Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

21Matrices

Une matrice est une application linéaire écrite en coordonnées. Ce chapitre met en place le dictionnaire — la composition devient produit matriciel, la bijectivité devient inversibilité, le changement de base devient conjugaison — ainsi que le versant algorithmique : opérations sur les lignes, calcul de rangs et d’inverses. Rencontrées pour la première fois dans le volume de Terminale, les matrices reposent désormais sur la théorie des Chapitres 18, 19 et 20.

21.1 Matrices et applications linéaires

Définition 21.1

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ est l’espace vectoriel des tableaux $n \times p$ $A = (a_{ij})$ de scalaires ( $i$ : ligne, $j$ : colonne), de dimension $np$ (base : les matrices $E_{ij}$ n’ayant qu’un seul $1$ ). Étant données des bases $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ et $\mathcal{C}$ de $F$ ( $\dim F = n$ ), la matrice de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ est le tableau dont la $j$ -ième colonne donne les coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal{C}$ :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

L’application $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ est un isomorphisme de $\mathcal{L}(E, F)$ sur $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (Proposition 20.2 : une application linéaire, c’est exactement un choix des images des $e_j$ ).

Exemple 21.2 (La dérivée, vue comme matrice)

Soit $D(P) = P'$ sur $\R_3[X]$ . Dans la base des monômes $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , donc

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Dans la base divisée $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ , chaque vecteur de base est envoyé sur le précédent ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ), et la matrice devient le décalage pur : des $1$ sur la surdiagonale, des zéros ailleurs. Deux morales : la matrice appartient au couple (application, base), et non à l’application seule ; et une bonne base rend la structure visible d’un coup d’œil — la forme de décalage montre instantanément que $D^4 = 0$ sur $\R_3[X]$ , chaque puissance de la matrice repoussant sa diagonale de $1$ d’un cran vers l’extérieur.

Définition 21.3 (Produit)

Pour $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}$ :

(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk} \qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).

C’est exactement la matrice de la composée : $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\, \operatorname{Mat}(u)$ (les bases se recollant au milieu). De même, si $X$ est la colonne des coordonnées de $x$ , la colonne de $u(x)$ est $AX$ .

Démonstration de la formule de composition.

v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j) = \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i = \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere

∎

Proposition 21.4 (L’algèbre $\mathcal{M}_n(K)$ )

Les matrices carrées $\mathcal{M}_n(K)$ forment un anneau (non commutatif dès que $n \geq 2$ ), d’élément unité $I_n$ ; son groupe des inversibles est le groupe linéaire $GL_n(K)$ , qui correspond aux endomorphismes bijectifs. Pour $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ et } B = A^{-1}

(un inverse d’un seul côté est un inverse des deux côtés, d’après le Corollaire 20.9).

Démonstration. Les axiomes d’anneau se transportent depuis $\mathcal{L}(E)$ par l’isomorphisme de la Définition 21.1 : il convertit la composition en produit et la somme en somme, de sorte que l’associativité, la distributivité et le rôle de $I_n$ sont hérités des faits correspondants sur les applications, sans aucune vérification coefficient par coefficient. Non-commutativité : $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22} = E_{21}E_{12}$ . Si $AB = I_n$ : l’endomorphisme $a$ associé à $A$ vérifie $a \circ b = \mathrm{id}$ , donc $a$ est surjective ( $x = a(b(x))$ exhibe un antécédent de tout $x$ ), donc bijective en dimension finie (Corollaire 20.9) ; en composant $a \circ b = \mathrm{id}$ à gauche par $a^{-1}$ , on obtient $b = a^{-1}$ , et alors $b\circ a = \mathrm{id}$ aussi : l’inverse d’un seul côté était depuis le début un inverse des deux côtés — une faveur strictement propre à la dimension finie. ∎

Définition 21.5 (Transposée ; trace)

La transposée de $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ est $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ ; elle vérifie $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ et $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ . La trace d’une matrice carrée est $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ ; elle est linéaire, et

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).

Démonstration de l’identité de la trace. $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ et $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$ : la même somme double. ∎

Exemple 21.6 (La trace à l’œuvre)

La projection du Chapitre 20 sur $\operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $\operatorname{Vect}(0,1)$ , $p(x, y) = (x, x)$ , a pour matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ dans la base canonique : en effet $A^2 = A$ , et

\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,

ce qui illustre l’Exercice 21.8 : pour les matrices idempotentes, la trace compte la dimension de l’image, quelle que soit la base biscornue dans laquelle la matrice est écrite. Le mécanisme d’invariance est l’identité $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ :

\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,

de sorte que toutes les matrices semblables à $A$ ont la même trace — le premier invariant numérique d’un endomorphisme, que le déterminant rejoindra au Chapitre 22 (le couple $(s, p)$ du devoir maison ci-dessous).

Exemple 21.7 (Symétrique plus antisymétrique)

On dit que $A$ est symétrique lorsque $A^{\mathsf T} = A$ , antisymétrique lorsque $A^{\mathsf T} = -A$ . Toute matrice carrée se décompose de manière unique comme somme de l’une et de l’autre :

A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{symétrique}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antisymétrique}},

et une matrice qui est les deux à la fois est nulle ( $A = -A$ ) : les deux ensembles sont des sous-espaces supplémentaires de $\mathcal{M}_n(K)$ — l’exact analogue de la décomposition paire/impaire des fonctions (Exemple 18.11), la transposition jouant le rôle de $x \mapsto -x$ . Dimensions : une matrice symétrique est libre sur la diagonale et au-dessus, une matrice antisymétrique strictement au-dessus (diagonale nulle) :

\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,

et l’équilibre des comptes est la confirmation, par la formule de Grassmann, du caractère direct de la somme. Pour $n = 2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ . Les matrices symétriques reviennent comme données du second ordre au Chapitre 25 (le triplet de Monge $r, s, t$ ), et celles qui sont à la fois symétriques et orthogonales sont classifiées à l’Exercice 23.12.

