Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

25Funciones de dos variables

El año termina con un primer paseo hacia una dimensión superior: funciones $f(x, y)$ de dos variables reales. Todo generaliza — límites, continuidad, derivados, extrema — pero cada noción adquiere un giro: Los límites se pueden alcanzar en todas las direcciones a la vez, derivados dividido en parciales, y el gradiente señala el camino cuesta arriba. el La teoría completa (diferenciales, general $\R^n$ , subvariedades) pertenece a el segundo año; Aquí establecemos el vocabulario y el primer honesto. teoremas

25.1 El avión $\R^2$ ; continuidad

Definición 25.1

En $\R^2$ , utilice la norma euclidiana $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (Capítulo 23). Las bolas Abierto, barrios, abierto subsets de $\R^2$ se definen exactamente como en Capítulo 12, con bolas en lugar de intervalos. una función $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ abierto) es continuo at $a \in U$ cuando

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

con la misma caracterización secuencial que en una variable. Sums, products, quotients and compositions with continuo las funciones de una variable conservan continuidad; las coordenadas aplicaciones son continuo, por lo tanto también lo son polinomios en $(x,y)$ .

Ejemplo 25.2 (El límite polar, la forma limpia de demostrar un límite)

Muestre que $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (con $f(0,0) = 0$ ) es continuo en el origen. En polar coordenadas $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

un atado independent of $\theta$ : cualquiera que sea la dirección de enfoque, los valores se comprimen a $0$ . Esa uniformidad en $\theta$ es el punto — un límite como $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (no queda $\rho$ ) no prueba nada, y de hecho que $g$ es la trampa radial discontinua del siguiente ejemplo.

Ejemplo 25.3 (La trampa radial)

Sea $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ por $(x,y) \neq (0,0)$ , $f(0, 0) = 0$ . A lo largo de cada eje, $f = 0 \to 0$ ; sino a lo largo de la diagonal $y = x$ , $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . Sin límite en el origen: acercándose a lo largo de cada línea, e incluso encontrando el mismo límite a lo largo cada uno, no es suficiente (aquí los límites de la línea no coinciden; peores ejemplos están de acuerdo en todos los aspectos pero fracasan en una parábola, Ejercicio 25.3). Continuidad en cada variable por separado no implica continuidad.

25.2 Derivadas parciales

Definición 25.4

El derivadas parciales de $f$ en $(a, b)$ son los derivados de una variable a lo largo de los ejes:

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a,b)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{k \to 0} \frac{f(a, b + k) - f(a,b)}{k}.

$f$ es de clase $C^1$ en $U$ cuando ambos existen y son continuo en $U$ . El gradiente es $\nabla f(a,b) = \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial f}{\partial y}\bigr)(a,b)$ .

Teorema 25.5 ( $C^1$ implica un plano tangente)

Sea $f$ $C^1$ en $U$ y $(a,b) \in U$ . Entonces, como $(h, k) \to (0,0)$ :

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) + k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) .

En particular $f$ es continuo, y el gráfico $z = f(x,y)$ tiene al menos cada punto del plano tangente lee la fórmula.

Ejemplo 25.6 (Aproximación lineal en acción)

Calcule $f(1.02,\ 0.99)$ para $f(x, y) = x^3y^2$ . En $(1, 1)$ : $f = 1$ , $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 = 3$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y = 2$ , entonces Teorema 25.5 da

f(1.02,\ 0.99) \approx 1 + 3\,(0.02) + 2\,(-0.01) = 1.04 ,

contra el valor real $1.02^3 \times 0.99^2 = 1.04006\dots$ — el error es de segundo orden en los incrementos, ya que el $o(\norm{(h,k)})$ promesas. El plano tangente a la gráfica en $(1, 1, 1)$ es $z = 1 + 3(x - 1) + 2(y - 1)$ , la ecuación implícito en la estimación.

Demostración. Mueva una coordenada a la vez:

f(a+h, b+k) - f(a,b) = \bigl[f(a+h, b+k) - f(a, b+k)\bigr] + \bigl[f(a, b+k) - f(a,b)\bigr].

Por el teorema del valor medio de una variable (Teorema 14.9), el primer corchete es $h\, \frac{\partial f}{\partial x}(a + \theta h,\, b + k)$ para algunos $\theta \in \intoo{0}{1}$ , y el segundo es $k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,\, b + \theta' k)$ . Continuidad de los parciales en $(a,b)$ nos deja escribir cada uno como (valor en $(a,b)$ ) $+$ (error $\to 0$ ); el error total es $h\,\varepsilon_1 + k\,\varepsilon_2 = o(\norm{(h,k)})$ desde $\abs h, \abs k \leq \norm{(h,k)}$ . ∎

Teorema 25.7 (regla de cadena)

Sea $f$ $C^1$ en $U$ y $t \mapsto (x(t), y(t))$ sea $C^1$ de un intervalo en $U$ . Entonces $g(t) = f\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ es $C^1$ , con

g'(t) = x'(t)\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr) + y'(t)\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl\langle \nabla f,\ (x', y')\bigr\rangle .

Demostración. Aplicar Teorema 25.5 en $(x(t), y(t))$ con $(h, k) = (x(t+s) - x(t),\, y(t+s) - y(t))$ : como $s \to 0$ , una variable la diferenciabilidad da $h = s\,x'(t) + o(s)$ y $k = s\,y'(t) + o(s)$ , por lo que $\norm{(h, k)} = O(s)$ y

g(t+s) - g(t) = h\,\frac{\partial f}{\partial x} + k\,\frac{\partial f}{\partial y} + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) = s\,\Bigl(x'\,\frac{\partial f}{\partial x} + y'\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) + o(s) ,

el error final absorbe los $o(s)$ de $h$ y $k$ (multiplicado por los valores fijos de los parciales) y el $o(O(s))$ de la estimación del plano tangente. Dividir por $s$ y dejar $s \to 0$ . Continuidad de $g'$ se sigue del de todos ingredientes. ∎

Ejemplo 25.8 (La regla de la cadena, verificada en ambos sentidos.)

Sean $f(x, y) = x^2 y$ y $g(t) = f(t, t^2)$ . Directamente: $g(t) = t^2\cdot t^2 = t^4$ , entonces $g'(t) = 4t^3$ . Por la regla de la cadena: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ , evaluados a lo largo de la curva $(t, t^2)$ :

g'(t) = 1\cdot 2t\cdot t^2 + 2t\cdot t^2 = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3 .

Los dos cálculos concuerdan y la división es significativa: $2t^3$ del crecimiento proviene de mover a la derecha a través del $x$ -pendiente, $2t^3$ de mover hacia arriba a través del $y$ -pendiente. En curvas donde no existe una forma cerrada para $g$ , solo el segundo cálculo sobrevive: ese es el punto del teorema.

