Formes exactes et fermées কী?

Exemple 20.7 (Reconstruction d’un potentiel)

Soit $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ sur $\R^2$. Elle est fermée : les deux dérivées croisées valent $\eu^{xy}(1 + xy)$. Pour trouver un potentiel, intégrons $P$ en $x$ à $y$ fixé :

puis ajustons $c$ en identifiant $f_y$ : $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ donne $c(y) = y^2$. Donc $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$, et pour tout arc $\mathcal C^1$ par morceaux de $(0,0)$ à $(1,1)$,

indépendamment du chemin — la recette en deux temps (intégrer en $x$, corriger en $y$) est la réciproque pratique du Théorème 20.6 sur les domaines où les formes fermées sont exactes.

Exemple 20.8 (Fermée n’implique pas exacte)

Sur $U = \R^2 \setminus \{0\}$, la forme angulaire

est fermée (calcul direct : $P_y$ et $Q_x$ valent tous deux $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$), mais son intégrale le long du cercle unité vaut $2\pi \neq 0$ (même calcul qu’à l’Exemple 20.3, divisé par $1$) : $\omega$ n’est pas exacte sur $U$. Localement, $\omega = \dd\theta$ pour une détermination $\theta$ de l’angle polaire ; l’obstruction est globale — l’angle ne peut pas être défini continûment autour du point retiré. Sur les domaines sans trous, la pathologie disparaît : sur un ouvert étoilé, toute forme $\mathcal{C}^1$ fermée est exacte (lemme de Poincaré, Exercice 20.8).