21.2 Changement de base

Définition 21.8

Soient $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$ . La matrice de passage $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l’ancienne. Elle est inversible, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$ , et les coordonnées se transforment par $X = PX'$ (ancien $=$ $P\,\cdot$ nouveau).

Exemple 21.9 (Lire la matrice de passage)

Dans $\R^2$ , de la base canonique $\mathcal B$ à $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

(les nouveaux vecteurs écrits en anciennes coordonnées, colonne par colonne). Le vecteur d’anciennes coordonnées $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ a pour nouvelles coordonnées $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ : en effet $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$ . Attention au sens — la matrice $P$ est construite à partir de la nouvelle base, mais elle convertit les coordonnées nouvelles en anciennes ( $X = PX'$ ) ; passer des anciennes aux nouvelles coûte l’inverse. Écrire la vérification $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ après chaque conversion permet de repérer l’erreur du $P$ inversé, qui est la faute la plus fréquente du chapitre.

Théorème 21.10 (Changement de base pour une application)

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ , de matrice $A$ dans $\mathcal{B}$ et $A'$ dans $\mathcal{B}'$ , et soit $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ . Alors

A' = P^{-1} A\, P .

Deux matrices ainsi reliées sont dites semblables. (Pour $u \colon E \to F$ avec deux couples de bases, la formule est $A' = Q^{-1} A P$ — matrices équivalentes.)

Démonstration. Pour tout $x$ : $X = PX'$ et l’image vérifie $Y = AX$ , $Y = PY'$ . Donc $PY' = APX'$ , c’est-à-dire $Y' = (P^{-1}AP)X'$ pour tout $X'$ : la matrice de $u$ dans la nouvelle base est $P^{-1}AP$ (prendre pour $X'$ les colonnes canoniques). ∎

Exemple 21.11 (Une bonne base rend une application transparente)

Soit $u(x, y) = (y, x)$ (l’échange), de matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ dans la base canonique. Dans la base $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Aucun produit matriciel n’était vraiment nécessaire : $u$ fixe $(1,1)$ et renverse $(1,-1)$ , donc dans $\mathcal B'$ sa matrice doit être $\operatorname{diag}(1, -1)$ — l’échange est la symétrie par rapport à la droite $y = x$ . Trouver, pour un endomorphisme donné, une base dans laquelle sa matrice devient diagonale est le problème central du volume de Licence 2 (la théorie de la réduction) ; le devoir maison ci-dessous montre jusqu’où les seules identités polynomiales mènent déjà.

Exemple 21.12 (Changement de base, pris à l’envers)

La projection sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ a, dans la base adaptée $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$ , la matrice transparente $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$ . Pour obtenir sa matrice dans la base canonique, on lit le Théorème 21.10 à l’envers, $A = P A' P^{-1}$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Vérification : $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$ , et $A\binom{1}{1} = \binom11$ , $A\binom{1}{-1} = 0$ , comme prévu. Ce sens inverse — concevoir la matrice dans la bonne base, puis conjuguer pour revenir — est la façon dont on produit en pratique les matrices de rotation, de symétrie et de projection.

Théorème 21.13 (Forme normale du rang)

Le rang d’une matrice (le rang de ses colonnes, autrement dit celui de l’application linéaire associée) est le seul invariant de l’équivalence : toute $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ de rang $r$ est équivalente à

J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},

et $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$ : le rang des lignes égale le rang des colonnes.

Démonstration. Soit $u \colon E \to F$ de rang $r$ . Choisissons dans $E$ un supplémentaire $S$ de $\ker u$ ; il est de dimension $\dim S = r$ (Théorème 20.7). Prenons-en une base $(e_1, \dots, e_r)$ , complétée par une base de $\ker u$ en une base de $E$ ; les images $f_i = u(e_i)$ , $i \leq r$ , forment une base de $\operatorname{im} u$ (la restriction est un isomorphisme), que l’on complète en une base de $F$ . Dans ces bases, la matrice de $u$ est exactement $J_r$ . Donc $A = Q J_r P^{-1}$ avec $P, Q$ inversibles.

En transposant : $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ avec $J_r^{\mathsf T}$ de la même forme (de rang $r$ ) et les facteurs extérieurs inversibles (la transposée d’une matrice inversible est inversible, d’après $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ appliqué à $AA^{-1} = I$ ) : $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$ . ∎

21.3 Opérations sur les lignes

Méthode 21.14 (Le pivot de Gauss sur les matrices)

Les trois opérations élémentaires sur les lignes — échanger deux lignes, multiplier une ligne par $\lambda \neq 0$ , ajouter à une ligne un multiple d’une autre — ne changent pas le rang (chacune est une multiplication à gauche par une matrice inversible). Algorithme : créer un pivot (le coefficient non nul le plus à gauche), annuler sa colonne en dessous, passer à la ligne et à la colonne suivantes ; le nombre de pivots de la forme échelonnée obtenue est le rang.

Calcul de l’inverse : on applique l’algorithme au bloc $(A \mid I_n)$ jusqu’à ce que le bloc de gauche devienne $I_n$ (c’est possible si et seulement si $A$ est inversible) ; le bloc de droite est alors $A^{-1}$ — en effet le produit des matrices élémentaires utilisées vaut $A^{-1}$ .

