3Funciones

Solución de Problema 3.1.

1. Dominio: $x \neq 0$ (se divide entre $x$). $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac{17}{12}$.

2. $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ da $x^2 + 2 = 3x$, es decir, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: las antiimágenes de $\frac32$ son $1$ y $2$, tal como anunciaba la pregunta 1.

3. $f(x) = x$ da $x + \frac2x = 2x$, luego $\frac2x = x$ y $x^2 = 2$: los puntos fijos son $\sqrt2$ y $-\sqrt2$. El positivo es la diagonal del cuadrado unidad, irracional por el problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad.

4. $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$: las aproximaciones de $\sqrt2$ de Herón. Su receta “haz la media de la estimación con $2/$estimación” es exactamente iterar la función $f$, y el número que persigue el proceso es el punto fijo de $f$.

5. Los puntos fijos son los cortes de la gráfica con la diagonal $y = x$: volver a meter los resultados hace caminar el punto por la gráfica hacia ese corte. En el problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos termómetros, la lectura $-40^\circ$ era esa misma idea de cortar la diagonal, para la función de conversión.

6. $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u = \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. Para $0 < u < v \leq \sqrt2$: $uv < 2$, el paréntesis es negativo y $f(v) < f(u)$: decreciente. Para $\sqrt2 \leq u < v$: $uv > 2$: creciente. El punto de cambio es $\sqrt2$.

7. Decreciente antes de $\sqrt2$ y creciente después: $f$ alcanza su mínimo en $\sqrt2$, y vale $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$. Consecuencia: todo resultado de la máquina (con entrada positiva) es al menos $\sqrt2$; tras una vuelta de manivela, las estimaciones viven en $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

8. Si $x > \sqrt2$, entonces $x^2 > 2$, luego $\frac2x < x$ y la media $f(x)$ de $x$ y $\frac2x$ es menor que $x$; además $f(x) \geq \sqrt2$ por la pregunta 7, con igualdad solo en $x = \sqrt2$. Así pues, $\sqrt2 < f(x) < x$: cada iteración mejora estrictamente sin pasarse de largo, y la sucesión de la pregunta 4 se desliza hasta $\sqrt2$.

9. En $\intoo{0}{+\infty}$: decreciente desde $+\infty$ (cerca de $0$) hasta el mínimo $\sqrt2$ en $x = \sqrt2$, y creciente después sin límite.

10. $g(x) = x$ da $x^2 = x$, $x(x - 1) = 0$: puntos fijos $0$ y $1$. Desde $0.9$: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$, deslizándose hacia $0$. Desde $1.1$: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$, escapando hacia el infinito. El punto fijo $0$ atrae y el $1$ repele: una diferencia de un pelo al principio, destinos opuestos.

11. $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: dieciséis pasos, con una cima en $52$.

12. $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$: todavía subiendo tras diez pasos, camino de una cima de $9\,232$ y de un vuelo de $111$ pasos. Lección: una regla de dos líneas puede producir un comportamiento que nadie sabe prever de un vistazo; números vecinos ($26$, $27$, $28$) tienen vuelos disparatadamente distintos.

13. Una potencia de $2$ se va dividiendo entre dos por toda su escalera: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$. Abajo del todo, $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: el vuelo entra en el ciclo $4 \to 2 \to 1 \to 4$. Un punto fijo exigiría $\frac n2 = n$ (solo $n = 0$) o $3n + 1 = n$ (negativo): no hay ninguno entre los enteros positivos; lo que forman los vuelos observados no es un punto fijo, sino ese pequeño ciclo.

14. Un contraejemplo sería o bien un vuelo que crece para siempre (sin volver nunca a $1$), o bien un segundo ciclo disjunto de $4 \to 2 \to 1$. Verificar hasta $10^{20}$ deja infinitos números sin comprobar: exactamente la lección de las regiones del círculo del problema de fin de semana del volumen anterior sobre el oráculo de las cerillas; que algo se cumpla en un número finito de casos no demuestra nada sobre todos.

15. En la máquina de Herón había estructura: una diferencia factorizada (pregunta 6) que revelaba la variación, un mínimo, un cerco; la regla del granizo, que cambia según la paridad, no ofrece ningún asidero parecido: nadie ha encontrado la estructura que la domestique.

16. $\sqrt{x - 3}$: exige $x - 3 \geq 0$: $\intco{3}{+\infty}$. $\frac{1}{x^2 - 9}$: exige $x \neq \pm 3$: $\R$ salvo $-3$ y $3$. $\sqrt{9 - x^2}$: exige $x^2 \leq 9$: $\intcc{-3}{3}$.

17. $f(x) = 3$ da $x + \frac2x = 6$, luego $x^2 - 6x + 2 = 0$, es decir, $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ o $x = 3 + \sqrt7$ (los dos positivos: dos antiimágenes exactas).

18. La fórmula tiene sentido físico mientras la piedra está en el aire: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ para $t \in \intcc{0}{4}$. Completando el cuadrado: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: máximo de $20$ m en $t = 2$ s. Variación: creciente en $\intcc{0}{2}$ de $0$ a $20$ y decreciente en $\intcc{2}{4}$ de vuelta a $0$.

19. $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff (t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: dos segundos completos por encima de $15$ m.

20. Cada máquina tiene un dominio (donde la regla está permitida), una regla (la fórmula o el cambio según la paridad) y una gráfica o una tabla que la muestra entera. A cada una le hemos hecho las dos grandes preguntas: adónde lleva la repetición (puntos fijos, ciclos, atracción: resuelto para Herón, abierto para el granizo) y cómo se mueve el resultado con la entrada (variación, extremos: la cima de la piedra, el mínimo de Herón). Los capítulos siguientes afinan las dos: primero las funciones de referencia y, en cursos posteriores, las derivadas para medir la variación y los límites para certificar dónde aterrizan las iteraciones.