Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

25Funciones de dos variables

El año termina con un primer paseo por la dimensión superior: las funciones $f(x, y)$ de dos variables reales. Todo se generaliza — límites, continuidad, derivadas, extremos — pero cada noción gana un matiz: a un límite se puede tender por todas las direcciones a la vez, las derivadas se desdoblan en parciales y el gradiente señala el camino cuesta arriba. La teoría completa (diferenciales, $\R^n$ general, subvariedades) pertenece al segundo año; aquí fijamos el vocabulario y los primeros teoremas honestos.

25.1 El plano $\R^2$ ; continuidad

Definición 25.1

En $\R^2$ se usa la norma euclídea $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (Capítulo 23). Las bolas abiertas, los entornos y los subconjuntos abiertos de $\R^2$ se definen exactamente como en Capítulo 12, con bolas en lugar de intervalos. Una función $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ abierto) es continua en $a \in U$ cuando

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

con la misma caracterización secuencial que en una variable. Sumas, productos, cocientes y composiciones con funciones continuas de una variable preservan la continuidad; las aplicaciones coordenadas son continuas, y por tanto también lo son los polinomios en $(x,y)$ .

Ejemplo 25.2 (La cota polar, la manera limpia de probar un límite)

Demuéstrese que $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (con $f(0,0) = 0$ ) es continua en el origen. En coordenadas polares $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

una cota independiente de $\theta$ : sea cual sea la dirección de aproximación, los valores quedan atrapados hacia $0$ . Esa uniformidad en $\theta$ es toda la cuestión — una cota como $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (sin $\rho$ alguno) no prueba nada, y de hecho ese $g$ es la trampa radial discontinua del ejemplo siguiente.

Ejemplo 25.3 (La trampa radial)

Sea $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ , $f(0, 0) = 0$ . A lo largo de cada eje, $f = 0 \to 0$ ; pero a lo largo de la diagonal $y = x$ , $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . No hay límite en el origen: aproximarse por todas las rectas, e incluso hallar el mismo límite por cada una, no basta (aquí los límites por rectas discrepan; hay ejemplos peores que coinciden por todas las rectas y fallan por una parábola, Ejercicio 25.3). La continuidad en cada variable por separado no implica la continuidad.

25.2 Derivadas parciales

Definición 25.4

Las derivadas parciales de $f$ en $(a, b)$ son las derivadas de una variable a lo largo de los ejes:

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a,b)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{k \to 0} \frac{f(a, b + k) - f(a,b)}{k}.

$f$ es de clase $C^1$ en $U$ cuando ambas existen y son continuas en $U$ . El gradiente es $\nabla f(a,b) = \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial f}{\partial y}\bigr)(a,b)$ .

Teorema 25.5 ( $C^1$ implica un plano tangente)

Sea $f$ de clase $C^1$ en $U$ y sea $(a,b) \in U$ . Entonces, cuando $(h, k) \to (0,0)$ :

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) + k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) .

En particular $f$ es continua, y la gráfica $z = f(x,y)$ tiene en cada punto el plano tangente que se lee en la fórmula.

Ejemplo 25.6 (La aproximación lineal en acción)

Estímese $f(1.02,\ 0.99)$ para $f(x, y) = x^3y^2$ . En $(1, 1)$ : $f = 1$ , $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 = 3$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y = 2$ , luego Teorema 25.5 da

f(1.02,\ 0.99) \approx 1 + 3\,(0.02) + 2\,(-0.01) = 1.04 ,

frente al valor verdadero $1.02^3 \times 0.99^2 = 1.04006\dots$ — el error es de segundo orden en los incrementos, como promete el $o(\norm{(h,k)})$ . El plano tangente a la gráfica en $(1, 1, 1)$ es $z = 1 + 3(x - 1) + 2(y - 1)$ , la ecuación implícita en la estimación.

Demostración. Se mueve una coordenada cada vez:

f(a+h, b+k) - f(a,b) = \bigl[f(a+h, b+k) - f(a, b+k)\bigr] + \bigl[f(a, b+k) - f(a,b)\bigr].

Por el teorema del valor medio en una variable (Teorema 14.9), el primer corchete vale $h\, \frac{\partial f}{\partial x}(a + \theta h,\, b + k)$ para cierto $\theta \in \intoo{0}{1}$ , y el segundo $k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,\, b + \theta' k)$ . La continuidad de las parciales en $(a,b)$ permite escribir cada uno como (valor en $(a,b)$ ) $+$ (error $\to 0$ ); el error total es $h\,\varepsilon_1 + k\,\varepsilon_2 = o(\norm{(h,k)})$ ya que $\abs h, \abs k \leq \norm{(h,k)}$ . ∎

Teorema 25.7 (Regla de la cadena)

Sea $f$ de clase $C^1$ en $U$ y sea $t \mapsto (x(t), y(t))$ de clase $C^1$ de un intervalo en $U$ . Entonces $g(t) = f\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ es $C^1$ , con

g'(t) = x'(t)\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr) + y'(t)\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl\langle \nabla f,\ (x', y')\bigr\rangle .

Demostración. Aplíquese Teorema 25.5 en $(x(t), y(t))$ con $(h, k) = (x(t+s) - x(t),\, y(t+s) - y(t))$ : cuando $s \to 0$ , la derivabilidad en una variable da $h = s\,x'(t) + o(s)$ y $k = s\,y'(t) + o(s)$ , luego $\norm{(h, k)} = O(s)$ y

g(t+s) - g(t) = h\,\frac{\partial f}{\partial x} + k\,\frac{\partial f}{\partial y} + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) = s\,\Bigl(x'\,\frac{\partial f}{\partial x} + y'\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) + o(s) ,

donde el error final absorbe tanto los $o(s)$ de $h$ y $k$ (multiplicados por los valores fijos de las parciales) como el $o(O(s))$ de la estimación del plano tangente. Divídase por $s$ y hágase $s \to 0$ . La continuidad de $g'$ se sigue de la de todos los ingredientes. ∎

Ejemplo 25.8 (La regla de la cadena, comprobada por los dos caminos)

Sean $f(x, y) = x^2 y$ y $g(t) = f(t, t^2)$ . Directamente: $g(t) = t^2\cdot t^2 = t^4$ , luego $g'(t) = 4t^3$ . Por la regla de la cadena: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ , evaluadas a lo largo de la curva $(t, t^2)$ :

g'(t) = 1\cdot 2t\cdot t^2 + 2t\cdot t^2 = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3 .

Los dos cálculos coinciden, y el desglose es significativo: $2t^3$ del crecimiento proviene de moverse hacia la derecha por la pendiente en $x$ , y $2t^3$ de moverse hacia arriba por la pendiente en $y$ . En las curvas donde no existe forma cerrada para $g$ , solo sobrevive el segundo cálculo — ese es el sentido del teorema.