Exemple 21.15

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ : réduisons $(A \mid I_2)$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix},

(opérations : $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ ; puis $L_1 \leftarrow L_1 + L_2$ , $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$ ). Donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$ . Vérification : $AA^{-1} = I_2$ .

Exemple 21.16 (Rang avec un paramètre, par les seules lignes)

Pour $m \in \R$ , cherchons le rang de $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{pmatrix}$ . Réduisons : $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - mL_1$ donnent les lignes

(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad (0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).

Cas $m = 1$ : les deux dernières lignes s’annulent — un seul pivot, $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (les trois lignes de départ étaient égales). Cas $m \neq 1$ : multiplions $L_2$ par $\frac1{m-1}$ et $L_3$ par $\frac1{1-m}$ pour obtenir $(0, 1, -1)$ et $(0, 1, 1 + m)$ , puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$ . Si $m = -2$ : deux pivots, rang $2$ ; sinon trois pivots, rang $3$ . En résumé :

\operatorname{rk} M_m = \begin{cases} 1 & m = 1,\\ 2 & m = -2,\\ 3 & \text{sinon}. \end{cases}

Les mêmes seuils sortiront d’un unique calcul de déterminant au Chapitre 22 (le polynôme $-(m+2)(m-1)^2$ de l’Exercice 22.7) — mais remarquons ce que l’élimination donne et que le déterminant ne donne pas : la valeur du rang dans les cas dégénérés, et non seulement le fait qu’il a chuté.

Exemple 21.17 (Calcul de puissances)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ avec $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ . Comme $I$ et $N$ commutent, la formule du binôme (Proposition 7.20) se tronque :

A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (k \in \N, \text{ et } k \in \Z \text{ en utilisant } A^{-1} = I - N).

Méthode 21.18 (Calculer $A^n$ : les trois voies)

Voie du binôme : si $A = \lambda I + N$ avec $N$ nilpotente, la formule du binôme se tronque (Exemple 21.17, Exercice 21.5) ; elle s’applique parce que $\lambda I$ commute avec tout.
Voie polynomiale : trouver une identité polynomiale vérifiée par $A$ (en dimension $2$ , toujours $A^2 = sA - pI$ ) et réduire $X^n$ modulo celle-ci ; le devoir maison ci-dessous construit entièrement cette voie.
Voie de la similitude : trouver une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP = D$ soit simple (diagonale, ou décalage), calculer $D^n$ , puis revenir en arrière : $A^n = P D^n P^{-1}$ (Théorème 21.10, Exemple 21.11) ; la recherche systématique d’un tel $P$ est la théorie de la réduction de Licence 2.

Quelle que soit la voie, vérifier le résultat pour $n = 0, 1, 2$ : trois tests peu coûteux qui repèrent presque toutes les étourderies.

Remarque 21.19 (Pièges classiques : le prix de la non-commutativité)

Toute identité de l’algèbre des scalaires dont la démonstration réordonne les facteurs meurt dans $\mathcal{M}_n(K)$ , $n \geq 2$ . Carrés : $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , et le terme du milieu ne se réduit à $2AB$ que si $AB = BA$ (Exercice 21.1). Puissances de produits : $(AB)^k$ vaut $ABAB\cdots$ , et non $A^kB^k$ . Diviseurs de zéro : $E_{12}E_{12} = 0$ avec $E_{12} \neq 0$ ; par conséquent pas de simplification : $AB = AC$ entraîne $B = C$ seulement lorsque $A$ est inversible (multiplier par $A^{-1}$ — du bon côté). Traces : $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ toujours, mais $\operatorname{tr}(AB) \neq \operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ en général (prendre $A = B = I_2$ : $2 \neq 4$ ), et $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$ (invariance cyclique) tandis que $\operatorname{tr}(ACB)$ peut différer. Les transposées renversent : $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ — oublier le renversement est l’erreur la plus fréquente dans les calculs d’orthogonalité (Chapitre 23). Dans le doute, tester toute identité présumée sur $E_{12}$ et $E_{21}$ : la plus petite paire non commutante réfute la plupart des fausses formules en une ligne.

Remarque 21.20 (Où mène le dictionnaire)

Le dictionnaire matriciel sert sur chacune des pages restantes de ce volume : le Chapitre 22 attache à chaque matrice carrée un unique nombre qui décide de l’inversibilité, et résout $AX = B$ systématiquement ; le Chapitre 23 isole les matrices qui préservent les longueurs (les matrices orthogonales) ; et au Chapitre 25, le comportement au second ordre d’une fonction de deux variables est une matrice symétrique $2 \times 2$ . La trace, introduite ci-dessus presque en passant, devient un invariant puissant : les Exercices 21.6 et 21.8 en donnent un premier avant-goût, et le volume de Licence 2 y adosse la théorie des valeurs propres. Le devoir maison développe l’autre cheval de bataille : les identités polynomiales vérifiées par une matrice, qui transforment le calcul de $A^n$ en une récurrence linéaire à deux termes.

Remarque 21.21 (Perspectives à l’intérieur du livre 3)

Trois familles de matrices introduites ici ont rendez-vous plus loin dans ce volume. Les matrices symétriques (Exemple 21.7) portent les données du second ordre des fonctions de deux variables : le test de Monge du Chapitre 25 est un énoncé sur le comportement du signe d’une matrice symétrique $2\times2$ , et son déterminant $rt - s^2$ se calcule par la machinerie du Chapitre 22. Les matrices orthogonales ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) sont les isométries du Chapitre 23, où la transposée acquiert enfin son sens géométrique : elle est l’ombre algébrique du produit scalaire. Les matrices inversibles rencontrent leur test pratique au Chapitre 22 — un seul nombre, $\det A \neq 0$ — ce qui clôt la recherche que ce chapitre a ouverte avec la réduction par lignes. La trace et le déterminant voyagent alors comme le couple d’invariants $(s, p)$ du devoir maison, jusqu’à la théorie des valeurs propres de Licence 2.

