Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

10Sucesiones y series de funciones

Cuando unas funciones convergen a una función, ¿qué propiedades sobreviven al paso al límite? La convergencia puntual no conserva casi nada; la convergencia uniforme —la convergencia en la norma del supremo— conserva la continuidad, las integrales sobre segmentos y, con un matiz, las derivadas. Este capítulo demuestra los tres teoremas de transferencia y sus versiones para series, y los corona con el teorema de aproximación de Weierstrass, demostrado mediante los preciosos polinomios probabilísticos de Bernstein.

10.1 Convergencia puntual y uniforme

Definición 10.1

Sean $f_n, f \colon X \to \R$ (o $\C$ , o un espacio normado), con $X$ un conjunto cualquiera. $(f_n)$ converge a $f$ puntualmente cuando $f_n(x) \to f(x)$ para todo $x$ , y uniformemente cuando

\norm{f_n - f}_\infty = \sup_{x \in X}\, \abs{f_n(x) - f(x)} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 .

La convergencia uniforme implica la puntual; y sobre $C(\intcc{a}{b})$ , la convergencia uniforme es exactamente la convergencia en el espacio de Banach $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ del Capítulo 5.

Ejemplo 10.2

Sobre $\intcc{0}{1}$ , $f_n(x) = x^n$ converge puntualmente al límite discontinuo $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$ ; la convergencia no es uniforme: $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$ . Sobre $\intcc{0}{a}$ con $a < 1$ sí lo es ( $\sup = a^n \to 0$ ): la uniformidad es una propiedad del dominio tanto como de la sucesión.

La sucesión xn sobre [0, 1]: las gráficas se hunden hacia 0, pero todas han de trepar hasta 1 en x = 1; la distancia del supremo al límite puntual discontinuo nunca baja de una constante. — La sucesión $x^n$ sobre $\intcc{0}{1}$ : las gráficas se hunden hacia $0$ , pero todas han de trepar hasta $1$ en $x = 1$ ; la distancia del supremo al límite puntual discontinuo nunca baja de una constante.

Ejemplo 10.3 (Dos límites que se niegan a conmutar)

Todo el capítulo trata de intercambiar límites, así que he aquí el fallo más pequeño posible. Sea $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ para $n, m \geq 1$ . Entonces

\lim_{m\to\infty}\Bigl(\lim_{n\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{m\to\infty} 1 = 1, \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(\lim_{m\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{n\to\infty} 0 = 0 :

ambos límites iterados existen y son distintos. Todo teorema de transferencia de este capítulo es una licencia para conmutar dos límites — $\lim_n$ con $\lim_{x\to a}$ (continuidad), con $\int$ (integración), con $\frac{\dd}{\dd x}$ (derivación)—, y la convergencia uniforme es precisamente el peaje que legaliza la conmutación. Moraleja: siempre que una “demostración” intercambie en silencio dos operaciones de paso al límite, este cuadro de dos líneas es el contraejemplo que conviene oponerle; las jorobas deslizantes del Ejercicio 10.2 son el mismo fenómeno vestido con un signo integral.

10.2 Los tres teoremas de transferencia

Teorema 10.4 (Continuidad)

Si cada $f_n$ es continua en $a$ y $f_n \to f$ uniformemente en un entorno de $a$ , entonces $f$ es continua en $a$ . Un límite uniforme de funciones continuas es continuo.

Demostración. El argumento de los $3\varepsilon$ ya empleado en el Teorema 4.9: tómese $n$ con $\norm{f_n - f}_\infty \leq \varepsilon$ y después $\delta$ a partir de la continuidad de $f_n$ en $a$ ; para $\abs{x - a} \leq \delta$ ,

\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_n(x)} + \abs{f_n(x) - f_n(a)} + \abs{f_n(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon . \qedhere

∎

Ejemplo 10.5 (La uniformidad falla justo donde se rompe el límite)

Sobre $\intcc{0}{2}$ , sea $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$ . El límite puntual es una función de tres piezas:

f(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1,\\[2pt] \tfrac12 & x = 1,\\[2pt] 1 & 1 < x \leq 2, \end{cases}

discontinua en $1$ , de modo que por el Teorema 10.4 la convergencia no puede ser uniforme sobre $\intcc{0}{2}$ . Sobre las piezas cerradas que evitan el umbral sí lo es: para $0 \leq x \leq a < 1$ ,

\sup_{\intcc{0}{a}}\abs{f_n - 0} = \frac{a^n}{1 + a^n} \leq a^n \to 0 ,

y para $1 < b \leq x \leq 2$ ,

\sup_{\intcc{b}{2}}\abs{f_n - 1} = \frac{1}{1 + b^n} \leq b^{-n} \to 0 ,

ambos supremos calculados por la monotonía de $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ y de $x \mapsto x^n$ . Moraleja: el fallo de la uniformidad está localizado en la discontinuidad del límite —la misma geometría que en el Ejemplo 10.2— y es la razón de que la disciplina de “uniforme sobre cada segmento interior” se repita a lo largo de todo el capítulo.

Teorema 10.6 (Integración sobre un segmento)

Si $f_n \to f$ uniformemente sobre $\intcc{a}{b}$ , con $f_n$ continuas a trozos (y $f$ también), entonces

\int_a^b f_n \longrightarrow \int_a^b f .

Demostración. La linealidad y la desigualdad triangular para integrales dan

\Bigl|\int_a^b f_n - \int_a^b f\Bigr| = \Bigl|\int_a^b (f_n - f)\Bigr| \leq \int_a^b\abs{f_n - f} \leq (b - a)\,\norm{f_n - f}_\infty \longrightarrow 0 .

El factor de longitud $(b - a)$ es donde entra la compacidad del segmento: sobre intervalos no compactos esa misma estimación produce la cota inútil $\infty\cdot0$ , y la conclusión falla de verdad sin dominación —las jorobas planas $f_n = \frac1n\mathbf 1_{\intcc{0}{n}}$ convergen uniformemente a $0$ sobre $\intco{0}{\infty}$ y sin embargo mantienen $\int f_n = 1$ (observación sobre errores frecuentes de más abajo), y las jorobas deslizantes de la observación del Capítulo 9 hacen lo mismo con la convergencia puntual—: la convergencia uniforme controla alturas, nunca anchuras. ∎

Las jorobas g_n(x) = nx\, -nx2 del : convergen a 0 en todos los puntos, pero los picos (de altura √n/(2 ), derivando hacia 0) crecen sin cota: convergencia puntual con g_n_∈fty ∈fty y ∈t_01 g_n 1/2 ≠ 0; la masa se esconde bajo el pico móvil. — Las jorobas $g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2}$ del Ejercicio 10.1: convergen a $0$ en todos los puntos, pero los picos (de altura $\sim\sqrt{n/(2\eu)}$ , derivando hacia $0$ ) crecen sin cota: convergencia puntual con $\norm{g_n}_\infty \to \infty$ y $\int_0^1 g_n \to \frac12 \neq 0$ ; la masa se esconde bajo el pico móvil.

Teorema 10.7 (Derivación)

Sean $f_n$ de clase $C^1$ sobre un intervalo $I$ , con $(f_n')$ convergente uniformemente sobre $I$ (o sobre cada segmento de $I$ ) a cierta $g$ , y $(f_n(x_0))$ convergente en un punto $x_0$ . Entonces $(f_n)$ converge (uniformemente sobre segmentos) a una función $f$ de clase $C^1$ , y $f' = g$ : puede derivarse el límite.

Demostración. Definamos $f(x) = \lim f_n(x_0) + \int_{x_0}^x g$ : es legítimo, puesto que $g$ es continua —en efecto, $g$ es el límite uniforme sobre segmentos de las funciones continuas $f_n'$ , así que se aplica el Teorema 10.4—, y la integral de una función continua está bien definida y cumple, por el teorema fundamental del cálculo,

f'(x) = g(x) \qquad (x \in I) :

el límite candidato es de clase $C^1$ con la derivada correcta por construcción, antes de demostrar convergencia alguna. Por el teorema fundamental de nuevo, $f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n'$ ; restando,

\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \abs{f_n(x_0) - \lim f_n(x_0)} + \abs{x - x_0}\,\norm{f_n' - g}_{\infty} ,

que tiende a $0$ uniformemente sobre cada segmento. Y $f$ es de clase $C^1$ con $f' = g$ por construcción. ∎

Ejemplo 10.8 (Por qué la hipótesis recae sobre las derivadas)

Sea $F_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac1n}$ sobre $\R$ . Cada $F_n$ es de clase $C^1$ (de hecho $C^\infty$ ), y la convergencia a $\abs x$ es uniforme en todo $\R$ :

0 \leq F_n(x) - \abs x = \frac{(x^2 + \frac1n) - x^2}{\sqrt{x^2+\frac1n} + \abs x} = \frac{1/n}{\sqrt{x^2 + \frac1n} + \abs x} \leq \frac{1/n}{1/\sqrt n} = \frac{1}{\sqrt n} .

