Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

8Fonctions d’une variable réelle

Avant que l’analyse ne passe aux fonctions de fonctions (le Chapitre 10), il est utile de connaître le paysage à une variable plus finement que ne l’exigeait la première année : à quel point une fonction monotone peut être discontinue, à quel point une fonction convexe doit être régulière, et quelles propriétés particulières possèdent les dérivées (Darboux). Ces résultats structurels sont courts, tranchants, et chers aux examinateurs.

8.1 Fonctions monotones

Théorème 8.1 (Régularité des fonctions monotones)

Soit $f \colon I \to \R$ croissante sur un intervalle.

En tout point intérieur $a$ , les limites latérales existent :

$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\; f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$

toute discontinuité est un saut.
L’ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.

Démonstration. (1) L’ensemble $\{f(x) : x < a\}$ est non vide, majoré par $f(a)$ : sa borne supérieure $s$ vérifie $f(x) \to s$ quand $x \to a^-$ (étant donné $\varepsilon$ , il existe $f(x_0) > s - \varepsilon$ , et la monotonie piège $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ pour $x \in \intoo{x_0}{a}$ ). Symétriquement à droite.

(2) À chaque discontinuité $a$ on associe l’intervalle ouvert non vide $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (un véritable saut). Pour des discontinuités $a < b$ , $J_a$ et $J_b$ sont disjoints : $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ pour tout $c$ entre les deux. Chaque $J_a$ contient un rationnel ; des discontinuités distinctes reçoivent des rationnels distincts : c’est une injection de l’ensemble des discontinuités dans $\Q$ , qui est dénombrable (la Proposition 1.6). ∎

Exemple 8.2

La borne est optimale : fixons une énumération $(r_n)$ de $\Q \cap \intoo{0}{1}$ et posons $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (une définition par famille sommable, la Définition 7.8). Alors $f$ est croissante sur $\intcc{0}{1}$ et discontinue exactement en tout rationnel de $\intoo{0}{1}$ (saut $2^{-n}$ en $r_n$ ) : une fonction monotone peut être discontinue sur un ensemble dénombrable dense.

Exemple 8.3 (Les sauts ne peuvent l’emporter sur la montée)

Pour $f$ croissante sur $\intcc{a}{b}$ , les sauts disposent d’un budget : si $a < c_1 < \dots < c_m < b$ sont des discontinuités de sauts $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$ , alors en choisissant des points intercalés $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ et en utilisant la monotonie sur chaque morceau,

\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :

la montée totale majore la somme des sauts. Conséquence : pour chaque $k$ , au plus $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ discontinuités ont un saut $\geq \frac1k$ — un raffinement quantitatif du Théorème 8.1 (2), puisque l’ensemble des discontinuités est la réunion dénombrable sur $k$ de ces ensembles finis. Sur la fonction à sauts rationnels ci-dessus, le budget est dépensé exactement : les sauts $2^{-n}$ ont pour somme $1 = f(1^+) - f(0^-)$ au sens étendu évident. Les fonctions monotones peuvent sauter de manière dense, mais seulement dans les limites d’une allocation stricte.

8.2 Fonctions convexes

Lemme 8.4 (Inégalité des pentes)

Soit $f$ convexe sur $I$ et $x < y < z$ dans $I$ . Alors

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :

les pentes des cordes croissent en chacune des deux extrémités.

Démonstration. Écrivons $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$ : une combinaison convexe, puisque les deux coefficients sont positifs et de somme $1$ . La convexité donne

f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).

Pour l’inégalité de gauche, retranchons $f(x)$ des deux membres, en utilisant $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$ :

f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

et divisons par $y - x > 0$ . Pour l’inégalité de droite, retranchons plutôt de $f(z)$ :

f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) - \frac{y-x}{z-x}f(z) = \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

et divisons par $z - y > 0$ . Les deux étapes affichées sont la même identité barycentrique lue par rapport à une extrémité différente. ∎

Théorème 8.5 (Régularité des fonctions convexes)

Soit $f$ convexe sur un intervalle $I$ .

En tout point intérieur, $f$ possède des dérivées latérales finies $f'_g \leq f'_d$ ; toutes deux sont des fonctions croissantes du point ; en particulier $f$ est continue sur l’intérieur de $I$ (mais peut-être pas aux extrémités).
$f$ est au-dessus de chaque droite d’appui : pour $a$ intérieur et tout $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$ ,

$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$
(Jensen, pondérée) Pour $x_i \in I$ et des poids $\lambda_i \geq 0$ , $\sum\lambda_i = 1$ :

$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) .$

Démonstration. (1) Fixons $a$ intérieur. D’après le Lemme 8.4, la pente $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ est une fonction croissante de $h$ (des deux côtés, et $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ pour $h_- < 0 < h_+$ ). Donc $\tau$ admet une limite finie quand $h \to 0^-$ (croissante, majorée par n’importe quelle pente à droite) — c’est $f'_g(a)$ — et quand $h \to 0^+$ ( $f'_d(a)$ ), avec $f'_g(a) \leq f'_d(a)$ . Des dérivées latérales finies forcent la continuité en $a$ . Monotonie en le point : pour $a < b$ intérieurs, $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$ , de nouveau par l’inégalité des pentes.

(2) Pour $x > a$ : $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$ ; pour $x < a$ : $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$ . Les deux se réarrangent en l’assertion.

(3) Récurrence sur le nombre de points exactement comme dans le volume de première année (le cas à deux points est la définition) — ou d’un seul coup : appliquons (2) en $a = \sum\lambda_i x_i$ et moyennons les inégalités de droite d’appui aux points $x_i$ avec les poids $\lambda_i$ : $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$ . ∎

La convexité en une image : entre -1.5 et 2, le graphe de f(x) = x2 reste en dessous de sa corde (la définition) et au-dessus de la droite d’appui en x = 0.5 (le (2)) — toute inégalité du problème du week-end de ce chapitre est un réarrangement de ces deux positions. — La convexité en une image : entre $-1.5$ et $2$ , le graphe de $f(x) = x^2$ reste en dessous de sa corde (la définition) et au-dessus de la droite d’appui en $x = 0.5$ (le Théorème 8.5 (2)) — toute inégalité du problème du week-end de ce chapitre est un réarrangement de ces deux positions.