Observación 25.9 (Lectura del gradiente)

A lo largo de una dirección unitaria $u$ , la regla de la cadena aplicada a $t \mapsto f(a + tu)$ da la derivada direccional $\langle \nabla f(a), u\rangle$ : máxima cuando $u$ apunta en el sentido de $\nabla f(a)$ (por Cauchy–Schwarz, Teorema 23.4). El gradiente es la dirección de máxima pendiente de subida, y es ortogonal a las curvas de nivel $\{f = c\}$ (derívese $f$ a lo largo de una curva trazada en un conjunto de nivel: la regla de la cadena da $\langle\nabla f,\, \text{tangente}\rangle = 0$ ).

Ejemplo 25.10 (Curvas de nivel y gradientes, sobre una sola función)

Tómese $f(x, y) = x^2 - y^2$ . Sus conjuntos de nivel: $\{f = c\}$ es una hipérbola que se abre a izquierda y derecha si $c > 0$ , hacia arriba y abajo si $c < 0$ , y el par de rectas cruzadas $y = \pm x$ si $c = 0$ — el mapa de curvas de nivel de un puerto de montaña, con el punto de silla en el origen donde se cruzan las dos rectas de nivel cero. Gradiente: $\nabla f = (2x, -2y)$ . En el punto $(2, 1)$ (sobre el nivel $c = 3$ ): $\nabla f = (4, -2)$ , mientras que el vector tangente de la curva de nivel, parametrizada cerca de ese punto por $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$ , es $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ en $t = 2$ — y en efecto

\langle (4, -2),\ (1, 2)\rangle = 4 - 4 = 0 :

gradiente perpendicular a la curva de nivel, apuntando hacia valores mayores de $f$ (aquí: alejándose del eje $y$ ). Dos lecturas más: el gradiente se anula exactamente en el punto de silla, donde el mapa de niveles se estrangula; y la recta tangente a la curva de nivel en $(2,1)$ es $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$ , es decir, $2x - y = 3$ — la ecuación « $\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$ » que generaliza la tangente a la elipse de Ejercicio 24.11.

Teorema 25.11 (Schwarz)

Si $f$ es de clase $C^2$ (las parciales de las parciales existen y son continuas), entonces

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

25.3 Extremos locales

Método 25.12 (Estudio de extremos, organizado)

Resuélvase $\nabla f = 0$ por completo. Factorícese cada parcial siempre que sea posible (los productos de factores lineales descomponen el sistema en casos transparentes, como en Ejemplo 25.16 más abajo); un caso olvidado es un punto crítico olvidado.
Clasifíquese cada punto con los datos de Monge $r, s, t$ — recalculados en cada punto, nunca una sola vez para todos.
Si $rt - s^2 = 0$ , examínese $f$ directamente a lo largo de curvas bien elegidas que pasen por el punto (primero rectas, luego parábolas), buscando o bien dos signos (no hay extremo) o bien un signo fijo con un argumento que cubra todas las direcciones.
Retrocédase para ver el cuadro global: revísese el comportamiento en el infinito (un mínimo local puede no ser global) y, si el dominio no es abierto, trátese su frontera aparte (Ejercicio 25.12) — el teorema del punto crítico solo ve puntos interiores.

Teorema 25.13 (Puntos críticos)

Si $f$ (de clase $C^1$ en el abierto $U$ ) tiene un extremo local en $(a,b) \in U$ , entonces $\nabla f(a,b) = (0,0)$ : el punto es crítico.

Demostración. Las funciones de una variable $x \mapsto f(x, b)$ e $y \mapsto f(a, y)$ tienen extremos locales interiores en $a$ y en $b$ respectivamente: Proposición 14.7 anula ambas parciales. ∎

Método 25.14 (Criterio de segundo orden (notación de Monge))

En un punto crítico de una función $C^2$ , póngase

r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \qquad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \qquad (\text{valores en el punto}).

Si $rt - s^2 > 0$ : extremo local — mínimo si $r > 0$ , máximo si $r < 0$ ;
si $rt - s^2 < 0$ : no hay extremo (un punto de silla);
si $rt - s^2 = 0$ : el criterio calla; examínese directamente.

(La justificación — un desarrollo de Taylor–Young de orden $2$ y el estudio del signo de la forma cuadrática $r h^2 + 2shk + tk^2$ — se lleva a cabo en el segundo año; aquí el criterio se usa como herramienta de trabajo.)

Ejemplo 25.15

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ . Puntos críticos: $\nabla f = (3x^2 - 3y,\; 3y^2 - 3x) = 0$ da $y = x^2$ y $x = y^2$ , luego $x = x^4$ : $x \in \{0, 1\}$ : los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$ .

Derivadas segundas: $r = 6x$ , $s = -3$ , $t = 6y$ . En $(0,0)$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : punto de silla. En $(1,1)$ : $rt - s^2 = 36 - 9 > 0$ , $r = 6 > 0$ : mínimo local, $f(1,1) = -1$ . (No global: $f(x, 0) = x^3 \to -\infty$ .)

Ejemplo 25.16 (Un estudio de cuatro puntos, completo)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$ . Gradiente:

\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(3 - 2x - y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\,(3 - x - 2y).

Puntos críticos: si $y = 0$ , la segunda ecuación da $x \in \{0, 3\}$ ; si $x = 0$ , la primera da $y \in \{0, 3\}$ ; si $xy \neq 0$ , se resuelve $2x + y = 3$ , $x + 2y = 3$ : $x = y = 1$ . Cuatro puntos: $(0,0)$ , $(3,0)$ , $(0,3)$ , $(1,1)$ . Derivadas segundas: $r = -2y$ , $s = 3 - 2x - 2y$ , $t = -2x$ .

$(1,1)$ : $r = -2$ , $s = -1$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r < 0$ : máximo local, $f(1,1) = 1$ .
$(0,0)$ : $r = t = 0$ , $s = 3$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : punto de silla; lo mismo en $(3, 0)$ ( $s = -3$ ) y en $(0, 3)$ : tres puntos de silla.

El máximo es solo local: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$ . Comprobación de simetría: $f(x, y) = f(y, x)$ , y en efecto el conjunto crítico y la clasificación son simétricos en $x \leftrightarrow y$ . Interpretación: entre los rectángulos con holgura $x, y \geq 0$ , $x + y \leq 3$ , el producto $xy(3 - x - y)$ de las tres «partes» de $3$ es máximo cuando las partes son iguales — una sombra en dos variables de la desigualdad entre medias.

Las dos curvas f = 0 para f = x3 + y3 - 3xy se cortan en los puntos críticos (0,0) (punto de silla) y (1,1) (mínimo local). — Las dos curvas $\nabla f = 0$ para $f = x^3 + y^3 - 3xy$ se cortan en los puntos críticos $(0,0)$ (punto de silla) y $(1,1)$ (mínimo local).