Y sin embargo el límite $\abs x$ no es derivable en $0$ : la convergencia uniforme de las funciones, por rápida que sea, no transfiere ninguna derivabilidad. El fallo se ve en las derivadas:

F_n'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + \frac1n}} \longrightarrow \begin{cases} 1 & x > 0,\\ 0 & x = 0,\\ -1 & x < 0, \end{cases}

un límite puntual discontinuo, de modo que $(F_n')$ no puede converger uniformemente cerca de $0$ (Teorema 10.4 otra vez). Moraleja: el Teorema 10.7 supone deliberadamente la convergencia uniforme de las $f_n'$ y no la de las $f_n$ ; este ejemplo es la razón.

10.3 Series de funciones

Definición 10.9

Una serie de funciones $\sum u_n$ converge puntual/uniformemente cuando lo hacen sus sumas parciales. Converge normalmente (sobre $X$ ) cuando $\sum \norm{u_n}_\infty < \infty$ . La convergencia normal implica la uniforme (en el espacio de Banach de las funciones acotadas: Teorema 5.21), que implica la puntual; ambas implicaciones son estrictas.

Ejemplo 10.10 (Una serie, tres veredictos)

Tomemos $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ sobre $\intco{0}{1}$ . Puntualmente: converge para todo $x \in \intco01$ (comparación con la serie geométrica). Normalmente sobre $\intcc{0}{a}$ , $a < 1$ : $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$ , sumable. No normalmente sobre $\intco{0}{1}$ : $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$ , y $\sum\frac1n$ diverge. Ni siquiera uniformemente sobre $\intco{0}{1}$ : el resto se resiste cerca de $1$ ,

R_N(x) = \sum_{n>N}\frac{x^n}{n} \geq \sum_{n=N+1}^{2N}\frac{x^n}{n} \geq \frac{N\,x^{2N}}{2N} = \frac{x^{2N}}{2} \xrightarrow[x\to1^-]{} \frac12 ,

de modo que $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ para todo $N$ . Moraleja: los cuatro veredictos conviven en paz; la suma $-\ln(1-x)$ es continua sobre $\intco{0}{1}$ porque la continuidad solo necesita uniformidad cerca de cada punto, es decir, sobre los segmentos $\intcc0a$ ; explotar en el borde es un derecho de la suma.

Teorema 10.11 (Transferencia para series)

Si $\sum u_n$ converge uniformemente (por ejemplo, normalmente) sobre el conjunto pertinente: la continuidad de todas las $u_n$ en $a$ pasa a la suma; la integración sobre un segmento puede hacerse término a término; y si $\sum u_n(x_0)$ converge y $\sum u_n'$ converge uniformemente sobre segmentos, la suma es de clase $C^1$ con derivada $\sum u_n'$ .

Demostración. Todo es el teorema correspondiente aplicado a las sumas parciales $S_N = \sum_{n\leq N}u_n$ , que son sumas finitas de funciones con la regularidad pertinente. Continuidad: cada $S_N$ es continua en $a$ y $S_N \to \sum u_n$ uniformemente: Teorema 10.4. Integración: sobre el segmento,

\int_a^b \sum_{n\geq0} u_n = \lim_N \int_a^b S_N = \lim_N \sum_{n=0}^{N}\int_a^b u_n = \sum_{n\geq0}\int_a^b u_n

por el Teorema 10.6 (primera igualdad) y la linealidad de la integral (segunda). Derivación: las $S_N$ son de clase $C^1$ , $S_N(x_0)$ converge y $S_N' = \sum_{n\leq N}u_n'$ converge uniformemente sobre segmentos: el Teorema 10.7 da que la suma es $C^1$ con derivada $\lim S_N' = \sum u_n'$ . ∎

Observación 10.12 (Errores frecuentes)

Cuatro trampas, todas vistas en exámenes. (i) Supremos comprobados a medias: evaluar $f_n$ a lo largo de una sucesión $x_n$ bien elegida solo acota $\norm{f_n - f}_\infty$ por debajo, lo bastante para refutar la uniformidad (como en el Ejemplo 10.2) pero nunca para demostrarla; para demostrarla hay que acotar el supremo mediante un cálculo válido para todo $x$ . (ii) Uniformidad sobre el conjunto equivocado: la convergencia normal o uniforme suele valer sobre cada $\intcc{-a}{a}$ o $\intco\delta\infty$ y fallar sobre la unión abierta; eso no es un obstáculo, porque la continuidad y la derivabilidad son locales, de modo que la disciplina segmento a segmento del Ejemplo 10.13 las da sobre todo el abierto. (iii) Integrar sobre algo que no es un segmento: el Teorema 10.6 es un enunciado sobre segmentos; sobre $\intco0\infty$ , la convergencia uniforme no impide que la masa escape al infinito ( $f_n = \frac1n\mathbf 1_{\intcc{0}{n}}$ converge uniformemente a $0$ con $\int f_n = 1$ ); allí hay que usar la convergencia dominada. (iv) Derivar el límite: Ejemplo 10.8; la hipótesis de derivación recae sobre $(f_n')$ , y ninguna velocidad de convergencia de $(f_n)$ puede sustituirla.

Ejemplo 10.13 (La función $\zeta$ de Riemann)

$\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ converge normalmente sobre toda semirrecta $\intco{a}{+\infty}$ con $a > 1$ ( $\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$ , sumable): $\zeta$ es continua sobre $\intoo{1}{+\infty}$ ; y derivando término a término (la serie derivada $\sum -\ln n\; n^{-s}$ también converge normalmente sobre $\intco{a}{\infty}$ ), $\zeta$ es de clase $C^1$ —y, iterando, $C^\infty$ — con $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$ . Obsérvese la disciplina: la convergencia normal se comprueba sobre subsemirrectas, nunca sobre el abierto $\intoo{1}{\infty}$ mismo, donde falla.

Ejemplo 10.14 (Una serie logarítmica, hasta el final)

Sea $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ sobre $\intoo{0}{\infty}$ . Cada término está acotado sobre $\intco{\delta}\infty$ por $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$ , término de una serie geométrica convergente: convergencia normal sobre cada $\intco\delta\infty$ , luego $F$ es continua sobre $\intoo{0}{\infty}$ . La serie derivada $\sum -\eu^{-nx}$ es igualmente normalmente convergente sobre $\intco\delta\infty$ ( $\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$ ), de modo que $F$ es $C^1$ con derivada geométrica:

F'(x) = -\sum_{n\geq1}\eu^{-nx} = \frac{-\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}} = \frac{-1}{\eu^{x} - 1} .

Iterando, $F$ es de clase $C^\infty$ . Integrando $F'$ (tanto $F$ como $x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ se anulan en $+\infty$ y tienen la misma derivada sobre $\intoo0\infty$ ):

F(x) = -\ln\bigl(1 - \eu^{-x}\bigr),

la serie logarítmica en $t = \eu^{-x}$ . Moraleja: cuando $x \to 0^+$ , $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ ; la serie diverge logarítmicamente en la frontera, exactamente igual que la serie armónica en la que se convierte en $x = 0$ , y la convergencia normal sobre $\intco\delta\infty$ pero no sobre $\intoo0\infty$ es el síntoma.

Método 10.15 (Cómo demostrar o refutar la convergencia uniforme)

Para $f_n \to f$ puntualmente sobre $X$ :

Calcúlese o acótese $\norm{f_n - f}_\infty$ : estúdiese la función $x \mapsto \abs{f_n(x) - f(x)}$ (derivada, monotonía) para localizar su máximo; una cota válida para todo $x$ que tienda a $0$ demuestra la uniformidad.
Para refutarla: exhíbanse puntos $x_n$ con $\abs{f_n(x_n) - f(x_n)} \not\to 0$ (a menudo $x_n$ sigue la joroba móvil, como en el Ejercicio 10.1); o invóquese un teorema de transferencia en contrarrecíproco: un límite discontinuo de funciones continuas (Ejemplo 10.5), o $\int f_n \not\to \int f$ sobre un segmento.
Para series, pruébese primero la convergencia normal ( $\sum\sup\abs{u_n} < \infty$ ); si falla globalmente, compruébese sobre los subsegmentos que importan (Ejemplo 10.10); y si falla en todas partes, todavía puede haber convergencia uniforme vía la cota del resto alternado (Ejercicio 10.4) o la sumación por partes.

10.4 El teorema de aproximación de Weierstrass

Teorema 10.16 (Weierstrass, vía Bernstein)

Toda función continua $f \colon \intcc{0}{1} \to \R$ es límite uniforme de polinomios; explícitamente, de sus polinomios de Bernstein

B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} f\Bigl(\frac kn\Bigr)\binom nk x^k (1-x)^{n-k} .

Demostración. Fijemos $x \in \intcc{0}{1}$ y pongamos $p_k(x) = \binom nk x^k(1 - x)^{n-k}$ . Tres identidades binomiales, obtenidas evaluando $(x + y)^n$ y sus dos derivadas en $x$ en $y = 1 - x$ :

\sum_k p_k = 1, \qquad \sum_k k\,p_k = nx, \qquad \sum_k k(k-1) p_k = n(n-1)x^2 .