Exemple 8.6 (Discontinuité au bord)

Sur $\intcc{0}{1}$ , la fonction $f(0) = 1$ , $f(x) = 0$ pour $x > 0$ est convexe mais discontinue à l’extrémité $0$ : l’assertion (1) est optimale.

Exemple 8.7 (Coins et le faisceau de droites d’appui)

Pour $f(x) = \abs x$ en $a = 0$ : les dérivées latérales sont $f'_g(0) = -1$ et $f'_d(0) = +1$ , et le Théorème 8.5 (2) fournit une droite d’appui pour chaque pente $m \in \intcc{-1}{1}$ :

\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),

chacune étant une égalité exactement sur une demi-droite ou en $0$ . Une fonction convexe est dérivable en $a$ précisément lorsque le faisceau se réduit à une seule droite ( $f'_g(a) = f'_d(a)$ ) ; les coins portent tout un intervalle de tangentes. Ce faisceau est le germe en dimension finie du sous-différentiel de l’optimisation convexe — et la raison pour laquelle les fonctions convexes sont si robustes : même là où la dérivée fait défaut, la géométrie d’appui subsiste, et c’est tout ce dont s’est servie la démonstration de Jensen.

Exemple 8.8 (Inégalité des moyennes de puissances)

Pour $0 < p < q$ et des $x_i$ positifs de poids $\lambda_i$ de somme $1$ , en appliquant Jensen à la fonction convexe $t \mapsto t^{q/p}$ aux points $x_i^p$ :

\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :

les moyennes de puissances croissent avec l’exposant — englobant l’inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne quadratique, et, à la limite $p \to 0$ (l’Exercice 8.6), de nouveau l’inégalité arithmético-géométrique.

La moyenne de puissance M_p des valeurs 1, 2, 4 (poids égaux), en fonction de l’exposant p : croissante de = 1 (quand p -∈fty) à = 4 (quand p +∈fty), en passant par les moyennes harmonique (p = -1), géométrique (le trou en p = 0, valeur 2), arithmétique (p = 1) et quadratique (p = 2). Toute la chaîne des inégalités classiques entre moyennes est une seule courbe croissante — démontrée dans le problème du week-end de ce chapitre, Partie III. — La moyenne de puissance $M_p$ des valeurs $1, 2, 4$ (poids égaux), en fonction de l’exposant $p$ : croissante de $\min = 1$ (quand $p \to -\infty$ ) à $\max = 4$ (quand $p \to +\infty$ ), en passant par les moyennes harmonique ( $p = -1$ ), géométrique (le trou en $p = 0$ , valeur $2$ ), arithmétique ( $p = 1$ ) et quadratique ( $p = 2$ ). Toute la chaîne des inégalités classiques entre moyennes est une seule courbe croissante — démontrée dans le problème du week-end de ce chapitre, Partie III.

Exemple 8.9 (Entropie maximale)

Pour un vecteur de probabilité $(p_1, \dots, p_n)$ (positif, de somme $1$ ), l’entropie $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ vérifie

H(p) \leq \ln n , \qquad\text{avec égalité si et seulement si } p_i = \frac1n \text{ pour tout } i .

Démonstration par Jensen (le Théorème 8.5 (3)) appliqué à la fonction concave $\ln$ avec les poids $p_i$ aux points $\frac{1}{p_i}$ :

H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i} \leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,

l’égalité forçant tous les points $\frac1{p_i}$ à être égaux (concavité stricte), c’est-à-dire $p$ uniforme. De façon équivalente, c’est l’Exercice 8.7 avec $q$ uniforme. L’incertitude est maximisée par l’ignorance uniformément répartie — le principe variationnel derrière le codage, la mécanique statistique, et les apparitions de l’entropie du Chapitre 22.

Méthode 8.10 (Trouver la fonction convexe derrière une inégalité)

La plupart des inégalités classiques sont du Jensen déguisé ; pour le déshabiller : (1) normaliser pour qu’apparaisse une moyenne pondérée (poids positifs, de somme $1$ — diviser par une masse totale si nécessaire) ; (2) regarder quelle fonction est appliquée à l’intérieur plutôt qu’à l’extérieur de la moyenne : l’assertion « $f(\text{moyenne}) \leq$ moyenne de $f$ » nomme la fonction convexe $f$ ; (3) certifier la convexité par la dérivée seconde, et traiter l’égalité par la stricte convexité ; (4) si aucune moyenne n’est visible, prendre d’abord des logarithmes — produits et puissances deviennent des moyennes, et la concavité de $\ln$ porte l’inégalité arithmético-géométrique, Young et leurs parentes (le problème du week-end de ce chapitre déroule les étapes 1–4 sur chacune d’elles). Si même les logarithmes ne révèlent aucune moyenne, essayer de lire l’inégalité comme une monotonie des pentes (le Lemme 8.4) — les énoncés de sur-additivité comme l’Exercice 8.9 vivent là.

Remarque 8.11 (Pièges classiques)

(i) La convexité n’est pas préservée par produit : $x$ et $(x - 1)^2$ sont convexes sur $\intcc{0}{2}$ , mais leur produit $x(x-1)^2$ a pour dérivée seconde $6x - 4$ , négative sur $\intco{0}{\frac23}$ — non convexe ; la convexité n’est pas non plus préservée par composition sans monotonie (l’Exercice 8.10). (ii) Jensen se renverse pour les fonctions concaves : la moitié des inégalités classiques sont la version concave en $\ln$ ; appliquer la forme convexe à $\ln$ est le moyen le plus rapide de démontrer l’inégalité arithmético-géométrique à l’envers. (iii) La convexité au milieu seule n’implique pas la convexité — il faut la continuité (ou seulement le caractère borné) (l’Exercice 8.8) ; les contre-exemples pathologiques vivent au-delà des axiomes de ce livre. (iv) Une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue, et même localement lipschitzienne (l’Exercice 8.12) ; aux extrémités, rien n’est gratuit. (v) Les dérivées obéissent à Darboux mais ne sont pas nécessairement continues (l’Exemple 8.15) : « $f'$ n’a pas de saut » ne signifie jamais « $f'$ est continue ».