Observación 25.17 (Errores frecuentes)

Las derivadas parciales pueden existir en un punto de discontinuidad: la trampa radial $g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ de Ejemplo 25.3 tiene $\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = 0$ (ambas restricciones a los ejes son idénticamente nulas), y sin embargo $g$ no tiene límite en el origen — las parciales sondean solo dos direcciones y la continuidad las necesita todas; solo la hipótesis $C^1$ restablece el orden (Teorema 25.5). Los límites por rectas nunca bastan: la función del Ejercicio 25.3 tiene límite $0$ por toda recta y aun así no tiene límite — pruébense siempre las parábolas (o cotas polares válidas uniformemente en $\theta$ ). Ser crítico es necesario, no suficiente: los puntos de silla abundan (tres de los cuatro puntos de Ejemplo 25.16); y el teorema vale solo en abiertos: en conjuntos como un disco cerrado, los extremos pueden estar en la frontera con gradiente no nulo (Ejercicio 25.12). El caso mudo $rt - s^2 = 0$ es genuinamente mudo: $x^4 + y^4$ (mínimo) y $x^3 + y^3$ (ninguno de los dos) tienen ambos $r = s = t = 0$ en el origen; solo un estudio directo del signo decide (Ejercicio 25.6, función $h$ ). El gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, no tangente a ellas: para seguir una curva de nivel hay que moverse perpendicularmente a $\nabla f$ ; para subir lo más deprisa posible, en su dirección — mezclar ambas cosas invierte la geometría de todo mapa de niveles.

Observación 25.18 (Adónde llevan las dos variables)

Este capítulo es una puerta. El gradiente y la regla de la cadena se extienden literalmente a $n$ variables en el volumen del segundo año, donde el $o(\norm{(h,k)})$ de Teorema 25.5 se convierte en la diferencial y el criterio de Monge se demuestra por completo mediante la fórmula de Taylor de orden dos y las formas cuadráticas. El caso especial que puede resolverse este año — las funciones cuadráticas, para las que el desarrollo de segundo orden es exacto — es el objeto del problema de fin de semana, y resulta ser el caso que gobierna el ajuste de datos en todo el mundo: la regresión por mínimos cuadrados. Los extremos con restricciones (Ejercicio 25.5 fue un anticipo) se convierten en los multiplicadores de Lagrange del segundo año; las funciones armónicas (Ejercicio 25.7) reaparecen en el análisis complejo del volumen del tercer año.

Observación 25.19 (Perspectivas dentro del Libro 3: el año, cerrado)

En este capítulo se dan la mano las dos mitades del volumen. La mitad de análisis aportó sus herramientas una derivada cada vez: el teorema del valor medio impulsa Teorema 25.5, los desarrollos de Taylor impulsan los criterios de extremos, y los $\varepsilon$ de Capítulo 12 han vuelto con bolas en lugar de intervalos. La mitad de álgebra aportó la geometría: el gradiente se lee a través del producto escalar de Capítulo 23 (Cauchy–Schwarz lo convierte en la dirección de máxima pendiente), los datos de Monge $(r, s, t)$ forman una matriz simétrica de Capítulo 21 con el criterio del determinante de Capítulo 22, y el problema de fin de semana ejecuta una proyección ortogonal sobre vectores de datos. Incluso las curvas de Capítulo 24 vuelven como conjuntos de nivel. Quien sea capaz de reconstruir por qué funciona cada uno de estos cinco relevos habrá, en efecto, repasado el año entero — que es el verdadero propósito de este capítulo final.

Los mínimos cuadrados en una imagen: cuatro puntos de datos, la recta de regresión y = 1.4x - 0.1, y los residuos verticales (a trazos) cuyos cuadrados minimiza la recta — en total 0.2, el mínimo alcanzable. El problema de fin de semana calcula esta recta, demuestra que es el único minimizador e identifica toda la construcción con una proyección ortogonal en ℝ4. — Los mínimos cuadrados en una imagen: cuatro puntos de datos, la recta de regresión $y = 1.4x - 0.1$ , y los residuos verticales (a trazos) cuyos cuadrados minimiza la recta — en total $0.2$ , el mínimo alcanzable. El problema de fin de semana calcula esta recta, demuestra que es el único minimizador e identifica toda la construcción con una proyección ortogonal en $\R^4$ .

25.4 Ejercicios

Ejercicio 25.1 ★

Calcúlense las derivadas parciales: $f(x,y) = x^2 y + \eu^{xy}$ ; $\;g(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$ (en $\R^2\setminus\{0\}$ ); $\;h(x,y) = \arctan\frac yx$ (en $x > 0$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\,\eu^{xy}$ , $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\,\eu^{xy}$ .

$\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{2y}{x^2+y^2}$ .

$\dfrac{\partial h}{\partial x} = \dfrac{-y/x^2}{1 + y^2/x^2} = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial h}{\partial y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ .

Ejercicio 25.2 ★

Estúdiese la continuidad en $(0,0)$ (con valor $0$ allí) de:

f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, \qquad g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \qquad h(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.

(Las coordenadas polares $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ ayudan: acótese por una función solo de $\rho$ cuando sea posible.)

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

En coordenadas polares ( $\rho \to 0$ ):

$\abs{f} = \dfrac{\rho^3\abs{\cos^2\theta\sin\theta}}{\rho^2} \leq \rho \to 0$ : continua.

$g = \cos\theta\sin\theta$ : independiente de $\rho$ , y toma valores distintos a lo largo de rayos distintos (cf. Ejemplo 25.3): no hay límite, no es continua.

$\abs h \leq \dfrac{\rho^3(\abs{\cos^3\theta} + \abs{\sin^3\theta})}{\rho^2} \leq 2\rho \to 0$ : continua.

Ejercicio 25.3 ★★

Sea $f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ ). Demuéstrese que $f$ tiene límite $0$ en el origen a lo largo de toda recta, pero que $f\bigl(x, x^2\bigr) = \frac12$ : $f$ no es continua en $(0,0)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

A lo largo de $y = mx$ : $f(x, mx) = \dfrac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$ (para $m \neq 0$ ; a lo largo de $y = 0$ y del eje $y$ , $f = 0$ ). Así que todo límite por rectas vale $0$ . Pero sobre la parábola $y = x^2$ :

f(x, x^2) = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac12 :

la sucesión $\bigl(\frac1n, \frac{1}{n^2}\bigr) \to (0,0)$ cumple $f \to \frac12 \neq 0$ . No es continua: las rectas no bastan para probar límites en dos variables.

Ejercicio 25.4 ★

Verifíquese a mano el teorema de Schwarz en $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$ ; entonces

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y + x\cos(xy)$ ; entonces

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) :

iguales, como promete Schwarz.

Ejercicio 25.5 ★★

Sea $f$ de clase $C^1$ en $\R^2$ y sea $g(t) = f(\cos t, \sin t)$ . Exprésese $g'(t)$ mediante la regla de la cadena. Dedúzcase que $f$ restringida a la circunferencia unidad alcanza sus extremos en los puntos donde $\nabla f$ es paralelo al vector radial.

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

Por Teorema 25.7 con $(x, y) = (\cos t, \sin t)$ :

g'(t) = -\sin t\,\frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + \cos t\,\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) = \bigl\langle \nabla f,\ (-\sin t, \cos t)\bigr\rangle .

En un extremo de $g$ , $g'(t) = 0$ : $\nabla f$ es ortogonal al vector tangente $(-\sin t, \cos t)$ de la circunferencia, y por tanto paralelo al vector radial $(\cos t, \sin t)$ (en el plano, el complemento ortogonal de un vector unitario es la recta que este genera, tomada perpendicular). Es el caso más simple de un multiplicador de Lagrange.