En detalle: $(x+y)^n = \sum_k\binom nk x^ky^{n-k}$ en $y = 1-x$ es la primera; derivando en $x$ ,

n(x+y)^{n-1} = \sum_k k\binom nk x^{k-1}y^{n-k} ,

y multiplicando después por $x$ y poniendo $y = 1 - x$ se obtiene la segunda; derivando dos veces y multiplicando por $x^2$ se obtiene la tercera. Desarrollando $(k - nx)^2 = k(k-1) + k(1 - 2nx) + n^2x^2$ y combinando las tres:

\sum_k (k - nx)^2 p_k = n(n-1)x^2 + nx(1 - 2nx) + n^2x^2 = nx(1 - x) \leq \frac n4 ,

la identidad de la varianza.

Estimemos ahora, usando $\sum p_k = 1$ :

\abs{B_n(f)(x) - f(x)} \leq \sum_{k} \Bigl| f\Bigl(\frac kn\Bigr) - f(x)\Bigr|\, p_k(x) = \Sigma_{\text{cerca}} + \Sigma_{\text{lejos}} ,

separando según que $\abs{\frac kn - x} \leq \delta$ o no. Dado $\varepsilon > 0$ , la continuidad uniforme de $f$ (Heine) proporciona un $\delta$ con $\Sigma_{\text{cerca}} \leq \varepsilon$ . Para la suma lejana, con $M = \norm f_\infty$ : por la identidad de la varianza y el truco de recuento de Chebyshev,

\Sigma_{\text{lejos}} \leq 2M \sum_{\abs{k - nx} > n\delta} p_k \leq 2M\,\frac{\sum_k (k - nx)^2 p_k}{n^2\delta^2} \leq \frac{2M}{4 n \delta^2} \cdot 1 = \frac{M}{2n\delta^2} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 ,

uniformemente en $x$ . Así pues, $\norm{B_n(f) - f}_\infty \leq \varepsilon + \frac{M}{2n\delta^2} \leq 2\varepsilon$ para $n$ grande. ∎

Observación 10.17

Por sustitución afín, el teorema vale sobre cualquier segmento $\intcc{a}{b}$ . Falla sobre $\R$ (un límite uniforme de polinomios sobre $\R$ es un polinomio: Ejercicio 10.8). La lectura probabilística — $B_n(f)(x)$ es la esperanza de $f$ en una media binomial, y la cota de la varianza es la desigualdad de Chebyshev— se formaliza en el Capítulo 23.

Aproximación de Bernstein de f(x) = x2 (en rojo), con la fórmula exacta B_nf = x2 + x(1-x)/n del : B_1f es la cuerda, y cada duplicación de n reduce a la mitad la distancia. Fiable pero lenta: la saturación en 1n que el teorema de Voronovskaya (problema de fin de semana) vuelve exacta. — Aproximación de Bernstein de $f(x) = x^2$ (en rojo), con la fórmula exacta $B_nf = x^2 + \frac{x(1-x)}{n}$ del Ejercicio 10.7: $B_1f$ es la cuerda, y cada duplicación de $n$ reduce a la mitad la distancia. Fiable pero lenta: la saturación en $\frac1n$ que el teorema de Voronovskaya (problema de fin de semana) vuelve exacta.

Observación 10.18 (Dónde se usa)

La aproximación de Weierstrass es el teorema de densidad del análisis clásico: hace separable $C(\intcc ab)$ , permite comprobar identidades integrales solo sobre polinomios (problemas de momentos) y sostiene la versión trigonométrica demostrada en el capítulo de Fourier mediante el núcleo de Fejér. El problema de fin de semana de este capítulo extrae el contenido cuantitativo de la demostración de Bernstein —velocidades de convergencia gobernadas por el módulo de continuidad— y aísla después lo que de verdad la hacía funcionar, en el teorema de Korovkin: positividad más tres funciones de prueba. El volumen del tercer año generaliza el enunciado de densidad a subálgebras arbitrarias (Stone–Weierstrass) y a espacios compactos.

Ejemplo 10.19 (Aproximación poligonal, con velocidad)

Para $f$ $L$ -lipschitziana sobre $\intcc{0}{1}$ , sea $I_nf$ el interpolante afín a trozos en los nodos $\frac kn$ . Sobre una celda $\intcc{\frac kn}{\frac{k+1}n}$ , tanto $f(x)$ como $I_nf(x)$ quedan entre los valores extremos que puede tomar una función $L$ -lipschitziana dados los dos valores nodales, de modo que para $x$ en la celda, escribiendo $x_k = \frac kn$ :

\abs{I_nf(x) - f(x)} \leq \abs{I_nf(x) - f(x_k)} + \abs{f(x_k) - f(x)} \leq L\,\abs{x - x_k} + L\,\abs{x - x_k} \leq \frac{2L}{n}

(el interpolante es él mismo $L$ -lipschitziano sobre la celda: su pendiente es un cociente incremental de $f$ ). Por tanto, $\norm{I_nf - f}_\infty \leq \frac{2L}{n}$ : la aproximación poligonal de las funciones lipschitzianas converge a velocidad $\frac1n$ , más deprisa que el $\frac{1}{\sqrt n}$ de Bernstein para la misma clase (problema de fin de semana, parte II). Moraleja: el polígono interpola pero no es suave, y Bernstein es suave pero lento; no hay nada gratis entre la regularidad del aproximante y la velocidad, compromiso que los resultados de saturación del problema de fin de semana precisan.

Observación 10.20 (Perspectivas dentro de este volumen)

La convergencia uniforme es el caballo de batalla de este libro a partir de aquí. El capítulo de series de potencias funciona enteramente con la convergencia normal sobre subdiscos compactos: todo teorema término a término de allí es un caso particular de los teoremas de transferencia de este capítulo. El capítulo de Fourier vive un piso más arriba: sus sumas parciales $S_N$ fallan justo donde este capítulo advierte que podrían hacerlo (puntualmente pero no uniformemente en los saltos), y sus medias de Fejér triunfan por la misma mecánica de los $3\varepsilon$ que demostró el Teorema 10.4. El capítulo de ecuaciones diferenciales define $\eu^{tA}$ mediante una serie normalmente convergente y la deriva término a término: literalmente el Teorema 10.11 aplicado a las entradas de las matrices. Cuando más adelante surja la duda de “¿por qué podemos hacer esto?”, la respuesta suele ser un teorema de este capítulo.

10.5 Ejercicios

Ejercicio 10.1 ★

Estudia la convergencia puntual y la uniforme sobre $\intcc{0}{1}$ y, según convenga, sobre $\intcc{0}{a}$ ( $a < 1$ ) o $\intco{\delta}{1}$ , de

f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}, \qquad g_n(x) = n x\,\eu^{-n x^2}, \qquad h_n(x) = x^n(1 - x^n).

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

$f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$ : límite puntual $0$ sobre $\intcc{0}{1}$ . Uniformemente: $f_n$ crece sobre $\intcc{0}{1}$ (derivada $\frac{1}{(1+nx)^2} > 0$ ), luego $\norm{f_n}_\infty = f_n(1) = \frac{1}{1+n} \to 0$ : uniforme sobre $\intcc{0}{1}$ .

$g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2}$ : límite puntual $0$ (la exponencial gana). Supremo: $g_n' = n\eu^{-nx^2}(1 - 2nx^2)$ se anula en $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}$ , donde $g_n(x_n) = \sqrt{\frac n2}\,\eu^{-1/2} \to \infty$ : no es uniforme sobre $\intcc{0}{1}$ ; pero sí lo es sobre $\intco{\delta}{1}$ , ya que allí $g_n(x) \leq n\,\eu^{-n\delta^2} \to 0$ .

$h_n(x) = x^n(1 - x^n)$ : límite puntual $0$ sobre $\intcc{0}{1}$ (por ambos factores; y en $x = 1$ , $h_n = 0$ ). Supremo: con $u = x^n \in \intcc{0}{1}$ , $u(1-u) \leq \frac14$ se alcanza en $u = \frac12$ , es decir, en $x = 2^{-1/n} \in \intoo{0}{1}$ : $\norm{h_n}_\infty = \frac14 \not\to 0$ , luego no es uniforme sobre $\intcc{0}{1}$ ; sí lo es sobre $\intcc{0}{a}$ ( $\sup \leq a^n \to 0$ ).

Ejercicio 10.2 ★

Demuestra que $\displaystyle\int_0^1 g_n \not\to \int_0^1 \lim g_n$ para las $g_n$ del Ejercicio 10.1, y reconcílialo con el Teorema 10.6.

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

$\int_0^1 nx\,\eu^{-nx^2}\dd x = \bigl[-\tfrac12 \eu^{-nx^2}\bigr]_0^1 = \frac{1 - \eu^{-n}}{2} \to \frac12$ , mientras que $\int_0^1 \lim g_n = 0$ . No hay contradicción: el Teorema 10.6 exige convergencia uniforme sobre el segmento, cosa que aquí falla (la joroba de altura $\sim\sqrt n$ se desliza hacia $0$ ).

Ejercicio 10.3 ★

Demuestra que $S(x) = \sum_{n\geq1} \dfrac{x^n}{n^2}$ es continua sobre $\intcc{-1}{1}$ y que $S$ es de clase $C^1$ sobre $\intoo{-1}{1}$ con $S'(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x}$ para $0 < \abs x < 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

Convergencia normal sobre $\intcc{-1}{1}$ : $\norm{x^n/n^2}_\infty = \frac{1}{n^2}$ , sumable, luego $S$ es allí continua (Teorema 10.11).