Observación 25.9 (Leyendo el gradiente)

A lo largo de una dirección unitaria $u$ , la regla de la cadena en $t \mapsto f(a + tu)$ da el directional derivado $\langle \nabla f(a), u\rangle$ : máximo cuando $u$ apunta a lo largo de $\nabla f(a)$ (por Cauchy–Schwarz, Teorema 23.4). El gradiente es el dirección del ascenso más pronunciado, y es ortogonal hasta el nivel curvas $\{f = c\}$ (diferenciar $f$ a lo largo de una curva dibujada en un nivel conjunto: la regla de la cadena da $\langle\nabla f,\, \text{tangent}\rangle = 0$ ).

Ejemplo 25.10 (Curvas de nivel y gradientes, en una sola función)

Tome $f(x, y) = x^2 - y^2$ . Su nivel conjuntos: $\{f = c\}$ es un hipérbola que se abre de izquierda a derecha para $c > 0$ , de arriba a abajo para $c < 0$ , y el par de líneas cruzadas $y = \pm x$ para $c = 0$ — el contorno aplicación de un puerto de montaña, con el punto de silla en el origen donde se cruzan las dos líneas de nivel cero. Gradiente: $\nabla f = (2x, -2y)$ . En el punto $(2, 1)$ (en el nivel $c = 3$ ): $\nabla f = (4, -2)$ , mientras que el vector tangente del nivel curva, parametrizada cerca de ese punto por $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$ , es $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ en $t = 2$ — y de hecho

\langle (4, -2),\ (1, 2)\rangle = 4 - 4 = 0 :

gradiente perpendicular al contorno, apuntando hacia arriba valores de $f$ (aquí: lejos del eje $y$ ). dos mas lecturas: el gradiente desaparece exactamente en el sillín, donde el contorno aplicación pellizca; y la tangente línea a la la curva de nivel en $(2,1)$ es $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$ , es decir $2x - y = 3$ — la ecuación “ $\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$ ” que generaliza la elipse tangente de Ejercicio 24.11.

Teorema 25.11 (negro)

Si $f$ es de clase $C^2$ (los parciales de parciales existen y son continuo), luego

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

25.3 Extremos locales

Método 25.12 (Estudios extremos, organizados)

Solve $\nabla f = 0$ completely. Factorizar cada uno parcial siempre que sea posible (productos de factores lineal dividir el sistema en casos transparentes, como en Ejemplo 25.16 a continuación); un olvidado El caso es un punto crítico olvidado.
Clasifica cada punto con los datos de Monge $r, s, t$ — recalculado en cada punto, nunca una vez por todos.
If $rt - s^2 = 0$ , examine $f$ directamente a lo largo curvas bien elegidas que pasan por el punto (líneas primero, luego parábolas), buscando dos signos (sin extremo) o para un letrero cerrado con un argumento que cubra todos direcciones.
Un paso atrás para la imagen global: comprobar el comportamiento en el infinito (un mínimo local puede no ser global uno), y si el dominio no es abierto, trate su límite por separado (Ejercicio 25.12) — el teorema crítico punto solo ve puntos interior.

Teorema 25.13 (Puntos críticos)

Si $f$ ( $C^1$ en conjunto abierto $U$ ) tiene un extremo local en $(a,b) \in U$ , entonces $\nabla f(a,b) = (0,0)$ : el punto es crítico.

Demostración. Las funciones de una variable $x \mapsto f(x, b)$ y $y \mapsto f(a, y)$ tienen extremos locales interior en $a$ , resp. $b$ : Proposición 14.7 mata ambos parciales. ∎

Método 25.14 (Prueba de segundo orden (notación Monge))

En un punto crítico de una función $C^2$ , configure

r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \qquad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \qquad (\text{values at the point}).

Si $rt - s^2 > 0$ : extremo local — mínimo para $r > 0$ , máximo para $r < 0$ ;
si $rt - s^2 < 0$ : sin extremo (a silla de montar punto);
si $rt - s^2 = 0$ : la prueba es silenciosa; examinar directamente.

(Justificación: una expansión de Taylor-Young en el orden $2$ y la estudio de signos de la forma cuadrática $r h^2 + 2shk + tk^2$ — es realizado en el segundo año; La prueba se utiliza aquí como prueba de trabajo. herramienta.)

Ejemplo 25.15

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ . Puntos críticos: $\nabla f = (3x^2 - 3y,\; 3y^2 - 3x) = 0$ da $y = x^2$ y $x = y^2$ , entonces $x = x^4$ : $x \in \{0, 1\}$ : puntos $(0,0)$ y $(1,1)$ .

Segundo derivados: $r = 6x$ , $s = -3$ , $t = 6y$ . En $(0,0)$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : silla de montar. En $(1,1)$ : $rt - s^2 = 36 - 9 > 0$ , $r = 6 > 0$ : mínimo local, $f(1,1) = -1$ . (No global: $f(x, 0) = x^3 \to -\infty$ ).

Ejemplo 25.16 (Un estudio de cuatro puntos, completo.)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$ . Gradiente:

\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(3 - 2x - y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\,(3 - x - 2y).

Puntos críticos: si $y = 0$ , la segunda ecuación da $x \in \{0, 3\}$ ; si $x = 0$ , el primero da $y \in \{0, 3\}$ ; si $xy \neq 0$ , resuelva $2x + y = 3$ , $x + 2y = 3$ : $x = y = 1$ . cuatro puntos: $(0,0)$ , $(3,0)$ , $(0,3)$ , $(1,1)$ . Segundo derivados: $r = -2y$ , $s = 3 - 2x - 2y$ , $t = -2x$ .

$(1,1)$ : $r = -2$ , $s = -1$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r < 0$ : máximo local, $f(1,1) = 1$ .
$(0,0)$ : $r = t = 0$ , $s = 3$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : silla de montar; así mismo $(3, 0)$ ( $s = -3$ ) y $(0, 3)$ : tres sillas de montar.

El máximo es sólo local: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$ . Verificación de simetría: $f(x, y) = f(y, x)$ , y de hecho el crítico conjunto y la clasificación son simétricas en $x \leftrightarrow y$ . Interpretación: entre rectángulos con holgura $x, y \geq 0$ , $x + y \leq 3$ , el producto $xy(3 - x - y)$ de las tres "partes" de $3$ son mayores cuando las partes son iguales — una sombra de dos variables del principio AM–GM.

Las dos curvas f = 0 para f = x3 + y3 - 3xy se cruzan en puntos críticos (0,0)(silla de montar) y (1,1) (mínimo local). — Las dos curvas $\nabla f = 0$ para $f = x^3 + y^3 - 3xy$ se cruzan en puntos críticos $(0,0)$ (silla de montar) y $(1,1)$ (mínimo local).