21.4 Exercices

Exercice 21.1 ★

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Calculer $AB$ , $BA$ , $A^2 - B^2$ et $(A+B)(A-B)$ ; expliquer pourquoi les deux derniers diffèrent.

Solution

Solution de Exercice 21.1.

AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},

(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

Ils diffèrent de $BA - AB \neq 0$ : l’identité $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ exige la commutativité, qui est ici en défaut.

Exercice 21.2 ★

Calculer le rang de

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Solution

Solution de Exercice 21.2.

$M$ : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ annule la deuxième ligne ; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donne $(0, -1, -2)$ . Deux pivots : $\operatorname{rk} M = 2$ .

$N$ : $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donne $(0,1,1,1) = L_2$ ; puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = 0$ . Deux pivots : $\operatorname{rk} N = 2$ .

Exercice 21.3 ★

Inverser, par réduction par lignes, $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , et vérifier sur un produit.

Solution

Solution de Exercice 21.3.

Réduisons $(A \mid I_3)$ : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},

puis $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$ :

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Vérification : première ligne de $A$ fois première colonne de $A^{-1}$ : $1 \cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$ ; fois la deuxième colonne : $1 - 0 - 1 = 0$ ; fois la troisième : $-1 + 0 + 1 = 0$ .

Exercice 21.4 ★

Écrire la matrice, dans la base canonique de $\R_2[X]$ , de l’endomorphisme $u(P) = P(X + 1)$ . Expliquer, sans calcul, pourquoi il est inversible, et donner la matrice de $u^{-1}$ .

Solution

Solution de Exercice 21.4.

$u(1) = 1$ , $u(X) = X + 1$ , $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$ : les colonnes de coordonnées dans $(1, X, X^2)$ donnent

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

$u$ est inversible parce qu’il possède l’inverse évident $P \mapsto P(X - 1)$ (composée de substitutions). Sa matrice s’obtient de la même façon à partir de $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$ :

M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Exercice 21.5 ★★

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Écrire $A = 2I + N$ , calculer $N^2$ , et en déduire $A^k$ pour tout $k \in \N$ par la formule du binôme.

Solution

Solution de Exercice 21.5.

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $N^2 = 0$ . Comme $2I$ et $N$ commutent, le développement du binôme se tronque après deux termes :

A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N = \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.

(Vérification pour $k = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ , ce que confirme le produit direct.)

Exercice 21.6 ★★

Démontrer qu’il n’existe pas de matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (avec $K = \R$ ou $\C$ ) telles que $AB - BA = I_n$ . (Prendre les traces.)

Solution

Solution de Exercice 21.6.

Prenons les traces : $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0$ (Définition 21.5), tandis que $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ dans $\R$ ou $\C$ . Aucune solution. (En dimension infinie, l’identité est réalisable — la dérivation et la multiplication par $x$ la vérifient — précisément parce qu’il n’y existe pas de trace.)

Exercice 21.7 ★★

Une matrice $A$ est dite nilpotente lorsque $A^m = 0$ pour un certain $m$ . Démontrer que $I - A$ est alors inversible, avec

(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .

Application : inverser $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Solution

Solution de Exercice 21.7.

Produit télescopique, toutes les puissances de $A$ commutant :

(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,

et la Proposition 21.4 promeut l’inverse d’un seul côté en inverse tout court. Pour l’application : la matrice donnée est $I + N$ avec

N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \quad N^3 = 0 ,

donc, en remplaçant $A$ par $-N$ dans la formule :

(I + N)^{-1} = I - N + N^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Exercice 21.8 ★★

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ vérifiant $A^2 = A$ (idempotente). Démontrer que $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$ . (Interpréter $A$ comme une projection et choisir une base adaptée ; le Théorème 21.10 dit que la trace ne dépend pas de la base, puisque $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr} M$ .)

Solution

Solution de Exercice 21.8.

$A^2 = A$ : l’endomorphisme $a$ est une projection (Théorème 20.15), $E = \operatorname{im} a \oplus \ker a$ avec $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$ . Dans une base adaptée à cette décomposition ( $r$ vecteurs de l’image, puis une base du noyau), la matrice de $a$ est $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , de trace $r$ . La trace est invariante par changement de base : $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) = \operatorname{tr} M$ par l’identité cyclique. D’où $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$ .

Exercice 21.9 ★★★

Soit $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$ . Calculer $J^2$ , et en déduire, pour $a, b \in \R$ , la condition d’inversibilité de $M = aI + bJ$ ainsi que $M^{-1}$ (chercher un inverse de la même forme $\alpha I + \beta J$ ).

Solution

Solution de Exercice 21.9.

$J^2 = nJ$ (chaque coefficient de $J^2$ somme $n$ fois le nombre $1$ ). Cherchons $M^{-1} = \alpha I + \beta J$ :

(aI + bJ)(\alpha I + \beta J) = a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .

Ceci vaut $I$ si et seulement si $a\alpha = 1$ et $a\beta + b\alpha + nb\beta = 0$ , c’est-à-dire $\alpha = \frac1a$ et $\beta(a + nb) = -\frac ba$ . Si $a \neq 0$ et $a + nb \neq 0$ :

M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .

Réciproquement, si $a = 0$ : $M = bJ$ est de rang $\leq 1 < n$ (pour $n \geq 2$ ) : non inversible ( $n = 1$ est le cas scalaire). Si $a + nb = 0$ : le vecteur $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ vérifie $Mv = (a + nb)v = 0$ avec $v \neq 0$ : non inversible. Donc $M \in GL_n \iff a \neq 0$ et $a + nb \neq 0$ .