Ejercicio 25.6 ★★

Hállense y clasifíquense los puntos críticos de:

f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x, \qquad g(x, y) = x^2 - y^2 + 4y, \qquad h(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2 .

(Para $h$ , el criterio del determinante calla en el origen: examínense $h(x, x)$ y $h(x, -x)$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

$f$ : $\nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0$ : $y = -\frac x2$ y $2x - \frac x2 = 3$ : $x = 2$ , $y = -1$ . Segundo orden: $r = 2$ , $s = 1$ , $t = 2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : mínimo local (de hecho global — es cuadrática) en $(2, -1)$ , de valor $f(2,-1) = -3$ .

$g$ : $\nabla g = (2x,\; -2y + 4) = 0$ : el punto $(0, 2)$ ; $r = 2$ , $s = 0$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = -4 < 0$ : punto de silla.

$h$ : $\nabla h = \bigl(4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y)\bigr) = 0$ . Sumando: $x^3 + y^3 = 0$ , luego $y = -x$ ; sustituyendo: $4x^3 - 8x = 0$ : $x \in \{0, \pm\sqrt2\}$ . Puntos críticos: $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ , $(-\sqrt2, \sqrt2)$ . En $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $r = 12x^2 - 4 = 20$ , $s = 4$ , $t = 20$ : $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ : mínimos locales (de valor $h = 4 + 4 - 16 = -8$ ). En $(0,0)$ : $r = t = -4$ , $s = 4$ : $rt - s^2 = 0$ : el criterio calla. Examínese: $h(x, x) = 2x^4 > 0$ y $h(x, -x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ para $x \neq 0$ pequeño: ambos signos en todo entorno — no hay extremo en el origen.

Ejercicio 25.7 ★★

Una función $f$ es armónica cuando $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ . Compruébese que $x^2 - y^2$ , $xy$ , $\eu^x\cos y$ y $\ln(x^2 + y^2)$ (fuera del origen) son armónicas.

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

$x^2 - y^2$ : parciales segundas $2$ y $-2$ : suma $0$ . $xy$ : ambas parciales segundas puras se anulan. $\eu^x\cos y$ : $\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \eu^x\cos y$ , $\frac{\partial^2}{\partial y^2} = -\eu^x\cos y$ : suma $0$ . $\ln(x^2+y^2)$ : por Ejercicio 25.1,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}\ln(x^2+y^2) = \frac{2(x^2+y^2) - 4x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2},

y la versión en $y$ es su opuesta: suma $0$ .

Ejercicio 25.8 ★★★

Hállese el punto del plano $\{x + 2y - z = 4\} \subseteq \R^3$ más cercano al origen de dos maneras: por proyección ortogonal (Capítulo 23) y minimizando la función de dos variables $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ obtenida al eliminar $z$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

Proyección: el plano $P$ tiene por normal $n = (1, 2, -1)$ y pasa por $A = (4, 0, 0)$ . El punto más cercano al origen es $O$ proyectado: $p = O + \frac{\langle A - O, n\rangle}{\norm n^2}\,n = \frac{4}{6}(1,2,-1) = \bigl(\frac23, \frac43, -\frac23\bigr)$ , a distancia $\frac{4}{\sqrt 6}$ . (Fórmula: la distancia del origen al plano $\langle X, n \rangle = c$ es $\frac{\abs c}{\norm n}$ con $c = 4$ .)

Minimización: $f(x,y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ . Escribiendo $w = x + 2y - 4$ para el último factor:

\nabla f = \bigl(2x + 2w,\; 2y + 4w\bigr) = 0 \iff x = -w \text{ y } y = -2w .

Sustituyendo en la definición de $w$ : $w = -w - 4w - 4$ , luego $w = -\frac23$ , lo que da $x = \frac23$ , $y = \frac43$ y $z = w = -\frac23$ . El mismo punto que por proyección, a distancia $\sqrt{\frac49 + \frac{16}{9} + \frac49} = \frac{2\sqrt 6}{3} = \frac{4}{\sqrt6}$ ; es un mínimo porque $f \to \infty$ en el infinito (una cuadrática definida positiva más términos lineales).

Ejercicio 25.9 ★★★

(El laplaciano en coordenadas polares, primer contacto) Sea $f$ de clase $C^2$ en $\R^2 \setminus \{0\}$ y radial: $f(x, y) = \varphi\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$ con $\varphi$ de clase $C^2$ en $\intoo{0}{+\infty}$ . Demuéstrese que

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \varphi''(\rho) + \frac{\varphi'(\rho)}{\rho}, \qquad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},

y hállense todas las funciones armónicas radiales en el plano perforado.

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

Con $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ : $\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\rho}$ , luego

\frac{\partial f}{\partial x} = \varphi'(\rho)\,\frac{x}{\rho}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \varphi''(\rho)\,\frac{x^2}{\rho^2} + \varphi'(\rho)\,\Bigl(\frac{1}{\rho} - \frac{x^2}{\rho^3}\Bigr),

(reglas del cociente y de la cadena). Sumando la expresión simétrica en $y$ : los términos en $\varphi''$ recogen $\frac{x^2 + y^2}{\rho^2} = 1$ , y los términos en $\varphi'$ recogen $\frac{2}{\rho} - \frac{x^2 + y^2}{\rho^3} = \frac{1}{\rho}$ :

\Delta f = \varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} .

Armónicas radiales: se resuelve $\varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} = 0$ : la ecuación de primer orden $u' + \frac u\rho = 0$ para $u = \varphi'$ da $u = \frac{c}{\rho}$ (Teorema 5.2), y luego $\varphi = c\ln\rho + d$ . Las funciones armónicas radiales son $c\,\ln\sqrt{x^2 + y^2} + d$ — el potencial logarítmico de Ejercicio 25.7 y las constantes, nada más.

Ejercicio 25.10 ★★

Dese la ecuación del plano tangente a la gráfica $z = xy$ en el punto $(1, 1, 1)$ . Hállense después todos los puntos de la gráfica de $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ donde el plano tangente es horizontal, y relaciónese la respuesta con Ejemplo 25.15.

Solución

Solución de Ejercicio 25.10.

Para $z = xy$ en $(1,1)$ : parciales $y = 1$ y $x = 1$ , plano tangente $z = 1 + (x - 1) + (y - 1) = x + y - 1$ . Que el plano tangente sea horizontal significa que ambas parciales se anulan, es decir, $\nabla f = 0$ : por Ejemplo 25.15, exactamente los puntos críticos $(0, 0)$ y $(1, 1)$ , con planos horizontales $z = 0$ y $z = -1$ . «Plano tangente horizontal» y «punto crítico» son la misma noción, vista en la gráfica y en la fórmula.

Ejercicio 25.11 ★★

Sea $f$ de clase $C^1$ en $\R^2$ .

Si $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ en todo punto, demuéstrese que $f(x, y)$ solo depende de $y$ .
Hállense todas las soluciones $C^1$ de la ecuación $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}$ en $\R^2$ . (Póngase $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ y calcúlese $\frac{\partial g}{\partial v}$ por la regla de la cadena.)

