Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

10Suites et séries de fonctions

Lorsque des fonctions convergent vers une fonction, quelles propriétés survivent au passage à la limite ? La convergence simple ne préserve presque rien ; la convergence uniforme — la convergence en norme sup — préserve la continuité, les intégrales sur les segments et, à une nuance près, les dérivées. Ce chapitre démontre les trois théorèmes de transfert, leurs versions en séries, et les couronne par le théorème d’approximation de Weierstrass, démontré grâce aux magnifiques polynômes probabilistes de Bernstein.

10.1 Convergence simple et uniforme

Définition 10.1

Soient $f_n, f \colon X \to \R$ (ou $\C$ , ou un espace normé), $X$ un ensemble quelconque. $(f_n)$ converge vers $f$ simplement lorsque $f_n(x) \to f(x)$ pour tout $x$ ; uniformément lorsque

\norm{f_n - f}_\infty = \sup_{x \in X}\, \abs{f_n(x) - f(x)} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 .

La convergence uniforme entraîne la convergence simple ; sur $C(\intcc{a}{b})$ , la convergence uniforme est exactement la convergence dans l’espace de Banach $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ du Chapitre 5.

Exemple 10.2

Sur $\intcc{0}{1}$ , $f_n(x) = x^n$ converge simplement vers la limite discontinue $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$ ; la convergence n’est pas uniforme : $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$ . Sur $\intcc{0}{a}$ avec $a < 1$ elle l’est ( $\sup = a^n \to 0$ ) : l’uniformité est une propriété du domaine autant que de la suite.

La suite xn sur [0, 1] : les graphes s’affaissent vers 0 mais doivent tous grimper jusqu’à 1 en x = 1 — la distance sup à la limite simple discontinue ne descend jamais sous une constante. — La suite $x^n$ sur $\intcc{0}{1}$ : les graphes s’affaissent vers $0$ mais doivent tous grimper jusqu’à $1$ en $x = 1$ — la distance sup à la limite simple discontinue ne descend jamais sous une constante.

Exemple 10.3 (Deux limites qui refusent de commuter)

Tout le chapitre porte sur l’interversion de limites, voici donc le plus petit échec possible. Posons $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ pour $n, m \geq 1$ . Alors

\lim_{m\to\infty}\Bigl(\lim_{n\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{m\to\infty} 1 = 1, \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(\lim_{m\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{n\to\infty} 0 = 0 :

les deux limites itérées existent et diffèrent. Chaque théorème de transfert de ce chapitre est un permis d’intervertir deux limites — $\lim_n$ avec $\lim_{x\to a}$ (continuité), avec $\int$ (intégration), avec $\frac{\dd}{\dd x}$ (dérivation) — et la convergence uniforme est précisément le prix qui rend l’interversion licite. Éclairage final : chaque fois qu’une « démonstration » échange silencieusement deux opérations de limite, ce tableau de deux lignes est le contre-exemple à lui opposer ; les bosses glissantes de l’Exercice 10.2 sont le même phénomène affublé d’un signe intégral.

10.2 Les trois théorèmes de transfert

Théorème 10.4 (Continuité)

Si chaque $f_n$ est continue en $a$ et $f_n \to f$ uniformément sur un voisinage de $a$ , alors $f$ est continue en $a$ . Une limite uniforme de fonctions continues est continue.

Démonstration. L’argument en $3\varepsilon$ déjà utilisé dans le Théorème 4.9 : on choisit $n$ tel que $\norm{f_n - f}_\infty \leq \varepsilon$ , puis $\delta$ par la continuité de $f_n$ en $a$ ; pour $\abs{x - a} \leq \delta$ ,

\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_n(x)} + \abs{f_n(x) - f_n(a)} + \abs{f_n(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon . \qedhere

∎

Exemple 10.5 (L’uniformité échoue exactement là où la limite se brise)

Sur $\intcc{0}{2}$ , posons $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$ . La limite simple est une fonction en trois morceaux :

f(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1,\\[2pt] \tfrac12 & x = 1,\\[2pt] 1 & 1 < x \leq 2, \end{cases}

discontinue en $1$ , donc d’après le Théorème 10.4 la convergence ne peut être uniforme sur $\intcc{0}{2}$ . Sur les morceaux fermés évitant le seuil elle l’est : pour $0 \leq x \leq a < 1$ ,

\sup_{\intcc{0}{a}}\abs{f_n - 0} = \frac{a^n}{1 + a^n} \leq a^n \to 0 ,

et pour $1 < b \leq x \leq 2$ ,

\sup_{\intcc{b}{2}}\abs{f_n - 1} = \frac{1}{1 + b^n} \leq b^{-n} \to 0 ,

les deux suprema étant calculés par monotonie de $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ et de $x \mapsto x^n$ . Éclairage final : l’échec de l’uniformité est localisé à la discontinuité de la limite — la même géométrie que l’Exemple 10.2, et la raison pour laquelle la discipline « uniforme sur tout segment intérieur » revient tout au long du chapitre.

Théorème 10.6 (Intégration sur un segment)

Si $f_n \to f$ uniformément sur $\intcc{a}{b}$ , avec $f_n$ continue par morceaux ( $f$ de même), alors

\int_a^b f_n \longrightarrow \int_a^b f .

Démonstration. La linéarité et l’inégalité triangulaire pour les intégrales donnent

\Bigl|\int_a^b f_n - \int_a^b f\Bigr| = \Bigl|\int_a^b (f_n - f)\Bigr| \leq \int_a^b\abs{f_n - f} \leq (b - a)\,\norm{f_n - f}_\infty \longrightarrow 0 .

Le facteur de longueur $(b - a)$ est l’endroit où la compacité du segment intervient : sur les intervalles non compacts, la même estimation produit la borne inutile $\infty\cdot0$ , et la conclusion échoue véritablement sans domination — les bosses plates $f_n = \frac1n\mathbf 1_{\intcc{0}{n}}$ convergent uniformément vers $0$ sur $\intco{0}{\infty}$ tout en conservant $\int f_n = 1$ (remarque sur les pièges ci-dessous), et les bosses glissantes de la remarque du Chapitre 9 font de même avec la convergence simple ; la convergence uniforme contrôle les hauteurs, jamais les largeurs. ∎

Les bosses g_n(x) = nx\, -nx2 de l’ : elles convergent vers 0 en tout point, mais les pics (de hauteur √n/(2 ), dérivant vers 0) croissent sans borne — convergence simple avec g_n_∈fty ∈fty, et ∈t_01 g_n 1/2 ≠ 0 : la masse se cache sous le pic mobile. — Les bosses $g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2}$ de l’Exercice 10.1 : elles convergent vers $0$ en tout point, mais les pics (de hauteur $\sim\sqrt{n/(2\eu)}$ , dérivant vers $0$ ) croissent sans borne — convergence simple avec $\norm{g_n}_\infty \to \infty$ , et $\int_0^1 g_n \to \frac12 \neq 0$ : la masse se cache sous le pic mobile.

Théorème 10.7 (Dérivation)

Soit $f_n$ de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ , avec : $(f_n')$ convergeant uniformément sur $I$ (ou sur tout segment de $I$ ) vers un $g$ , et $(f_n(x_0))$ convergeant en un point $x_0$ . Alors $(f_n)$ converge (uniformément sur les segments) vers une fonction $f$ de classe $C^1$ , et $f' = g$ : on peut dériver la limite.

Démonstration. Définissons $f(x) = \lim f_n(x_0) + \int_{x_0}^x g$ : légitime, $g$ étant continue — en effet $g$ est la limite uniforme sur les segments des $f_n'$ continues, donc le Théorème 10.4 s’applique, et l’intégrale d’une fonction continue est bien définie avec, par le théorème fondamental de l’analyse,

f'(x) = g(x) \qquad (x \in I) :

la limite candidate est de classe $C^1$ avec la bonne dérivée par construction, avant toute preuve de convergence. Par le théorème fondamental de nouveau, $f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n'$ ; en soustrayant,

\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \abs{f_n(x_0) - \lim f_n(x_0)} + \abs{x - x_0}\,\norm{f_n' - g}_{\infty} ,

qui tend vers $0$ uniformément sur tout segment. Et $f$ est de classe $C^1$ avec $f' = g$ par construction. ∎

Exemple 10.8 (Pourquoi l’hypothèse porte sur les dérivées)

Posons $F_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac1n}$ sur $\R$ . Chaque $F_n$ est de classe $C^1$ (et même $C^\infty$ ), et la convergence vers $\abs x$ est uniforme sur tout $\R$ :

0 \leq F_n(x) - \abs x = \frac{(x^2 + \frac1n) - x^2}{\sqrt{x^2+\frac1n} + \abs x} = \frac{1/n}{\sqrt{x^2 + \frac1n} + \abs x} \leq \frac{1/n}{1/\sqrt n} = \frac{1}{\sqrt n} .

Pourtant la limite $\abs x$ n’est pas dérivable en $0$ : la convergence uniforme des fonctions, si rapide soit-elle, ne transfère aucune dérivabilité. L’échec est visible sur les dérivées :

F_n'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + \frac1n}} \longrightarrow \begin{cases} 1 & x > 0,\\ 0 & x = 0,\\ -1 & x < 0, \end{cases}

une limite simple discontinue, donc $(F_n')$ ne peut converger uniformément près de $0$ (le Théorème 10.4 de nouveau). Éclairage final : le Théorème 10.7 suppose délibérément la convergence uniforme des $f_n'$ , non des $f_n$ — cet exemple en est la raison.

