¿Qué es identidad de polarización? — Matemáticas

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Definición 12.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · অধ্যায় 12 — Formas cuadráticas

Una forma bilineal simétrica sobre un espacio vectorial real $E$ es una aplicación bilineal $\varphi \colon E \times E \to \R$ con $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ; la forma cuadrática asociada es $q(x) = \varphi(x, x)$ . La forma $\varphi$ se recupera de $q$ por polarización:

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

En una base $(e_i)$ , la matriz de $\varphi$ es la matriz simétrica $B = (\varphi(e_i, e_j))$ , con $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ; un cambio de base de matriz $P$ sustituye $B$ por $P^{\mathsf T} B P$ (congruencia, ¡no semejanza!). El rango de $q$ es $\operatorname{rk} B$ (invariante: la congruencia multiplica por matrices invertibles).

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Ejemplo 12.3 (La congruencia en acción)

Tomemos $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (de matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) y la nueva base $e_1' = (1, 1)$ , $e_2' = (1, -1)$ , es decir, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . Entonces

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

en las coordenadas $(u, v)$ respecto de la nueva base, $q = 6u^2 - 2v^2$ ; compruébese: $x = u + v$ , $y = u - v$ da $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ directamente. Obsérvese que las nuevas entradas diagonales $6, -2$ no son los valores propios $3, -1$ de $B$ : la congruencia reescala, y solo la semejanza conserva los espectros; pero los signos coinciden, como exige el teorema de Sylvester. (La base de aquí es ortogonal pero no ortonormal; normalizándola por $\frac{1}{\sqrt2}$ se dividiría la diagonal entre $2$ y se recuperarían los valores propios.)

Ejemplo 12.4 (Los determinantes de Gram miden áreas)

Para $v_1, v_2$ en un espacio euclídeo, la matriz de Gram $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ empaqueta longitudes y ángulo; su determinante empaqueta el área:

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

el cuadrado del área del paralelogramo sobre $v_1, v_2$ ; y Cauchy–Schwarz es exactamente el enunciado $\det G \geq 0$ . Ejemplo resuelto: $v_1 = (1, 2, 2)$ , $v_2 = (2, 1, -2)$ en $\R^3$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

los vectores son ortogonales de longitud $3$ y generan un paralelogramo (aquí, un cuadrado) de área $\sqrt{81} = 9$ . Moraleja: no se ha usado ningún producto vectorial ni magia de la dimensión $3$ ; $\sqrt{\det G}$ mide el volumen $k$ -dimensional en cualquier dimensión, punto de partida de la parte I del problema de fin de semana y de las integrales de área de superficie posteriores de este volumen.

Ejemplo 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : valores propios $3$ (con vector propio $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) y $1$ (con $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). La forma cuadrática $2x^2 + 2xy + 2y^2$ pasa a ser $3X^2 + Y^2$ en el sistema ortonormal girado: los ejes principales de una elipse, calculados. La reducción de Gauss alcanza también una forma diagonal, pero solo el teorema espectral la alcanza sin distorsionar longitudes.

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