Solución

Solución de Ejercicio 25.11.

Para $y$ fijo, la función de una variable $x \mapsto f(x,y)$ tiene derivada nula en $\R$ y por tanto es constante (Teorema 14.9): $f(x, y) = f(0, y)$ para todo $x$ : $f$ solo depende de $y$ .
Sea $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ . Por la regla de la cadena (Teorema 25.7, aplicada en la variable $v$ con $u$ congelada):

$\frac{\partial g}{\partial v} = \frac12\,\frac{\partial f}{\partial x} - \frac12\,\frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$

Por (1), $g$ solo depende de $u$ : $g(u, v) = \varphi(u)$ con $\varphi$ de clase $C^1$ y, deshaciendo el cambio de variables ( $u = x + y$ , $v = x - y$ ),

$f(x, y) = \varphi(x + y).$

Recíprocamente, toda $f$ de esa forma cumple $f_x = f_y = \varphi'$ : las soluciones son exactamente las funciones $C^1$ de $x + y$ .

Ejercicio 25.12 ★★★

Hállense el máximo y el mínimo globales de $f(x, y) = xy$ en el disco cerrado $x^2 + y^2 \leq 1$ . (Admítase el teorema de los valores extremos en dos variables: una función continua en el disco cerrado alcanza sus cotas — se demuestra en el volumen del segundo año. Trátese el disco abierto por puntos críticos y la circunferencia frontera por la parametrización de Ejercicio 25.5.)

Solución

Solución de Ejercicio 25.12.

En el disco abierto, un extremo sería crítico: $\nabla f = (y, x) = 0$ solo en $(0,0)$ , donde $f = 0$ ; es un punto de silla ( $f(\pm \varepsilon, \pm\varepsilon) = \varepsilon^2 > 0 > -\varepsilon^2 = f(\pm\varepsilon, \mp\varepsilon)$ ), así que allí no hay extremo. Por el teorema de los valores extremos admitido, las cotas se alcanzan, necesariamente en la circunferencia frontera. Allí, con Ejercicio 25.5,

f(\cos t, \sin t) = \cos t\sin t = \frac{\sin 2t}{2} \in \intcc{-\tfrac12}{\tfrac12},

con máximo $\frac12$ en $t = \frac\pi4, \frac{5\pi}4$ (puntos $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) y mínimo $-\frac12$ en $t = \frac{3\pi}4, \frac{7\pi}4$ (puntos $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). Máximo global $\frac12$ , mínimo global $-\frac12$ .

25.5 Problema: mínimos cuadrados y recta de regresión

Problema 25.1

Dados $n$ puntos de datos, ¿qué recta pasa «lo más cerca» de todos ellos? Legendre y Gauss respondieron: la recta que minimiza la suma de los errores verticales al cuadrado — porque esa minimización se resuelve exactamente con álgebra lineal. Este problema demuestra primero de forma honesta el criterio de Monge de Método 25.14 para las funciones cuadráticas (el único caso en que el desarrollo de segundo orden es exacto), y construye después las ecuaciones normales, la recta de regresión y el coeficiente de correlación sobre la geometría euclídea de Capítulo 23.

Parte I — Funciones cuadráticas: el criterio de Monge, demostrado. Fíjense números reales $r, s, t$ y sea $q(h, k) = r h^2 + 2s hk + t k^2$ .

Supóngase $r \neq 0$ . Establézcase la forma con el cuadrado completado

$q(h, k) = r\Bigl(h + \frac{s}{r}k\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}\,k^2 ,$

y dedúzcase: si $rt - s^2 > 0$ , $q$ tiene el signo estricto de $r$ fuera del origen; si $rt - s^2 < 0$ , $q$ toma ambos signos.
Resuélvanse los casos restantes: $r = 0$ , $t \neq 0$ (simétrico); y $r = t = 0$ ( $q = 2shk$ ). Conclúyase: $q$ toma ambos signos si y solo si $rt - s^2 < 0$ , y $q$ se anula solo en el origen si y solo si $rt - s^2 > 0$ .
Sea ahora $f(x, y) = \frac12\bigl(r x^2 + 2s xy + t y^2\bigr) + \beta x + \gamma y + \delta$ una función cuadrática con un punto crítico $X_0 = (a, b)$ . Demuéstrese el desarrollo exacto

$f(X_0 + (h,k)) = f(X_0) + \tfrac12\,q(h, k) \qquad (\text{sin resto}),$

y dedúzcase la clasificación de Monge para las funciones cuadráticas: mínimo global estricto si $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ; máximo global estricto si $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ; punto de silla si $rt - s^2 < 0$ .
Supóngase $rt - s^2 > 0$ y $r > 0$ (luego también $t > 0$ ). Demuéstrese la cota explícita de coercividad

$q(h, k) \geq c\,(h^2 + k^2), \qquad c = \frac{rt - s^2}{r + t} > 0 .$

(Muéstrese que la forma cuadrática $q - c(h^2 + k^2)$ , de coeficientes $r - c$ , $s$ , $t - c$ , sigue teniendo datos no negativos en el criterio del discriminante.)
Dedúzcase que una función cuadrática con parte cuadrática definida positiva tiende a $+\infty$ cuando $\norm{(x,y)} \to \infty$ , y que por tanto tiene un único minimizador global: su punto crítico. Contrástese con Ejemplo 25.15, donde un mínimo local de una función no cuadrática no era global.

Parte II — Las ecuaciones normales. Sean $C_1, C_2, b \in \R^n$ (producto escalar canónico), y

f(u, v) = \norm{u\,C_1 + v\,C_2 - b}^2 .

Desarróllese $f$ y muéstrese que es una función cuadrática de $(u, v)$ cuya parte cuadrática tiene coeficientes $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .
Muéstrese que $rt - s^2 > 0$ si y solo si $(C_1, C_2)$ es libre (el caso de igualdad de Cauchy–Schwarz, Teorema 23.4); supóngase esto en adelante.
Muéstrese que las ecuaciones críticas $\nabla f = 0$ son las ecuaciones normales

$\begin{pmatrix} \norm{C_1}^2 & \langle C_1, C_2\rangle\\ \langle C_1, C_2\rangle & \norm{C_2}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle C_1, b\rangle\\ \langle C_2, b\rangle\end{pmatrix}$

— con la matriz de Gram de Ejercicio 23.11 a la izquierda — y que dicen exactamente: $b - (uC_1 + vC_2) \perp C_1, C_2$ . Conclúyase con la Parte I y Teorema 23.10: el único minimizador da $p = uC_1 + vC_2 =$ la proyección ortogonal de $b$ sobre $\operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .
Muéstrese que el valor mínimo es $\norm{b}^2 - \langle p, b\rangle = \norm{b - p}^2$ , y dibújese la figura pitagórica.

Parte III — La recta de regresión. Puntos de datos $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ , con los $x_i$ no todos iguales. Minimícese

E(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - \alpha - \beta x_i\bigr)^2 .

Escríbanse $\bar x = \frac1n\sum x_i$ , $\bar y = \frac1n\sum y_i$ , $v_x = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2$ , $v_y = \frac1n\sum y_i^2 - \bar y^2$ , $c_{xy} = \frac1n\sum x_i y_i - \bar x\bar y$ .