10.3 Séries de fonctions

Définition 10.9

Une série de fonctions $\sum u_n$ converge simplement/uniformément lorsque ses sommes partielles le font. Elle converge normalement (sur $X$ ) lorsque $\sum \norm{u_n}_\infty < \infty$ . La convergence normale entraîne la convergence uniforme (dans l’espace de Banach des fonctions bornées : Théorème 5.21), qui entraîne la convergence simple ; les deux implications sont strictes.

Exemple 10.10 (Une série, trois verdicts)

Prenons $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ sur $\intco{0}{1}$ . Simplement : converge pour tout $x \in \intco01$ (comparaison avec la série géométrique). Normalement sur $\intcc{0}{a}$ , $a < 1$ : $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$ , sommable. Pas normalement sur $\intco{0}{1}$ : $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$ , et $\sum\frac1n$ diverge. Pas même uniformément sur $\intco{0}{1}$ : le reste résiste près de $1$ ,

R_N(x) = \sum_{n>N}\frac{x^n}{n} \geq \sum_{n=N+1}^{2N}\frac{x^n}{n} \geq \frac{N\,x^{2N}}{2N} = \frac{x^{2N}}{2} \xrightarrow[x\to1^-]{} \frac12 ,

donc $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ pour tout $N$ . Éclairage final : les quatre verdicts coexistent paisiblement — la somme $-\ln(1-x)$ est continue sur $\intco{0}{1}$ car la continuité ne requiert l’uniformité que près de chaque point, c.-à-d. sur les segments $\intcc0a$ ; exploser au bord est le droit de la somme.

Théorème 10.11 (Transfert pour les séries)

Si $\sum u_n$ converge uniformément (par exemple normalement) sur l’ensemble concerné : la continuité de tous les $u_n$ en $a$ passe à la somme ; l’intégration sur un segment peut se faire terme à terme ; et si $\sum u_n(x_0)$ converge tandis que $\sum u_n'$ converge uniformément sur les segments, la somme est de classe $C^1$ de dérivée $\sum u_n'$ .

Démonstration. Tout est le théorème correspondant appliqué aux sommes partielles $S_N = \sum_{n\leq N}u_n$ , qui sont des sommes finies de fonctions ayant la régularité voulue. Continuité : chaque $S_N$ est continue en $a$ et $S_N \to \sum u_n$ uniformément : Théorème 10.4. Intégration : sur le segment,

\int_a^b \sum_{n\geq0} u_n = \lim_N \int_a^b S_N = \lim_N \sum_{n=0}^{N}\int_a^b u_n = \sum_{n\geq0}\int_a^b u_n

par le Théorème 10.6 (première égalité) et la linéarité de l’intégrale (seconde). Dérivation : les $S_N$ sont de classe $C^1$ , $S_N(x_0)$ converge, et $S_N' = \sum_{n\leq N}u_n'$ converge uniformément sur les segments : le Théorème 10.7 donne que la somme est de classe $C^1$ de dérivée $\lim S_N' = \sum u_n'$ . ∎

Remarque 10.12 (Pièges classiques)

Quatre pièges, tous vus dans des copies d’examen. (i) Suprema à moitié vérifiés : évaluer $f_n$ le long d’une suite $x_n$ bien choisie ne fournit qu’une minoration de $\norm{f_n - f}_\infty$ — suffisante pour infirmer l’uniformité (comme dans l’Exemple 10.2), jamais pour l’établir ; pour l’établir, majorer le sup par un calcul valable pour tout $x$ . (ii) Uniformité sur le mauvais ensemble : la convergence normale ou uniforme vaut souvent sur tout $\intcc{-a}{a}$ ou $\intco\delta\infty$ mais échoue sur la réunion ouverte ; ce n’est pas un obstacle — la continuité et la dérivabilité sont locales, donc la discipline segment par segment de l’Exemple 10.13 les donne sur tout l’ouvert. (iii) Intégrer sur des non-segments : le Théorème 10.6 est un énoncé sur les segments ; sur $\intco0\infty$ , la convergence uniforme n’empêche pas la masse de s’échapper à l’infini ( $f_n = \frac1n\mathbf 1_{\intcc{0}{n}}$ converge uniformément vers $0$ , avec $\int f_n = 1$ ) — utiliser là la convergence dominée. (iv) Dériver la limite : Exemple 10.8 ; l’hypothèse de dérivée porte sur $(f_n')$ , et aucune vitesse de convergence de $(f_n)$ ne peut la remplacer.

Exemple 10.13 (La fonction $\zeta$ de Riemann)

$\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ converge normalement sur toute demi-droite $\intco{a}{+\infty}$ , $a > 1$ ( $\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$ , sommable) : $\zeta$ est continue sur $\intoo{1}{+\infty}$ ; en dérivant terme à terme (la série dérivée $\sum -\ln n\; n^{-s}$ converge elle aussi normalement sur $\intco{a}{\infty}$ ), $\zeta$ est de classe $C^1$ — et, par itération, $C^\infty$ — avec $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$ . Noter la discipline : la convergence normale se vérifie sur des sous-demi-droites, jamais sur l’ouvert $\intoo{1}{\infty}$ lui-même, où elle échoue.

Exemple 10.14 (Une série logarithmique, traitée jusqu’au bout)

Posons $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ sur $\intoo{0}{\infty}$ . Chaque terme est borné sur $\intco{\delta} \infty$ par $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$ , une série géométrique convergente : convergence normale sur tout $\intco\delta\infty$ , donc $F$ est continue sur $\intoo{0}{\infty}$ . La série dérivée $\sum -\eu^{-nx}$ est de même normalement convergente sur $\intco\delta\infty$ ( $\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$ ), donc $F$ est de classe $C^1$ de dérivée géométrique :

F'(x) = -\sum_{n\geq1}\eu^{-nx} = \frac{-\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}} = \frac{-1}{\eu^{x} - 1} .

Par itération, $F$ est de classe $C^\infty$ . En intégrant $F'$ (aussi bien $F$ que $x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ s’annulent en $+\infty$ et ont la même dérivée sur $\intoo0\infty$ ) :

F(x) = -\ln\bigl(1 - \eu^{-x}\bigr),

la série logarithmique en $t = \eu^{-x}$ . Éclairage final : lorsque $x \to 0^+$ , $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ — la série diverge logarithmiquement au bord, exactement comme la série harmonique qu’elle devient en $x = 0$ ; la convergence normale sur $\intco\delta\infty$ mais non sur $\intoo0\infty$ en est le symptôme.

Méthode 10.15 (Prouver ou réfuter la convergence uniforme)

Pour $f_n \to f$ simplement sur $X$ :

Calculer ou majorer $\norm{f_n - f}_\infty$ : étudier la fonction $x \mapsto \abs{f_n(x) - f(x)}$ (dérivée, monotonie) pour localiser son maximum ; une majoration valable pour tout $x$ qui tend vers $0$ prouve l’uniformité.
Pour réfuter : exhiber des points $x_n$ avec $\abs{f_n(x_n) - f(x_n)} \not\to 0$ (souvent $x_n$ suit la bosse mobile, comme dans l’Exercice 10.1) ; ou invoquer un théorème de transfert par contraposée — une limite discontinue de fonctions continues (Exemple 10.5), ou $\int f_n \not\to \int f$ sur un segment.
Pour les séries, tenter d’abord la convergence normale ( $\sum\sup\abs{u_n} < \infty$ ) ; si elle échoue globalement, la tester sur les sous-segments qui comptent (Exemple 10.10) ; si elle échoue partout, la convergence uniforme peut encore valoir via la majoration du reste alterné (Exercice 10.4) ou la sommation par parties.

10.4 Le théorème d’approximation de Weierstrass

Théorème 10.16 (Weierstrass, via Bernstein)

Toute fonction continue $f \colon \intcc{0}{1} \to \R$ est limite uniforme de polynômes — explicitement, de ses polynômes de Bernstein

B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} f\Bigl(\frac kn\Bigr)\binom nk x^k (1-x)^{n-k} .

Démonstration. Fixons $x \in \intcc{0}{1}$ et posons $p_k(x) = \binom nk x^k(1 - x)^{n-k}$ . Trois identités binomiales, obtenues en évaluant $(x + y)^n$ et ses deux dérivées en $x$ au point $y = 1 - x$ :

\sum_k p_k = 1, \qquad \sum_k k\,p_k = nx, \qquad \sum_k k(k-1) p_k = n(n-1)x^2 .

En détail : $(x+y)^n = \sum_k\binom nk x^ky^{n-k}$ en $y = 1-x$ est la première ; en dérivant en $x$ ,

n(x+y)^{n-1} = \sum_k k\binom nk x^{k-1}y^{n-k} ,

puis en multipliant par $x$ et en posant $y = 1 - x$ on obtient la deuxième ; en dérivant deux fois et en multipliant par $x^2$ on obtient la troisième. En développant $(k - nx)^2 = k(k-1) + k(1 - 2nx) + n^2x^2$ et en combinant les trois :

\sum_k (k - nx)^2 p_k = n(n-1)x^2 + nx(1 - 2nx) + n^2x^2 = nx(1 - x) \leq \frac n4 ,

l’identité de variance.