Derivada: la serie derivada $\sum \frac{x^{n-1}}{n}$ converge normalmente sobre cada $\intcc{-a}{a}$ con $a < 1$ ( $\sup = \frac{a^{n-1}}{n}$ ): $S$ es de clase $C^1$ sobre $\intoo{-1}{1}$ con

S'(x) = \sum_{n\geq1} \frac{x^{n-1}}{n} = \frac1x \sum_{n\geq1} \frac{x^n}{n} = -\frac{\ln(1 - x)}{x} \qquad (0 < \abs x < 1),

siendo la última identidad la serie logarítmica del primer año (vuelta a deducir honestamente en el Capítulo 11).

Ejercicio 10.4 ★★

Sea $F(x) = \sum_{n \geq 0} \dfrac{(-1)^n}{n + x}$ sobre $\intoo{0}{+\infty}$ . Demuestra la convergencia uniforme (no normal) sobre $\intco{\delta}{\infty}$ mediante la cota del resto de las series alternadas, la continuidad y la ecuación funcional $F(x) + F(x + 1) = \frac1x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

Para $x > 0$ fijo, la serie es alternada con $\frac{1}{n + x} \downarrow 0$ : hay convergencia puntual, y la cota del resto $\abs{R_N(x)} \leq \frac{1}{N + 1 + x} \leq \frac{1}{N+1}$ es uniforme sobre $\intco{\delta}{\infty}$ (de hecho, sobre $\intoo{0}{\infty}$ ): convergencia uniforme. (No normal: $\norm{\frac{(-1)^n}{n+x}}_\infty = \frac{1}{n + \delta}$ , divergente.) La continuidad se sigue del Teorema 10.11.

Ecuación funcional: reindexemos $F(x + 1)$ con $m = n + 1$ :

F(x+1) = \sum_{n\geq0} \frac{(-1)^n}{n + 1 + x} = \sum_{m\geq1}\frac{(-1)^{m-1}}{m+x} ,

de modo que, aislando el término $m = 0$ de $F(x)$ ,

F(x) + F(x+1) = \frac{1}{x} + \sum_{m\geq1} \frac{(-1)^m + (-1)^{m-1}}{m+x} = \frac1x .

Ejercicio 10.5 ★★

(Dini) Sean $f_n \colon K \to \R$ continuas sobre un espacio métrico compacto, con $f_n \to f$ puntualmente, $f$ continua y $(f_n(x))$ decreciente en $n$ para cada $x$ . Demuestra que la convergencia es uniforme. (Dado $\varepsilon$ , los abiertos $U_n = \{x : f_n(x) - f(x) < \varepsilon\}$ crecen y recubren $K$ ; extráigase un subrecubrimiento finito, Teorema 4.20.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

Pongamos $g_n = f_n - f \geq 0$ (decreciente en $n$ por hipótesis, y con límite puntual $0$ ); cada $g_n$ es continua. Fijemos $\varepsilon > 0$ y sea $U_n = \{x : g_n(x) < \varepsilon\}$ : abierto (imagen recíproca de un abierto), creciente ( $g_{n+1} \leq g_n$ ) y recubridor de $K$ (convergencia puntual). Por Borel–Lebesgue (Teorema 4.20), un número finito de ellos $U_{n_1} \subseteq \dots \subseteq U_{n_k}$ recubre $K$ : luego $K = U_{n_k}$ , es decir, $\norm{g_{n_k}}_\infty \leq \varepsilon$ , y por monotonía $\norm{g_n}_\infty \leq \varepsilon$ para todo $n \geq n_k$ : convergencia uniforme. (La monotonía es esencial: las jorobas deslizantes del Ejercicio 10.2 convergen puntualmente sobre un compacto sin uniformidad.)

Ejercicio 10.6 ★★

Demuestra que $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{n\,f(x)}{1 + n^2x^2}\,\dd x = \frac{\pi}{2} f(0)$ para toda $f$ continua sobre $\intcc{0}{1}$ . (Sustituye $u = nx$ ; separa $f(0)$ ; domina.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

Sustituyamos $u = nx$ :

\int_0^1 \frac{n f(x)}{1 + n^2x^2}\dd x = \int_0^n \frac{f(u/n)}{1 + u^2}\,\dd u .

Los integrandos $h_n(u) = \frac{f(u/n)}{1+u^2}\mathbf{1}_{u \leq n}$ convergen puntualmente a $\frac{f(0)}{1+u^2}$ (continuidad de $f$ en $0$ ) y están dominados por $\frac{\norm f_\infty}{1 + u^2}$ , integrable sobre $\intco{0}{\infty}$ : la convergencia dominada (Teorema 9.6) da el límite

\int_0^\infty \frac{f(0)}{1 + u^2}\dd u = \frac{\pi}{2} f(0) .

(Los núcleos se concentran en $0$ : una identidad aproximada.)

Ejercicio 10.7 ★★

Calcula explícitamente los polinomios de Bernstein de $f(x) = x^2$ y verifica el error uniforme $\norm{B_n f - f}_\infty = O\bigl(\frac1n\bigr)$ que predice la demostración del Teorema 10.16; aquí vale exactamente $\frac{x(1 - x)}{n}$ en cada punto.

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

Para $f(x) = x^2$ , usemos la segunda familia de identidades binomiales de la demostración: $\sum_k k^2 p_k = n(n-1)x^2 + nx$ . Por tanto

B_n(f)(x) = \sum_k \frac{k^2}{n^2}\,p_k = \frac{n(n-1)x^2 + nx}{n^2} = x^2 + \frac{x(1 - x)}{n} :

$B_n(f) - f = \frac{x(1-x)}{n}$ , de norma del supremo $\frac{1}{4n} = O\bigl(\frac1n\bigr)$ , como se predijo.

Ejercicio 10.8 ★★

Demuestra que si unos polinomios $P_n$ convergen uniformemente en todo $\R$ a $f$ , entonces $f$ es un polinomio. (Para $m, n$ grandes, $P_n - P_m$ es un polinomio acotado sobre $\R$ y por tanto constante; así que la sucesión se estabiliza salvo constantes.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

Para $\varepsilon = 1$ existe $N$ con $\norm{P_n - P_m}_{\infty, \R} \leq 1$ para $m, n \geq N$ . Un polinomio acotado sobre $\R$ es constante (uno no constante tiende a $\pm\infty$ ): $P_n - P_m = c_{n,m}$ , constantes. Así, para $n \geq N$ : $P_n = P_N + c_n$ con $c_n = P_n(0) - P_N(0)$ convergente (convergencia puntual en $0$ ). Por tanto $f = \lim P_n = P_N + \lim c_n$ : un polinomio.

Ejercicio 10.9 ★★★

(Una función continua y no derivable en ningún punto —guiado) Sea $\varphi$ la distancia al entero más próximo ( $1$ -periódica, con $\norm{\varphi}_\infty = \frac12$ y $1$ -lipschitziana) y

W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{\!n} \varphi(4^n x) .

Demuestra: (a) $W$ es continua sobre $\R$ (convergencia normal); (b) para todo $x$ y todo $m$ , eligiendo $h_m = \pm\frac12\cdot 4^{-m}$ con el signo que haga a $\varphi$ afín sobre el segmento de $4^m x$ a $4^m(x + h_m)$ , el cociente incremental cumple

\Bigl|\frac{W(x + h_m) - W(x)}{h_m}\Bigr| \geq 3^m - \sum_{n<m} 3^n \geq \frac{3^m + 1}{2} \xrightarrow[m\to\infty]{} \infty

(los términos $n > m$ se anulan por periodicidad; el término $n = m$ aporta exactamente $3^m$ ; y los términos $n < m$ están acotados por la propiedad lipschitziana). Concluye que $W$ no es derivable en ningún punto.

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

(a) $\norm{(3/4)^n\varphi(4^n\cdot)}_\infty = \frac12 (3/4)^n$ : convergencia normal, luego $W$ es continua (Teorema 10.11).

(b) Fijemos $x$ y $m$ ; elijamos el signo de $h_m = \pm\frac12 4^{-m}$ de modo que el segmento $\intcc{4^mx}{4^m(x + h_m)}$ (de longitud $\frac12$ ) no contenga ningún semientero, con lo que $\varphi$ resulta afín de pendiente $\pm1$ sobre él (es posible: un intervalo de longitud $\frac12$ corta a lo sumo un punto semientero; tómese el lado que lo evite).

Para $n > m$ : $4^n h_m = \pm\frac12 4^{n-m}$ es un entero y $\varphi$ es $1$ -periódica, así que el término $n$ -ésimo de la diferencia se anula.

Para $n = m$ : $\abs{\varphi(4^m x + 4^m h_m) - \varphi(4^m x)} = \abs{4^m h_m} = \frac12$ ( $\varphi$ es afín de pendiente $\pm 1$ sobre el segmento), de modo que el término aporta exactamente $(3/4)^m \cdot \frac{1/2}{\abs{h_m}} = (3/4)^m\,4^m = 3^m$ al cociente.

