Changement de paramètre কী?

Exemple 18.4 (La vitesse ne change rien de géométrique)

Paramétrons le cercle unité par

La vitesse $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ croît linéairement, et pourtant

la même longueur qu’à vitesse constante — comme le Théorème 18.7 le promet, via le changement de paramètre $t \mapsto t^2$. La tangente, la courbure calculée à partir de la Proposition 18.17, et toute autre grandeur géométrique coïncident également ; seul $t = 0$ mérite un regard, où $\gamma'(0) = 0$ rend ce paramétrage irrégulier bien que la trajectoire soit un cercle parfait. Les énoncés géométriques tolèrent mal les mauvais paramétrages : reparamétrer d’abord, conclure ensuite.

Exemple 18.5

L’arc $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais non régulier : $\gamma'(0) = (0, 0)$. Sa trajectoire, la parabole semi-cubique $y^2 = x^3$, présente un point de rebroussement à l’origine : la régularité du paramétrage n’empêche pas une singularité géométrique là où la vitesse s’annule. C’est pourquoi l’hypothèse de régularité $\gamma' \neq 0$ n’est pas cosmétique.