Estimons maintenant, en utilisant $\sum p_k = 1$ :

\abs{B_n(f)(x) - f(x)} \leq \sum_{k} \Bigl| f\Bigl(\frac kn\Bigr) - f(x)\Bigr|\, p_k(x) = \Sigma_{\text{proche}} + \Sigma_{\text{loin}} ,

en séparant selon que $\abs{\frac kn - x} \leq \delta$ ou non. Étant donné $\varepsilon > 0$ , la continuité uniforme de $f$ (Heine) fournit $\delta$ avec $\Sigma_{\text{proche}} \leq \varepsilon$ . Pour la somme lointaine, avec $M = \norm f_\infty$ : par l’identité de variance et l’astuce de comptage de Tchebychev,

\Sigma_{\text{loin}} \leq 2M \sum_{\abs{k - nx} > n\delta} p_k \leq 2M\,\frac{\sum_k (k - nx)^2 p_k}{n^2\delta^2} \leq \frac{2M}{4 n \delta^2} \cdot 1 = \frac{M}{2n\delta^2} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 ,

uniformément en $x$ . Donc $\norm{B_n(f) - f}_\infty \leq \varepsilon + \frac{M}{2n\delta^2} \leq 2\varepsilon$ pour $n$ grand. ∎

Remarque 10.17

Par substitution affine le théorème vaut sur tout segment $\intcc{a}{b}$ . Il échoue sur $\R$ (une limite uniforme de polynômes sur $\R$ est un polynôme : Exercice 10.8). La lecture probabiliste — $B_n(f)(x)$ est l’espérance de $f$ en une moyenne binomiale, et la borne de variance est l’inégalité de Tchebychev — est rendue honnête au Chapitre 23.

Approximation de Bernstein de f(x) = x2 (en rouge), utilisant la formule exacte B_nf = x2 + x(1-x)/n de l’ : B_1f est la corde, et chaque doublement de n divise l’écart par deux. Fiable mais lent — la saturation en 1n que le théorème de Voronovskaya (problème du week-end) rend exacte. — Approximation de Bernstein de $f(x) = x^2$ (en rouge), utilisant la formule exacte $B_nf = x^2 + \frac{x(1-x)}{n}$ de l’Exercice 10.7 : $B_1f$ est la corde, et chaque doublement de $n$ divise l’écart par deux. Fiable mais lent — la saturation en $\frac1n$ que le théorème de Voronovskaya (problème du week-end) rend exacte.

Remarque 10.18 (Où cela sert)

L’approximation de Weierstrass est le théorème de densité de l’analyse classique : elle rend $C(\intcc ab)$ séparable, permet de vérifier des identités intégrales sur les seuls polynômes (problèmes de moments), et sous-tend la version trigonométrique démontrée dans le chapitre de Fourier via le noyau de Fejér. Le problème du week-end de ce chapitre extrait le contenu quantitatif de la preuve de Bernstein — des vitesses de convergence régies par le module de continuité — puis isole ce qui l’a vraiment fait fonctionner, dans le théorème de Korovkin : positivité et trois fonctions test. Le volume de troisième année généralise l’énoncé de densité à des sous-algèbres quelconques (Stone–Weierstrass) et aux espaces compacts.

Exemple 10.19 (Approximation polygonale, avec une vitesse)

Pour $f$ $L$ -lipschitzienne sur $\intcc{0}{1}$ , soit $I_nf$ l’interpolant affine par morceaux aux nœuds $\frac kn$ . Sur une maille $\intcc{\frac kn}{\frac{k+1}n}$ , à la fois $f(x)$ et $I_nf(x)$ se situent entre les valeurs extrêmes qu’une fonction $L$ -lipschitzienne peut prendre étant données les deux valeurs nodales, donc pour $x$ dans la maille, en posant $x_k = \frac kn$ :

\abs{I_nf(x) - f(x)} \leq \abs{I_nf(x) - f(x_k)} + \abs{f(x_k) - f(x)} \leq L\,\abs{x - x_k} + L\,\abs{x - x_k} \leq \frac{2L}{n}

(l’interpolant est lui-même $L$ -lipschitzien sur la maille : sa pente est un taux d’accroissement de $f$ ). D’où $\norm{I_nf - f}_\infty \leq \frac{2L}{n}$ : l’approximation polygonale des fonctions lipschitziennes converge à la vitesse $\frac1n$ — plus rapide que le $\frac{1}{\sqrt n}$ de Bernstein pour la même classe (problème du week-end, Partie II). Éclairage final : le polygone interpole mais n’est pas régulier, Bernstein est régulier mais lent ; il n’y a pas de repas gratuit entre régularité de l’approximant et vitesse — un compromis rendu précis par les résultats de saturation du problème du week-end.

Remarque 10.20 (Perspectives dans ce volume)

La convergence uniforme est le cheval de bataille de ce livre à partir d’ici. Le chapitre sur les séries entières fonctionne entièrement sur la convergence normale sur les sous-disques compacts — chaque théorème terme à terme qui y figure est un cas particulier des théorèmes de transfert de ce chapitre. Le chapitre de Fourier vit un étage au-dessus : ses sommes partielles $S_N$ échouent exactement là où ce chapitre prévient qu’elles le pourraient (simple mais non uniforme aux sauts), et ses moyennes de Fejér réussissent par la même mécanique en $3\varepsilon$ qui a prouvé le Théorème 10.4. Le chapitre sur les équations différentielles définit $\eu^{tA}$ par une série normalement convergente et la dérive terme à terme — littéralement le Théorème 10.11 appliqué aux coefficients matriciels. En cas de doute plus loin dans le livre sur « pourquoi peut-on faire cela », la réponse est en général un théorème de ce chapitre.

10.5 Exercices

Exercice 10.1 ★

Étudier la convergence simple et uniforme sur $\intcc{0}{1}$ , puis sur $\intcc{0}{a}$ ( $a < 1$ ) ou $\intco{\delta}{1}$ selon le cas, de :

f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}, \qquad g_n(x) = n x\,\eu^{-n x^2}, \qquad h_n(x) = x^n(1 - x^n).

Solution

Solution de Exercice 10.1.

$f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$ : limite simple $0$ sur $\intcc{0}{1}$ . Uniformément : $f_n$ croît sur $\intcc{0}{1}$ (dérivée $\frac{1}{(1+nx)^2} > 0$ ), donc $\norm{f_n}_\infty = f_n(1) = \frac{1}{1+n} \to 0$ : convergence uniforme sur $\intcc{0}{1}$ .

$g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2}$ : limite simple $0$ (l’exponentielle l’emporte). Sup : $g_n' = n\eu^{-nx^2}(1 - 2nx^2)$ s’annule en $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}$ , où $g_n(x_n) = \sqrt{\frac n2}\,\eu^{-1/2} \to \infty$ : pas uniforme sur $\intcc{0}{1}$ — mais uniforme sur $\intco{\delta}{1}$ , puisque là $g_n(x) \leq n\,\eu^{-n\delta^2} \to 0$ .

$h_n(x) = x^n(1 - x^n)$ : limite simple $0$ sur $\intcc{0}{1}$ (les deux facteurs ; en $x = 1$ , $h_n = 0$ ). Sup : avec $u = x^n \in \intcc{0}{1}$ , $u(1-u) \leq \frac14$ atteint en $u = \frac12$ , c.-à-d. $x = 2^{-1/n} \in \intoo{0}{1}$ : $\norm{h_n}_\infty = \frac14 \not\to 0$ : pas uniforme sur $\intcc{0}{1}$ ; uniforme sur $\intcc{0}{a}$ ( $\sup \leq a^n \to 0$ ).

Exercice 10.2 ★

Prouver que $\displaystyle\int_0^1 g_n \not\to \int_0^1 \lim g_n$ pour les $g_n$ de l’Exercice 10.1, et réconcilier avec le Théorème 10.6.

Solution

Solution de Exercice 10.2.

$\int_0^1 nx\,\eu^{-nx^2}\dd x = \bigl[-\tfrac12 \eu^{-nx^2}\bigr]_0^1 = \frac{1 - \eu^{-n}}{2} \to \frac12$ , tandis que $\int_0^1 \lim g_n = 0$ . Pas de contradiction : le Théorème 10.6 exige la convergence uniforme sur le segment, qui fait défaut ici (la bosse de hauteur $\sim\sqrt n$ glisse vers $0$ ).

Exercice 10.3 ★

Prouver que $S(x) = \sum_{n\geq1} \dfrac{x^n}{n^2}$ est continue sur $\intcc{-1}{1}$ , et que $S$ est de classe $C^1$ sur $\intoo{-1}{1}$ avec $S'(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x}$ pour $0 < \abs x < 1$ .

Solution

Solution de Exercice 10.3.

Convergence normale sur $\intcc{-1}{1}$ : $\norm{x^n/n^2}_\infty = \frac{1}{n^2}$ , sommable : $S$ y est continue (Théorème 10.11).