Observación 25.17 (Errores comunes)

Derivadas parciales may exist at a point of discontinuity: la trampa radial $g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ de Ejemplo 25.3 tiene $\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = 0$ (ambos ejes las restricciones desaparecen de manera idéntica), sin embargo, $g$ no tiene límite en el origen — sonda parcial sólo en dos direcciones, continuidad necesita todos ellos; sólo la hipótesis $C^1$ restablece el orden (Teorema 25.5). Los límites de línea nunca son suficientes: Ejercicio 25.3 la función tiene un límite $0$ en cada línea y aún no tiene límite — Siempre intente con parábolas (o límites polares válidos uniformemente en $\theta$ ). Lo crítico es necesario, no suficiente: abundan las sillas de montar (tres de cuatro puntos en Ejemplo 25.16); y el teorema se cumple solo en abierto conjuntos — en un disco cerrado, los extremos pueden sentarse en el límite con gradiente distinto de cero (Ejercicio 25.12). El caso silencioso $rt - s^2 = 0$ es genuinamente silencioso: $x^4 + y^4$ (mínimo) y $x^3 + y^3$ (ninguno) tienen $r = s = t = 0$ en el origen; sólo un estudio de signos directos decide (Ejercicio 25.6, función $h$ ). The gradiente is ortogonal to level curves, not along them: para seguir una línea de contorno, muévase perpendicular a $\nabla f$ ; para subir más rápido, muévete a lo largo de él — mezclando los dos reversos la geometría de cada contorno aplicación.

Observación 25.18 (Adónde conducen dos variables)

Este capítulo es una puerta. El gradiente y la regla de la cadena se extienden palabra por palabra a las variables $n$ en el volumen Año 2, donde $o(\norm{(h,k)})$ de Teorema 25.5 se convierte en el diferencial y la prueba de Monge se demuestra en su totalidad mediante el Fórmula de Taylor de orden dos y formas cuadráticas. El caso especial que se puede resolver este año — funciones cuadráticas, para el cual la expansión de segundo orden es exacta — es el tema del problema del fin de semana, y resulta que es el caso que se ejecuta Ajuste de datos del mundo: regresión mínimos cuadrados. restringido extrema (Ejercicio 25.5 fue un adelanto) se convierte en Lagrange multiplicadores en el año 2; funciones armónicas (Ejercicio 25.7) regresa en el complejo análisis de la Año 3 volumen.

Observación 25.19 (Perspectivas dentro del Libro 3: el año, cerrado)

En este capítulo es donde las dos mitades del volumen se dan la mano. el La mitad del análisis suministró sus herramientas una derivado a la vez: la El teorema del valor medio impulsa Teorema 25.5, Taylor Las expansiones impulsan las pruebas extremas, y las $\varepsilon$ de Capítulo 12 volvió con pelotas en lugar de intervalos. La mitad del álgebra proporcionó la geometría: el gradiente se lee a través del producto interno de Capítulo 23 (Cauchy-Schwarz es la dirección más empinada), el Monge datos $(r, s, t)$ es una matriz simétrica de Capítulo 21 con la prueba determinante de Capítulo 22 y el problema del fin de semana ejecuta ortogonal proyección en vectores de datos. Incluso las curvas de Capítulo 24 regresa como nivel conjuntos. Un lector que puede reconstruir por qué cada una de estas cinco transferencias funciona, en efecto, revisado todo el año — que es el verdadero propósito de este último capítulo.

mínimos cuadrados en una imagen: cuatro puntos de datos, el línea de regresión y = 1.4x - 0.1, y los residuales verticales (discontinua) cuyos cuadrados la línea minimiza — total 0.2, el más pequeño posible. El problema del fin de semana calcula esta línea, demuestra que es el único minimizador e identifica el conjunto construcción con un proyección ortogonal en ℝ4. — mínimos cuadrados en una imagen: cuatro puntos de datos, el línea de regresión $y = 1.4x - 0.1$ , y los residuales verticales (discontinua) cuyos cuadrados la línea minimiza — total $0.2$ , el más pequeño posible. El problema del fin de semana calcula esta línea, demuestra que es el único minimizador e identifica el conjunto construcción con un proyección ortogonal en $\R^4$ .

25.4 Ceremonias

Ejercicio 25.1 ★

Calcule el derivadas parciales: $f(x,y) = x^2 y + \eu^{xy}$ ; $\;g(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$ (en $\R^2\setminus\{0\}$ ); $\;h(x,y) = \arctan\frac yx$ (en $x > 0$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\,\eu^{xy}$ , $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\,\eu^{xy}$ .

$\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{2y}{x^2+y^2}$ .

$\dfrac{\partial h}{\partial x} = \dfrac{-y/x^2}{1 + y^2/x^2} = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial h}{\partial y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ .

Ejercicio 25.2 ★

Estudie el continuidad en $(0,0)$ (con el valor $0$ allí) de:

f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, \qquad g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \qquad h(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.

(Polar coordenadas $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ help: bound by a function of $\rho$ alone when possible.)

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

En polar coordenadas ( $\rho \to 0$ ):

$\abs{f} = \dfrac{\rho^3\abs{\cos^2\theta\sin\theta}}{\rho^2} \leq \rho \to 0$ : continuo.

$g = \cos\theta\sin\theta$ : independiente de $\rho$ , tomando diferente valores a lo largo de diferentes rayos (cf. Ejemplo 25.3): sin límite, no continuo.

$\abs h \leq \dfrac{\rho^3(\abs{\cos^3\theta} + \abs{\sin^3\theta})}{\rho^2} \leq 2\rho \to 0$ : continuo.

Ejercicio 25.3 ★★

Sea $f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ ). demostrar que $f$ tiene el límite $0$ en el origen a lo largo de cada línea recta, pero que $f\bigl(x, x^2\bigr) = \frac12$ : $f$ no es continuo en $(0,0)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

Junto a $y = mx$ : $f(x, mx) = \dfrac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$ (para $m \neq 0$ ; junto a $y = 0$ y el $y$ -eje, $f = 0$ ). Entonces cada límite en línea recta es $0$ . Pero en el parábola $y = x^2$ :

f(x, x^2) = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac12 :

la secuencia $\bigl(\frac1n, \frac{1}{n^2}\bigr) \to (0,0)$ tiene $f \to \frac12 \neq 0$ . No continuo: las líneas no son suficientes para Pruebe límites de dos variables.

Ejercicio 25.4 ★

Verifique el teorema de Schwarz manualmente en $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$ ; entonces

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y + x\cos(xy)$ ; entonces

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) :

iguales, como promete Schwarz.

Ejercicio 25.5 ★★

Sea $f$ $C^1$ en $\R^2$ y $g(t) = f(\cos t, \sin t)$ . expreso $g'(t)$ mediante la regla de la cadena. Deducir que $f$ restringido a la unidad círculo alcanza extremos en puntos donde $\nabla f$ es paralelo a el vector de radio.

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

Por Teorema 25.7 con $(x, y) = (\cos t, \sin t)$ :

g'(t) = -\sin t\,\frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + \cos t\,\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) = \bigl\langle \nabla f,\ (-\sin t, \cos t)\bigr\rangle .

En un extremo de $g$ , $g'(t) = 0$ : $\nabla f$ es ortogonal al vector tangente $(-\sin t, \cos t)$ del círculo, por lo tanto paralelo a el vector de radio $(\cos t, \sin t)$ (el plano ortogonal complemento de un vector unitario es la línea que engendran, tomada perpendicular). Este es el ejemplo más simple de Lagrange. multiplicador.