Exercice 21.10 ★★★

(Inégalités sur le rang) Pour $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ , démontrer

\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B, \qquad \operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n .

(Pour la seconde — l’inégalité de Sylvester — appliquer le théorème du rang à la restriction de l’application de $A$ à $\operatorname{im} B$ .)

Solution

Solution de Exercice 21.10.

Somme : $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A + \operatorname{im} B$ (car $(A+B)x = Ax + Bx$ ), et la formule de Grassmann majore la dimension d’une somme par la somme des dimensions.

Sylvester : soit $a$ l’application de $A$ restreinte à $V = \operatorname{im} B$ (de dimension $\operatorname{rk} B$ ). Son image est $\operatorname{im}(AB)$ (car $a(Bx) = ABx$ ), et le théorème du rang dans $V$ donne :

\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .

Or $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$ , de dimension $n - \operatorname{rk} A$ : donc

\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n - \operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n . \qedhere

Exercice 21.11 ★★

Soit $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ avec les $d_i$ deux à deux distincts.

Démontrer qu’une matrice $A$ commute avec $D$ si et seulement si $A$ est diagonale. (Comparer les coefficients $(i,j)$ de $AD$ et de $DA$ .)
En déduire le centre de $\mathcal{M}_n(K)$ : les matrices qui commutent avec toute matrice sont exactement les matrices scalaires $\lambda I_n$ . (Tester contre $D$ , puis contre les matrices $E_{ij}$ .)

Solution

Solution de Exercice 21.11.

Coefficient par coefficient, $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ et $(DA)_{ij} = d_i\,a_{ij}$ . Donc $AD = DA$ si et seulement si $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ pour tous $i, j$ ; lorsque $i \neq j$ , le facteur $d_j - d_i$ est non nul, ce qui force $a_{ij} = 0$ : $A$ est diagonale. Réciproquement, les matrices diagonales commutent entre elles.
Si $A$ commute avec toute matrice, elle commute en particulier avec $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ , donc $A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ par (1). Alors $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (seule la ligne $i$ de $E_{ij}$ survit) tandis que $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : commuter avec $E_{ij}$ force $\lambda_i = \lambda_j$ . D’où $A = \lambda I_n$ ; et les matrices scalaires commutent bien avec tout. Le centre de $\mathcal{M}_n(K)$ est $K\,I_n$ .

Exercice 21.12 ★★★

(Matrices de rang $1$ ) Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ , $A \neq 0$ .

Démontrer que $\operatorname{rk} A = 1$ si et seulement si $A = CL$ pour une colonne non nulle $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ et une ligne non nulle $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ .
Pour une telle $A$ , démontrer que $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ; en déduire qu’une matrice de rang $1$ est nilpotente si et seulement si sa trace est nulle.
Si $\operatorname{tr} A \neq -1$ , démontrer que $I_n + A$ est inversible, avec

$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr} A}\,A ,$

et que $I_n + A$ n’est pas inversible lorsque $\operatorname{tr} A = -1$ . (Trouver un vecteur annulé par $I_n + A$ .)

Solution

Solution de Exercice 21.12.

Si $\operatorname{rk} A = 1$ : l’image de $A$ est une droite $\operatorname{Vect}(C)$ , $C \neq 0$ , donc la $j$ -ième colonne de $A$ vaut $\ell_j\,C$ pour des scalaires $\ell_j$ (non tous nuls), c’est-à-dire $A = C L$ avec $L = (\ell_1, \dots, \ell_n) \neq 0$ . Réciproquement, si $A = CL \neq 0$ , toutes les colonnes sont multiples de $C$ : rang $1$ .
$A^2 = C\,(L C)\,L$ , et $LC$ est le scalaire $\sum_i \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr} A$ . Donc $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ , d’où par récurrence $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . Si $\operatorname{tr} A \neq 0$ , aucune puissance ne s’annule ; si $\operatorname{tr} A = 0$ , alors $A^2 = 0$ : une matrice de rang $1$ est nilpotente si et seulement si sa trace est nulle.
Avec $t = \operatorname{tr} A \neq -1$ :

$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr) = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t} = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$

en utilisant $A^2 = tA$ . Si $t = -1$ : $(I_n + A)A = A + A^2 = A - A = 0$ avec $A \neq 0$ , donc $I_n + A$ annule toute colonne (non nulle) de $A$ : elle n’est pas injective, donc pas inversible.

21.5 Problème : puissances d’une matrice par division polynomiale

Problème 21.1

Calculer $A^{100}$ coefficient par coefficient est sans espoir ; le calculer à l’aide d’une identité polynomiale vérifiée par $A$ tient en trois lignes. Ce problème construit la méthode à partir de rien : division euclidienne de $X^n$ , identité $A^2 - sA + pI = 0$ vérifiée par toute matrice $2 \times 2$ (le théorème de Cayley–Hamilton en dimension $2$ ), et dictionnaire entre puissances de matrices et récurrences linéaires — avec les nombres de Fibonacci comme exemple fil rouge.

Partie I — Le calcul des restes. Fixons $s, p \in K$ et $D = X^2 - sX + p$ .