Dérivée : la série dérivée $\sum \frac{x^{n-1}}{n}$ converge normalement sur tout $\intcc{-a}{a}$ , $a < 1$ ( $\sup = \frac{a^{n-1}}{n}$ ) : $S$ est de classe $C^1$ sur $\intoo{-1}{1}$ avec

S'(x) = \sum_{n\geq1} \frac{x^{n-1}}{n} = \frac1x \sum_{n\geq1} \frac{x^n}{n} = -\frac{\ln(1 - x)}{x} \qquad (0 < \abs x < 1),

la dernière identité étant la série logarithmique de première année (redémontrée honnêtement au Chapitre 11).

Exercice 10.4 ★★

Soit $F(x) = \sum_{n \geq 0} \dfrac{(-1)^n}{n + x}$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ . Prouver la convergence uniforme (non normale) sur $\intco{\delta}{\infty}$ via la majoration du reste des séries alternées, la continuité, et l’équation fonctionnelle $F(x) + F(x + 1) = \frac1x$ .

Solution

Solution de Exercice 10.4.

Pour $x > 0$ fixé la série est alternée avec $\frac{1}{n + x} \downarrow 0$ : convergence simple, et la majoration du reste $\abs{R_N(x)} \leq \frac{1}{N + 1 + x} \leq \frac{1}{N+1}$ est uniforme sur $\intco{\delta}{\infty}$ (et même sur $\intoo{0}{\infty}$ ) : convergence uniforme. (Pas normale : $\norm{\frac{(-1)^n}{n+x}}_\infty = \frac{1}{n + \delta}$ , divergente.) La continuité découle du Théorème 10.11.

Équation fonctionnelle : réindexer $F(x + 1)$ avec $m = n + 1$ :

F(x+1) = \sum_{n\geq0} \frac{(-1)^n}{n + 1 + x} = \sum_{m\geq1}\frac{(-1)^{m-1}}{m+x} ,

donc, en isolant le terme $m = 0$ de $F(x)$ ,

F(x) + F(x+1) = \frac{1}{x} + \sum_{m\geq1} \frac{(-1)^m + (-1)^{m-1}}{m+x} = \frac1x .

Exercice 10.5 ★★

(Dini) Soit $f_n \colon K \to \R$ continue sur un espace métrique compact, avec $f_n \to f$ simplement, $f$ continue, et $(f_n(x))$ décroissante en $n$ pour chaque $x$ . Prouver que la convergence est uniforme. (Étant donné $\varepsilon$ , les ouverts $U_n = \{x : f_n(x) - f(x) < \varepsilon\}$ croissent et recouvrent $K$ ; extraire un sous-recouvrement fini — Théorème 4.20.)

Solution

Solution de Exercice 10.5.

Posons $g_n = f_n - f \geq 0$ (décroissante en $n$ , par hypothèse ; la limite est $0$ simplement) ; chaque $g_n$ est continue. Fixons $\varepsilon > 0$ et posons $U_n = \{x : g_n(x) < \varepsilon\}$ : ouvert (image réciproque d’un ouvert), croissant ( $g_{n+1} \leq g_n$ ), et recouvrant $K$ (convergence simple). Par Borel–Lebesgue (Théorème 4.20), un nombre fini de $U_{n_1} \subseteq \dots \subseteq U_{n_k}$ recouvrent $K$ : donc $K = U_{n_k}$ , c.-à-d. $\norm{g_{n_k}}_\infty \leq \varepsilon$ , et par monotonie $\norm{g_n}_\infty \leq \varepsilon$ pour tout $n \geq n_k$ : convergence uniforme. (La monotonie est essentielle : les bosses glissantes de l’Exercice 10.2 convergent simplement sur un compact sans uniformité.)

Exercice 10.6 ★★

Prouver que $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{n\,f(x)}{1 + n^2x^2}\,\dd x = \frac{\pi}{2} f(0)$ pour toute fonction $f$ continue sur $\intcc{0}{1}$ . (Substituer $u = nx$ ; isoler $f(0)$ ; dominer.)

Solution

Solution de Exercice 10.6.

Substituer $u = nx$ :

\int_0^1 \frac{n f(x)}{1 + n^2x^2}\dd x = \int_0^n \frac{f(u/n)}{1 + u^2}\,\dd u .

Les intégrandes $h_n(u) = \frac{f(u/n)}{1+u^2}\mathbf{1}_{u \leq n}$ convergent simplement vers $\frac{f(0)}{1+u^2}$ (continuité de $f$ en $0$ ) et sont dominées par $\frac{\norm f_\infty}{1 + u^2}$ , intégrable sur $\intco{0}{\infty}$ : la convergence dominée (Théorème 9.6) donne la limite

\int_0^\infty \frac{f(0)}{1 + u^2}\dd u = \frac{\pi}{2} f(0) .

(Les noyaux se concentrent en $0$ : une approximation de l’identité.)

Exercice 10.7 ★★

Calculer explicitement les polynômes de Bernstein de $f(x) = x^2$ et vérifier l’erreur uniforme $\norm{B_n f - f}_\infty = O\bigl(\frac1n\bigr)$ prédite par la preuve du Théorème 10.16 — ici exactement $\frac{x(1 - x)}{n}$ en chaque point.

Solution

Solution de Exercice 10.7.

Pour $f(x) = x^2$ , utiliser la deuxième famille d’identités binomiales de la preuve : $\sum_k k^2 p_k = n(n-1)x^2 + nx$ . D’où

B_n(f)(x) = \sum_k \frac{k^2}{n^2}\,p_k = \frac{n(n-1)x^2 + nx}{n^2} = x^2 + \frac{x(1 - x)}{n} :

$B_n(f) - f = \frac{x(1-x)}{n}$ , de norme sup $\frac{1}{4n} = O\bigl(\frac1n\bigr)$ , comme prévu.

Exercice 10.8 ★★

Prouver que si des polynômes $P_n$ convergent uniformément sur tout $\R$ vers $f$ , alors $f$ est un polynôme. (Pour $m, n$ grands, $P_n - P_m$ est un polynôme borné sur $\R$ , donc constant ; ainsi la suite se stabilise modulo des constantes.)

Solution

Solution de Exercice 10.8.

Pour $\varepsilon = 1$ il existe $N$ tel que $\norm{P_n - P_m}_{\infty, \R} \leq 1$ pour $m, n \geq N$ . Un polynôme borné sur $\R$ est constant (un polynôme non constant tend vers $\pm\infty$ ) : $P_n - P_m = c_{n,m}$ , constantes. Donc pour $n \geq N$ : $P_n = P_N + c_n$ avec $c_n = P_n(0) - P_N(0)$ convergente (convergence simple en $0$ ). Ainsi $f = \lim P_n = P_N + \lim c_n$ : un polynôme.

Exercice 10.9 ★★★

(Une fonction continue, nulle part dérivable — guidé) Soit $\varphi$ la distance à l’entier le plus proche ( $1$ -périodique, $\norm{\varphi}_\infty = \frac12$ , $1$ -lipschitzienne) et

W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{\!n} \varphi(4^n x) .

Prouver : (a) $W$ est continue sur $\R$ (convergence normale) ; (b) pour tout $x$ et tout $m$ , en choisissant $h_m = \pm\frac12\cdot 4^{-m}$ avec le signe rendant $\varphi$ affine sur le segment de $4^m x$ à $4^m(x + h_m)$ , le taux d’accroissement vérifie

\Bigl|\frac{W(x + h_m) - W(x)}{h_m}\Bigr| \geq 3^m - \sum_{n<m} 3^n \geq \frac{3^m + 1}{2} \xrightarrow[m\to\infty]{} \infty

(les termes $n > m$ s’annulent par périodicité ; le terme $n = m$ contribue exactement $3^m$ ; les termes $n < m$ sont bornés par la propriété de Lipschitz). Conclure que $W$ n’est dérivable nulle part.

Solution

Solution de Exercice 10.9.

(a) $\norm{(3/4)^n\varphi(4^n\cdot)}_\infty = \frac12 (3/4)^n$ : convergence normale, donc $W$ est continue (Théorème 10.11).

(b) Fixons $x$ , $m$ ; choisissons le signe de $h_m = \pm\frac12 4^{-m}$ de sorte que le segment $\intcc{4^mx}{4^m(x + h_m)}$ (de longueur $\frac12$ ) ne contienne aucun demi-entier, rendant $\varphi$ affine de pente $\pm1$ sur celui-ci (possible : un intervalle de longueur $\frac12$ rencontre au plus un point demi-entier ; choisir le côté qui l’évite).

Pour $n > m$ : $4^n h_m = \pm\frac12 4^{n-m}$ est un entier, et $\varphi$ est $1$ -périodique : le $n$ -ième terme de la différence s’annule.

Pour $n = m$ : $\abs{\varphi(4^m x + 4^m h_m) - \varphi(4^m x)} = \abs{4^m h_m} = \frac12$ ( $\varphi$ affine de pente $\pm 1$ sur le segment), donc le terme contribue exactement $(3/4)^m \cdot \frac{1/2}{\abs{h_m}} = (3/4)^m\,4^m = 3^m$ dans le quotient.

Pour $n < m$ : le $\varphi$ $1$ -lipschitzien donne $\bigl|(3/4)^n\bigl(\varphi(4^nx + 4^nh_m) - \varphi(4^nx)\bigr)\bigr| \leq (3/4)^n 4^n\abs{h_m} = 3^n\abs{h_m}$ : chacun contribue au plus $3^n$ dans le quotient.