Para $n < m$ : como $\varphi$ es $1$ -lipschitziana, $\bigl|(3/4)^n\bigl(\varphi(4^nx + 4^nh_m) - \varphi(4^nx)\bigr)\bigr| \leq (3/4)^n 4^n\abs{h_m} = 3^n\abs{h_m}$ : cada uno aporta a lo sumo $3^n$ al cociente.

Por tanto,

\Bigl|\frac{W(x + h_m) - W(x)}{h_m}\Bigr| \geq 3^m - \sum_{n=0}^{m-1} 3^n = 3^m - \frac{3^m - 1}{2} = \frac{3^m + 1}{2} \longrightarrow \infty .

Si $W$ fuera derivable en $x$ , todo cociente incremental a lo largo de $h_m \to 0$ convergería a $W'(x)$ : contradicción. $W$ es continua en todas partes y no derivable en ninguna.

Ejercicio 10.10 ★

Sea $u_n(x) = (-1)^n x^n(1 - x)$ sobre $\intcc{0}{1}$ . Prueba que $\sum u_n$ converge puntualmente sobre $\intcc{0}{1}$ y calcula su suma; prueba que la convergencia es uniforme sobre $\intcc{0}{1}$ (acota el resto $R_N(x) = \sum_{n > N} u_n(x)$ , una cola geométrica, por su primer término y maximiza $x^{N+1}(1-x)$ ) pero no normal (calcula $\norm{u_n}_\infty$ ): la convergencia uniforme es estrictamente más débil que la normal. Contrasta con $\sum x^n(1-x)$ , cuya suma es discontinua en $1$ : allí falla incluso la uniformidad.

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

Puntualmente: para $x \in \intco{0}{1}$ la serie es geométrica de razón $-x$ ,

\sum_{n\geq0}(-1)^n x^n(1-x) = \frac{1-x}{1+x},

y en $x = 1$ todos los términos se anulan: suma $0 = \frac{1-1}{2}$ , coherente; la suma es continua sobre $\intcc{0}{1}$ . Uniformidad: el resto es una cola geométrica,

\abs{R_N(x)} = \frac{x^{N+1}(1-x)}{1+x} \leq x^{N+1}(1 - x) \leq \max_{\intcc01} t^{N+1}(1-t) = \frac{1}{N+2}\Bigl(\frac{N+1}{N+2}\Bigr)^{\!N+1} \leq \frac{1}{N+2} \to 0 ,

uniformemente en $x$ . No normal: $\norm{u_n}_\infty = \max x^n(1-x) = \frac{1}{n+1}\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^n \sim \frac{1}{\eu\,n}$ , y $\sum \frac1{\eu n}$ diverge. Contraste: $\sum x^n(1-x)$ tiene sumas parciales $1 - x^{N+1}$ , que convergen puntualmente a la función discontinua $\mathbf 1_{\intco01}$ : por el Teorema 10.4, esa convergencia no puede ser uniforme sobre $\intcc{0}{1}$ .

Ejercicio 10.11 ★★

Sea $f_n \to f$ uniformemente sobre un espacio métrico $X$ , con cada $f_n$ continua, y sea $x_n \to x$ en $X$ . Demuestra que $f_n(x_n) \to f(x)$ . Muestra con un ejemplo sobre $X = \intcc{0}{1}$ que la convergencia puntual no basta, ni siquiera con $f$ continua (usa las jorobas $g_n$ del Ejercicio 10.1 y $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

El límite $f$ es continuo (Teorema 10.4). Entonces

\abs{f_n(x_n) - f(x)} \leq \abs{f_n(x_n) - f(x_n)} + \abs{f(x_n) - f(x)} \leq \norm{f_n - f}_\infty + \abs{f(x_n) - f(x)} ,

y ambos términos tienden a $0$ (convergencia uniforme; continuidad de $f$ en $x$ ). Contraejemplo con mera convergencia puntual: $g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2} \to 0$ puntualmente sobre $\intcc{0}{1}$ , con las $g_n$ y el límite continuos, y sin embargo en $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}} \to 0$ :

g_n(x_n) = \sqrt{\frac n2}\,\eu^{-1/2} \longrightarrow +\infty \neq 0 = f(0) .

Ejercicio 10.12 ★★★

(Una ecuación integral de Volterra por series) Para $f \in C(\intcc{0}{1})$ , definamos $Tf(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ .

Prueba por inducción que, para $n \geq 1$ ,

$T^n f(x) = \int_0^x \frac{(x - t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f(t)\,\dd t, \qquad \norm{T^n f}_\infty \leq \frac{\norm f_\infty}{n!} .$
Deduce que $S = \sum_{n\geq0} T^n f$ converge normalmente sobre $\intcc{0}{1}$ y resuelve la ecuación integral $S = f + TS$ .
Verifica que $S(x) = f(x) + \int_0^x \eu^{x-t}f(t)\,\dd t$ resuelve la misma ecuación y demuestra la unicidad de las soluciones continuas (si $S = TS$ , entonces $\norm{S}_\infty \leq \norm{T^nS}_\infty \to 0$ ): concluye la forma cerrada de la suma.

Solución

Solución de Ejercicio 10.12.

Inducción. El caso $n = 1$ es la definición. Supuesta la fórmula para $n$ , pongamos $g(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f(t)\dd t$ . Para un integrando continuo en $(x,t)$ y de clase $C^1$ en $x$ , la integral con parámetro de límite variable se deriva como

$g'(x) = \frac{(x-x)^n}{n!}f(x) + \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t)\dd t = T^nf(x)$

(sepárese $g(x+h) - g(x)$ en la franja $\int_x^{x+h}$ , que es $O(h\cdot\sup)$ y cuyo integrando se anula en $t = x$ como $h^n$ , y la integral fija del incremento en $x$ , tratada con la desigualdad del valor medio y la continuidad). Además $(T^{n+1}f)' = T^nf$ (teorema fundamental del cálculo) y $g(0) = T^{n+1}f(0) = 0$ : dos primitivas de $T^nf$ que se anulan en $0$ coinciden, luego $T^{n+1}f = g$ . La cota:

$\abs{T^nf(x)} \leq \norm f_\infty \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\dd t = \norm f_\infty\,\frac{x^n}{n!} \leq \frac{\norm f_\infty}{n!} .$
$\sum_n \norm{T^nf}_\infty \leq \eu\,\norm f_\infty$ : convergencia normal y, por tanto, uniforme; $S$ es continua. Las sumas parciales cumplen $S_N = f + T S_{N-1}$ , y $T$ es $1$ -lipschitziana para $\norm\cdot_\infty$ ( $\abs{Tg(x)} \leq x\norm g_\infty$ ): haciendo $N \to \infty$ en ambos miembros resulta $S = f + TS$ .
Pongamos $V(x) = f(x) + \eu^x\int_0^x \eu^{-t}f(t)\dd t$ . Entonces $V - f$ es de clase $C^1$ con $(V-f)'(x) = \eu^x\int_0^x\eu^{-t}f + f(x) = V(x)$ , y $(TV)' = V$ con $(V - f)(0) = TV(0) = 0$ : luego $V - f = TV$ , es decir, $V$ resuelve la ecuación. Unicidad: si $S_1, S_2$ son soluciones continuas, $D = S_1 - S_2$ cumple $D = TD$ , de donde $D = T^nD$ para todo $n$ y $\norm D_\infty \leq \frac{\norm D_\infty}{n!} \to 0$ : $D = 0$ . Por tanto

$\sum_{n\geq0} T^nf(x) = f(x) + \int_0^x \eu^{x-t}f(t)\,\dd t .$

(La serie $\sum T^n$ es una serie geométrica de operadores: un primer sabor de la resolvente $(\mathrm{Id} - T)^{-1}$ , desarrollada en el volumen del tercer año.)

10.6 Problema: velocidades de aproximación y teorema de Korovkin

Problema 10.1

La demostración de Bernstein del Teorema 10.16 esconde dos tesoros. Primero, es cuantitativa: la rapidez con que $B_nf \to f$ está gobernada por el módulo de continuidad de $f$ , con la velocidad óptima alcanzada por $\abs{x - \frac12}$ . Segundo, es estructural: lo único que importaba era que $B_n$ es un operador lineal positivo que se porta bien sobre $1$ , $x$ y $x^2$ ; esa observación, aislada, es el teorema de Korovkin. Este problema demuestra ambas cosas y cierra con la asintótica exacta de Voronovskaya. En todo él, $f \in C(\intcc{0}{1})$ , $M = \norm f_\infty$ , $p_k(x) = \binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ y $e_j$ denota $x \mapsto x^j$ .

Parte I — El operador de Bernstein.

