3Funciones

Solución de Problema 3.1.

1. Dominio: $x \neq 0$ (división por $x$). $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac{17}{12}$.

2. $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ da $x^2 + 2 = 3x$, es decir $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: el preimágenes de $\frac32$ son $1$ y $2$ — como pregunta 1 anunciado.

3. $f(x) = x$ da $x + \frac2x = 2x$, entonces $\frac2x = x$, $x^2 = 2$: puntos fijos $\sqrt2$ y $-\sqrt2$. El positivo es la diagonal del cuadrado unitario, irracional por el problema de irracionalidad del fin de semana del volumen de la escuela secundaria.

4. $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$: aproximaciones de Garza de $\sqrt2$. Su receta “promediar la conjetura con $2/$guess” es exactamente iterating the función $f$ — y el número del Las persecuciones de proceso son punto fijo de $f$.

5. El puntos fijos son los cruces del gráfico con la diagonal $y = x$: las salidas de alimentación regresan caminando apunte por la gráfico hacia dicho cruce. en En el problema de fin de semana de dos termómetros del volumen de secundaria, la lectura $-40^\circ$ fue la misma. idea de cruzar la diagonal para la conversión función.

6.$f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u = \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. Para $0 < u < v \leq \sqrt2$: $uv < 2$, el corchete es negativo, $f(v) < f(u)$: decreciente. Para $\sqrt2 \leq u < v$: $uv > 2$: creciente. Punto de inflexión: $\sqrt2$.

7. Decreciente antes de $\sqrt2$, creciente después: $f$ alcanza su mínimo en $\sqrt2$, valor $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$. Consecuencia: cada salida de la máquina (positiva entrada) es al menos $\sqrt2$ — después de una vuelta de la manivela, Las conjeturas viven en $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

8. Si $x > \sqrt2$, entonces $x^2 > 2$, entonces $\frac2x < x$ y el promedio $f(x)$ de $x$ y $\frac2x$ es menos de $x$; y $f(x) \geq \sqrt2$ por la pregunta 7, con igualdad sólo en $x = \sqrt2$. entonces $\sqrt2 < f(x) < x$: cada iteración mejora estrictamente sin sobrepasando — la secuencia de la pregunta 4 se desliza hacia abajo $\sqrt2$.

9. En $\intoo{0}{+\infty}$: decreciente de $+\infty$ (cerca de $0$) hasta mínimo $\sqrt2$ en $x = \sqrt2$, luego creciente sin límite.

10. $g(x) = x$ da $x^2 = x$, $x(x - 1) = 0$: fijo puntos $0$ y $1$. De $0.9$: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$ — deslizándose hacia $0$. De $1.1$: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$ — huyendo al infinito. El punto fijo $0$ atrae, $1$ repele: un pelo de diferencia al principio, opuesto destinos.

11. $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: dieciséis pasos, alcanzando un máximo en $52$.

12. $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — sigue subiendo después diez pasos, en camino a un pico de $9\,232$ y un paso $111$ vuelo. Lección: una regla de dos líneas puede producir un comportamiento que nadie puede predecir de un vistazo — números de al lado ($26$, $27$, $28$) tienen vuelos tremendamente diferentes.

13. Una potencia de $2$ reduce a la mitad toda su escalera: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$. En la parte inferior, $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: el vuelo entra en ciclo $4 \to 2 \to 1 \to 4$. Puntos fijos necesitaría $\frac n2 = n$ (sólo $n = 0$) o $3n + 1 = n$ (negativo): ninguno entre los positivo números enteros — los vuelos observados terminan no en un fijo punto sino en ese pequeño ciclo.

14. Un contraejemplo sería un vuelo que crece para siempre (nunca regresa a $1$) o un segundo ciclo separado de $4 \to 2 \to 1$. Verificación hasta $10^{20}$ deja infinitos números sin probar — exactamente el Lección de regiones circulares del problema del fin de semana del oráculo de cerillas del volumen de la escuela secundaria: acuerdo sobre un número finito de casos no prueba nada sobre todos ellos.

15. Para la máquina de Heron teníamos estructura — a diferencia factorizada (pregunta 6) que revela variaciones, una mínimo, un apretón — mientras el granizo cambia de paridad La regla no ofrece tal manejo: nadie ha encontrado la estructura que lo domestica.

16. $\sqrt{x - 3}$: necesita $x - 3 \geq 0$: $\intco{3}{+\infty}$. $\frac{1}{x^2 - 9}$: necesidades $x \neq \pm 3$: $\R$ privado de $-3$ y $3$. $\sqrt{9 - x^2}$: necesita $x^2 \leq 9$: $\intcc{-3}{3}$.

17. $f(x) = 3$ da $x + \frac2x = 6$, entonces $x^2 - 6x + 2 = 0$, es decir $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ o $x = 3 + \sqrt7$ (ambos positivos: dos exactos preimágenes).

18. Sentido físico mientras la piedra está en el aire: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ para $t \in \intcc{0}{4}$. Completando: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: máximo $20$ m en $t = 2$ s. Variaciones: creciente en $\intcc{0}{2}$ de $0$ a $20$, decreciente en $\intcc{2}{4}$ de regreso a $0$.

19. $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff (t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: dos completos segundos por encima de $15$ m.

20. Cada máquina tiene un dominio (donde la regla es permitido), una regla (la fórmula o el cambio de paridad) y una gráfico o tabla que lo muestra completo. De cada uno le preguntamos a los dos grandes preguntas: ¿A dónde lleva la repetición? (fijo puntos, ciclos, atracción — resuelto para Heron, abierto para granizo) y ¿Cómo se mueve la salida con la entrada? (variaciones, extremos — cumbre de la piedra, Heron’s mínimo). Los capítulos siguientes agudizan ambos: referencia funciones a continuación, luego, en años posteriores, derivados para medir la variación y límites para certificar dónde aterrizan las iteraciones.