D’où

\Bigl|\frac{W(x + h_m) - W(x)}{h_m}\Bigr| \geq 3^m - \sum_{n=0}^{m-1} 3^n = 3^m - \frac{3^m - 1}{2} = \frac{3^m + 1}{2} \longrightarrow \infty .

Si $W$ était dérivable en $x$ , tout taux d’accroissement le long de $h_m \to 0$ convergerait vers $W'(x)$ : contradiction. $W$ est continue partout, dérivable nulle part.

Exercice 10.10 ★

Soit $u_n(x) = (-1)^n x^n(1 - x)$ sur $\intcc{0}{1}$ . Montrer que $\sum u_n$ converge simplement sur $\intcc{0}{1}$ et calculer sa somme ; montrer que la convergence est uniforme sur $\intcc{0}{1}$ (majorer le reste $R_N(x) = \sum_{n > N} u_n(x)$ , une queue géométrique, par son premier terme et maximiser $x^{N+1}(1-x)$ ) mais non normale (calculer $\norm{u_n}_\infty$ ) : la convergence uniforme est strictement plus faible que la convergence normale. Contraster avec $\sum x^n(1-x)$ , dont la somme est discontinue en $1$ : là, même l’uniformité échoue.

Solution

Solution de Exercice 10.10.

Simplement : pour $x \in \intco{0}{1}$ la série est géométrique de raison $-x$ ,

\sum_{n\geq0}(-1)^n x^n(1-x) = \frac{1-x}{1+x},

et en $x = 1$ tout terme s’annule : somme $0 = \frac{1-1}{2}$ , cohérent — la somme est continue sur $\intcc{0}{1}$ . Uniformité : le reste est une queue géométrique,

\abs{R_N(x)} = \frac{x^{N+1}(1-x)}{1+x} \leq x^{N+1}(1 - x) \leq \max_{\intcc01} t^{N+1}(1-t) = \frac{1}{N+2}\Bigl(\frac{N+1}{N+2}\Bigr)^{\!N+1} \leq \frac{1}{N+2} \to 0 ,

uniformément en $x$ . Pas normale : $\norm{u_n}_\infty = \max x^n(1-x) = \frac{1}{n+1}\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^n \sim \frac{1}{\eu\,n}$ , et $\sum \frac1{\eu n}$ diverge. Contraste : $\sum x^n(1-x)$ a pour sommes partielles $1 - x^{N+1}$ , convergeant simplement vers la fonction discontinue $\mathbf 1_{\intco01}$ : d’après le Théorème 10.4, cette convergence ne peut être uniforme sur $\intcc{0}{1}$ .

Exercice 10.11 ★★

Soit $f_n \to f$ uniformément sur un espace métrique $X$ , chaque $f_n$ continue, et soit $x_n \to x$ dans $X$ . Prouver $f_n(x_n) \to f(x)$ . Montrer par un exemple sur $X = \intcc{0}{1}$ que la convergence simple ne suffit pas, même avec $f$ continue (utiliser les bosses $g_n$ de l’Exercice 10.1 et $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}$ ).

Solution

Solution de Exercice 10.11.

La limite $f$ est continue (Théorème 10.4). Alors

\abs{f_n(x_n) - f(x)} \leq \abs{f_n(x_n) - f(x_n)} + \abs{f(x_n) - f(x)} \leq \norm{f_n - f}_\infty + \abs{f(x_n) - f(x)} ,

et les deux termes tendent vers $0$ (convergence uniforme ; continuité de $f$ en $x$ ). Contre-exemple sous simple convergence : $g_n(x) = nx\,\eu^{-nx^2} \to 0$ simplement sur $\intcc{0}{1}$ avec $g_n$ et la limite continues, pourtant en $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}} \to 0$ :

g_n(x_n) = \sqrt{\frac n2}\,\eu^{-1/2} \longrightarrow +\infty \neq 0 = f(0) .

Exercice 10.12 ★★★

(Une équation intégrale de Volterra par séries) Pour $f \in C(\intcc{0}{1})$ définir $Tf(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ .

Montrer par récurrence que pour $n \geq 1$ :

$T^n f(x) = \int_0^x \frac{(x - t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f(t)\,\dd t, \qquad \norm{T^n f}_\infty \leq \frac{\norm f_\infty}{n!} .$
En déduire que $S = \sum_{n\geq0} T^n f$ converge normalement sur $\intcc{0}{1}$ et résout l’équation intégrale $S = f + TS$ .
Vérifier que $S(x) = f(x) + \int_0^x \eu^{x-t}f(t)\,\dd t$ résout la même équation, et prouver l’unicité des solutions continues (si $S = TS$ alors $\norm{S}_\infty \leq \norm{T^nS}_\infty \to 0$ ) : conclure la forme close de la somme.

Solution

Solution de Exercice 10.12.

Récurrence. $n = 1$ est la définition. Supposons la formule pour $n$ et posons $g(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f(t)\dd t$ . Pour une intégrande continue en $(x,t)$ et $C^1$ en $x$ , l’intégrale à paramètre à borne variable se dérive en

$g'(x) = \frac{(x-x)^n}{n!}f(x) + \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t)\dd t = T^nf(x)$

(scinder $g(x+h) - g(x)$ en la bande $\int_x^{x+h}$ , qui est $O(h\cdot\sup)$ avec l’intégrande s’annulant en $t = x$ comme $h^n$ , et l’intégrale fixe de l’accroissement en $x$ , traitée par l’inégalité des accroissements finis et la continuité). De plus $(T^{n+1}f)' = T^nf$ (théorème fondamental de l’analyse) et $g(0) = T^{n+1}f(0) = 0$ : deux primitives de $T^nf$ s’annulant en $0$ coïncident, donc $T^{n+1}f = g$ . La majoration :

$\abs{T^nf(x)} \leq \norm f_\infty \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\dd t = \norm f_\infty\,\frac{x^n}{n!} \leq \frac{\norm f_\infty}{n!} .$
$\sum_n \norm{T^nf}_\infty \leq \eu\,\norm f_\infty$ : convergence normale, donc uniforme ; $S$ est continue. Les sommes partielles vérifient $S_N = f + T S_{N-1}$ , et $T$ est $1$ -lipschitzien pour $\norm\cdot_\infty$ ( $\abs{Tg(x)} \leq x\norm g_\infty$ ) : en faisant $N \to \infty$ des deux côtés on obtient $S = f + TS$ .
Posons $V(x) = f(x) + \eu^x\int_0^x \eu^{-t}f(t)\dd t$ . Alors $V - f$ est $C^1$ avec $(V-f)'(x) = \eu^x\int_0^x\eu^{-t}f + f(x) = V(x)$ , et $(TV)' = V$ avec $(V - f)(0) = TV(0) = 0$ : donc $V - f = TV$ , c.-à-d. $V$ résout l’équation. Unicité : si $S_1, S_2$ sont des solutions continues, $D = S_1 - S_2$ vérifie $D = TD$ , donc $D = T^nD$ pour tout $n$ et $\norm D_\infty \leq \frac{\norm D_\infty}{n!} \to 0$ : $D = 0$ . Par conséquent

$\sum_{n\geq0} T^nf(x) = f(x) + \int_0^x \eu^{x-t}f(t)\,\dd t .$

(La série $\sum T^n$ est une série géométrique d’opérateurs : un premier avant-goût de la résolvante $(\mathrm{Id} - T)^{-1}$ , développée dans le volume de troisième année.)

10.6 Problème : vitesses d’approximation et théorème de Korovkin

Problème 10.1

La preuve de Bernstein du Théorème 10.16 recèle deux trésors. D’abord, elle est quantitative : la vitesse à laquelle $B_nf \to f$ est régie par le module de continuité de $f$ , la vitesse optimale étant atteinte par $\abs{x - \frac12}$ . Ensuite, elle est structurelle : tout ce qui a compté est que $B_n$ est un opérateur linéaire positif se comportant bien sur $1$ , $x$ , $x^2$ — cette observation, isolée, est le théorème de Korovkin. Ce problème démontre les deux, et se clôt sur l’asymptotique exacte de Voronovskaya. Partout, $f \in C(\intcc{0}{1})$ , $M = \norm f_\infty$ , $p_k(x) = \binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ , et $e_j$ désigne $x \mapsto x^j$ .

Partie I — L’opérateur de Bernstein.

Montrer que $B_n$ est linéaire, positif ( $f \geq 0 \Rightarrow B_nf \geq 0$ ), donc monotone ( $f \leq g \Rightarrow B_nf \leq B_ng$ ), avec $\norm{B_nf}_\infty \leq \norm f_\infty$ , et que $B_nf$ interpole $f$ aux deux extrémités.
Redémontrer les identités $B_n e_0 = e_0$ , $B_n e_1 = e_1$ et $B_n e_2 = e_2 + \frac{e_1 - e_2}{n}$ (dériver $(x + y)^n$ deux fois et poser $y = 1 - x$ ).
En déduire l’identité de variance $\sum_k \bigl(\frac kn - x\bigr)^2 p_k(x) = \frac{x(1-x)}{n}$ et, par Cauchy–Schwarz, la borne de premier moment

$\sum_{k=0}^{n}\Bigl|\frac kn - x\Bigr|\,p_k(x) \leq \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt n} .$
Montrer que si $f$ est convexe alors $B_nf \geq f$ sur $\intcc{0}{1}$ (inégalité de Jensen finie pour les poids $p_k(x)$ ).
(Borne de comptage de Tchebychev, reformulée) Pour $\delta > 0$ montrer

$\sum_{\abs{k/n - x} > \delta} p_k(x) \leq \frac{x(1-x)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2} ,$

et donner la lecture probabiliste : $B_nf(x)$ moyenne $f$ sur une moyenne empirique binomiale qui se concentre en $x$ .

