,

puesto que $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ para todo entero. La igualdad fuerza $c_n = 0$ para todo $n \notin \{0, 1\}$ : $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ , una circunferencia de centro $c_0$ y radio $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (velocidad constante). La demostración de Hurwitz de la desigualdad isoperimétrica: $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ , y solo la circunferencia.

24. Circunferencia de radio $R$ : $L = 2\pi R$ , $A = \pi R^2$ y $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$ : igualdad. Cuadrado de lado $a$ : $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (pues $16 > 4\pi \approx 12.57$ ). Para $n$ negativo, $n^2 - n = n(n - 1)$ es producto de dos enteros negativos, luego positivo: los modos que giran hacia atrás cuestan área por partida doble. La velocidad constante entró en la pregunta 21, al convertir $\int\abs{z'}^2$ en $\frac{L^2}{2\pi}$ ; con velocidad no constante, Cauchy–Schwarz da $\int\abs{z'}^2 \geq \frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$ , de modo que la desigualdad sobrevive, y la circunferencia sigue siendo el único caso de igualdad.

25. (i) Todo fluye de $F_N \geq 0$ (junto con la media unidad y la concentración); $D_N$ tiene media unidad y concentración de la oscilación, pero no positividad, y Gibbs es el precio. (ii) La sumabilidad Cesàro de la serie de Fourier implica su sumabilidad Abel con la misma suma (Frobenius, demostrado en el problema de fin de semana del capítulo de series de potencias): la vía del núcleo de Poisson del Ejercicio 14.12 es exactamente el método de Abel. (iii) El teorema de Weyl solo necesitó la aproximación uniforme (pregunta 6); la desigualdad isoperimétrica necesitó el propio Parseval (preguntas 8 y 21–22). (iv) El volumen del tercer año demuestra la completitud: las exponenciales forman una base de Hilbert de $L^2$ , Parseval se convierte en una isometría de espacios de Hilbert y el teorema de Fejér pasa a decir que esa isometría es calculable mediante medias positivas.