8.3 La propriété de Darboux

Théorème 8.12 (Darboux)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Alors $f'$ prend toute valeur comprise entre deux quelconques de ses valeurs — bien que $f'$ ne soit pas nécessairement continue.

Démonstration. Soient $a < b$ dans $I$ et $v$ strictement compris entre $f'(a)$ et $f'(b)$ , disons $f'(a) < v < f'(b)$ . La fonction $g(x) = f(x) - vx$ est dérivable avec $g'(a) < 0 < g'(b)$ : son minimum sur $\intcc{a}{b}$ (atteint : continuité sur un compact) n’est pas en $a$ (juste après $a$ , $g$ décroît en dessous de $g(a)$ ) ni en $b$ (juste avant $b$ , $g$ est en dessous de $g(b)$ ) : il est intérieur, et là $g'(c) = 0$ , c’est-à-dire $f'(c) = v$ . (C’était un exercice étoilé de première année ; sa place dans la théorie est ici.) ∎

Exemple 8.13 (Quelles fonctions sont des dérivées ?)

Le théorème de Darboux est une machine à non-existence. La fonction partie entière $\lfloor x\rfloor$ n’est la dérivée d’aucune fonction sur $\R$ : elle prend les valeurs $0$ et $1$ mais saute $\frac12$ sur $\intcc{0}{1}$ , ce que le Théorème 8.12 interdit aux dérivées. Le même verdict frappe toute fonction ayant un saut — signe, Heaviside, toutes les fonctions en escalier — si innocentes qu’elles paraissent ; leurs « primitives » ( $\abs x$ pour le signe, etc.) n’existent qu’en dehors du saut et s’y nouent en un coin. Par contraste : la $f'$ sauvagement discontinue de l’Exemple 8.15 est une dérivée — sa discontinuité est une oscillation, que Darboux tolère. La frontière entre les deux comportements est exactement le corollaire d’absence de saut ci-dessous.

Corollaire 8.14

Une dérivée n’a pas de discontinuité de saut : si $f'(a^-)$ et $f'(a^+)$ existent, elles valent $f'(a)$ . Les discontinuités d’une dérivée sont toujours de type oscillation (la dérivée de $x^2\sin\frac1x$ en $0$ , volume de première année).

Démonstration. Si $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ existe et diffère de $f'(a)$ , les valeurs strictement comprises entre les deux seraient sautées par $f'$ sur un voisinage à droite — contredisant Darboux sur les intervalles $\intcc{a}{a + h}$ . (Autrement : le théorème des accroissements finis force $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$ , le taux d’accroissement étant une valeur de $f'$ en un point intermédiaire.) De même à gauche. ∎

Exemple 8.15 (La dérivée oscillante canonique)

Soit $f(x) = x^2\sin\frac1x$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$ . En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , donc $f'(0) = 0$ existe. En dehors de $0$ ,

f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,

dont le premier terme tend vers $0$ tandis que $\cos\frac1x$ oscille dans $\intcc{-1}{1}$ sur tout intervalle $\intoo{0}{\delta}$ : la limite $f'(0^+)$ n’existe pas. Ainsi $f'$ est définie partout mais discontinue en $0$ — et, exactement comme le prédit le Corollaire 8.14, la discontinuité est une oscillation, non un saut : sur chaque $\intoo{0}{\delta}$ , $f'$ balaie encore tout un intervalle autour de $0$ . Les dérivées peuvent être sauvages, mais seulement de la manière compatible avec Darboux.

Remarque 8.16 (Où ce chapitre est utilisé)

La convexité est le moteur de l’industrie des inégalités : le problème du week-end de ce chapitre en fabrique Young, Hölder, Minkowski et la chaîne des moyennes de puissances, que la théorie des normes du Chapitre 5 et les estimations intégrales du Chapitre 9 consomment ; Jensen reparaît en probabilité sous la forme des inégalités de moments du Chapitre 22. La régularité des fonctions monotones revient au Chapitre 9 (les fonctions monotones sont intégrables) et, dans le volume de troisième année, sous la forme de la dérivabilité presque partout des fonctions monotones — où « un ensemble dénombrable de sauts » devient le premier pas de la théorie de Lebesgue.

8.4 Exercices

Exercice 8.1 ★

Déterminer les ensembles de discontinuité et les tailles des sauts : $\lfloor x \rfloor$ ; $\;x - \lfloor x\rfloor$ ; $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ ; la fonction de l’exemple suivant le Théorème 8.1 restreinte aux rationnels dyadiques $r_n$ .

Solution

Solution de Exercice 8.1.

$\lfloor x\rfloor$ : sauts de taille $1$ en tout entier. $x - \lfloor x\rfloor$ : sauts de taille $-1$ aux entiers (limite à gauche $1$ , valeur $0$ ). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ : en un entier $n$ , limite à gauche $(n - 1) + 1 = n$ et valeur $n$ : continue partout (la racine carrée répare le saut), bien que non dérivable aux entiers. La fonction à sauts rationnels : en restreignant la construction à une énumération des dyadiques, elle saute de $2^{-n}$ exactement au $n$ -ième rationnel dyadique et est continue ailleurs.

Exercice 8.2 ★

Démontrer qu’une fonction croissante $f \colon I \to \R$ ayant la propriété des valeurs intermédiaires (l’image de tout sous-intervalle est un intervalle) est continue.

Solution

Solution de Exercice 8.2.

Supposons que $f$ croissante ait une discontinuité en un point intérieur $a$ : alors $f(a^-) < f(a^+)$ (le Théorème 8.1) et l’image de $I$ évite l’intervalle ouvert non vide $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ sauf peut-être la seule valeur $f(a)$ : l’image de tout sous-intervalle contenant $a$ dans son intérieur n’est pas un intervalle (il a un trou d’au moins un côté de $f(a)$ ). Cela contredit la propriété des valeurs intermédiaires. Les discontinuités aux extrémités sont exclues de la même manière avec des trous unilatéraux.