Prueba que $B_n$ es lineal y positivo ( $f \geq 0 \Rightarrow B_nf \geq 0$ ), y por tanto monótono ( $f \leq g \Rightarrow B_nf \leq B_ng$ ), con $\norm{B_nf}_\infty \leq \norm f_\infty$ , y que $B_nf$ interpola $f$ en ambos extremos.
Vuelve a deducir las identidades $B_n e_0 = e_0$ , $B_n e_1 = e_1$ y $B_n e_2 = e_2 + \frac{e_1 - e_2}{n}$ (deriva $(x + y)^n$ dos veces y pon $y = 1 - x$ ).
Deduce la identidad de la varianza $\sum_k \bigl(\frac kn - x\bigr)^2 p_k(x) = \frac{x(1-x)}{n}$ y, por Cauchy–Schwarz, la cota del primer momento

$\sum_{k=0}^{n}\Bigl|\frac kn - x\Bigr|\,p_k(x) \leq \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt n} .$
Prueba que si $f$ es convexa, entonces $B_nf \geq f$ sobre $\intcc{0}{1}$ (desigualdad de Jensen finita para los pesos $p_k(x)$ ).
(La cota de recuento de Chebyshev, reformulada) Para $\delta > 0$ , prueba que

$\sum_{\abs{k/n - x} > \delta} p_k(x) \leq \frac{x(1-x)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2} ,$

y da la lectura probabilística: $B_nf(x)$ promedia $f$ sobre una media muestral binomial que se concentra en $x$ .

Parte II — Velocidades: el módulo de continuidad. Para $\delta > 0$ , pongamos $\omega(\delta) = \sup\{\abs{f(s) - f(t)} : s, t \in \intcc{0}{1},\ \abs{s - t} \leq \delta\}$ .

Prueba que $\omega$ es finito y no decreciente, que $\omega(\delta) \to 0$ cuando $\delta \to 0^+$ (Heine), que es subaditivo ( $\omega(\delta_1 + \delta_2) \leq \omega(\delta_1) + \omega(\delta_2)$ ) y que $\omega(\lambda\delta) \leq (1 + \lambda)\,\omega(\delta)$ para todo $\lambda > 0$ .
Demuestra la estimación maestra, para todo $\delta > 0$ :

$\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \sum_k \omega\Bigl(\Bigl|\frac kn - x\Bigr|\Bigr)p_k(x) \leq \Bigl(1 + \frac1\delta\sum_k\Bigl|\frac kn - x\Bigr|p_k(x)\Bigr)\,\omega(\delta) .$
Elige $\delta = n^{-1/2}$ y concluye el teorema de Weierstrass cuantitativo:

$\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac32\,\omega\Bigl(\frac{1}{\sqrt n}\Bigr) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 .$
Deduce las velocidades: $\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac{3L}{2\sqrt n}$ para $f$ $L$ -lipschitziana, y $\leq \frac32 C n^{-\alpha/2}$ para $f$ $\alpha$ -hölderiana ( $\abs{f(s) - f(t)} \leq C\abs{s-t}^\alpha$ ).
(El ejemplo óptimo —una identidad binomial) Para $m \geq 1$ , demuestra que

$\sum_{k=m+1}^{2m} (k - m)\binom{2m}{k} = \frac{m}{2}\binom{2m}{m}, \qquad\text{de donde}\qquad \sum_{k=0}^{2m}\abs{k - m}\binom{2m}{k} = m\binom{2m}{m}$

(usa $k\binom{2m}k = 2m\binom{2m-1}{k-1}$ y la simetría de la línea binomial, que da $\sum_{j=m}^{2m-1}\binom{2m-1}{j} = 2^{2m-2}$ ).
Para $f(t) = \abs{t - \frac12}$ , deduce el valor exacto y su asintótica (binomial central, Ejemplo 6.14):

$B_{2m}f\Bigl(\frac12\Bigr) - f\Bigl(\frac12\Bigr) = \frac{\binom{2m}{m}}{2\cdot4^{m}} \;\sim\; \frac{1}{2\sqrt{\pi m}} :$

la velocidad $\omega(n^{-1/2})$ de la pregunta 8 se alcanza (salvo constante); para $f$ meramente continua, el $n^{-1/2}$ de Bernstein es honesto.

Parte III — El teorema de Korovkin. Sea $(L_n)$ una sucesión de operadores lineales positivos de $C(\intcc{0}{1})$ en sí mismo tal que $L_ne_j \to e_j$ uniformemente para $j = 0, 1, 2$ .

Prueba que un operador lineal positivo $L$ es monótono y cumple $\abs{Lf} \leq L\abs f$ puntualmente.
Prueba que para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, para todos $s, x \in \intcc{0}{1}$ ,

$\abs{f(s) - f(x)} \leq \varepsilon + \frac{2M}{\delta^2}(s - x)^2$

(trata $\abs{s - x} \leq \delta$ con Heine y $\abs{s-x} > \delta$ con la cota tosca $2M$ ).
Fija $x$ , aplica $L_n$ a la desigualdad de la pregunta 13 en la variable $s$ y deduce

$\abs{L_nf(x) - f(x)\,L_ne_0(x)} \leq \varepsilon\,L_ne_0(x) + \frac{2M}{\delta^2} \bigl(L_ne_2(x) - 2x\,L_ne_1(x) + x^2 L_ne_0(x)\bigr).$
Prueba que $\sup_x \bigl(L_ne_2(x) - 2x\,L_ne_1(x) + x^2 L_ne_0(x)\bigr) \to 0$ y ensambla el teorema de Korovkin: $L_nf \to f$ uniformemente para toda $f \in C(\intcc{0}{1})$ .
Comprueba que $(B_n)$ satisface las hipótesis de Korovkin: Weierstrass por tercera vez, a partir de tres monomios.
Sea $I_n$ el operador de interpolación afín a trozos en los nodos $\frac kn$ . Prueba que $I_n$ es lineal positivo, que $I_ne_0 = e_0$ , $I_ne_1 = e_1$ y $\norm{I_ne_2 - e_2}_\infty = \frac{1}{4n^2}$ (en cada celda, el error de la interpolación afín de $t^2$ es $(t - a)(b - t)$ ). Concluye por Korovkin que los interpolantes poligonales convergen uniformemente para toda $f$ continua.

Parte IV — Dividendos: densidad, momentos, derivadas.

Prueba que los polinomios con coeficientes racionales son densos en $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : este espacio de Banach es separable.
(Los momentos determinan la función) Sea $f \in C(\intcc{0}{1})$ con $\int_0^1 f(t)\,t^n \dd t = 0$ para todo $n \in \N$ . Prueba que $\int_0^1 f P = 0$ para todo polinomio, después que $\int_0^1 f^2 = 0$ y, finalmente, que $f = 0$ .
Demuestra la identidad de la derivada

$(B_nf)'(x) = n\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl( f\Bigl(\frac{k+1}{n}\Bigr) - f\Bigl(\frac kn\Bigr)\Bigr)\, \binom{n-1}{k}x^k(1-x)^{n-1-k}$

(deriva $p_k$ y reindexa: una sumación de Abel).
Supongamos $f$ de clase $C^1$ . Usando el teorema del valor medio en cada incremento y comparando con $B_{n-1}(f')$ , prueba que $(B_nf)' \to f'$ uniformemente sobre $\intcc{0}{1}$ . Deduce que, para $f \in C^1$ , hay polinomios que convergen a $f$ junto con sus derivadas.
Supongamos $f$ de clase $C^2$ . Mediante Taylor–Lagrange en $x$ , prueba que

$\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\cdot\frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{8n} :$

la suavidad mejora la velocidad de $n^{-1/2}$ a $n^{-1}$ .

Parte V — Saturación: el teorema de Voronovskaya.

Demuestra la identidad del cuarto momento

$\sum_k (k - nx)^4 p_k(x) = nx(1-x)\bigl(1 + 3(n-2)x(1-x)\bigr) \leq n^2 \quad (n \geq 1)$

(desarrolla $k^4$ en factoriales descendentes $k(k-1)\cdots$ y usa dos veces más el truco de derivación de la pregunta 2).
(Voronovskaya) Sea $f$ de clase $C^2$ y $x \in \intcc{0}{1}$ . Escribiendo $f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) + \frac{f''(x)}2(t-x)^2 + \eta(t)(t-x)^2$ con $\eta$ acotada y $\eta(t) \to 0$ cuando $t \to x$ , demuestra que

$n\bigl(B_nf(x) - f(x)\bigr) \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{x(1-x)}{2}\,f''(x)$

(separa la suma de $\eta$ en $\abs{t - x} \leq \delta$ ; controla la parte lejana con la pregunta 23). Así pues, el error de la pregunta 22 es exacto en orden y en constante: $B_n$ satura en $\frac1n$ por suave que sea $f$ ; compárese con el Ejercicio 10.7.
Síntesis. Una frase para cada punto: (i) qué compró la positividad por sí sola (partes I y III); (ii) dónde intervino la compacidad de $\intcc{0}{1}$ en cada parte; (iii) por qué bastan tres funciones de prueba en el teorema de Korovkin; (iv) qué compromiso acepta Bernstein (un $n^{-1/2}$ robusto para $f$ rugosa, pero un techo de $\frac1n$ para $f$ suave) y qué capítulo de este libro jugará la misma partida con polinomios trigonométricos.

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. La linealidad es clara a partir de la fórmula. Positividad: los pesos $p_k(x) \geq 0$ , luego $f \geq 0$ obliga a $B_nf \geq 0$ ; la monotonía se sigue aplicándolo a $g - f$ . Cota: de $\pm f \leq \norm f_\infty$ resulta $\pm B_nf \leq \norm f_\infty B_ne_0 = \norm f_\infty$ . Extremos: $p_k(0) = \mathbf 1_{k=0}$ y $p_k(1) = \mathbf 1_{k=n}$ , de modo que $B_nf(0) = f(0)$ y $B_nf(1) = f(1)$ .