Partie II — Vitesses : le module de continuité. Pour $\delta > 0$ posons $\omega(\delta) = \sup\{\abs{f(s) - f(t)} : s, t \in \intcc{0}{1},\ \abs{s - t} \leq \delta\}$ .

Montrer : $\omega$ est finie, croissante, $\omega(\delta) \to 0$ quand $\delta \to 0^+$ (Heine), sous-additive ( $\omega(\delta_1 + \delta_2) \leq \omega(\delta_1) + \omega(\delta_2)$ ), et $\omega(\lambda\delta) \leq (1 + \lambda)\,\omega(\delta)$ pour tout $\lambda > 0$ .
Prouver l’estimation maîtresse, pour tout $\delta > 0$ :

$\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \sum_k \omega\Bigl(\Bigl|\frac kn - x\Bigr|\Bigr)p_k(x) \leq \Bigl(1 + \frac1\delta\sum_k\Bigl|\frac kn - x\Bigr|p_k(x)\Bigr)\,\omega(\delta) .$
Choisir $\delta = n^{-1/2}$ et conclure le théorème de Weierstrass quantitatif :

$\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac32\,\omega\Bigl(\frac{1}{\sqrt n}\Bigr) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 .$
En déduire les vitesses : $\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac{3L}{2\sqrt n}$ pour $f$ $L$ -lipschitzienne, et $\leq \frac32 C n^{-\alpha/2}$ pour $f$ $\alpha$ -höldérienne ( $\abs{f(s) - f(t)} \leq C\abs{s-t}^\alpha$ ).
(L’exemple optimal — une identité binomiale) Pour $m \geq 1$ prouver

$\sum_{k=m+1}^{2m} (k - m)\binom{2m}{k} = \frac{m}{2}\binom{2m}{m}, \qquad\text{d'où}\qquad \sum_{k=0}^{2m}\abs{k - m}\binom{2m}{k} = m\binom{2m}{m}$

(utiliser $k\binom{2m}k = 2m\binom{2m-1}{k-1}$ et la symétrie de la ligne binomiale, qui donne $\sum_{j=m}^{2m-1}\binom{2m-1}{j} = 2^{2m-2}$ ).
Pour $f(t) = \abs{t - \frac12}$ en déduire la valeur exacte et son asymptotique (binomial central, Exemple 6.14) :

$B_{2m}f\Bigl(\frac12\Bigr) - f\Bigl(\frac12\Bigr) = \frac{\binom{2m}{m}}{2\cdot4^{m}} \;\sim\; \frac{1}{2\sqrt{\pi m}} :$

la vitesse $\omega(n^{-1/2})$ de la question 8 est atteinte (à une constante près) — pour $f$ seulement continue, le $n^{-1/2}$ de Bernstein est honnête.

Partie III — Théorème de Korovkin. Soit $(L_n)$ une suite d’opérateurs linéaires positifs de $C(\intcc{0}{1})$ dans lui-même telle que $L_ne_j \to e_j$ uniformément pour $j = 0, 1, 2$ .

Montrer qu’un opérateur linéaire positif $L$ est monotone et vérifie $\abs{Lf} \leq L\abs f$ ponctuellement.
Montrer : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que pour tous $s, x \in \intcc{0}{1}$ :

$\abs{f(s) - f(x)} \leq \varepsilon + \frac{2M}{\delta^2}(s - x)^2$

(traiter $\abs{s - x} \leq \delta$ par Heine et $\abs{s-x} > \delta$ par la borne grossière $2M$ ).
Fixer $x$ , appliquer $L_n$ à l’inégalité de la question 13 dans la variable $s$ , et en déduire

$\abs{L_nf(x) - f(x)\,L_ne_0(x)} \leq \varepsilon\,L_ne_0(x) + \frac{2M}{\delta^2} \bigl(L_ne_2(x) - 2x\,L_ne_1(x) + x^2 L_ne_0(x)\bigr).$
Montrer que $\sup_x \bigl(L_ne_2(x) - 2x\,L_ne_1(x) + x^2 L_ne_0(x)\bigr) \to 0$ , puis assembler le théorème de Korovkin : $L_nf \to f$ uniformément pour toute $f \in C(\intcc{0}{1})$ .
Vérifier que $(B_n)$ satisfait les hypothèses de Korovkin : Weierstrass une troisième fois, à partir de trois monômes.
Soit $I_n$ l’opérateur d’interpolation affine par morceaux aux nœuds $\frac kn$ . Montrer que $I_n$ est linéaire positif, $I_ne_0 = e_0$ , $I_ne_1 = e_1$ , et $\norm{I_ne_2 - e_2}_\infty = \frac{1}{4n^2}$ (sur chaque maille l’erreur de l’interpolation affine de $t^2$ est $(t - a)(b - t)$ ). Conclure par Korovkin : les interpolants polygonaux convergent uniformément pour toute fonction $f$ continue.

Partie IV — Dividendes : densité, moments, dérivées.

Montrer que les polynômes à coefficients rationnels sont denses dans $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : cet espace de Banach est séparable.
(Les moments déterminent la fonction) Soit $f \in C(\intcc{0}{1})$ avec $\int_0^1 f(t)\,t^n \dd t = 0$ pour tout $n \in \N$ . Montrer $\int_0^1 f P = 0$ pour tout polynôme, puis $\int_0^1 f^2 = 0$ , puis $f = 0$ .
Prouver l’identité de dérivée

$(B_nf)'(x) = n\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl( f\Bigl(\frac{k+1}{n}\Bigr) - f\Bigl(\frac kn\Bigr)\Bigr)\, \binom{n-1}{k}x^k(1-x)^{n-1-k}$

(dériver $p_k$ et réindexer — une transformation d’Abel).
Supposons $f$ de classe $C^1$ . En utilisant le théorème des accroissements finis dans chaque incrément et en comparant avec $B_{n-1}(f')$ , montrer $(B_nf)' \to f'$ uniformément sur $\intcc{0}{1}$ . En déduire : pour $f \in C^1$ il existe des polynômes convergeant vers $f$ en même temps que leurs dérivées.
Supposons $f$ de classe $C^2$ . Par Taylor–Lagrange en $x$ montrer

$\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\cdot\frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{8n} :$

la régularité améliore la vitesse de $n^{-1/2}$ à $n^{-1}$ .

Partie V — Saturation : le théorème de Voronovskaya.

Prouver l’identité de quatrième moment

$\sum_k (k - nx)^4 p_k(x) = nx(1-x)\bigl(1 + 3(n-2)x(1-x)\bigr) \leq n^2 \quad (n \geq 1)$

(développer $k^4$ en factorielles décroissantes $k(k-1)\cdots$ et utiliser deux fois de plus l’astuce de dérivation de la question 2).
(Voronovskaya) Soit $f$ de classe $C^2$ et $x \in \intcc{0}{1}$ . En écrivant $f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) + \frac{f''(x)}2(t-x)^2 + \eta(t)(t-x)^2$ avec $\eta$ bornée et $\eta(t) \to 0$ quand $t \to x$ , prouver

$n\bigl(B_nf(x) - f(x)\bigr) \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{x(1-x)}{2}\,f''(x)$

(scinder la somme des $\eta$ en $\abs{t - x} \leq \delta$ ; contrôler la partie lointaine avec la question 23). Ainsi l’erreur de la question 22 est exacte en ordre et en constante : $B_n$ sature à $\frac1n$ , si régulière que soit $f$ — comparer l’Exercice 10.7.
Synthèse. En une phrase chacun : (i) ce que la positivité seule a apporté (Parties I et III) ; (ii) où la compacité de $\intcc{0}{1}$ est intervenue dans chaque partie ; (iii) pourquoi trois fonctions test suffisent dans le théorème de Korovkin ; (iv) le compromis que fait Bernstein (un $n^{-1/2}$ robuste pour $f$ irrégulière, mais un plafond en $\frac1n$ pour $f$ régulière), et quel chapitre de ce livre jouera le même jeu avec des polynômes trigonométriques.

Solution

Solution de Problème 10.1.

1. La linéarité est claire d’après la formule. Positivité : les poids $p_k(x) \geq 0$ , donc $f \geq 0$ force $B_nf \geq 0$ ; la monotonie s’ensuit en l’appliquant à $g - f$ . Borne : $\pm f \leq \norm f_\infty$ donne $\pm B_nf \leq \norm f_\infty B_ne_0 = \norm f_\infty$ . Extrémités : $p_k(0) = \mathbf 1_{k=0}$ et $p_k(1) = \mathbf 1_{k=n}$ , donc $B_nf(0) = f(0)$ , $B_nf(1) = f(1)$ .