Reconózcase la Parte II con $C_1 = (1, \dots, 1)$ , $C_2 = (x_1, \dots, x_n)$ , $b = (y_1, \dots, y_n)$ , y escríbanse las ecuaciones normales

$n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .$
Resuélvanse:

$\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\,\bar x ,$

y obsérvese que la recta de regresión $y = \alpha + \beta x$ pasa por el punto medio $(\bar x, \bar y)$ .
Compruébese que $v_x > 0$ exactamente cuando los $x_i$ no son todos iguales, y relaciónese esto con la pregunta 7.
Demuéstrese que el error mínimo es

$E_{\min} = n\Bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\Bigr) = n\,v_y\,(1 - \rho^2), \qquad \rho = \frac{c_{xy}}{\sqrt{v_x v_y}} \quad (v_y \neq 0).$

Dedúzcase $\abs\rho \leq 1$ , con $\abs\rho = 1$ si y solo si los datos están perfectamente alineados.
Ejemplo resuelto: para los datos $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ , calcúlense $\bar x, \bar y, v_x, c_{xy}$ , la recta de regresión, los cuatro residuos y $E_{\min}$ .
Demuéstrese que los residuos $\varepsilon_i = y_i - \alpha - \beta x_i$ de la recta óptima cumplen $\sum_i \varepsilon_i = 0$ y $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ , e interprétense ambas igualdades mediante la ortogonalidad.

Parte IV — Variantes y aplicaciones.

(La mejor constante) Muéstrese que la constante $\alpha$ que minimiza $\sum_i (y_i - \alpha)^2$ es la media $\bar y$ , y que el valor mínimo es $n\,v_y$ : la varianza mide hasta qué punto los datos no son constantes.
(Recta por el origen) Muéstrese que la pendiente que minimiza $\sum_i (y_i - \beta x_i)^2$ es $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ , y dese una condición sobre los datos para que $\beta_0$ coincida con la pendiente $c_{xy}/v_x$ de la pregunta 11.
(La distancia a una recta, de nuevo) Para un punto $M$ y la recta $D$ que pasa por $P_0$ con vector director unitario $w$ , minimícese $g(\tau) = \norm{P_0 + \tau w - M}^2$ y dedúzcase $d(M, D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ ; recupérese la fórmula $d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ para la recta $ax + by + c = 0$ del plano.
(Análisis de la varianza) Demuéstrese la descomposición $v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n$ : la varianza de los $y_i$ se reparte entre la parte explicada por la recta y la varianza residual.
(Ajuste parabólico) Para ajustar $y = a + bx + cx^2$ , muéstrese que las ecuaciones normales son el sistema $3 \times 3$ con la matriz de momentos

$\begin{pmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2\\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{pmatrix},$

una matriz de Gram que es invertible en cuanto tres de los $x_i$ son distintos (libertad de $(1, X, X^2)$ muestreada en los datos, Ejercicio 23.11; compárense las matrices de momentos del problema de fin de semana de Capítulo 22).

Parte V — Robustez y síntesis.

Clasifíquense los puntos críticos de las tres funciones cuadráticas

$x^2 + xy + y^2, \qquad x^2 + 3xy + y^2, \qquad x^2 + 2xy + y^2 ,$

mediante la Parte I, tratando a mano el tercer caso degenerado (¿dónde se alcanza el mínimo?).
(Experimento con un dato atípico) Añádase el punto $(10, 0)$ a los datos de la pregunta 14 y recalcúlese la pendiente $\beta$ . ¿Qué ha ocurrido y por qué es el error al cuadrado tan sensible a un solo punto lejano?
(Mínimos cuadrados ponderados) Dados pesos $w_i > 0$ , minimícese $\sum_i w_i(y_i - \alpha - \beta x_i)^2$ : muéstrese que la solución viene dada por las mismas fórmulas que en la pregunta 11 con medias, varianza y covarianza ponderadas (defínanse).
Muéstrese que, para la recta óptima, $E_{\min} = 0$ obliga a que todos los puntos estén exactamente sobre ella, y conéctese con el caso de igualdad $\abs\rho = 1$ de la pregunta 13; pruébese con los datos alineados $(1,1), (2,3), (3,5)$ .
Síntesis, en cuatro frases: por qué las funciones cuadráticas son la única clase en la que el criterio de segundo orden de este capítulo no necesita ningún teorema admitido; cómo las ecuaciones normales identifican la minimización analítica con la proyección ortogonal de Capítulo 23; qué mide el coeficiente de correlación y qué desigualdad lo acota; y qué piezas de los capítulos 18–23 (bases, matrices de Gram y de momentos, proyecciones) han reaparecido. Nómbrense el método y las ecuaciones estudiados en las Partes II–III.

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. Desarrollando el miembro derecho:

r\Bigl(h + \frac srk\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = rh^2 + 2shk + \frac{s^2}{r}k^2 + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = q(h,k) .

Si $rt - s^2 > 0$ : ambos cuadrados llevan el signo del factor $r$ , y $q(h,k) = 0$ obliga a $k = 0$ y luego a $h = 0$ : signo estricto de $r$ fuera del origen. Si $rt - s^2 < 0$ : $q(1, 0) = r$ mientras que $q\bigl(-\frac sr, 1\bigr) = \frac{rt - s^2}{r}$ tiene el signo opuesto: aparecen ambos signos.

2. Si $r = 0 \neq t$ , se intercambian los papeles de $h$ y $k$ (el cuadrado completado en $k$ ), con las mismas conclusiones; obsérvese que $rt - s^2 = -s^2 < 0$ en cuanto $s \neq 0$ , y en efecto $q = 2shk + tk^2$ toma entonces ambos signos ( $k$ pequeño frente a $h$ ). Si $r = t = 0$ : $q = 2shk$ , ambos signos si y solo si $s \neq 0$ , es decir, si y solo si $rt - s^2 = -s^2 < 0$ . Resumen: $q$ toma ambos signos $\iff rt - s^2 < 0$ ; $q$ se anula solo en el origen (es definida) $\iff rt - s^2 > 0$ (lo que obliga a $r \neq 0$ , ya que $r = 0$ da $q(1,0) = 0$ ).

3. Con $f_x = rx + sy + \beta$ y $f_y = sx + ty + \gamma$ , el desarrollo directo da

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,f_x(a,b) + k\,f_y(a,b) + \tfrac12 q(h, k),

sin términos de orden superior (la función es un polinomio de grado $2$ ). En un punto crítico la parte lineal se anula: $f(X_0 + H) - f(X_0) = \frac12 q(H)$ exactamente, de modo que el estudio del signo de las preguntas 1–2 clasifica: mínimo global estricto ( $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ), máximo global estricto ( $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ), punto de silla — ambos signos en todo entorno — cuando $rt - s^2 < 0$ . Esto demuestra Método 25.14 para las funciones cuadráticas.