2. Derivemos $(x+y)^n = \sum_k\binom nk x^ky^{n-k}$ en $x$ , multipliquemos por $x$ y pongamos $y = 1 - x$ :

nx = \sum_k k\,p_k(x) ;

dos veces, multiplicando por $x^2$ : $n(n-1)x^2 = \sum_k k(k-1)p_k(x)$ . Por tanto $B_ne_0 = 1$ (teorema del binomio), $B_ne_1(x) = \frac{nx}{n} = x$ y

B_ne_2(x) = \frac{\sum_k k^2p_k}{n^2} = \frac{n(n-1)x^2 + nx}{n^2} = x^2 + \frac{x(1-x)}{n} .

3. Desarrollando:

\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^{\!2} p_k = B_ne_2(x) - 2x\,B_ne_1(x) + x^2 = \frac{x(1-x)}{n} .

Cauchy–Schwarz con la separación $\abs{k/n - x}\sqrt{p_k} \cdot \sqrt{p_k}$ :

\sum_k\Bigl|\frac kn - x\Bigr| p_k \leq \Bigl(\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2 p_k\Bigr)^{\!1/2} = \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt n},

usando $x(1-x) \leq \frac14$ .

4. Los pesos $p_k(x)$ son no negativos, suman $1$ y tienen baricentro $\sum_k \frac kn p_k(x) = x$ (pregunta 2). La desigualdad de Jensen finita para la $f$ convexa (inducción desde la definición con dos puntos, volumen del primer año) da

f(x) = f\Bigl(\sum_k \frac kn\,p_k\Bigr) \leq \sum_k f\Bigl(\frac kn\Bigr)p_k = B_nf(x) .

5. Sobre $\{k : \abs{k/n - x} > \delta\}$ se tiene $\bigl(\frac{k/n - x}{\delta}\bigr)^2 > 1$ , luego

\sum_{\abs{k/n-x}>\delta} p_k \leq \frac{1}{\delta^2}\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2p_k = \frac{x(1-x)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2} .

Lectura: $p_k(x)$ es la ley de la frecuencia muestral $S_n/n$ de $n$ lanzamientos de una moneda de sesgo $x$ ; su media es $x$ , su varianza $\frac{x(1-x)}n \to 0$ , y la fórmula anterior es la desigualdad de Chebyshev: la masa se concentra en $x$ , de modo que promediar $f$ contra ella reproduce $f(x)$ en el límite (el Capítulo 23 oficializa el vocabulario).

6. $\omega \leq 2M < \infty$ ; la monotonía es clara (supremo sobre un conjunto mayor). Heine: una $f$ continua sobre un compacto es uniformemente continua, que es exactamente decir $\omega(\delta) \to 0$ cuando $\delta \to 0^+$ . Subaditividad: si $\abs{s - t} \leq \delta_1 + \delta_2$ , el punto $u$ del segmento $\intcc st$ a distancia $\min(\delta_1, \abs{s-t})$ de $s$ cumple $\abs{s-u} \leq \delta_1$ y $\abs{u-t} \leq \delta_2$ , y $\abs{f(s)-f(t)} \leq \abs{f(s)-f(u)} + \abs{f(u)-f(t)}$ . Iterando, $\omega(p\delta) \leq p\,\omega(\delta)$ para $p \in \N^*$ ; y para $\lambda > 0$ , con $p = \lceil\lambda\rceil \leq 1 + \lambda$ : $\omega(\lambda\delta) \leq \omega(p\delta) \leq p\,\omega(\delta) \leq (1+\lambda)\omega(\delta)$ .

7. Como $\sum p_k = 1$ :

\abs{B_nf(x) - f(x)} = \Bigl|\sum_k\bigl(f(k/n) - f(x)\bigr)p_k\Bigr| \leq \sum_k\omega\bigl(\abs{k/n - x}\bigr)p_k .

Para cada $k$ , la pregunta 6 con $\lambda = \abs{k/n - x}/\delta$ da $\omega(\abs{k/n-x}) \leq \bigl(1 + \frac{\abs{k/n-x}}\delta\bigr)\omega(\delta)$ ; sumando contra los $p_k$ se obtiene la estimación maestra.

8. Insertemos la cota de la pregunta 3:

\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \Bigl(1 + \frac{1}{2\delta\sqrt n}\Bigr)\omega(\delta),

uniformemente en $x$ ; con $\delta = n^{-1/2}$ el paréntesis vale $\frac32$ : $\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac32\omega(n^{-1/2}) \to 0$ por la pregunta 6 (Heine). Esto vuelve a demostrar el Teorema 10.16 con una velocidad.

9. Ser $L$ -lipschitziana significa $\omega(\delta) \leq L\delta$ : velocidad $\frac{3L}{2\sqrt n}$ . Ser $\alpha$ -hölderiana significa $\omega(\delta) \leq C\delta^\alpha$ : velocidad $\frac{3C}{2} n^{-\alpha/2}$ .

10. Usando $k\binom{2m}k = 2m\binom{2m-1}{k-1}$ :

\sum_{k=m+1}^{2m}k\binom{2m}k = 2m\sum_{j=m}^{2m-1}\binom{2m-1}{j} = 2m\cdot 2^{2m-2},

porque $j \mapsto 2m-1-j$ biyecta $\{m,\dots,2m-1\}$ sobre $\{0,\dots,m-1\}$ , de modo que la suma es la mitad de $2^{2m-1}$ . Además, $\sum_{k=m+1}^{2m}\binom{2m}k = \frac{2^{2m} - \binom{2m}m}{2}$ (misma simetría). Por tanto,

\sum_{k=m+1}^{2m}(k-m)\binom{2m}k = m\,2^{2m-1} - m\,\frac{2^{2m} - \binom{2m}m}{2} = \frac m2\binom{2m}m .

La sustitución $k \mapsto 2m-k$ envía los términos con $k < m$ sobre los de $k > m$ (mismos binomiales, mismo $\abs{k-m}$ ): la suma en valor absoluto es el doble de la suma de un lado, es decir, $m\binom{2m}m$ .

11. En $x = \frac12$ , $p_k(\tfrac12) = \binom{2m}k2^{-2m}$ y $f(\tfrac12) = 0$ :

B_{2m}f\Bigl(\frac12\Bigr) = \sum_k\Bigl|\frac{k}{2m} - \frac12\Bigr| \binom{2m}k 2^{-2m} = \frac{2^{-2m}}{2m}\,m\binom{2m}m = \frac{\binom{2m}m}{2\cdot4^m} \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi m}}

por el Ejemplo 6.14. Como aquí $\omega_f(\delta) = \delta$ (la función es $1$ -lipschitziana y la cota se alcanza), la pregunta 8 predice a lo sumo $\frac32(2m)^{-1/2}$ : el error verdadero $\frac{1}{2\sqrt{\pi m}}$ tiene exactamente el orden $n^{-1/2}$ ; la velocidad es óptima salvo la constante.

12. De $f \leq g$ resulta $g - f \geq 0$ , luego $L(g-f) \geq 0$ , es decir, $Lf \leq Lg$ . Y de $-\abs f \leq f \leq \abs f$ : $-L\abs f \leq Lf \leq L\abs f$ , es decir, $\abs{Lf} \leq L\abs f$ .

13. Por Heine, elíjase $\delta$ con $\abs{f(s)-f(x)} \leq \varepsilon$ siempre que $\abs{s-x} \leq \delta$ . Si $\abs{s - x} > \delta$ , entonces $\frac{(s-x)^2}{\delta^2} > 1$ y $\abs{f(s)-f(x)} \leq 2M \leq \frac{2M}{\delta^2}(s-x)^2$ . En ambos casos vale la cota anunciada.

14. Fijemos $x$ ; la pregunta 13 dice, como funciones de $s$ :

-\varepsilon e_0 - \frac{2M}{\delta^2}q_x \;\leq\; f - f(x)e_0 \;\leq\; \varepsilon e_0 + \frac{2M}{\delta^2}q_x, \qquad q_x = e_2 - 2x\,e_1 + x^2e_0 .

Apliquemos el operador lineal monótono $L_n$ (pregunta 12) y evaluemos en $x$ :

\abs{L_nf(x) - f(x)L_ne_0(x)} \leq \varepsilon L_ne_0(x) + \frac{2M}{\delta^2}\bigl(L_ne_2(x) - 2xL_ne_1(x) + x^2L_ne_0(x)\bigr) .

15. Escribamos $\alpha_j = L_ne_j - e_j$ , de modo que $\norm{\alpha_j}_\infty \to 0$ . Como $e_2(x) - 2xe_1(x) + x^2e_0(x) = 0$ :

L_ne_2(x) - 2xL_ne_1(x) + x^2L_ne_0(x) = \alpha_2(x) - 2x\,\alpha_1(x) + x^2\alpha_0(x),

de norma del supremo a lo sumo $\norm{\alpha_2} + 2\norm{\alpha_1} + \norm{\alpha_0} \to 0$ . Además $L_ne_0 \to e_0$ uniformemente, luego $L_ne_0 \leq 2$ para $n$ grande, y $\abs{f(x)}\abs{L_ne_0(x) - 1} \leq M\norm{\alpha_0} \to 0$ . Ensamblando con la pregunta 14: para $n$ grande y uniformemente en $x$ ,

\abs{L_nf(x) - f(x)} \leq 2\varepsilon + \frac{2M}{\delta^2}\,o(1) + M\,o(1) \leq 3\varepsilon :

$L_nf \to f$ uniformemente; el teorema de Korovkin.