Exercice 8.3 ★

Lesquelles des fonctions suivantes sont convexes sur leur domaine ? $x \mapsto x\ln x$ ( $x > 0$ ) ; $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$ ; $\;x \mapsto \sqrt{1 + x^2}$ ; $\;x \mapsto x^3$ .

Solution

Solution de Exercice 8.3.

$x\ln x$ : dérivée seconde $\frac1x > 0$ : convexe. $\ln(1 + \eu^x)$ : dérivée $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 + \eu^x}$ , croissante : convexe. $\sqrt{1 + x^2}$ : dérivée seconde $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$ : convexe. $x^3$ : non convexe sur $\R$ ( $f'' = 6x$ change de signe) ; convexe seulement sur $\R_+$ .

Exercice 8.4 ★★

Soit $f$ convexe sur $\R$ et majorée. Démontrer que $f$ est constante. (Si $f(a) \neq f(b)$ , l’inégalité des pentes propage la pente de corde non nulle : au-delà du point de plus grande valeur, $f$ croît au moins linéairement — ce qui contredit le caractère borné. Traiter les deux signes de la pente.) En déduire qu’une fonction convexe sur $\R$ admettant une asymptote aux deux bouts est affine.

Solution

Solution de Exercice 8.4.

Supposons $f(a) \neq f(b)$ , disons $f(b) > f(a)$ avec $a < b$ (le cas $f(b) < f(a)$ est symétrique, en regardant à gauche). Pour $x > b$ , l’inégalité des pentes (le Lemme 8.4) sur $a < b < x$ donne

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,

ce qui contredit le caractère majoré. Donc $f$ est constante.

Asymptotes : si $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ en $+\infty$ et $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ en $-\infty$ , la fonction convexe $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ est majorée au voisinage de $+\infty$ ; la convexité plus une asymptote en $-\infty$ (qui force $\alpha' \leq \alpha$ puis $\alpha' = \alpha$ en comparant les pentes en $\mp\infty$ : les pentes d’une fonction convexe croissent) rend $g$ majorée sur tout $\R$ , donc constante $= 0$ à la limite : $f$ est affine.

Exercice 8.5 ★★

Soit $f$ dérivable sur $I$ avec $f'$ monotone. Démontrer que $f'$ est continue (combiner le Théorème 8.1 et le Corollaire 8.14).

Solution

Solution de Exercice 8.5.

$f'$ est monotone, donc par le Théorème 8.1 ses seules discontinuités possibles sont des sauts, avec des limites latérales existant partout. Par le Corollaire 8.14, une dérivée n’a pas de discontinuité de saut. Donc $f'$ n’a aucune discontinuité : continue.

Exercice 8.6 ★★

(Moyenne géométrique comme limite) Pour des $x_i$ positifs et des poids $\lambda_i$ de somme $1$ , démontrer

\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} = \prod_i x_i^{\lambda_i} ,

via $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$ , et en déduire l’inégalité arithmético-géométrique pondérée à partir de l’Exemple 8.8.

Solution

Solution de Exercice 8.6.

Prenons les logarithmes :

\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr) = \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p^2)\Bigr) = \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p) \xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,

en utilisant $\sum\lambda_i = 1$ et $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ . En exponentiant on obtient la moyenne géométrique. Or pour tout $p \in \intoo{0}{1}$ , l’inégalité des moyennes de puissances (l’Exemple 8.8, exposants $p < 1$ ) donne

\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;

en faisant $p \to 0^+$ à gauche on obtient $\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$ : l’inégalité arithmético-géométrique pondérée.

Exercice 8.7 ★★

(Inégalité d’entropie) À l’aide de la stricte convexité de $t \mapsto t\ln t$ , démontrer que pour des $p_i, q_i$ positifs avec $\sum p_i = \sum q_i = 1$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,

avec égalité si et seulement si $p = q$ . (Écrire le membre de gauche sous la forme $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ avec $\varphi(t) = t\ln t$ et appliquer Jensen avec les poids $q_i$ .)

Solution

Solution de Exercice 8.7.

Avec $\varphi(t) = t\ln t$ (convexe : $\varphi'' = \frac1t > 0$ ) et les poids $q_i$ aux points $t_i = \frac{p_i}{q_i}$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} = \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr) \;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr) = \varphi(1) = 0 ,

par Jensen (le Théorème 8.5 (3)). L’égalité dans Jensen pour une fonction strictement convexe force tous les points $t_i$ à coïncider : $\frac{p_i}{q_i}$ constant, et en sommant, la constante est $1$ : $p = q$ . (Cette quantité — la divergence de Kullback–Leibler — revient dans le monde du Chapitre 22.)

Exercice 8.8 ★★★

(Convexité au milieu) $f \colon I \to \R$ est convexe au milieu lorsque $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ toujours. Démontrer qu’une fonction continue convexe au milieu est convexe. (Établir l’inégalité de convexité pour les poids dyadiques $\frac{k}{2^m}$ par récurrence sur $m$ , puis passer à la limite en utilisant la densité et la continuité.)

Solution

Solution de Exercice 8.8.

Poids dyadiques. Par récurrence sur $m$ : le cas $m = 1$ est l’hypothèse. Pour un poids $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ ( $k$ impair), écrivons $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ avec $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$ , tous deux de dénominateur $2^m$ après simplification ; alors

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) = f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr) \leq \frac{f(u) + f(v)}{2} \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),

où $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ et $v = \lambda_2 x + (1-\lambda_2)y$ , en utilisant la convexité au milieu puis l’hypothèse de récurrence sur $u, v$ .

Passage à la limite. Pour un $\lambda \in \intcc{0}{1}$ quelconque, prenons des dyadiques $\lambda_n \to \lambda$ : la continuité de $f$ et des applications affines passe l’inégalité $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) + (1-\lambda_n)f(y)$ à la limite : $f$ est convexe.