Justifier que pour chaque $n \in \N$ il existe un unique $Q_n \in K[X]$ et un unique $(a_n, b_n) \in K^2$ tels que

$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$

et calculer $(a_0, b_0)$ et $(a_1, b_1)$ .
En multipliant par $X$ et en divisant de nouveau, établir les récurrences

$a_{n+1} = s\,a_n + b_n, \qquad b_{n+1} = -p\,a_n ,$

et en déduire $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ : la suite des coefficients obéit à la récurrence linéaire attachée à $D$ .
Supposons que $D$ ait deux racines distinctes $\lambda \neq \mu$ . En évaluant l’identité de division, démontrer que

$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$
Supposons $D = (X - \lambda)^2$ . En dérivant l’identité de division, démontrer que $a_n = n\lambda^{n-1}$ et $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ .
Montrer que la substitution d’une matrice fixée $M \in \mathcal{M}_k(K)$ dans les polynômes respecte les sommes et les produits : $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$ . En déduire que si $D(M) = 0$ , alors

$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$

Partie II — Dimension 2 : trace, nombre déterminant, Cayley–Hamilton. Pour $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ , posons $s = a + d = \operatorname{tr} A$ et $p = ad - bc$ (le nombre que le Chapitre 22 nommera le déterminant).

Vérifier par un calcul direct l’identité de Cayley–Hamilton en dimension $2$ :

$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$
Démontrer par développement direct que $p$ est multiplicatif : avec des notations évidentes, $p(AB) = p(A)\,p(B)$ . Montrer ensuite : $A$ est inversible si et seulement si $p \neq 0$ , et dans ce cas

$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Calculer $s$ , $p$ , les racines de $D$ , et en déduire une formule close pour $A^n$ ; la vérifier sur un calcul direct de $A^2$ .
Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . Montrer que $D$ a une racine double et calculer $A^n$ ; vérifier pour $n = 2$ .
Soit $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et définissons les nombres de Fibonacci par $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Démontrer que

$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$

en déduire la formule de Binet $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$ où $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ , $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$ , puis, à l’aide de la question 7, l’identité de Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ .

Partie III — Les récurrences linéaires, structurellement. Fixons $s, p \in K$ avec $p \neq 0$ , et soit $E_D$ l’ensemble des suites vérifiant $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ pour tout $n$ .

Montrer que $E_D$ est un espace vectoriel de dimension $2$ (adapter l’Exercice 19.10).
Montrer que la suite $(a_n)$ de la partie I est l’élément de $E_D$ de valeurs initiales $0, 1$ , et que tout $u \in E_D$ vérifie

$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$

avec $(b_n)$ comme dans la partie I : les restes de division résolvent toutes les récurrences d’un seul coup.
Si $\lambda \neq \mu$ sont les racines de $D$ , montrer que $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ est une base de $E_D$ ; si $D = (X-\lambda)^2$ avec $\lambda \neq 0$ , montrer que $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ en est une.
Résoudre complètement : $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; vérifier la réponse sur $u_2$ et $u_3$ .
Soit $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (la matrice compagnon de $D$ ). Montrer que

$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix} \quad (u \in E_D),$

et que $\operatorname{tr} C = s$ et $p(C) = p$ : la récurrence et la matrice portent le même polynôme $D$ .

Partie IV — Le degré trois. Soit $D_3 = X^3 - \alpha X^2 - \beta X - \gamma$ et

C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix}.

Montrer que $D_3(C_3) = 0$ . (Calculer les images des vecteurs de la base canonique par les puissances de $C_3$ : l’application de $C_3$ envoie $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ une combinaison imposée par la dernière ligne.)
Montrer que si $D_3$ a trois racines distinctes $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ , le reste $R_n$ de la division de $X^n$ par $D_3$ est l’interpolant de Lagrange des valeurs $\lambda_i^n$ aux nœuds $\lambda_i$ (Théorème 8.23) ; en déduire que chaque coefficient de $C_3^{\,n}$ est une combinaison linéaire fixe de $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
Résoudre : $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ avec $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ . (Factoriser $D_3 = (X - 1)(X + 1)(X - 2)$ .) Vérifier sur $u_3$ .
Calculer le reste de $X^n$ modulo $(X - \lambda)^3$ (formule de Taylor de $X^n$ en $\lambda$ ), et en déduire une formule pour $(\lambda I + N)^n$ lorsque $N^3 = 0$ et que $N$ commute avec tout ce qui est en vue ; la comparer à la formule du binôme.
Montrer que pour $D_3$ à racines distinctes, la solution générale de la récurrence d’ordre $3$ est $u_n = c_1 \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ : démontrer que les trois suites géométriques forment une base de l’espace des solutions. (Pour la liberté, évaluer une combinaison nulle en $n = 0, 1, 2$ et reconnaître un système d’interpolation aux nœuds distincts $\lambda_i$ .)

Partie V — Les dividendes de Fibonacci, et synthèse.

Démontrer que $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
À partir de $F^{m+n} = F^m F^n$ , obtenir la formule d’addition

$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$

et en déduire $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$ .
Démontrer que $F_n$ est l’entier le plus proche de $\varphi^n/\sqrt5$ pour tout $n \geq 0$ .
Soit $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (les nombres de Lucas $L_n$ ). Montrer que $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ , que $L_n = \varphi^n + \psi^n$ , et retrouver $F_{2n} = F_n L_n$ .
Synthèse, en quatre phrases : pourquoi les puissances d’une matrice $2 \times 2$ vivent dans le plan $\operatorname{Vect}(I, A)$ de $\mathcal{M}_2(K)$ (quel argument de dimension garantit une identité quadratique, et quelle identité explicite la partie II a produite) ; comment la division euclidienne convertit l’exponentiation en une récurrence à deux termes ; quel énoncé de ce problème est le cas $n = 2$ d’un théorème valable en toute dimension (le nommer, et dire où il est démontré dans cette série) ; et ce que la construction de la matrice compagnon ajoute au tableau.

Solution

Solution de Problème 21.1.