2. Dériver $(x+y)^n = \sum_k\binom nk x^ky^{n-k}$ en $x$ , multiplier par $x$ , et poser $y = 1 - x$ :

nx = \sum_k k\,p_k(x) ;

deux fois, en multipliant par $x^2$ : $n(n-1)x^2 = \sum_k k(k-1)p_k(x)$ . D’où $B_ne_0 = 1$ (théorème du binôme), $B_ne_1(x) = \frac{nx}{n} = x$ , et

B_ne_2(x) = \frac{\sum_k k^2p_k}{n^2} = \frac{n(n-1)x^2 + nx}{n^2} = x^2 + \frac{x(1-x)}{n} .

3. Développer :

\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^{\!2} p_k = B_ne_2(x) - 2x\,B_ne_1(x) + x^2 = \frac{x(1-x)}{n} .

Cauchy–Schwarz avec le découpage $\abs{k/n - x}\sqrt{p_k} \cdot \sqrt{p_k}$ :

\sum_k\Bigl|\frac kn - x\Bigr| p_k \leq \Bigl(\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2 p_k\Bigr)^{\!1/2} = \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt n},

en utilisant $x(1-x) \leq \frac14$ .

4. Les poids $p_k(x)$ sont positifs de somme $1$ et de barycentre $\sum_k \frac kn p_k(x) = x$ (question 2). L’inégalité de Jensen finie pour $f$ convexe (récurrence à partir de la définition à deux points, volume de première année) donne

f(x) = f\Bigl(\sum_k \frac kn\,p_k\Bigr) \leq \sum_k f\Bigl(\frac kn\Bigr)p_k = B_nf(x) .

5. Sur $\{k : \abs{k/n - x} > \delta\}$ on a $\bigl(\frac{k/n - x}{\delta}\bigr)^2 > 1$ , donc

\sum_{\abs{k/n-x}>\delta} p_k \leq \frac{1}{\delta^2}\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2p_k = \frac{x(1-x)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2} .

Lecture : $p_k(x)$ est la loi d’une fréquence empirique $S_n/n$ de $n$ lancers de pièce de biais $x$ ; sa moyenne est $x$ , sa variance $\frac{x(1-x)}n \to 0$ , et l’affichage est l’inégalité de Tchebychev : la masse se concentre en $x$ , si bien que moyenner $f$ contre elle reproduit $f(x)$ à la limite (Chapitre 23 rend le vocabulaire officiel).

6. $\omega \leq 2M < \infty$ ; la monotonie est claire (sup sur un ensemble plus grand). Heine : $f$ continue sur un compact est uniformément continue, ce qui dit exactement $\omega(\delta) \to 0$ quand $\delta \to 0^+$ . Sous-additivité : si $\abs{s - t} \leq \delta_1 + \delta_2$ , le point $u$ du segment $\intcc st$ à distance $\min(\delta_1, \abs{s-t})$ de $s$ vérifie $\abs{s-u} \leq \delta_1$ , $\abs{u-t} \leq \delta_2$ , et $\abs{f(s)-f(t)} \leq \abs{f(s)-f(u)} + \abs{f(u)-f(t)}$ . En itérant, $\omega(p\delta) \leq p\,\omega(\delta)$ pour $p \in \N^*$ ; pour $\lambda > 0$ , avec $p = \lceil\lambda\rceil \leq 1 + \lambda$ : $\omega(\lambda\delta) \leq \omega(p\delta) \leq p\,\omega(\delta) \leq (1+\lambda)\omega(\delta)$ .

7. Puisque $\sum p_k = 1$ :

\abs{B_nf(x) - f(x)} = \Bigl|\sum_k\bigl(f(k/n) - f(x)\bigr)p_k\Bigr| \leq \sum_k\omega\bigl(\abs{k/n - x}\bigr)p_k .

Pour chaque $k$ , la question 6 avec $\lambda = \abs{k/n - x}/\delta$ donne $\omega(\abs{k/n-x}) \leq \bigl(1 + \frac{\abs{k/n-x}}\delta\bigr)\omega(\delta)$ ; en sommant contre les $p_k$ on obtient l’estimation maîtresse.

8. Insérer la borne de la question 3 :

\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \Bigl(1 + \frac{1}{2\delta\sqrt n}\Bigr)\omega(\delta),

uniformément en $x$ ; avec $\delta = n^{-1/2}$ la parenthèse vaut $\frac32$ : $\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac32\omega(n^{-1/2}) \to 0$ par la question 6 (Heine). Ceci redémontre le Théorème 10.16 avec une vitesse.

9. $L$ -lipschitzienne signifie $\omega(\delta) \leq L\delta$ : vitesse $\frac{3L}{2\sqrt n}$ . $\alpha$ -höldérienne signifie $\omega(\delta) \leq C\delta^\alpha$ : vitesse $\frac{3C}{2} n^{-\alpha/2}$ .

10. En utilisant $k\binom{2m}k = 2m\binom{2m-1}{k-1}$ :

\sum_{k=m+1}^{2m}k\binom{2m}k = 2m\sum_{j=m}^{2m-1}\binom{2m-1}{j} = 2m\cdot 2^{2m-2},

car $j \mapsto 2m-1-j$ bijecte $\{m,\dots,2m-1\}$ sur $\{0,\dots,m-1\}$ , donc la somme est la moitié de $2^{2m-1}$ . De plus $\sum_{k=m+1}^{2m}\binom{2m}k = \frac{2^{2m} - \binom{2m}m}{2}$ (même symétrie). D’où

\sum_{k=m+1}^{2m}(k-m)\binom{2m}k = m\,2^{2m-1} - m\,\frac{2^{2m} - \binom{2m}m}{2} = \frac m2\binom{2m}m .

La substitution $k \mapsto 2m-k$ envoie les termes avec $k < m$ sur ceux avec $k > m$ (binomiaux égaux, $\abs{k-m}$ égaux) : la somme absolue est le double de la somme unilatérale, $m\binom{2m}m$ .

11. En $x = \frac12$ , $p_k(\tfrac12) = \binom{2m}k2^{-2m}$ et $f(\tfrac12) = 0$ :

B_{2m}f\Bigl(\frac12\Bigr) = \sum_k\Bigl|\frac{k}{2m} - \frac12\Bigr| \binom{2m}k 2^{-2m} = \frac{2^{-2m}}{2m}\,m\binom{2m}m = \frac{\binom{2m}m}{2\cdot4^m} \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi m}}

d’après l’Exemple 6.14. Puisque $\omega_f (\delta) = \delta$ ici (la fonction est $1$ -lipschitzienne et la borne est atteinte), la question 8 prédit au plus $\frac32(2m)^{-1/2}$ : la véritable erreur $\frac{1}{2\sqrt{\pi m}}$ a exactement l’ordre $n^{-1/2}$ — la vitesse est optimale à la constante près.

12. $f \leq g$ donne $g - f \geq 0$ , donc $L(g-f) \geq 0$ , c.-à-d. $Lf \leq Lg$ . De $-\abs f \leq f \leq \abs f$ : $-L\abs f \leq Lf \leq L\abs f$ , c.-à-d. $\abs{Lf} \leq L\abs f$ .

13. Par Heine choisir $\delta$ avec $\abs{f(s)-f(x)} \leq \varepsilon$ dès que $\abs{s-x} \leq \delta$ . Si $\abs{s - x} > \delta$ , alors $\frac{(s-x)^2}{\delta^2} > 1$ et $\abs{f(s)-f(x)} \leq 2M \leq \frac{2M}{\delta^2}(s-x)^2$ . Dans les deux cas la borne annoncée vaut.

14. Fixer $x$ ; la question 13 dit, en tant que fonctions de $s$ :

-\varepsilon e_0 - \frac{2M}{\delta^2}q_x \;\leq\; f - f(x)e_0 \;\leq\; \varepsilon e_0 + \frac{2M}{\delta^2}q_x, \qquad q_x = e_2 - 2x\,e_1 + x^2e_0 .

Appliquer le $L_n$ monotone linéaire (question 12) et évaluer en $x$ :

\abs{L_nf(x) - f(x)L_ne_0(x)} \leq \varepsilon L_ne_0(x) + \frac{2M}{\delta^2}\bigl(L_ne_2(x) - 2xL_ne_1(x) + x^2L_ne_0(x)\bigr) .

15. Écrire $\alpha_j = L_ne_j - e_j$ , de sorte que $\norm{\alpha_j}_\infty \to 0$ . Puisque $e_2(x) - 2xe_1(x) + x^2e_0(x) = 0$ :

L_ne_2(x) - 2xL_ne_1(x) + x^2L_ne_0(x) = \alpha_2(x) - 2x\,\alpha_1(x) + x^2\alpha_0(x),

de norme sup au plus $\norm{\alpha_2} + 2\norm{\alpha_1} + \norm{\alpha_0} \to 0$ . De plus $L_ne_0 \to e_0$ uniformément, donc $L_ne_0 \leq 2$ pour $n$ grand, et $\abs{f(x)}\abs{L_ne_0(x) - 1} \leq M\norm{\alpha_0} \to 0$ . En assemblant avec la question 14 : pour $n$ grand, uniformément en $x$ ,

\abs{L_nf(x) - f(x)} \leq 2\varepsilon + \frac{2M}{\delta^2}\,o(1) + M\,o(1) \leq 3\varepsilon :

$L_nf \to f$ uniformément — le théorème de Korovkin.