Exercice 8.9 ★★★

Soit $f$ convexe sur $\intco{0}{+\infty}$ avec $f(0) \leq 0$ . Démontrer que $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ est croissante sur $\intoo{0}{+\infty}$ , et en déduire que pour $f$ convexe avec $f(0) = 0$ : $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ pour $x, y \geq 0$ (sur-additivité).

Solution

Solution de Exercice 8.9.

Pour $0 < x < y$ : l’inégalité des pentes (le Lemme 8.4) aux points $0 < x < y$ donne

\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y}, \qquad\text{c.-à-d.}\qquad \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} + f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).

Comme $f(0) \leq 0$ et $\frac1x - \frac1y > 0$ , le dernier terme est $\leq 0$ : $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$ . Donc $x \mapsto \frac{f(x)}x$ croît.

Sur-additivité pour $f(0) = 0$ : pour $x, y > 0$ (les cas avec une variable nulle sont triviaux),

f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y}, \qquad f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},

par la monotonie qu’on vient de démontrer ; en additionnant on obtient $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$ .

Exercice 8.10 ★

Soit $f$ convexe sur $I$ et $g$ convexe croissante sur un intervalle contenant $f(I)$ . Démontrer que $g \circ f$ est convexe, et montrer par un contre-exemple que la monotonie de $g$ ne peut être abandonnée.

Solution

Solution de Exercice 8.10.

Pour $x, y \in I$ et $\lambda \in \intcc01$ : convexité de $f$ , puis monotonie de $g$ , puis convexité de $g$ :

g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr) \leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr) \leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).

Contre-exemple sans monotonie : $g(t) = -t$ est convexe (affine) mais décroissante, $f(x) = x^2$ est convexe, et $g \circ f = -x^2$ est strictement concave.

Exercice 8.11 ★★

(Hermite–Hadamard) Soit $f$ convexe et continue sur $\intcc{a}{b}$ . Démontrer

f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .

(Gauche : intégrer une droite d’appui au milieu. Droite : majorer $f$ par la corde.)

Solution

Solution de Exercice 8.11.

Inégalité de gauche : posons $m = \frac{a+b}2$ et prenons une droite d’appui en $m$ (le Théorème 8.5 (2)) : $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ pour tout $t \in \intcc ab$ . En intégrant sur $\intcc{a}{b}$ : le terme linéaire s’intègre en $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ (symétrie autour de $m$ ), donc $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$ .

Inégalité de droite : sur $\intcc ab$ , la convexité majore $f$ par sa corde : $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$ . En intégrant : $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$ . Diviser par $b - a$ .

Exercice 8.12 ★★★

Démontrer qu’une fonction convexe sur un intervalle ouvert $I$ est localement lipschitzienne : pour tout segment $\intcc{a}{b} \subseteq I$ et toute marge $\delta > 0$ avec $\intcc{a - \delta}{b + \delta} \subseteq I$ , la restriction de $f$ à $\intcc{a}{b}$ est lipschitzienne, de constante $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|, \bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ (piéger toute pente de corde entre ces deux par l’inégalité des pentes).

Solution

Solution de Exercice 8.12.

Soit $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$ , tous dans $I$ . Deux applications de l’inégalité des pentes (le Lemme 8.4), d’abord à $a - \delta < a \leq x < y$ , puis à $x < y \leq b < b + \delta$ :

\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}

(les pentes des cordes croissent quand les deux extrémités se déplacent vers la droite). Ainsi toute pente de corde dans $\intcc ab$ est piégée entre deux nombres fixes, et

\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x}, \qquad K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|, \Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):

$f$ est lipschitzienne sur $\intcc ab$ . Tout point de l’ouvert $I$ possède un tel segment-avec-marge autour de lui : localement lipschitzienne, donc (de nouveau) continue sur $I$ .

8.5 Problème : la boîte à outils de la convexité

Une seule définition — la corde au-dessus du graphe — engendre toute la boîte à outils des inégalités classiques. Ce problème du week-end la construit dans l’ordre logique : critères de convexité et Jensen strict, puis Young, Hölder et Minkowski (les actes de naissance des $p$ -normes), la chaîne complète des moyennes de puissances du minimum au maximum, et deux dividendes de couronne — l’inégalité de Carleman, et Hölder lu comme une dualité. Tout est démontré ; rien n’est importé.

Problème 8.1

Problème du week-end — Young, Hölder, Minkowski, et la chaîne des moyennes de puissances

Partout, $p, q > 1$ sont des exposants conjugués : $\frac1p + \frac1q = 1$ ; les vecteurs sont $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ ; les poids $\lambda_i > 0$ vérifient $\sum_i\lambda_i = 1$ .

Partie I — Critères et Jensen strict.

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Démontrer que $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante (un sens en passant à la limite dans l’inégalité des pentes (le Lemme 8.4) ; l’autre par le théorème des accroissements finis). En déduire le critère $C^2$ $f'' \geq 0$ .
Supposons $f''> 0$ sur $I$ . Démontrer que $f$ est strictement convexe (inégalité stricte pour $x \neq y$ et $\lambda \in \intoo01$ ), et qu’une fonction strictement convexe vérifie l’inégalité de Jensen (le Théorème 8.5 (3)) avec égalité seulement lorsque tous les $x_i$ coïncident.
Certifier les matières premières de la boîte à outils : $-\ln$ est strictement convexe sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t \mapsto t^r$ y est strictement convexe pour $r > 1$ et strictement concave pour $0 < r < 1$ ; $\exp$ est strictement convexe sur $\R$ .
(Inégalité de Young) Pour $a, b \geq 0$ , démontrer

$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$

avec égalité si et seulement si $a^p = b^q$ (appliquer la concavité de $\ln$ aux deux points $a^p, b^q$ avec les poids $\frac1p, \frac1q$ ).
Redémontrer l’inégalité arithmético-géométrique pondérée en une ligne à partir de la concavité de $\ln$ :

$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$

avec le cas d’égalité ; comparer avec la voie par limite de l’Exercice 8.6.

