¿Qué es Área? — Matemáticas

Definición 43.5 Matemáticas de primaria y secundaria · Capítulo 43 — Perímetro, área y volumen

El área de una figura mide la superficie que cubre: cuántos cuadrados unidad caben dentro. Unidades: cm $^2$ (un cuadrado de lado $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Cuidado:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— un metro cuadrado es un cuadrado de $100$ cm por $100$ cm, así que cada escalón de la escalera de unidades vale $100$ , no $10$ .

El área de un rectángulo: 7 columnas de 4 cuadrados unidad cada una, o sea, 7 × 4 = 28 cuadrados en total. Por eso área = largo × ancho. — El área de un rectángulo: $7$ columnas de $4$ cuadrados unidad cada una, o sea, $7 \times 4 = 28$ cuadrados en total. Por eso área $=$ largo $\times$ ancho.

Ejemplos

Ejemplo 43.7 (Figuras compuestas)

Una habitación en forma de L es un rectángulo de $6$ m $\times$ $4$ m al que se le ha quitado una esquina cuadrada de $2$ m $\times$ $2$ m. Su área, paso a paso:

rectángulo completo: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
cuadrado quitado: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
área restante: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Su perímetro no es $20$ de nada: recorriendo la L, el borde sigue midiendo $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — los dos cortes de la esquina sustituyen a dos trozos de pared iguales. ¡El mismo número por casualidad, pero metros cuadrados en un caso y metros en el otro!

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Definición 19.20 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 19 — Superficies

Sea $\sigma \colon U \to \R^3$ una superficie $\mathcal{C}^1$ regular e inyectiva, y $K \subseteq U$ un dominio compacto sobre el que tengan sentido las integrales dobles (Capítulo 20). El área del trozo $\sigma(K)$ es

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

$La silla de montar z = x2 - y2 cerca del origen, con sus curvas coordenadas (las curvas u en azul, las curvas v en verde), el plano tangente en M_0 = (0,0,0) (a trazos) y la normal unitaria n. La superficie cruza su plano tangente: el análogo bidimensional de una inflexión.$

Figura 19.1. La silla de montar

z = x^2 - y^2

cerca del origen, con sus curvas coordenadas (las curvas

u

en azul, las curvas

v

en verde), el plano tangente en

M_0 = (0,0,0)

(a trazos) y la normal unitaria

n

. La superficie cruza su plano tangente: el análogo bidimensional de una inflexión.

Cuatro de las nueve superficies cuádricas clasificadas en el problema de fin de semana, esbozadas mediante sus siluetas y una curva de nivel (en rojo): el elipsoide acotado, el hiperboloide de una hoja doblemente reglado con su garganta, el cuenco del paraboloide elíptico y la silla de montar, cuyas dos secciones parabólicas se doblan en sentidos opuestos.

Ejemplos

Ejemplo 19.22 (Dos grafos distintos, una misma área)

Sobre el disco unidad, comparemos el cuenco $z = \frac12(x^2 + y^2)$ y la silla de montar $z = xy$ . Sus integrandos de área (Ejercicio 19.5) son

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{y}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

idénticos. Las dos superficies —una que se curva igual en todas las direcciones, la otra con forma de silla— tienen áreas exactamente iguales sobre todo dominio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre el disco unidad. El elemento de área solo ve la longitud del gradiente, no la disposición de la flexión; distinguir el cuenco de la silla exige datos de segundo orden (la estructura de signos exhibida en la Figura 19.1), que ninguna medida de área detecta. Primera forma fundamental: métrica, ciega a la forma; la segunda forma, que sí ve la forma, pertenece al tercer año.

Ejemplo 19.23 (Área de la esfera)

Para la carta esférica del Ejemplo 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

luego $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ y $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . De ahí,

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Ejemplo 19.24 (El cono, contrastado con la fórmula escolar)

Para el cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ sobre la corona $a \leq \rho \leq b$ , la fórmula para grafos del Ejercicio 19.5 da $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calcúlense $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), luego

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Comprobación de coherencia con la fórmula de la generatriz $\pi\rho\ell$ del Ejemplo 19.26: los conos completos de radios de base $b$ y $a$ tienen áreas laterales $\pi b\cdot b\sqrt2$ y $\pi a\cdot a\sqrt2$ , cuya diferencia es exactamente $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Dos cartas, dos fórmulas, un área: la invariancia demostrada en el Ejercicio 19.8, vista en libertad.

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Ejemplos

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