1. Division euclidienne de $X^n$ par le polynôme unitaire $D$ de degré $2$ (Théorème 8.3) : le quotient et le reste existent et sont uniques, et le reste est de degré $\leq 1$ : $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ . Pour $n = 0$ : $Q_0 = 0$ , $(a_0, b_0) = (0, 1)$ ; pour $n = 1$ : $(a_1, b_1) = (1, 0)$ .

2. Multiplions par $X$ et réduisons $X^2 = D + sX - p$ :

X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X = (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .

La dernière expression a la forme d’un reste (degré $\leq 1$ ), donc par unicité $a_{n+1} = s a_n + b_n$ et $b_{n+1} = -p a_n$ . En substituant $b_{n+1} = -pa_n$ dans $a_{n+2} = s a_{n+1} + b_{n+1}$ , on obtient $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ .

3. Évaluons $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ aux racines : $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ et $\mu^n = a_n\mu + b_n$ . En soustrayant et en divisant par $\lambda - \mu \neq 0$ :

a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \lambda^n - a_n\lambda = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .

4. À la racine double : $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ . En dérivant l’identité, $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2 + 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$ , et en évaluant en $\lambda$ : $a_n = n\lambda^{n-1}$ ; puis $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 - n)\lambda^{n}$ .

5. Pour $P = \sum_i p_i X^i$ et $Q = \sum_j q_j X^j$ ,

P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),

car les puissances de la seule matrice $M$ commutent entre elles (pour les sommes, c’est clair par linéarité). Si $D(M) = 0$ , la substitution de $M$ dans $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ donne $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n M + b_n I = a_n M + b_n I$ .

6. Produits directs :

A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a + d)\\ c(a + d) & d^2 + bc \end{pmatrix}, \qquad s A = \begin{pmatrix} a(a+d) & b(a+d)\\ c(a+d) & d(a+d) \end{pmatrix},

donc $A^2 - sA$ a des coefficients hors diagonale nuls et des coefficients diagonaux valant $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$ : $A^2 - sA + pI_2 = 0$ .

7. Avec $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' & d'\end{pmatrix}$ , développons $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') - (ab' + bd')(ca' + dc')$ : les termes $aa'cb'$ et $ab'ca'$ se simplifient, les termes $bc'dd'$ et $bd'dc'$ se simplifient, et il reste

aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c' = (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').

Si $p \neq 0$ , Cayley–Hamilton donne $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 - A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$ , d’où l’inverse (et la Proposition 21.4 en fait un inverse des deux côtés). Si $p = 0$ et si $A$ était inversible, la multiplicativité donnerait $1 = p(I_2) = p(A)\,p(A^{-1}) = 0$ : impossible. Donc $A \in GL_2 \iff p \neq 0$ .

8. $s = 3$ , $p = 2$ , $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$ : $\lambda = 2$ , $\mu = 1$ , donc $a_n = 2^n - 1$ et $b_n = 2 - 2^n$ (question 3). D’où

A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.

Vérification : $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ , aussi bien par la formule qu’en élevant directement au carré.

9. $s = 4$ , $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$ : $D = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ , racine double $\lambda = 2$ . Question 4 : $a_n = n\,2^{n-1}$ , $b_n = (1 - n)2^n$ , donc

A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I = 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n \end{pmatrix}.

Pour $n = 2$ : $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ , qui est bien $A^2$ calculé directement.

10. Par récurrence : $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 & F_0\end{pmatrix}$ , et

F^{n+1} = F^n F = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\ F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n \end{pmatrix}.

Ici $s = 1$ , $p = -1$ , $D = X^2 - X - 1$ de racines $\varphi, \psi$ ( $\varphi - \psi = \sqrt5$ , $\varphi\psi = -1$ ). La suite $(F_n)$ vérifie $F_0 = 0 = a_0$ , $F_1 = 1 = a_1$ et obéit à la même récurrence que $(a_n)$ : $F_n = a_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$ , la formule de Binet. Cassini : en appliquant la multiplicativité de la question 7 à $F^n$ ,

F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .

11. La condition est linéaire et contient la suite nulle : c’est un sous-espace vectoriel. Par récurrence, $u_0, u_1$ déterminent $u$ linéairement, et tout couple de valeurs initiales est réalisé par exactement une solution : comme à l’Exercice 19.10, $E_D$ est paramétré bijectivement et linéairement par $(u_0, u_1) \in K^2$ : $\dim E_D = 2$ .

12. $(a_n)$ obéit à la récurrence (question 2) avec $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ . Il en va de même de $(b_n)$ : $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} = -p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (en utilisant deux fois $b_{n+1} = -pa_n$ ), avec $b_0 = 1$ , $b_1 = 0$ . La combinaison $v_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ est alors une solution de valeurs $v_0 = u_0$ , $v_1 = u_1$ ; deux solutions de mêmes valeurs initiales coïncident (récurrence), donc $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ pour tout $n$ .

13. $(\lambda^n)$ est une solution si et seulement si $\lambda^{n+2} = s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ pour tout $n$ , c’est-à-dire $D(\lambda) = 0$ (après division par $\lambda^n \neq 0$ ; notons que $\lambda, \mu \neq 0$ puisque $p = \lambda\mu \neq 0$ ). Liberté de $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ : une relation en $n = 0, 1$ donne $c + c' = 0$ , $c\lambda + c'\mu = 0$ , donc $c(\lambda - \mu) = 0$ : $c = c' = 0$ . Deux vecteurs libres en dimension $2$ : une base. Racine double : $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ est une solution car, avec $s = 2\lambda$ , $p = \lambda^2$ :

s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n = \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;

liberté en $n = 0, 1$ : $c = 0$ , puis $c'\lambda = 0$ avec $\lambda \neq 0$ .