Partie II — Hölder et Minkowski. Notons $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ et $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$ .

(Hölder) Démontrer

$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$

avec égalité si et seulement si les vecteurs $(\abs{a_i}^p)$ et $(\abs{b_i}^q)$ sont proportionnels (normaliser $\norm a_p = \norm b_q = 1$ et appliquer Young terme à terme).
Identifier les cas particuliers : $p = q = 2$ (Cauchy–Schwarz), et le couple extrême $(p, q) = (1, \infty)$ : énoncer et démontrer $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$ .
(Minkowski) Pour $p \geq 1$ , démontrer

$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$

(écrire $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ et appliquer Hölder à chaque produit). Conclure : $\norm\cdot_p$ est une norme sur $\R^n$ pour tout $p \in \intco{1}{+\infty}$ , complétant le tableau du Chapitre 5.
Versions intégrales : pour $f, g$ continues sur $\intcc{a}{b}$ , énoncer et démontrer Hölder et Minkowski pour $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ (mêmes démonstrations, avec la stricte positivité de l’intégrale pour la discussion de l’égalité).
Démontrer la monotonie $\norm a_q \leq \norm a_p$ pour $1 \leq p \leq q$ , la limite $\norm a_p \to \norm a_\infty$ quand $p \to \infty$ , et la comparaison inverse avec la constante optimale :

$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$

(Hölder contre le vecteur constant). Identifier les vecteurs réalisant chaque égalité.
(Interpolation) Pour $1 \leq p < r < q$ et $\theta \in \intoo01$ avec $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$ , démontrer

$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$

(appliquer Hölder avec les exposants $\frac{p}{\theta r}$ et $\frac{q}{(1-\theta)r}$ à $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ ).

Partie III — La chaîne des moyennes de puissances, complète. Pour $p \neq 0$ posons $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ ( $x_i > 0$ ), et $M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$ .

Démontrer que $p \mapsto M_p$ est croissante sur tout $\R^*$ : traiter $p < q < 0$ par l’identité réciproque $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ , et faire le pont à travers $0$ en montrant $M_p \leq M_0 \leq M_q$ pour $p < 0 < q$ (appliquer la concavité de $\ln$ à $x_i^q$ , et l’inégalité renversée pour les exposants négatifs).
Démontrer les limites $M_p \to \max_i x_i$ quand $p \to +\infty$ et $M_p \to \min_i x_i$ quand $p \to -\infty$ .
Écrire la chaîne $\min \leq \mathrm{HM} \leq \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq \max$ pour des poids égaux, et démontrer la conséquence classique : pour des $a_1, \dots, a_n$ positifs,

$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$
Relier les moyennes aux normes : pour des poids égaux $\lambda_i = \frac1n$ , $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . Concilier les deux monotonies — les moyennes croissent avec $p$ tandis que les normes décroissent (question 10) — en une phrase sur le facteur $n^{-1/p}$ .
Déterminer les cas d’égalité tout au long de la chaîne de la question 14 (poids positifs) : l’égalité en un point quelconque force tous les $x_i$ égaux — la stricte convexité paie.

Partie IV — Dividendes.

(Young avec un réglage) Pour $a, b \geq 0$ et $\varepsilon > 0$ , démontrer

$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$

et le cas de travail $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ : l’astuce d’absorption utilisée dans toute l’analyse.
(Vers Carleman) Soit $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ . Démontrer l’identité télescopique $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$ , et en déduire, par l’inégalité arithmético-géométrique appliquée aux nombres $c_ka_k$ ,

$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$
(Inégalité de Carleman) Sommer sur $n$ , échanger l’ordre de sommation (familles sommables positives, le Théorème 7.14), et utiliser $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ et $c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ pour conclure : pour toute série $\sum a_k$ convergente à termes positifs,

$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$
Pour $f$ continue et positive sur $\intcc{0}{1}$ , démontrer

$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$

avec égalité si et seulement si $f$ est constante (Cauchy–Schwarz sur $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$ ).
(Géométrie des boules) À l’aide du cas d’égalité de Minkowski, montrer que pour $1 < p < \infty$ la sphère unité de $\norm\cdot_p$ ne contient aucun segment (la norme est strictement convexe au sens du Problème 5.1), tandis que pour $p = 1$ et $p = \infty$ elle en contient : exhiber les morceaux plats.

Partie V — Dualité et synthèse.

(Hölder comme dualité) Démontrer que pour tout $a \in \R^n$ ,

$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$

en exhibant explicitement un $b$ maximisant. (La $p$ -norme est la duale de la $q$ -norme — le germe en dimension finie de la dualité $L^p$ .)
(Moments) Soit $X$ une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs positives $x_i$ avec les probabilités $\lambda_i$ . Reformuler la question 12 ainsi : $r \mapsto \E[X^r]^{1/r}$ est croissante — l’inégalité des moments (Lyapunov), à réutiliser au Chapitre 22.
Résoudre avec des outils nommés, en deux lignes chacun : (i) pour $a, b, c$ positifs : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) pour $x_1, \dots, x_n$ positifs : $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ .
(Synthèse) Tracer la généalogie en cinq phrases : de la définition par corde au lemme des pentes ; des pentes aux droites d’appui à Jensen ; de la concavité de $\ln$ à Young à Hölder à Minkowski aux $p$ -normes ; de Jensen à la chaîne des moyennes de puissances aux moments ; de l’inégalité arithmético-géométrique à Carleman. Nommer les sommets (Hölder–Minkowski ; Carleman), et dire où se dirige la boîte à outils : les espaces $L^p$ du volume de troisième année, dont les axiomes sont exactement les questions 6 et 8.

Solution

Solution de Problème 8.1.