16. $B_ne_0 = e_0$ et $B_ne_1 = e_1$ exactement, et $\norm{B_ne_2 - e_2}_\infty = \max_x\frac{x(1-x)}{n} = \frac{1}{4n} \to 0$ (question 2) : Korovkin s’applique, et Weierstrass s’ensuit pour la troisième fois.

17. $I_nf$ est linéaire en $f$ (les valeurs nodales le sont), et sur chaque maille l’interpolant affine de valeurs nodales positives est positif : positif. $I_ne_0 = e_0$ et $I_ne_1 = e_1$ car une fonction affine égale son propre interpolant. Sur une maille $\intcc ab$ ( $b - a = \frac1n$ ), l’interpolant affine de $e_2$ est $L(t) = (a+b)t - ab$ , et

L(t) - t^2 = (t-a)(b-t) \in \intcc{0}{\tfrac{(b-a)^2}{4}} ,

avec le maximum au milieu : $\norm{I_ne_2 - e_2}_\infty = \frac{1}{4n^2} \to 0$ . Korovkin : $I_nf \to f$ uniformément pour toute $f$ continue — approximation polygonale, sans estimation supplémentaire.

18. Étant donnés $f$ et $\varepsilon$ : Weierstrass fournit un polynôme $P = \sum_{j=0}^d a_jx^j$ avec $\norm{f - P}_\infty \leq \frac\varepsilon2$ ; remplacer chaque $a_j$ par un rationnel $b_j$ avec $\abs{a_j - b_j} \leq \frac{\varepsilon}{2(d+1)}$ déplace la norme sup sur $\intcc{0}{1}$ d’au plus $\frac\varepsilon2$ . L’ensemble des polynômes à coefficients rationnels est une réunion dénombrable (sur $d$ ) d’ensembles dénombrables, donc dénombrable, et dense : $C(\intcc{0}{1})$ est séparable.

19. Par linéarité $\int_0^1 fP = 0$ pour tout polynôme $P$ . Choisir des polynômes $P_n \to f$ uniformément (Weierstrass) :

\Bigl|\int_0^1 f^2\Bigr| = \Bigl|\int_0^1 f\,(f - P_n)\Bigr| \leq \norm f_\infty\,\norm{f - P_n}_\infty \longrightarrow 0 ,

donc $\int_0^1 f^2 = 0$ . Si $f(x_0) \neq 0$ , la continuité donne $f^2 \geq c > 0$ sur un sous-intervalle, contredisant l’intégrale nulle : $f = 0$ . Par conséquent deux fonctions continues de mêmes moments $\int f t^n$ coïncident.

20. Avec $p_{n,k}(x) = \binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ et les conventions $p_{n-1,-1} = p_{n-1,n} = 0$ , la règle du produit et $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ , $(n-k)\binom nk = n\binom{n-1}{k}$ donnent

p_{n,k}'(x) = n\bigl(p_{n-1,k-1}(x) - p_{n-1,k}(x)\bigr) .

En sommant contre $f(k/n)$ et en décalant l’indice dans la première somme (transformation d’Abel) :

(B_nf)'(x) = n\sum_{j=0}^{n-1}\Bigl(f\Bigl(\frac{j+1}n\Bigr) - f\Bigl(\frac jn\Bigr)\Bigr)p_{n-1,j}(x) .

21. Par le théorème des accroissements finis, $f(\frac{j+1}n) - f(\frac jn) = \frac1n f'(\xi_j)$ avec $\xi_j \in \intoo{j/n}{(j+1)/n}$ , donc $(B_nf)'(x) = \sum_j f'(\xi_j)\,p_{n-1,j}(x)$ . Le nœud $\frac{j}{n-1}$ appartient aussi à $\intcc{j/n}{(j+1)/n}$ (les deux inégalités se réduisent à $j \leq n-1$ ), donc $\abs{\xi_j - \frac j{n-1}} \leq \frac1n$ et

\bigl|(B_nf)'(x) - B_{n-1}(f')(x)\bigr| \leq \sum_j\Bigl|f'(\xi_j) - f'\Bigl(\frac{j}{n-1}\Bigr)\Bigr| p_{n-1,j}(x) \leq \omega_{f'}\Bigl(\frac1n\Bigr) \longrightarrow 0

uniformément. Puisque $B_{n-1}(f') \to f'$ uniformément (Théorème 10.16 appliqué au $f'$ continu), l’inégalité triangulaire donne $(B_nf)' \to f'$ uniformément. Les polynômes $P_n = B_nf$ convergent alors vers $f$ au sens $C^1$ .

22. Taylor–Lagrange en $x$ : $f(\frac kn) - f(x) = f'(x)(\frac kn - x) + \frac{f''(\xi_k)}2(\frac kn - x)^2$ . En sommant contre $p_k$ , le terme linéaire meurt (question 2) :

\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2p_k = \frac{\norm{f''}_\infty}{2}\cdot\frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{\norm{f''}_\infty}{8n} .

23. Deux dérivations de plus de $(x+y)^n$ donnent les moments factoriels, avec $n_{(j)} = n(n-1)\cdots(n-j+1)$ :

\sum_k k_{(j)}\,p_k = n_{(j)}\,x^j \qquad (j = 3, 4),

et $k^3 = k_{(3)} + 3k_{(2)} + k$ , $k^4 = k_{(4)} + 6k_{(3)} + 7k_{(2)} + k$ les convertissent en moments de puissances :

\sum_k k^3p_k = n_{(3)}x^3 + 3n_{(2)}x^2 + nx, \qquad \sum_k k^4p_k = n_{(4)}x^4 + 6n_{(3)}x^3 + 7n_{(2)}x^2 + nx .

En développant $(k - nx)^4$ et en collectant (un calcul patient mais purement mécanique avec les quatre moments de puissances) :

\sum_k(k-nx)^4p_k = nx(1-x)\bigl(1 + 3(n-2)x(1-x)\bigr) .

Avec $x(1-x) \leq \frac14$ : le membre de droite est au plus $\frac n4\bigl(1 + \frac{3n}4\bigr) = \frac{3n^2}{16} + \frac n4 \leq n^2$ pour $n \geq 1$ .

24. La forme de Peano de Taylor en $x$ définit $\eta(t) = \frac{f(t) - f(x) - f'(x)(t-x) - \frac12f''(x)(t-x)^2} {(t-x)^2}$ pour $t \neq x$ , $\eta(x) = 0$ : par Taylor–Lagrange $\eta(t) = \frac12\bigl(f''(\xi) - f''(x)\bigr)$ pour un certain $\xi$ entre $t$ et $x$ , donc $\abs\eta \leq \norm{f''}_\infty$ et $\eta(t) \to 0$ quand $t \to x$ (continuité de $f''$ ). En sommant le développement contre $p_k$ et en utilisant les questions 2–3 :

n\bigl(B_nf(x) - f(x)\bigr) = \frac{x(1-x)}{2}f''(x) + n\sum_k\eta\Bigl(\frac kn\Bigr)\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2p_k .

Étant donné $\varepsilon$ , choisir $\delta$ avec $\abs\eta \leq \varepsilon$ sur $\abs{t - x}\leq\delta$ . Partie proche : au plus $\varepsilon\,n\cdot\frac{x(1-x)}n \leq \varepsilon$ . Partie lointaine : avec $C = \norm{f''}_\infty$ et la question 23,

n\,C\sum_{\abs{k/n-x}>\delta}\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^2p_k \leq \frac{nC}{\delta^2}\sum_k\Bigl(\frac kn - x\Bigr)^4p_k = \frac{nC}{\delta^2 n^4}\sum_k(k-nx)^4p_k \leq \frac{C}{\delta^2 n} \longrightarrow 0 .

D’où $n(B_nf(x) - f(x)) \to \frac{x(1-x)}2f''(x)$ — le théorème de Voronovskaya. Pour $f = e_2$ c’est exact à tout $n$ (Exercice 10.7) : le plafond en $\frac1n$ est réel.

25. (i) La positivité a transformé des inégalités ponctuelles en inégalités d’opérateurs : elle a donné la borne de norme, Jensen, Tchebychev, et tout Korovkin — la linéarité seule ne prouve rien ici. (ii) La compacité est intervenue par Heine (questions 6, 13), par la bornitude de $f$ , et par la norme même $\norm\cdot_\infty$ qui est finie. (iii) Trois fonctions test suffisent car la positivité réduit tout au contrôle de $L_n$ sur l’unique famille $(s-x)^2 = e_2 - 2xe_1 + x^2e_0$ , dont l’espace engendré est celui de $e_0, e_1, e_2$ . (iv) Bernstein converge à la vitesse honnête $\omega(n^{-1/2})$ pour toute $f$ continue (optimale, question 11) mais sature à $\frac1n$ pour $f$ régulière (question 24) ; le chapitre de Fourier mène le même programme pour les fonctions périodiques avec le noyau de Fejér — un autre opérateur positif aux mêmes vertus et à la même modestie.