action de groupe কী?

Exemple 1.9

Cinq actions animent toute la théorie des groupes finis :

1. $G$ sur lui-même par translation à gauche $g \cdot x = gx$ : libre et transitive.
2. $G$ sur lui-même par conjugaison $g \cdot x = gxg^{-1}$ : les orbites sont les classes de conjugaison, les stabilisateurs les centralisateurs $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$, les points fixes le centre $Z(G)$.
3. $G$ sur l’espace des classes $G/H$ par $g \cdot xH = gxH$ : transitive, avec stabilisateur de la classe $H$ égal à $H$. Toute action transitive est de cette forme (Exercice 1.8).
4. $G$ sur son ensemble de sous-groupes par conjugaison : le stabilisateur de $H$ est le normalisateur $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$, le plus grand sous-groupe de $G$ dans lequel $H$ est normal.
5. $S_n$ sur $\intint{1}{n}$ : la mère de tous les exemples.