Algèbre কী?

Exemple 1.34 (Un morphisme d’évaluation et son noyau)

Prenons $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ et l’évaluation $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$, $P \mapsto P(A)$. Puisque $A^2 = 0$,

(seuls les termes constant et linéaire de $P$ subsistent). Donc $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : un idéal principal, exactement comme le prévoit le Théorème 1.26, engendré par le polynôme unitaire $X^2$ de plus petit degré dans le noyau — le polynôme minimal de $A$, vedette du Chapitre 3. L’image est l’algèbre commutative de dimension deux $\{aI + bA\}$ : les morphismes d’évaluation réduisent le $\R[X]$ de dimension infinie à de petites algèbres calculables.