Ejercicio 25.6 ★★

Encuentra y clasifica el puntos críticos de:

f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x, \qquad g(x, y) = x^2 - y^2 + 4y, \qquad h(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2 .

(Para $h$ , la prueba del determinante no dice nada en el origen: examine $h(x, x)$ y $h(x, -x)$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

$f$ : $\nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0$ : $y = -\frac x2$ y $2x - \frac x2 = 3$ : $x = 2$ , $y = -1$ . Segundo orden: $r = 2$ , $s = 1$ , $t = 2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : local (de hecho global — cuadrático) mínimo en $(2, -1)$ , valor $f(2,-1) = -3$ .

$g$ : $\nabla g = (2x,\; -2y + 4) = 0$ : punto $(0, 2)$ ; $r = 2$ , $s = 0$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = -4 < 0$ : silla de montar.

$h$ : $\nabla h = \bigl(4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y)\bigr) = 0$ . Añadiendo: $x^3 + y^3 = 0$ , entonces $y = -x$ ; sustituyendo: $4x^3 - 8x = 0$ : $x \in \{0, \pm\sqrt2\}$ . Puntos críticos: $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ , $(-\sqrt2, \sqrt2)$ . En $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $r = 12x^2 - 4 = 20$ , $s = 4$ , $t = 20$ : $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ : mínimos locales (valor $h = 4 + 4 - 16 = -8$ ). En $(0,0)$ : $r = t = -4$ , $s = 4$ : $rt - s^2 = 0$ : silencio. Examinar: $h(x, x) = 2x^4 > 0$ y $h(x, -x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ para pequeño $x \neq 0$ : ambos signos en cada entorno — sin extremo en el origen.

Ejercicio 25.7 ★★

Una función $f$ es armónico cuando $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ . Compruebe que $x^2 - y^2$ , $xy$ , $\eu^x\cos y$ y $\ln(x^2 + y^2)$ (fuera del origen) estén armónico.

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

$x^2 - y^2$ : segundos parciales $2$ y $-2$ : suma $0$ . $xy$ : ambos puros Los segundos parciales se desvanecen. $\eu^x\cos y$ : $\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \eu^x\cos y$ , $\frac{\partial^2}{\partial y^2} = -\eu^x\cos y$ : suma $0$ . $\ln(x^2+y^2)$ : desde Ejercicio 25.1,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}\ln(x^2+y^2) = \frac{2(x^2+y^2) - 4x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2},

y la versión $y$ es su opuesta: suma $0$ .

Ejercicio 25.8 ★★★

Encuentra el punto del avión $\{x + 2y - z = 4\} \subseteq \R^3$ más cercano al origen, de dos maneras: por proyección ortogonal (Capítulo 23), y minimizando la función de dos variables $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ obtenido eliminando $z$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

Proyección: el avión $P$ tiene $n = (1, 2, -1)$ normal y pasa por $A = (4, 0, 0)$ . El punto más cercano al origen es $O$ proyectado: $p = O + \frac{\langle A - O, n\rangle}{\norm n^2}\,n = \frac{4}{6}(1,2,-1) = \bigl(\frac23, \frac43, -\frac23\bigr)$ , a distancia $\frac{4}{\sqrt 6}$ . (Fórmula: distancia desde el origen hasta el plano $\langle X, n \rangle = c$ es $\frac{\abs c}{\norm n}$ con $c = 4$ .)

Minimización: $f(x,y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ . escribiendo $w = x + 2y - 4$ para el último factor:

\nabla f = \bigl(2x + 2w,\; 2y + 4w\bigr) = 0 \iff x = -w \text{ and } y = -2w .

Sustituyendo en la definición de $w$ : $w = -w - 4w - 4$ , entonces $w = -\frac23$ , dando $x = \frac23$ , $y = \frac43$ y $z = w = -\frac23$ . Mismo punto que por proyección, a distancia $\sqrt{\frac49 + \frac{16}{9} + \frac49} = \frac{2\sqrt 6}{3} = \frac{4}{\sqrt6}$ ; es un mínimo desde $f \to \infty$ en el infinito (una cuadrática definida positiva más términos lineal).

Ejercicio 25.9 ★★★

(Laplaciano en polar coordenadas, primer contacto) Sea $f$ $C^2$ en $\R^2 \setminus \{0\}$ y radial: $f(x, y) = \varphi\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$ con $\varphi$ de clase $C^2$ en $\intoo{0}{+\infty}$ . demostrar que

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \varphi''(\rho) + \frac{\varphi'(\rho)}{\rho}, \qquad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},

y encuentre todas las funciones armónicas radiales en el plano perforado.

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

Con $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ : $\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\rho}$ , entonces

\frac{\partial f}{\partial x} = \varphi'(\rho)\,\frac{x}{\rho}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \varphi''(\rho)\,\frac{x^2}{\rho^2} + \varphi'(\rho)\,\Bigl(\frac{1}{\rho} - \frac{x^2}{\rho^3}\Bigr),

(reglas de cociente y cadena). Añadiendo la expresión simétrica $y$ : los términos $\varphi''$ recogen $\frac{x^2 + y^2}{\rho^2} = 1$ , el $\varphi'$ términos recopilan $\frac{2}{\rho} - \frac{x^2 + y^2}{\rho^3} = \frac{1}{\rho}$ :

\Delta f = \varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} .

Armónico radial: resolver $\varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} = 0$ : el ecuación de primer orden $u' + \frac u\rho = 0$ para $u = \varphi'$ da $u = \frac{c}{\rho}$ (Teorema 5.2), luego $\varphi = c\ln\rho + d$ . Las funciones armónicas radiales son $c\,\ln\sqrt{x^2 + y^2} + d$ — el potencial logarítmico de Ejercicio 25.7 y las constantes, nada más.

Ejercicio 25.10 ★★

Dé la ecuación del plano tangente a la gráfica $z = xy$ en el punto $(1, 1, 1)$ . Luego encuentre todos los puntos de la gráfica de $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ donde está el plano tangente horizontal, y relacionar la respuesta con Ejemplo 25.15.

Solución

Solución de Ejercicio 25.10.

Para $z = xy$ en $(1,1)$ : parciales $y = 1$ y $x = 1$ , tangentes avión $z = 1 + (x - 1) + (y - 1) = x + y - 1$ . Horizontales plano tangente significa que ambos parciales desaparecen, es decir, $\nabla f = 0$ : por Ejemplo 25.15, exactamente el puntos críticos $(0, 0)$ y $(1, 1)$ , con planos horizontales $z = 0$ y $z = -1$ . “Plano tangente horizontal” y “punto crítico” son los misma noción, vista en el gráfico y en la fórmula.

Ejercicio 25.11 ★★

Sea $f$ $C^1$ en $\R^2$ .

Si $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ en todas partes, demostrar que $f(x, y)$ depende sólo de $y$ .
Encuentra todas las soluciones $C^1$ de la ecuación. $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}$ en $\R^2$ . (Set $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ and compute $\frac{\partial g}{\partial v}$ by the chain rule.)