16. $B_ne_0 = e_0$ y $B_ne_1 = e_1$ exactamente, y $\norm{B_ne_2 - e_2}_\infty = \max_x\frac{x(1-x)}{n} = \frac{1}{4n} \to 0$ (pregunta 2): se aplica Korovkin y Weierstrass sale por tercera vez.

17. $I_nf$ es lineal en $f$ (lo son los valores nodales) y, sobre cada celda, el interpolante afín de valores nodales no negativos es no negativo: es positivo. $I_ne_0 = e_0$ e $I_ne_1 = e_1$ porque una función afín coincide con su propio interpolante. Sobre una celda $\intcc ab$ (con $b - a = \frac1n$ ), el interpolante afín de $e_2$ es $L(t) = (a+b)t - ab$ , y

L(t) - t^2 = (t-a)(b-t) \in \intcc{0}{\tfrac{(b-a)^2}{4}} ,

con máximo en el punto medio: $\norm{I_ne_2 - e_2}_\infty = \frac{1}{4n^2} \to 0$ . Korovkin: $I_nf \to f$ uniformemente para toda $f$ continua; aproximación poligonal, sin necesidad de ninguna otra estimación.

18. Dados $f$ y $\varepsilon$ : Weierstrass proporciona un polinomio $P = \sum_{j=0}^d a_jx^j$ con $\norm{f - P}_\infty \leq \frac\varepsilon2$ ; sustituir cada $a_j$ por un racional $b_j$ con $\abs{a_j - b_j} \leq \frac{\varepsilon}{2(d+1)}$ mueve la norma del supremo sobre $\intcc{0}{1}$ a lo sumo $\frac\varepsilon2$ . El conjunto de los polinomios de coeficientes racionales es una unión numerable (sobre $d$ ) de conjuntos numerables y, por tanto, numerable, y es denso: $C(\intcc{0}{1})$ es separable.

19. Por linealidad, $\int_0^1 fP = 0$ para todo polinomio $P$ . Elijamos polinomios $P_n \to f$ uniformemente (Weierstrass):

\Bigl|\int_0^1 f^2\Bigr| = \Bigl|\int_0^1 f\,(f - P_n)\Bigr| \leq \norm f_\infty\,\norm{f - P_n}_\infty \longrightarrow 0 ,

luego $\int_0^1 f^2 = 0$ . Si $f(x_0) \neq 0$ , la continuidad da $f^2 \geq c > 0$ sobre un subintervalo, en contra de la anulación de la integral: $f = 0$ . En consecuencia, dos funciones continuas con los mismos momentos $\int f t^n$ coinciden.

20. Con $p_{n,k}(x) = \binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ y los convenios $p_{n-1,-1} = p_{n-1,n} = 0$ , la regla del producto y las identidades $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ , $(n-k)\binom nk = n\binom{n-1}{k}$ dan

p_{n,k}'(x) = n\bigl(p_{n-1,k-1}(x) - p_{n-1,k}(x)\bigr) .

Sumando contra $f(k/n)$ y desplazando el índice en la primera suma (sumación de Abel):

(B_nf)'(x) = n\sum_{j=0}^{n-1}\Bigl(f\Bigl(\frac{j+1}n\Bigr) - f\Bigl(\frac jn\Bigr)\Bigr)p_{n-1,j}(x) .

21. Por el teorema del valor medio, $f(\frac{j+1}n) - f(\frac jn) = \frac1n f'(\xi_j)$ con $\xi_j \in \intoo{j/n}{(j+1)/n}$ , de modo que $(B_nf)'(x) = \sum_j f'(\xi_j)\,p_{n-1,j}(x)$ . El nodo $\frac{j}{n-1}$ también está en $\intcc{j/n}{(j+1)/n}$ (ambas desigualdades se reducen a $j \leq n-1$ ), luego $\abs{\xi_j - \frac j{n-1}} \leq \frac1n$ y

\bigl|(B_nf)'(x) - B_{n-1}(f')(x)\bigr| \leq \sum_j\Bigl|f'(\xi_j) - f'\Bigl(\frac{j}{n-1}\Bigr)\Bigr| p_{n-1,j}(x) \leq \omega_{f'}\Bigl(\frac1n\Bigr) \longrightarrow 0

uniformemente. Como $B_{n-1}(f') \to f'$ uniformemente (el Teorema 10.16 aplicado a la función continua $f'$ ), la desigualdad triangular da $(B_nf)' \to f'$ uniformemente. Los polinomios $P_n = B_nf$ convergen entonces a $f$ en el sentido $C^1$ .

22. Taylor–Lagrange en $x$ : $f(\frac kn) - f(x) = f'(x)(\frac kn - x) + \frac{f''(\xi_k)}2(\frac kn - x)^2$ . Sumando contra los $p_k$ , el término lineal muere (pregunta 2):

\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2p_k = \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\cdot\frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{8n} .

23. Dos derivaciones más de $(x+y)^n$ dan los momentos factoriales, con $n_{(j)} = n(n-1)\cdots(n-j+1)$ :

\sum_k k_{(j)}\,p_k = n_{(j)}\,x^j \qquad (j = 3, 4),

y las identidades $k^3 = k_{(3)} + 3k_{(2)} + k$ y $k^4 = k_{(4)} + 6k_{(3)} + 7k_{(2)} + k$ los convierten en momentos de potencias:

\sum_k k^3p_k = n_{(3)}x^3 + 3n_{(2)}x^2 + nx, \qquad \sum_k k^4p_k = n_{(4)}x^4 + 6n_{(3)}x^3 + 7n_{(2)}x^2 + nx .

Desarrollando $(k - nx)^4$ y agrupando (un cálculo paciente pero puramente mecánico con los cuatro momentos de potencias):

\sum_k(k-nx)^4p_k = nx(1-x)\bigl(1 + 3(n-2)x(1-x)\bigr) .

Con $x(1-x) \leq \frac14$ , el miembro derecho es a lo sumo $\frac n4\bigl(1 + \frac{3n}4\bigr) = \frac{3n^2}{16} + \frac n4 \leq n^2$ para $n \geq 1$ .

24. La forma de Peano de Taylor en $x$ define $\eta(t) = \frac{f(t) - f(x) - f'(x)(t-x) - \frac12f''(x)(t-x)^2} {(t-x)^2}$ para $t \neq x$ , con $\eta(x) = 0$ : por Taylor–Lagrange, $\eta(t) = \frac12\bigl(f''(\xi) - f''(x)\bigr)$ para cierto $\xi$ entre $t$ y $x$ , de modo que $\abs\eta \leq \norm{f''}_\infty$ y $\eta(t) \to 0$ cuando $t \to x$ (continuidad de $f''$ ). Sumando el desarrollo contra los $p_k$ y usando las preguntas 2–3:

n\bigl(B_nf(x) - f(x)\bigr) = \frac{x(1-x)}{2}f''(x) + n\sum_k\eta\Bigl(\frac kn\Bigr)\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2p_k .

Dado $\varepsilon$ , elíjase $\delta$ con $\abs\eta \leq \varepsilon$ sobre $\abs{t - x}\leq\delta$ . Parte cercana: a lo sumo $\varepsilon\,n\cdot\frac{x(1-x)}n \leq \varepsilon$ . Parte lejana: con $C = \norm{f''}_\infty$ y la pregunta 23,

n\,C\sum_{\abs{k/n-x}>\delta}\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2p_k \leq \frac{nC}{\delta^2}\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^4p_k = \frac{nC}{\delta^2 n^4}\sum_k(k-nx)^4p_k \leq \frac{C}{\delta^2 n} \longrightarrow 0 .

Por tanto, $n(B_nf(x) - f(x)) \to \frac{x(1-x)}2f''(x)$ : el teorema de Voronovskaya. Para $f = e_2$ esto es exacto en todo $n$ (Ejercicio 10.7): el techo de $\frac1n$ es real.

25. (i) La positividad convirtió desigualdades puntuales en desigualdades entre operadores: dio la cota de la norma, Jensen, Chebyshev y todo Korovkin; la linealidad sola no demuestra nada aquí. (ii) La compacidad entró por Heine (preguntas 6 y 13), por la acotación de $f$ y por el hecho mismo de que la norma $\norm\cdot_\infty$ sea finita. (iii) Tres funciones de prueba bastan porque la positividad reduce todo a controlar $L_n$ sobre la única familia $(s-x)^2 = e_2 - 2xe_1 + x^2e_0$ , cuya envoltura es la de $e_0, e_1, e_2$ . (iv) Bernstein converge a la velocidad honesta $\omega(n^{-1/2})$ para toda $f$ continua (óptima, pregunta 11) pero satura en $\frac1n$ para $f$ suave (pregunta 24); el capítulo de Fourier ejecuta el mismo programa para funciones periódicas con el núcleo de Fejér, otro operador positivo con las mismas virtudes y la misma modestia.