4. La forma $q - c(h^2 + k^2)$ tiene por datos $r - c$ , $s$ , $t - c$ . Con $c = \frac{rt - s^2}{r + t}$ (nótese que $t > 0$ porque $rt > s^2 \geq 0$ y $r > 0$ ):

(r - c)(t - c) - s^2 = rt - s^2 - c(r + t) + c^2 = c^2 \geq 0,

y $r - c \geq 0$ ( $c \leq r \iff rt - s^2 \leq r^2 + rt$ , cierto). Si $r - c > 0$ , el cuadrado completado de la pregunta 1 muestra que $q - c(h^2 + k^2) \geq 0$ ; si $r - c = 0$ , entonces $s = 0$ (pues $-s^2 = -c^2 \leq \dots$ obliga a que la cantidad mostrada sea $\geq 0$ con primer factor $0$ ) y la forma es $(t - c)k^2 \geq 0$ . En ambos casos $q(h,k) \geq c(h^2 + k^2)$ .

5. Por las preguntas 3–4, $f(X) = f(X_0) + \frac12 q(X - X_0) \geq f(X_0) + \frac c2\norm{X - X_0}^2 \to +\infty$ cuando $\norm X \to \infty$ : $f$ es coerciva, y la desigualdad es estricta para $X \neq X_0$ : el punto crítico es el único minimizador global. Para la cúbica $f = x^3 + y^3 - 3xy$ de Ejemplo 25.15 no vale tal conclusión: $f(x,0) = x^3 \to -\infty$ , y el mínimo local en $(1,1)$ no es global — lo que falla es la exactitud del desarrollo cuadrático.

6. Desarrollando la norma al cuadrado:

f(u,v) = u^2\norm{C_1}^2 + 2uv\,\langle C_1, C_2\rangle + v^2\norm{C_2}^2 - 2u\,\langle C_1, b\rangle - 2v\,\langle C_2, b\rangle + \norm b^2 ,

una función cuadrática de $(u, v)$ cuya parte cuadrática es $\frac12(ru^2 + 2suv + tv^2)$ con $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .

7. $rt - s^2 = 4\bigl(\norm{C_1}^2\norm{C_2}^2 - \langle C_1, C_2\rangle^2\bigr) \geq 0$ por Cauchy–Schwarz (Teorema 23.4), con igualdad exactamente cuando $C_1, C_2$ son proporcionales (o uno de ellos es nulo), es decir, cuando el par es ligado. Así que $rt - s^2 > 0 \iff (C_1, C_2)$ es libre.

8. $\nabla f = 0$ se escribe

\norm{C_1}^2 u + \langle C_1, C_2\rangle v = \langle C_1, b\rangle, \qquad \langle C_1, C_2\rangle u + \norm{C_2}^2 v = \langle C_2, b\rangle,

las ecuaciones normales con la matriz de Gram a la izquierda; dicen que $\langle uC_1 + vC_2 - b,\ C_i\rangle = 0$ para $i = 1, 2$ , es decir, $b - p \perp \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ con $p = uC_1 + vC_2$ . Por la Parte I (preguntas 3 y 5), el único punto crítico es el único minimizador global y, por Teorema 23.10, la caracterización « $p \in F$ , $b - p \perp F$ » identifica $p$ como la proyección ortogonal de $b$ sobre $F = \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .

9. $\norm{b - p}^2 = \norm b^2 - 2\langle b, p\rangle + \norm p^2$ , y $\langle p, b - p\rangle = 0$ da $\norm p^2 = \langle p, b\rangle$ : el mínimo vale $\norm b^2 - \langle p, b\rangle$ . Pitágoras: $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ — el vector de datos se descompone en su parte explicada $p$ y su parte residual $b - p$ , ortogonales entre sí.

10. $E(\alpha, \beta) = \norm{\alpha C_1 + \beta C_2 - b}^2$ con los $C_1, C_2, b$ indicados; las ecuaciones normales de la pregunta 8 son, componente a componente,

n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .

11. Dividiendo por $n$ : $\alpha + \beta\bar x = \bar y$ y $\alpha\bar x + \beta\bigl(v_x + \bar x^2\bigr) = c_{xy} + \bar x\bar y$ . Sustituyendo $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ en la segunda: $\beta v_x = c_{xy}$ , luego

\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\bar x ,

y la primera ecuación dice precisamente que $(\bar x, \bar y)$ está sobre la recta.

12. $v_x = \frac1n\sum(x_i - \bar x)^2 \geq 0$ , y es nulo si y solo si todo $x_i$ vale $\bar x$ . Y $rt - s^2 = 4\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr) = 4n^2 v_x$ : la condición de libertad de la pregunta 7 es $v_x > 0$ , es decir, que los $x_i$ no sean todos iguales.

13. Con $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ , se centran los datos ( $\tilde x_i = x_i - \bar x$ , $\tilde y_i = y_i - \bar y$ ):

E(\alpha, \beta) = \sum_i(\tilde y_i - \beta\tilde x_i)^2 = n\,v_y - 2\beta\,n\,c_{xy} + \beta^2 n\,v_x ,

que se minimiza en $\beta = c_{xy}/v_x$ con valor $E_{\min} = n\bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\bigr) = n v_y(1 - \rho^2)$ . Como $E_{\min} \geq 0$ y $v_y > 0$ : $\rho^2 \leq 1$ , y $\abs\rho = 1$ si y solo si $E_{\min} = 0$ , es decir, si y solo si todo residuo se anula: los puntos están exactamente sobre la recta.

14. $n = 4$ : $\bar x = \frac64 = 1.5$ , $\bar y = 2$ , $\sum x_i^2 = 14$ luego $v_x = 3.5 - 2.25 = 1.25$ , $\sum x_iy_i = 0 + 1 + 6 + 12 = 19$ luego $c_{xy} = 4.75 - 3 = 1.75$ . Por tanto

\beta = \frac{1.75}{1.25} = 1.4, \qquad \alpha = 2 - 1.4\times1.5 = -0.1 : \qquad y = 1.4\,x - 0.1 .

Valores ajustados $-0.1,\ 1.3,\ 2.7,\ 4.1$ ; residuos $0.1,\ -0.3,\ 0.3,\ -0.1$ ; $E_{\min} = 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 = 0.2$ (comprobación: $v_y = \frac{26}4 - 4 = 2.5$ y $4(2.5 - \frac{1.75^2}{1.25}) = 4(2.5 - 2.45) = 0.2$ ).

15. Las dos ecuaciones normales de la pregunta 10 son exactamente $\sum_i\varepsilon_i = 0$ y $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ : el vector de residuos es ortogonal a $C_1 = (1, \dots, 1)$ y a $C_2 = (x_i)$ — a todo el espacio del modelo. En particular, la recta óptima siempre equilibra sus errores: estos suman cero.

16. $\frac{\dd}{\dd\alpha}\sum(y_i - \alpha)^2 = -2\sum(y_i - \alpha) = 0$ da $\alpha = \bar y$ (y la derivada segunda $2n > 0$ lo convierte en el mínimo global, al ser la función una cuadrática coerciva de una variable). Valor mínimo $\sum(y_i - \bar y)^2 = n v_y$ : la varianza es el error cuadrático irreducible de un modelo constante.