Solución

Solución de Ejercicio 25.11.

Para $y$ fijo, la función de una variable $x \mapsto f(x,y)$ tiene cero derivado en $\R$ , por lo tanto es constante (Teorema 14.9): $f(x, y) = f(0, y)$ para todos $x$ : $f$ depende sólo de $y$ .
Vamos $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ . Por la regla de la cadena (Teorema 25.7, aplicada en la variable $v$ con $u$ congelado):

$\frac{\partial g}{\partial v} = \frac12\,\frac{\partial f}{\partial x} - \frac12\,\frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$

Por (1), $g$ depende sólo de $u$ : $g(u, v) = \varphi(u)$ con $\varphi$ de clase $C^1$ , e invirtiendo el cambio de variables ( $u = x + y$ , $v = x - y$ ),

$f(x, y) = \varphi(x + y).$

Por el contrario, cada $f$ satisface $f_x = f_y = \varphi'$ : las soluciones son exactamente las funciones $C^1$ de $x + y$ .

Ejercicio 25.12 ★★★

Encuentre el máximo y mínimo global de $f(x, y) = xy$ en el cerrado disco $x^2 + y^2 \leq 1$ . (Admit the two-variable extreme value theorem: a continuo function on the cerrado disc attains its bounds — proved in the Year 2 volume. Treat the abierto disc by puntos críticos and the límite circle by the parametrization of Ejercicio 25.5.)

Solución

Solución de Ejercicio 25.12.

En el disco abierto, un extremo sería crítico: $\nabla f = (y, x) = 0$ sólo en $(0,0)$ , donde $f = 0$ ; Es una silla de montar ( $f(\pm \varepsilon, \pm\varepsilon) = \varepsilon^2 > 0 > -\varepsilon^2 = f(\pm\varepsilon, \mp\varepsilon)$ ), por lo que no hay ningún extremo. Por el teorema del valor extremo admitido se alcanzan los límites, necesariamente en el círculo límite. Allí, con Ejercicio 25.5,

f(\cos t, \sin t) = \cos t\sin t = \frac{\sin 2t}{2} \in \intcc{-\tfrac12}{\tfrac12},

con máximo $\frac12$ en $t = \frac\pi4, \frac{5\pi}4$ (puntos $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) y mínimo $-\frac12$ en $t = \frac{3\pi}4, \frac{7\pi}4$ (puntos $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). Máximo global $\frac12$ , mínimo global $-\frac12$ .

25.5 Problema: mínimos cuadrados y línea de regresión

Problema 25.1

Dados los puntos de datos $n$ , ¿qué línea recta pasa "más cerca" de todos ellos? Legendre y Gauss respondieron: la línea que minimiza la suma de los errores verticales al cuadrado — porque eso la minimización se puede resolver exactamente mediante álgebra lineal. este problema prueba por primera vez la prueba de Monge de Método 25.14 honestamente para funciones cuadráticas (el único caso donde el la expansión de segundo orden es exacta), luego construye normales ecuaciones, línea de regresión y el coeficiente de correlación encima de la geometría euclidiana de Capítulo 23.

Parte I — Quadratic functions: the Monge test, proved. Arregla los reales $r, s, t$ y deja que $q(h, k) = r h^2 + 2s hk + t k^2$ .

Supongamos $r \neq 0$ . Establecer la forma del cuadrado completo.

$q(h, k) = r\Bigl(h + \frac{s}{r}k\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}\,k^2 ,$

y deducir: si $rt - s^2 > 0$ , $q$ tiene el signo estricto de $r$ fuera del origen; si $rt - s^2 < 0$ , $q$ toma ambos señales.
Resolver los casos restantes: $r = 0$ , $t \neq 0$ (simétrico); y $r = t = 0$ ( $q = 2shk$ ). Concluir: $q$ toma ambos signos si $rt - s^2 < 0$ y $q$ desaparece sólo en el origen si $rt - s^2 > 0$ .
Sea ahora $f(x, y) = \frac12\bigl(r x^2 + 2s xy + t y^2\bigr) + \beta x + \gamma y + \delta$ una cuadrática funcionar con un punto crítico $X_0 = (a, b)$ . demostrar el exacto expansión

$f(X_0 + (h,k)) = f(X_0) + \tfrac12\,q(h, k) \qquad (\text{no remainder}),$

y deducir la clasificación de Monge para cuadrática funciones: mínimo global estricto si $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ; máximo global estricto si $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ; sillín si $rt - s^2 < 0$ .
Supongamos $rt - s^2 > 0$ y $r > 0$ (también $t > 0$ ). Demostrar la coercitividad explícita ligada

$q(h, k) \geq c\,(h^2 + k^2), \qquad c = \frac{rt - s^2}{r + t} > 0 .$

(Demuestre que la forma cuadrática $q - c(h^2 + k^2)$ , con coeficientes $r - c$ , $s$ , $t - c$ , todavía tiene datos de pruebas discriminantes no negativas.)
Deducir que una función cuadrática con definida positiva la parte cuadrática tiende a $+\infty$ como $\norm{(x,y)} \to \infty$ y, por lo tanto, tiene un único global minimizador: es punto crítico. Contraste con Ejemplo 25.15, donde un mínimo local de una función no cuadrática no era global.

Parte II — The ecuaciones normales. Sea $C_1, C_2, b \in \R^n$ (canónico producto interno), y

f(u, v) = \norm{u\,C_1 + v\,C_2 - b}^2 .

Expanda $f$ y muestre que es una función cuadrática de $(u, v)$ con coeficientes de parte cuadrática $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .
Demuestre que $rt - s^2 > 0$ si y sólo si $(C_1, C_2)$ es libre(the equality case of Cauchy–Schwarz, Teorema 23.4); asuma esto de ahora en adelante.
Demuestre que las ecuaciones críticas $\nabla f = 0$ son las ecuaciones normales

$\begin{pmatrix} \norm{C_1}^2 & \langle C_1, C_2\rangle\\ \langle C_1, C_2\rangle & \norm{C_2}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle C_1, b\rangle\\ \langle C_2, b\rangle\end{pmatrix}$

— la matriz de Gram de Ejercicio 23.11 en el izquierda — y que dicen exactamente: $b - (uC_1 + vC_2) \perp C_1, C_2$ . Concluir con la Parte I y Teorema 23.10: el minimizador único le da a $p = uC_1 + vC_2 =$ el proyección ortogonal de $b$ sobre $\operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .
Demuestre que el valor mínimo es $\norm{b}^2 - \langle p, b\rangle = \norm{b - p}^2$ y dibuje el pitagórico. imagen.

Parte III — The línea de regresión. Puntos de datos $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ , no todos los $x_i$ son iguales. minimizar

E(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - \alpha - \beta x_i\bigr)^2 .

