¿Qué es dominio euclídeo? — Matemáticas

Definición 2.13 Matemáticas universitarias — Grado 3 · 第 2 章 — Anillos y aritmética

Un dominio de integridad $A$ es:

euclídeo si existe una aplicación $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ (una función euclídea) tal que, para todos $a, b$ con $b \ne 0$ , existen $q, r$ con $a = bq + r$ y ( $r = 0$ o $\nu(r) < \nu(b)$ );
principal (un DIP) si todo ideal es de la forma $(a)$ ;
factorial (un DFU) si todo elemento no nulo y no unidad es un producto de irreducibles, único salvo el orden y salvo asociados.

División en los enteros de Gauss: el cociente exacto a/b ∈ ℂ dista menos de ≤ √2/2 < 1 de algún punto q ∈ ℤ[ ] de la red; entonces r = a - bq cumple N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b). Una sola división euclídea y, con ella, toda una aritmética. — División en los enteros de Gauss: el cociente exacto $a/b \in \C$ dista menos de $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ de algún punto $q \in \Z[\iu]$ de la red; entonces $r = a - bq$ cumple $N(r) = N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$ . Una sola división euclídea y, con ella, toda una aritmética.

示例

Ejemplo 2.15

$\Z$ (con $\nu = \abs\cdot$ ) y $K[X]$ (con $\nu = \deg$ ) son euclídeos — ambas divisiones se establecieron en segundo año. También lo es $\Z[\iu]$ , con $\nu = N$ la norma cuadrática (Ejercicio 2.4); la geometría de la demostración está en la figura siguiente. Existe algún DIP que no es euclídeo, pero certificarlo es delicado (el ejemplo estándar es $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$ ); en cambio, un DFU que no es DIP es fácil: $K[X, Y]$ (Ejercicio 2.6), o $\Z[X]$ .

Ejemplo 2.20 (Un anillo sin factorización única)

Ninguna de las implicaciones euclídeo $\Rightarrow$ DIP $\Rightarrow$ DFU es una equivalencia, y merece la pena ver una vez, con todo detalle, cómo falla la última. En

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

la norma es multiplicativa y $N(z) = 1$ si y solo si $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Consideremos

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Los cuatro factores son irreducibles: sus normas valen $4, 9, 6, 6$ , y una factorización propia $z = z_1z_2$ obligaría a $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — pero $a^2 + 5b^2$ nunca es igual a $2$ ni a $3$ ( $b = 0$ deja los no cuadrados $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ da $\geq 5$ ). Sin embargo, $2$ no es asociado de ninguno de los dos $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$ ): dos factorizaciones genuinamente distintas de $6$ en irreducibles. Equivalentemente, aquí irreducible $\neq$ primo: $2$ divide al producto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ pero a ninguno de los dos factores (de nuevo por las normas). La reparación del fallo en términos de ideales — factorizar ideales en lugar de elementos — es el nacimiento de la teoría algebraica de números; a nuestro nivel, el ejemplo calibra hasta qué punto son especiales los anillos euclídeos $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ de este capítulo.

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示例

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