1. Convexe $\Rightarrow$ $f'$ croissante : pour $a < b$ , l’inégalité des pentes donne, pour $h > 0$ petit, $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$ ; en faisant $h \to 0$ : $f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)$ . Réciproquement, si $f'$ croît et $x < y < z$ : le théorème des accroissements finis donne $c_1 \in \intoo{x}{y}$ , $c_2 \in \intoo yz$ avec

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(z) - f(y)}{z - y},

et cette inégalité des pentes à trois points, appliquée avec $y = \lambda x + (1 - \lambda)z$ , se réarrange en l’inégalité de convexité. Pour le cas $C^2$ : $f'' \geq 0$ si et seulement si $f'$ croît.

2. Si $f'' > 0$ , $f'$ est strictement croissante, et le calcul par accroissements finis ci-dessus donne une inégalité stricte entre les deux pentes de corde : stricte convexité. Appui strict : en un point intérieur $a$ de pente d’appui $m$ , si $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ pour un $x_0 \neq a$ , alors sur le segment de $a$ à $x_0$ la droite d’appui et la corde coïncident, et la stricte convexité au milieu donne $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$ , ce qui contredit l’inégalité d’appui. Donc $f(x) > f(a) + m(x - a)$ pour tout $x \neq a$ . Jensen strict : avec $a = \sum\lambda_ix_i$ , en moyennant les inégalités d’appui on obtient $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$ , avec égalité si et seulement si chaque terme est une égalité, c’est-à-dire si et seulement si tout $x_i = a$ .

3. $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$ ; $(t^r)'' = r(r - 1)t^{r-2}$ , positive pour $r > 1$ , négative pour $0 < r < 1$ ; $\exp'' = \exp > 0$ . Toutes strictes par la question 2.

4. Les cas $ab = 0$ sont triviaux. Pour $a, b > 0$ , concavité de $\ln$ aux points $a^p, b^q$ avec les poids $\frac1p, \frac1q$ :

\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq \frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),

et $\ln$ croît : $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ . Égalité si et seulement si les deux points coïncident (concavité stricte) : $a^p = b^q$ .

5. Concavité de $\ln$ avec les poids $\lambda_i$ : $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i = \ln\prod x_i^{\lambda_i}$ ; exponentier. Égalité si et seulement si tous les $x_i$ égaux (question 2). La voie de l’Exercice 8.6 obtenait la même inégalité comme limite de moyennes de puissances ; ici c’est une seule application de Jensen — la boîte à outils a de la redondance intégrée.

6. Si $a = 0$ ou $b = 0$ l’inégalité est triviale. Normalisons : en remplaçant $a$ par $a/\norm a_p$ et $b$ par $b/\norm b_q$ , on peut supposer $\norm a_p = \norm b_q = 1$ et il faut montrer $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$ . Young terme à terme :

\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq \sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} + \frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .

Égalité si et seulement si chaque inégalité de Young est serrée : $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ pour tout $i$ — après avoir défait la normalisation, $(\abs{a_i}^p)$ proportionnel à $(\abs{b_i}^q)$ .

7. $p = q = 2$ est Cauchy–Schwarz avec le même cas d’égalité (proportionnalité). Cas extrême : $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} = \norm a_1\norm b_\infty$ , immédiat terme à terme.

8. Pour $p = 1$ c’est l’inégalité triangulaire terme à terme. Pour $p > 1$ , avec $q$ conjugué :

\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p \leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} + \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},

et Hölder sur chaque somme, en notant $(p - 1)q = p$ :

\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p = \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,

de même avec $b$ . Donc $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a + b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$ ; si $a + b \neq 0$ , diviser par $\norm{a+b}_p^{p/q}$ et utiliser $p - \frac pq = 1$ . Avec l’homogénéité et la séparation (claires), $\norm\cdot_p$ est une norme sur $\R^n$ .

9. Pour $f, g$ continues sur $\intcc ab$ : Hölder

\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}

par la même normalisation plus Young ponctuel, intégrée ; et Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ par le même découpage, Hölder sur chaque morceau. La séparation de la norme utilise la stricte positivité : un $\abs f^p$ continu d’intégrale nulle s’annule identiquement (volume de première année).

10. Monotonie : on peut supposer $\norm a_p = 1$ ; alors chaque $\abs{a_i} \leq 1$ , donc $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ et $\norm a_q^q \leq 1$ : $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$ . L’égalité exige $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ pour tout $i$ , c’est-à-dire chaque $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$ ; avec $\sum\abs{a_i}^p = 1$ cela ne laisse exactement qu’une coordonnée de module $1$ : égalité si et seulement si $a$ a au plus une coordonnée non nulle. Limite : $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$ , et $n^{1/p} \to 1$ . Comparaison inverse : Hölder avec les exposants $\frac qp$ et son conjugué $\frac{q}{q-p}$ , appliqué à $\abs{a_i}^p\cdot 1$ :

\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q} = \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},

d’où $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$ , avec égalité si et seulement si tous les $\abs{a_i}$ sont égaux (le cas d’égalité de Hölder contre le vecteur constant).

11. Écrivons $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ et appliquons Hölder avec les exposants conjugués $\frac{p}{\theta r}$ et $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (conjugués précisément parce que $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$ ) :

\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p} \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q} = \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .

Prendre les racines $r$ -ièmes : les $p$ -normes sont log-convexes en $\frac1p$ .

12. Les deux négatifs : si $p < q < 0$ alors $0 < -q < -p$ , et $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ pour les exposants positifs (cas du cours, l’Exemple 8.8) appliqué à $y = (1/x_i)$ ; en inversant l’identité $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ l’inégalité se renverse en $M_p(x) \leq M_q(x)$ . Pont : pour $q > 0$ , la concavité de $\ln$ donne $\ln M_q = \frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq \frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$ ; pour $p < 0$ , la même concavité donne $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq p\sum\lambda_i\ln x_i$ , et en divisant par $p < 0$ cela s’inverse : $\ln M_p \leq \ln M_0$ . Donc $M_p \leq M_0 \leq M_q$ dès que $p < 0 < q$ : avec les deux cas de même signe, $M$ croît sur tout $\R^*$ (et à travers $0$ ).

13. Soit $x_{\max} = \max x_i$ , atteint en $i^*$ . Pour $p > 0$ :

\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},

et $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$ : $M_p \to x_{\max}$ . Pour $p \to -\infty$ : $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to \bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$ .