Escriba $\bar x = \frac1n\sum x_i$ , $\bar y = \frac1n\sum y_i$ , $v_x = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2$ , $v_y = \frac1n\sum y_i^2 - \bar y^2$ , $c_{xy} = \frac1n\sum x_i y_i - \bar x\bar y$ .

Reconocer la Parte II con $C_1 = (1, \dots, 1)$ , $C_2 = (x_1, \dots, x_n)$ , $b = (y_1, \dots, y_n)$ y escribir el ecuaciones normales

$n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .$
Resolverlos:

$\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\,\bar x ,$

y observar que el línea de regresión $y = \alpha + \beta x$ pasa por el punto medio $(\bar x, \bar y)$ .
Verifique $v_x > 0$ exactamente cuando los $x_i$ no estén todos igual, y relacione esto con la pregunta 7.
Demuestre que el error mínimo es

$E_{\min} = n\Bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\Bigr) = n\,v_y\,(1 - \rho^2), \qquad \rho = \frac{c_{xy}}{\sqrt{v_x v_y}} \quad (v_y \neq 0).$

Deducir $\abs\rho \leq 1$ , con $\abs\rho = 1$ si y sólo si los datos están perfectamente alineados.
Ejemplo resuelto: para los datos $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ , calcular $\bar x, \bar y, v_x, c_{xy}$ , el línea de regresión, los cuatro residuales y $E_{\min}$ .
Demuestre que los residuos $\varepsilon_i = y_i - \alpha - \beta x_i$ de la línea óptima satisfacen $\sum_i \varepsilon_i = 0$ y $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ , e interpretar ambos vía ortogonalidad.

Parte IV — Variations and applications.

(Mejor constante) Demuestre que la constante $\alpha$ minimizar $\sum_i (y_i - \alpha)^2$ es la media $\bar y$ , y que el valor mínimo es $n\,v_y$ : la varianza Mide la falla de los datos para ser constantes.
(Línea que pasa por el origen) Demuestre que la pendiente que minimiza $\sum_i (y_i - \beta x_i)^2$ es $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ y proporciona una condición sobre los datos. para que $\beta_0$ coincida con la pendiente $c_{xy}/v_x$ de la pregunta 11.
(Distancia a una línea, nuevamente) Para un punto $M$ y la línea $D$ a $P_0$ dirigido por el vector unitario $w$ , minimizar $g(\tau) = \norm{P_0 + \tau w - M}^2$ y deducir $d(M, D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ ; recupera la fórmula $d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ para la línea $ax + by + c = 0$ en el plano.
(Análisis de varianza) Demuestre la descomposición $v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n$ : la varianza de la $y_i$ se divide en la parte explicada por la línea más la varianza residual.
(Ajuste parabólico) Para ajustar $y = a + bx + cx^2$ , demuestre que el ecuaciones normales es el sistema $3 \times 3$ con la matriz de momento

$\begin{pmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2\\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{pmatrix},$

una matriz de Gram que es invertible tan pronto como tres de los $x_i$ son distintos (freeness of $(1, X, X^2)$ sampled at the data, Ejercicio 23.11; compare the moment matrices of the problema de fin de semana of Capítulo 22).

Part V — Robustness, and synthesis.

Clasifica el puntos críticos de los tres cuadráticos funciones

$x^2 + xy + y^2, \qquad x^2 + 3xy + y^2, \qquad x^2 + 2xy + y^2 ,$

por la Parte I, tratando el tercer caso degenerado a mano (¿dónde se alcanza el mínimo?).
(Experimento de valores atípicos) Agregue el punto $(10, 0)$ al datos de la pregunta 14 y recalcular la pendiente $\beta$ . ¿Qué sucedió y por qué el error al cuadrado es tan grande? sensible a un punto distante?
(Ponderado mínimos cuadrados) Dados los pesos $w_i > 0$ , minimizar $\sum_i w_i(y_i - \alpha - \beta x_i)^2$ : mostrar la solución viene dada por las mismas fórmulas que la pregunta 11 con medias ponderadas, varianza y covarianza (definirlos).
Demuestre que para la línea óptima, $E_{\min} = 0$ fuerza todos los puntos se encuentren exactamente sobre él y se conecten con el caso de igualdad $\abs\rho = 1$ de la pregunta 13; prueba en el datos alineados $(1,1), (2,3), (3,5)$ .
Síntesis, en cuatro frases: por qué funciones cuadráticas son la única clase donde el segundo orden de este capítulo la prueba no necesita teorema admitido; cómo el ecuaciones normales identificar la minimización analítica con el ortogonal proyección de Capítulo 23; cuál es la correlación medidas de coeficientes y qué desigualdad lo limita; y qué partes de los Capítulos 18-23 (bases, Gram y matrices de momento, proyecciones) reaparecieron. Nombra el método y las ecuaciones estudiadas en las Partes II–III.

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. Expandiendo el lado derecho:

r\Bigl(h + \frac srk\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = rh^2 + 2shk + \frac{s^2}{r}k^2 + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = q(h,k) .

Si $rt - s^2 > 0$ : ambos cuadrados llevan el signo del factor $r$ , y $q(h,k) = 0$ fuerza a $k = 0$ y luego a $h = 0$ : signo estricto de $r$ fuera del origen. Si $rt - s^2 < 0$ : $q(1, 0) = r$ mientras $q\bigl(-\frac sr, 1\bigr) = \frac{rt - s^2}{r}$ tiene el Signo opuesto: se presentan ambos signos.

2. Si $r = 0 \neq t$ , intercambie los roles de $h$ y $k$ (el cuadrado completado en $k$ ), con las mismas conclusiones; nota $rt - s^2 = -s^2 < 0$ tan pronto como $s \neq 0$ , y de hecho $q = 2shk + tk^2$ toma ambos signos ( $k$ pequeño frente a $h$ ). si $r = t = 0$ : $q = 2shk$ , ambos signos si y si $s \neq 0$ , es decir, si y si $rt - s^2 = -s^2 < 0$ . Resumen: $q$ toma ambos signos $\iff rt - s^2 < 0$ ; $q$ desaparece sólo en el origen (definido) $\iff rt - s^2 > 0$ (lo que fuerza a $r \neq 0$ , ya que $r = 0$ da $q(1,0) = 0$ ).

3. Con $f_x = rx + sy + \beta$ y $f_y = sx + ty + \gamma$ , la expansión directa proporciona

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,f_x(a,b) + k\,f_y(a,b) + \tfrac12 q(h, k),

sin términos superiores (la función es una polinomio de grado $2$ ). En un punto crítico la parte lineal desaparece: $f(X_0 + H) - f(X_0) = \frac12 q(H)$ exactamente, por lo que el estudio de signos de Las preguntas 1–2 clasifican: mínimo global estricto ( $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ), máximo global estricto ( $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ), silla de montar — ambos signos en cada entorno — cuando $rt - s^2 < 0$ . Esto prueba Método 25.14 para cuadrática funciones.