17. $\frac{\dd}{\dd\beta}\sum(y_i - \beta x_i)^2 = -2\sum x_i(y_i - \beta x_i) = 0$ da $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ . Escribiendo ambas pendientes con cantidades centradas: $\beta_0 = \frac{c_{xy} + \bar x\bar y}{v_x + \bar x^2}$ coincide con $\frac{c_{xy}}{v_x}$ si y solo si $c_{xy}\bar x^2 = \bar x\bar y\,v_x$ , es decir, si y solo si $\bar x = 0$ (abscisas centradas) o $\bar y = \beta\bar x$ — lo segundo significa $\alpha = 0$ : la recta de regresión completa ya pasa por el origen.

18. $g(\tau) = \norm{M - P_0}^2 - 2\tau\langle M - P_0, w\rangle + \tau^2$ es mínima en $\tau^* = \langle M - P_0, w\rangle$ , con valor $d(M,D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ . En el plano, complétese $w$ con un vector ortogonal hasta una base ortonormal $(w, n)$ con $n = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (normal unitaria de $D$ ): entonces $\norm{M - P_0}^2 = \langle M - P_0, w\rangle^2 + \langle M - P_0, n\rangle^2$ , luego $d(M, D) = \abs{\langle M - P_0, n\rangle}$ y, con $aP_{0x} + bP_{0y} = -c$ :

d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

19. De $E_{\min}/n = v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ y $\beta^2 v_x = \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ :

v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n :

varianza total $=$ varianza a lo largo de la recta ajustada $+$ varianza residual. (Dividiendo por $v_y$ : $1 = \rho^2 + (1 - \rho^2)$ , la parte de varianza «explicada» por la recta es $\rho^2$ .)

20. El espacio del modelo es $\operatorname{Vect}\bigl(C_1, C_2, C_3\bigr)$ con $C_1 = (1)$ , $C_2 = (x_i)$ , $C_3 = (x_i^2)$ ; minimizar $\norm{aC_1 + bC_2 + cC_3 - b}^2$ conduce, exactamente como en la pregunta 8, al sistema de Gram $3\times3$ , cuya matriz tiene por entradas $\langle C_i, C_j\rangle = \sum_k x_k^{\,i+j-2}$ : la matriz de momentos mostrada. Es invertible si y solo si $(C_1, C_2, C_3)$ es libre (Ejercicio 23.11); una relación $a + bx_k + cx_k^2 = 0$ para todo $k$ hace de cada $x_k$ una raíz de un mismo polinomio de grado $\leq 2$ , imposible con tres valores distintos salvo que $a = b = c = 0$ . Compárense las matrices de momentos del problema de fin de semana de Capítulo 22, cuyos determinantes eran valores de Vandermonde al cuadrado.

21. Primera: $r = 2, s = 1, t = 2$ , $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : mínimo global estricto en el origen. Segunda: $r = 2, s = 3, t = 2$ , $rt - s^2 = -5 < 0$ : punto de silla. Tercera: $r = s = t = 2$ , $rt - s^2 = 0$ : degenerada — pero $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \geq 0$ se anula en toda la recta $y = -x$ : un mínimo global (no estricto) alcanzado a lo largo de una recta, invisible para el criterio del determinante.

22. Nuevas sumas ( $n = 5$ ): $\bar x = 3.2$ , $\bar y = 1.6$ , $\sum x_iy_i = 19$ luego $c_{xy} = 3.8 - 5.12 = -1.32$ , $\sum x_i^2 = 114$ luego $v_x = 22.8 - 10.24 = 12.56$ . Nueva pendiente:

\beta = \frac{-1.32}{12.56} \approx -0.105 :

un solo punto convirtió una tendencia claramente creciente ( $\beta = 1.4$ ) en otra ligeramente decreciente. El error cuadrático cobra un residuo $\varepsilon^2$ , de modo que un único punto lejano — con $\abs{x_{i} - \bar x}$ grande y residuo grande — domina tanto $c_{xy}$ como $v_x$ : los mínimos cuadrados son eficientes pero no robustos.

23. Póngase $W = \sum w_i$ y defínanse $\bar x_w = \frac1W\sum w_ix_i$ , $\bar y_w$ análogamente, $v_x^w = \frac1W\sum w_ix_i^2 - \bar x_w^2$ , $c^w_{xy} = \frac1W\sum w_ix_iy_i - \bar x_w\bar y_w$ . La aplicación $\langle u, v\rangle_w = \sum_i w_iu_iv_i$ es un producto escalar en $\R^n$ ( $w_i > 0$ da el carácter definido), así que la Parte II se aplica literalmente y las ecuaciones normales se dividen por $W$ quedando

\alpha + \beta\bar x_w = \bar y_w, \qquad \alpha\bar x_w + \beta(v^w_x + \bar x_w^2) = c^w_{xy} + \bar x_w\bar y_w ,

de donde $\beta = c^w_{xy}/v^w_x$ y $\alpha = \bar y_w - \beta\bar x_w$ : las mismas fórmulas, con todas las medias ponderadas.

24. $E_{\min} = \sum\varepsilon_i^2 = 0$ obliga a que todo $\varepsilon_i = 0$ : todos los puntos exactamente sobre la recta; por la pregunta 13 este es el caso $\abs\rho = 1$ . Prueba: para $(1,1), (2,3), (3,5)$ : $\bar x = 2$ , $\bar y = 3$ , $v_x = \frac{14}3 - 4 = \frac23$ , $c_{xy} = \frac{22}3 - 6 = \frac43$ : $\beta = 2$ , $\alpha = -1$ , y en efecto $y_i = 2x_i - 1$ para los tres puntos; $v_y = \frac{35}3 - 9 = \frac83$ y $\rho^2 = \frac{(4/3)^2}{(2/3)(8/3)} = 1$ .

25. (i) Para las funciones cuadráticas el desarrollo de orden dos es una identidad, de modo que el estudio del signo de la forma cuadrática — álgebra pura, preguntas 1–2 — clasifica los puntos críticos sin ningún teorema de Taylor admitido. (ii) Las ecuaciones normales dicen «residuo ortogonal al espacio del modelo», así que el mínimo analítico es la proyección ortogonal del vector de datos: el cálculo y la geometría euclídea calculan el mismo objeto. (iii) La correlación $\rho = c_{xy}/\sqrt{v_xv_y}$ mide la parte $\rho^2$ de la varianza explicada por la recta, y Cauchy–Schwarz la acota: $\abs\rho \leq 1$ , con igualdad solo para datos alineados. (iv) Las bases y la libertad (capítulo 18), las matrices de Gram y de momentos y sus determinantes (capítulos 22–23), y la proyección ortogonal (capítulo 23) reaparecieron todas como las piezas de trabajo de un solo algoritmo. Las Partes II–III desarrollan el método de los mínimos cuadrados (Legendre, Gauss) a través de sus ecuaciones normales.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario

25.1 El plano R2\R^2R2; continuidad

25.2 Derivadas parciales

25.3 Extremos locales

25.4 Ejercicios

25.5 Problema: mínimos cuadrados y recta de regresión

Términos definidos en este capítulo

25.1 El plano $\R^2$ ; continuidad