14. $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$ . Solution générale $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$ ; les conditions initiales donnent $A + B = 1$ et $3A - 2B = 8$ , donc $A = 2$ , $B = -1$ :

u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .

Vérification : $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$ ; $u_3 = 54 + 8 = 62 = u_2 + 6u_1 = 14 + 48$ .

15. $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$ , et une récurrence donne la formule avec $C^n$ . De plus $\operatorname{tr} C = 0 + s = s$ et $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$ : la matrice compagnon a exactement $D$ pour polynôme de Cayley–Hamilton.

16. Pour toute solution $u$ de

u_{n+3} = \alpha u_{n+2} + \beta u_{n+1} + \gamma u_n ,

les vecteurs d’état $v_n = (u_n, u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ vérifient $C_3 v_n = v_{n+1}$ (les deux premières lignes décalent, la dernière applique la récurrence). Donc

D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,

dont les trois composantes valent $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ ( $k = 0, 1, 2$ ). Comme l’état initial $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ parcourt tout $K^3$ (les valeurs initiales sont libres), la matrice $D_3(C_3)$ annule tout vecteur : $D_3(C_3) = 0$ .

17. Écrivons $X^n = Q\,D_3 + R_n$ avec $\deg R_n \leq 2$ et évaluons en chaque racine : $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$ . Ainsi $R_n$ est un polynôme de degré $\leq 2$ qui interpole les trois valeurs $\lambda_i^n$ aux trois nœuds distincts $\lambda_i$ : par unicité dans le Théorème 8.23, $R_n = \sum_i \lambda_i^n L_i$ où $(L_i)$ est la base de Lagrange des nœuds. En substituant $C_3$ (questions 5 et 16) :

C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),

avec les trois matrices $L_i(C_3)$ indépendantes de $n$ : chaque coefficient de $C_3^{\,n}$ est une combinaison fixe de $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .

18. $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$ . Solution générale $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$ . Conditions initiales : $A + B + C = 0$ , $A - B + 2C = 1$ , $A + B + 4C = 1$ . En soustrayant la première de la troisième : $3C = 1$ , $C = \frac13$ ; puis $A + B = -\frac13$ et $A - B = \frac13$ : $A = 0$ , $B = -\frac13$ . D’où

u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}

(les nombres de Jacobsthal). Vérification : $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 = 2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$ .

19. Formule de Taylor du polynôme $X^n$ en $\lambda$ :

X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,

et tous les termes avec $k \geq 3$ sont divisibles par $(X - \lambda)^3$ : le reste est

R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .

Pour $M = \lambda I + N$ avec $N^3 = 0$ : $(M - \lambda I)^3 = N^3 = 0$ , donc la question 5 donne

M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2 \lambda^{n-2} N^2 ,

ce qui est exactement le développement du binôme de $(\lambda I + N)^n$ tronqué à $N^2$ — les deux méthodes concordent.

20. L’espace des solutions est de dimension $3$ (même paramétrage par $(u_0, u_1, u_2)$ qu’à la question 11), et chaque $(\lambda_i^n)$ est une solution. Liberté : supposons $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ pour $n = 0, 1, 2$ . Fixons $i$ et soit $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ le polynôme de Lagrange des nœuds vérifiant $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ . Alors

0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr) = \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .

Donc tous les $c_i$ sont nuls : trois solutions libres en dimension $3$ , donc une base ; la solution générale est $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ .

21. De $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ , la somme se télescope :

\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

22. Prenons le coefficient $(1,2)$ de $F^{m+n} = F^m F^n$ : le membre de gauche vaut $F_{m+n}$ ; le membre de droite est (la ligne $1$ de $F^m$ ) fois (la colonne $2$ de $F^n$ ), c’est-à-dire $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$ . Avec $m = n$ :

F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).

23. Par Binet, $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} = -\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$ , et $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 < 1$ , donc

\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr| \leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12 \qquad (n \geq 0):

$F_n$ est l’entier le plus proche de $\varphi^n/\sqrt5$ .

24. $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ est une combinaison de suites de Fibonacci décalées, donc vérifie la même récurrence : $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ ; et $t_1 = F_2 + F_0 = 1$ , $t_2 = F_3 + F_1 = 3$ : ce sont les nombres de Lucas $L_n$ . La suite $\varphi^n + \psi^n$ est une solution de mêmes deux premières valeurs ( $\varphi + \psi = 1$ , $\varphi^2 + \psi^2 = ( \varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$ ), donc $L_n = \varphi^n + \psi^n$ . Enfin

F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n + \psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} = F_{2n},

ce qui retrouve la question 22.

25. (i) Les cinq matrices $I, A, A^2, A^3, A^4$ vivent dans $\mathcal{M}_2(K)$ , de dimension $4$ , donc un certain polynôme non nul de degré $\leq 4$ annule $A$ ; la partie II a précisé cela en la quadratique explicite $A^2 = sA - pI$ , qui enferme toutes les puissances dans le plan $\operatorname{Vect}(I, A)$ . (ii) La division euclidienne réduit $X^n$ modulo cette quadratique, et les deux coefficients du reste obéissent à la récurrence à deux termes $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ : l’exponentiation est devenue une itération. (iii) La question 6 est le cas $n = 2$ du théorème de Cayley–Hamilton, valable en toute dimension et démontré dans le volume de Licence 2. (iv) La matrice compagnon boucle la boucle : toute récurrence linéaire est une puissance de matrice, le même polynôme $D$ apparaissant comme données de trace et de déterminant, de sorte que le calcul des restes résout les récurrences et calcule les puissances d’un seul geste.