4. El formulario $q - c(h^2 + k^2)$ tiene datos $r - c$ , $s$ , $t - c$ . Con $c = \frac{rt - s^2}{r + t}$ (nota $t > 0$ desde $rt > s^2 \geq 0$ y $r > 0$ ):

(r - c)(t - c) - s^2 = rt - s^2 - c(r + t) + c^2 = c^2 \geq 0,

y $r - c \geq 0$ ( $c \leq r \iff rt - s^2 \leq r^2 + rt$ , cierto). Si $r - c > 0$ , el cuadrado completo de la pregunta 1 muestra $q - c(h^2 + k^2) \geq 0$ ; si $r - c = 0$ , entonces $s = 0$ (de $-s^2 = -c^2 \leq \dots$ forzando la cantidad mostrada $\geq 0$ con primer factor $0$ ) y el formulario es $(t - c)k^2 \geq 0$ . En ambos casos $q(h,k) \geq c(h^2 + k^2)$ .

5. Por las preguntas 3–4, $f(X) = f(X_0) + \frac12 q(X - X_0) \geq f(X_0) + \frac c2\norm{X - X_0}^2 \to +\infty$ como $\norm X \to \infty$ : $f$ es coercitivo y la desigualdad es estricto para $X \neq X_0$ : el punto crítico es el único global minimizador. Para el cúbico $f = x^3 + y^3 - 3xy$ de Ejemplo 25.15, no se cumple tal conclusión: $f(x,0) = x^3 \to -\infty$ , y el mínimo local en $(1,1)$ no es global — la exactitud de la expansión cuadrática es lo que falló.

6. Ampliando la norma al cuadrado:

f(u,v) = u^2\norm{C_1}^2 + 2uv\,\langle C_1, C_2\rangle + v^2\norm{C_2}^2 - 2u\,\langle C_1, b\rangle - 2v\,\langle C_2, b\rangle + \norm b^2 ,

una función cuadrática de $(u, v)$ cuya parte cuadrática es $\frac12(ru^2 + 2suv + tv^2)$ con $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .

7. $rt - s^2 = 4\bigl(\norm{C_1}^2\norm{C_2}^2 - \langle C_1, C_2\rangle^2\bigr) \geq 0$ de Cauchy–Schwarz (Teorema 23.4), con igualdad exactamente cuando $C_1, C_2$ son proporcionales (o uno es cero), es decir, cuando el par es vinculado. Entonces $rt - s^2 > 0 \iff (C_1, C_2)$ libre.

8. $\nabla f = 0$ lee

\norm{C_1}^2 u + \langle C_1, C_2\rangle v = \langle C_1, b\rangle, \qquad \langle C_1, C_2\rangle u + \norm{C_2}^2 v = \langle C_2, b\rangle,

el ecuaciones normales con la matriz Gram a la izquierda; ellos dicen $\langle uC_1 + vC_2 - b,\ C_i\rangle = 0$ para $i = 1, 2$ , es decir $b - p \perp \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ para $p = uC_1 + vC_2$ . Por la Parte I (preguntas 3, 5) el único punto crítico es el único minimizador global, y por Teorema 23.10 la caracterización “ $p \in F$ , $b - p \perp F$ ” identifica a $p$ como el ortogonal proyección de $b$ en $F = \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .

9. $\norm{b - p}^2 = \norm b^2 - 2\langle b, p\rangle + \norm p^2$ y $\langle p, b - p\rangle = 0$ dan $\norm p^2 = \langle p, b\rangle$ : el mínimo es igual a $\norm b^2 - \langle p, b\rangle$ . Pitágoras: $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ — el vector de datos se divide en su parte explicada $p$ y su parte residual $b - p$ , ortogonal entre sí.

10. $E(\alpha, \beta) = \norm{\alpha C_1 + \beta C_2 - b}^2$ con el $C_1, C_2, b$ indicado; el ecuaciones normales de La pregunta 8 es, por entrada,

n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .

11. Dividiendo por $n$ : $\alpha + \beta\bar x = \bar y$ y $\alpha\bar x + \beta\bigl(v_x + \bar x^2\bigr) = c_{xy} + \bar x\bar y$ . Sustituyendo $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ en el segundo: $\beta v_x = c_{xy}$ , entonces

\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\bar x ,

y la primera ecuación dice precisamente que $(\bar x, \bar y)$ está en la línea.

12. $v_x = \frac1n\sum(x_i - \bar x)^2 \geq 0$ , cero si cada $x_i$ es igual a $\bar x$ . Y $rt - s^2 = 4\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr) = 4n^2 v_x$ : gratuidad de la pregunta 7 La condición es $v_x > 0$ , es decir, el $x_i$ no es todo igual.

13. Con $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ , centre el datos ( $\tilde x_i = x_i - \bar x$ , $\tilde y_i = y_i - \bar y$ ):

E(\alpha, \beta) = \sum_i(\tilde y_i - \beta\tilde x_i)^2 = n\,v_y - 2\beta\,n\,c_{xy} + \beta^2 n\,v_x ,

minimizado en $\beta = c_{xy}/v_x$ con valor $E_{\min} = n\bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\bigr) = n v_y(1 - \rho^2)$ . Desde $E_{\min} \geq 0$ y $v_y > 0$ : $\rho^2 \leq 1$ , y $\abs\rho = 1$ si $E_{\min} = 0$ , es decir, si cada residual desaparece: los puntos se encuentran exactamente en la línea.

14. $n = 4$ : $\bar x = \frac64 = 1.5$ , $\bar y = 2$ , $\sum x_i^2 = 14$ entonces $v_x = 3.5 - 2.25 = 1.25$ , $\sum x_iy_i = 0 + 1 + 6 + 12 = 19$ entonces $c_{xy} = 4.75 - 3 = 1.75$ . Por lo tanto

\beta = \frac{1.75}{1.25} = 1.4, \qquad \alpha = 2 - 1.4\times1.5 = -0.1 : \qquad y = 1.4\,x - 0.1 .

Valores ajustados $-0.1,\ 1.3,\ 2.7,\ 4.1$ ; residuales $0.1,\ -0.3,\ 0.3,\ -0.1$ ; $E_{\min} = 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 = 0.2$ (consulte: $v_y = \frac{26}4 - 4 = 2.5$ y $4(2.5 - \frac{1.75^2}{1.25}) = 4(2.5 - 2.45) = 0.2$ ).

15. Los dos ecuaciones normales de la pregunta 10 son exactamente $\sum_i\varepsilon_i = 0$ y $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ : el vector residual es ortogonal a $C_1 = (1, \dots, 1)$ y a $C_2 = (x_i)$ — a todo el espacio modelo. en En particular, la línea óptima siempre equilibra sus errores: suma cero.

16. $\frac{\dd}{\dd\alpha}\sum(y_i - \alpha)^2 = -2\sum(y_i - \alpha) = 0$ da $\alpha = \bar y$ (y el segundo derivado $2n > 0$ lo convierte en el mínimo global, el función es una cuadrática coercitiva en una variable). mínimo valor $\sum(y_i - \bar y)^2 = n v_y$ : la varianza es la Error cuadrático irreducible de un modelo constante.