14. Avec $\lambda_i = \frac1n$ , la chaîne $M_{-\infty} \leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ s’écrit

\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .

La comparaison arithmético-harmonique ( $M_{-1} \leq M_1$ ) se réarrange directement en $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$ .

15. Avec des poids égaux, $M_p(x) = \bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$ . Quand $p$ croît, $\norm x_p$ décroît (question 10) mais le normalisateur $n^{-1/p}$ croît plus vite, et le produit croît (question 12) : les moyennes font la moyenne, les normes accumulent, et le facteur $n^{-1/p}$ est exactement le taux de change entre les deux conventions comptables.

16. Chaque maillon est une instance de Jensen strict (question 2) avec les fonctions strictement convexes/concaves de la question 3 ( $t^{q/p}$ , $\ln$ ), donc l’égalité à un maillon quelconque force tous les $x_i$ égaux ; et $\min = M_p$ ou $M_p = \max$ force de même toutes les valeurs égales à l’extremum commun. La chaîne est stricte dès que deux $x_i$ diffèrent.

17. Appliquer Young (question 4) au couple $\varepsilon^{1/p}a$ et $\varepsilon^{-1/p}b$ :

ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b) \leq \varepsilon\,\frac{a^p}p + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .

Pour $p = q = 2$ , en remplaçant $\varepsilon$ par $2\varepsilon$ : $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — l’inégalité d’absorption : un produit est échangé contre un petit multiple d’un carré plus un grand multiple de l’autre.

18. Télescopage :

\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k} {\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}} = \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}} = (n+1)^n,

chaque facteur $(k+1)^k$ du numérateur s’annulant contre le terme suivant du dénominateur. Inégalité arithmético-géométrique sur les $n$ nombres $c_ka_k$ :

(a_1\cdots a_n)^{1/n} = \frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)} \leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .

19. En sommant sur $n$ et en échangeant les deux sommations (tous les termes positifs : le Théorème 7.14) :

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k = \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)} = \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},

en utilisant le télescopage $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$ . Enfin $\frac{c_k}k = \frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (suite croissante de limite $\eu$ , volume de première année) :

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \eu\sum_{k\geq1}a_k :

l’inégalité de Carleman. (La constante $\eu$ est optimale, bien qu’on ne le démontre pas.)

20. Cauchy–Schwarz (question 9, $p = q = 2$ ) appliqué à $\sqrt f$ et $\frac1{\sqrt f}$ :

1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2} \leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).

Égalité si et seulement si $\sqrt f$ et $\frac1{\sqrt f}$ sont proportionnels, c’est-à-dire $f^2$ constant, c’est-à-dire $f$ constant ( $f > 0$ continue).

21. Soit $1 < p < \infty$ , $\norm a_p = \norm b_p = 1$ , $a \neq b$ , et supposons $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$ , c’est-à-dire Minkowski est une égalité pour $a, b$ . En retraçant la démonstration de la question 8, l’égalité force l’égalité dans les deux applications de Hölder et dans les inégalités triangulaires terme à terme : $(\abs{a_i}^p)$ et $(\abs{b_i}^p)$ tous deux proportionnels à $(\abs{a_i + b_i}^p)$ , et $a_i, b_i$ de même signe — d’où $b = ta$ pour un $t \geq 0$ , et $\norm b_p = \norm a_p$ donne $t = 1$ : $b = a$ , contradiction. Donc la $p$ -sphère ne contient aucun milieu de points distincts de la sphère : aucun segment. Pour $p = \infty$ dans $\R^2$ : tous les $(1, t)$ , $\abs t \leq 1$ , sont sur la sphère unité — un bord plat ; pour $p = 1$ : le segment $(t, 1 - t)$ , $t \in \intcc01$ , y est.

22. Pour $a = 0$ les deux membres s’annulent. Sinon Hölder majore tout $\sum a_ib_i$ par $\norm a_p\norm b_q \leq \norm a_p$ . Atteinte : prenons

b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}} {\norm a_p^{p/q}} : \qquad \norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}} = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1, \quad \sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} = \norm a_p ,

en utilisant $(p-1)q = p$ et $p - \frac pq = 1$ . Donc la borne supérieure est un maximum, égal à $\norm a_p$ : chaque $p$ -norme est la norme duale de sa conjuguée — le germe de la dualité $L^p$ – $L^q$ .

23. $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$ , donc $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$ , croissante en $r$ par la question 12 (et à travers $r \to 0, \pm\infty$ par les questions 12–13) : l’inégalité des moments de Lyapunov, purement un énoncé sur les moyennes de puissances pondérées. Elle revient pour de véritables variables aléatoires au Chapitre 22.

24. (i) Moyennes de puissances $M_1 \leq M_3$ avec des poids égaux : $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$ ; élever au cube et multiplier par $3$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}9$ . (ii) Cauchy–Schwarz contre le vecteur constant : $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq \bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$ ; élever au carré.

25. La définition par corde livre le lemme des pentes par un seul réarrangement algébrique ; les pentes resserrées en un point produisent des dérivées latérales et des droites d’appui, dont la moyenne pondérée est Jensen. Appliqué à $-\ln$ , Jensen devient Young, qui sommé contre des vecteurs normalisés est Hölder, qui découpé et réabsorbé est Minkowski — et les $p$ -normes du Chapitre 5 naissent, avec leur dualité (question 22) et leur géométrie (question 21). Jensen appliqué le long de l’échelle des puissances enchaîne toutes les moyennes de $\min$ à $\max$ (questions 12–14), qui lues sur des variables aléatoires est l’inégalité des moments (question 23). Et l’inégalité arithmético-géométrique, pondérée par une astuce de télescopage, livre la borne de Carleman avec sa constante irréductible $\eu$ (questions 18–19). Sommets : Hölder–Minkowski, et Carleman. Destination : les espaces $L^p$ du volume de troisième année, dont les axiomes fondateurs sont exactement les questions 6 et 8 avec des intégrales à la place des sommes.