17. $\frac{\dd}{\dd\beta}\sum(y_i - \beta x_i)^2 = -2\sum x_i(y_i - \beta x_i) = 0$ da $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ . Escribir ambas pendientes sobre centradas cantidades: $\beta_0 = \frac{c_{xy} + \bar x\bar y}{v_x + \bar x^2}$ es igual a $\frac{c_{xy}}{v_x}$ si $c_{xy}\bar x^2 = \bar x\bar y\,v_x$ , es decir, si $\bar x = 0$ (abscisas centradas) o $\bar y = \beta\bar x$ — este último significa $\alpha = 0$ : el línea de regresión completo ya pasa por el origen.

18. $g(\tau) = \norm{M - P_0}^2 - 2\tau\langle M - P_0, w\rangle + \tau^2$ es mínimo en $\tau^* = \langle M - P_0, w\rangle$ , con valor $d(M,D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ . En el avión, complete $w$ en un ortonormal base $(w, n)$ con $n = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (unidad normal de $D$ ): luego $\norm{M - P_0}^2 = \langle M - P_0, w\rangle^2 + \langle M - P_0, n\rangle^2$ , entonces $d(M, D) = \abs{\langle M - P_0, n\rangle}$ , y con $aP_{0x} + bP_{0y} = -c$ :

d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

19. De $E_{\min}/n = v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ y $\beta^2 v_x = \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ :

v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n :

varianza total $=$ varianza a lo largo de la línea ajustada $+$ residual variación. (Dividiendo por $v_y$ : $1 = \rho^2 + (1 - \rho^2)$ , el La proporción de variación "explicada" por la línea es $\rho^2$ .)

20. El espacio modelo es $\operatorname{Vect}\bigl(C_1, C_2, C_3\bigr)$ con $C_1 = (1)$ , $C_2 = (x_i)$ , $C_3 = (x_i^2)$ ; minimizando $\norm{aC_1 + bC_2 + cC_3 - b}^2$ conduce, exactamente como en la pregunta 8, al $3\times3$ Sistema de Gram, cuya matriz tiene entradas $\langle C_i, C_j\rangle = \sum_k x_k^{\,i+j-2}$ : la matriz de momento mostrada. es invertible si $(C_1, C_2, C_3)$ es libre (Ejercicio 23.11); una relación $a + bx_k + cx_k^2 = 0$ para todos $k$ hace que cada $x_k$ sea una raíz de un polinomio de grado $\leq 2$ , imposible con tres valores distintos a menos que $a = b = c = 0$ . Compara las matrices de momentos del problema del fin de semana. de Capítulo 22, donde sus determinantes fueron elevados al cuadrado Valores de Vandermonde.

21. Primero: $r = 2, s = 1, t = 2$ , $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : mínimo global estricto en el origen. Segundo: $r = 2, s = 3, t = 2$ , $rt - s^2 = -5 < 0$ : silla de montar. Tercero: $r = s = t = 2$ , $rt - s^2 = 0$ : degenerado — pero $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \geq 0$ desaparece en toda la línea $y = -x$ : a Mínimo global (no estricto) alcanzado a lo largo de una línea, invisible para la prueba determinante.

22. Nuevas sumas ( $n = 5$ ): $\bar x = 3.2$ , $\bar y = 1.6$ , $\sum x_iy_i = 19$ entonces $c_{xy} = 3.8 - 5.12 = -1.32$ , $\sum x_i^2 = 114$ entonces $v_x = 22.8 - 10.24 = 12.56$ . Nueva pendiente:

\beta = \frac{-1.32}{12.56} \approx -0.105 :

un punto convirtió una tendencia claramente creciente ( $\beta = 1.4$ ) en uno ligeramente decreciente. El error al cuadrado cobra un residual $\varepsilon^2$ , por lo que un solo punto distante — grande $\abs{x_{i} - \bar x}$ y gran residual — domina tanto $c_{xy}$ como $v_x$ : mínimos cuadrados es eficiente pero no robusto.

23. Configure $W = \sum w_i$ y defina $\bar x_w = \frac1W\sum w_ix_i$ , $\bar y_w$ de la misma manera, $v_x^w = \frac1W\sum w_ix_i^2 - \bar x_w^2$ , $c^w_{xy} = \frac1W\sum w_ix_iy_i - \bar x_w\bar y_w$ . La aplicación $\langle u, v\rangle_w = \sum_i w_iu_iv_i$ es un producto interno en $\R^n$ ( $w_i > 0$ da precisión), por lo que La parte II se aplica textualmente y el ecuaciones normales se divide por $W$ en

\alpha + \beta\bar x_w = \bar y_w, \qquad \alpha\bar x_w + \beta(v^w_x + \bar x_w^2) = c^w_{xy} + \bar x_w\bar y_w ,

de donde $\beta = c^w_{xy}/v^w_x$ y $\alpha = \bar y_w - \beta\bar x_w$ : las mismas fórmulas, con cada promedio ponderado.

24. $E_{\min} = \sum\varepsilon_i^2 = 0$ obliga a todos $\varepsilon_i = 0$ : todos los puntos exactamente en la línea; por pregunta 13 este es el caso $\abs\rho = 1$ . Prueba: para $(1,1), (2,3), (3,5)$ : $\bar x = 2$ , $\bar y = 3$ , $v_x = \frac{14}3 - 4 = \frac23$ , $c_{xy} = \frac{22}3 - 6 = \frac43$ : $\beta = 2$ , $\alpha = -1$ y, de hecho, $y_i = 2x_i - 1$ para los tres puntos; $v_y = \frac{35}3 - 9 = \frac83$ y $\rho^2 = \frac{(4/3)^2}{(2/3)(8/3)} = 1$ .

25. (i) Para funciones cuadráticas, la expansión de orden dos es un identidad, por lo que el estudio de signos de la forma cuadrática — álgebra pura, preguntas 1–2 — clasifica puntos críticos sin teorema de Taylor admitido. (ii) El ecuaciones normales dice “residual ortogonal al espacio modelo”, por lo que el análisis mínimo is el proyección ortogonal del vector de datos: El cálculo y la geometría euclidiana calculan el mismo objeto. (iii) La correlación $\rho = c_{xy}/\sqrt{v_xv_y}$ mide la participación $\rho^2$ de la varianza explicada por la línea, y Cauchy–Schwarz lo limita: $\abs\rho \leq 1$ , sólo con igualdad para datos alineados. (iv) Bases y libertad (Capítulo 18), Gram y matrices de momentos y sus determinantes (Capítulos 22-23), y proyección ortogonal (Capítulo 23) reaparecieron como el partes funcionales de un algoritmo. Las partes II–III desarrollan el method of mínimos cuadrados (Legendre, Gauss) a través de su ecuaciones normales.

25.1 El avión R2\R^2R2; continuidad

25.2 Derivadas parciales

25.3 Extremos locales

25.4 Ceremonias

25.5 Problema: mínimos cuadrados y línea de regresión

25.1 El avión $\R^2$ ; continuidad