Mathématiques du lycée · Grades 10–12

9Probabilités et échantillonnage

La probabilité attribue des nombres au hasard. En partant d’expériences à issues équiprobables — dés, pièces, cartes — ce chapitre construit les règles de base pour calculer des probabilités d’événements, introduit les arbres pour les expériences à deux étapes, et se termine par le lien entre probabilités et fréquences observées. La théorie se poursuit dans le Chapitre 18.

9.1 Expériences aléatoires et événements

Définition 9.1 (Issues et événements)

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut être prédit (lancer un dé). L’ensemble de tous les résultats possibles est l’univers $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ ; ses éléments sont les issues. Un événement est un ensemble d’issues ; un événement se réalise lorsque le résultat de l’expérience lui appartient.

Définition 9.2 (Loi de probabilité)

Attribuer à chaque issue $\omega_i$ un nombre $p_i \geq 0$ , avec $p_1 + \dots + p_n = 1$ , définit une probabilité : la probabilité $\P(A)$ d’un événement $A$ est la somme des $p_i$ des issues dans $A$ . En particulier $\P(\Omega) = 1$ et l’événement impossible $\varnothing$ a pour probabilité $0$ .

Proposition 9.3 (Issues équiprobables)

Si les $n$ issues sont équiprobables (chaque $p_i = \frac1n$ ), alors pour tout événement $A$ :

\P(A) = \frac{\text{nombre d'issues dans } A}{n} = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}} .

Démonstration. $A$ contient un certain nombre $k$ d’issues, chacune de probabilité $\frac1n$ , donc $\P(A) = \frac kn$ . ∎

Exemple 9.4

Lancer un dé équilibré : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , chaque issue ayant la probabilité $\frac16$ . L’événement $A$ : « le résultat est pair » est $A = \{2, 4, 6\}$ , donc $\P(A) = \frac36 = \frac12$ . L’événement $B$ : « le résultat est au moins $5$ » est $B = \{5, 6\}$ , donc $\P(B) = \frac26 = \frac13$ .

9.2 Combiner des événements

Définition 9.5 (Intersection, réunion, complémentaire)

Soient $A$ et $B$ des événements.

$A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») se réalise lorsque les deux se réalisent ;
$A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») se réalise lorsque l’un au moins se réalise ;
le complémentaire $\bar A$ (« non $A$ ») se réalise exactement lorsque $A$ ne se réalise pas ;
$A$ et $B$ sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent se réaliser ensemble : $A \cap B = \varnothing$ .

Théorème 9.6 (Règles d’addition)

Pour tous événements $A$ et $B$ :

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B), \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A) .

Pour des événements incompatibles, la première règle se simplifie en $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ .

Démonstration. Sommer $\P(A) + \P(B)$ ajoute la probabilité de chaque issue de $A \cup B$ une fois, sauf celles de $A \cap B$ , qui sont comptées deux fois — une fois dans $A$ et une fois dans $B$ . Soustraire $\P(A \cap B)$ répare le double comptage. Pour le complémentaire : $A$ et $\bar A$ sont incompatibles et $A \cup \bar A = \Omega$ , donc $\P(A) + \P(\bar A) = \P(\Omega) = 1$ . ∎

Deux événements qui se chevauchent : dans (A) + (B), l’intersection hachurée A ∩ B est comptée deux fois, ce qui explique la soustraction dans la règle d’addition. — Deux événements qui se chevauchent : dans $\P(A) + \P(B)$ , l’intersection hachurée $A \cap B$ est comptée deux fois, ce qui explique la soustraction dans la règle d’addition.

Exemple 9.7

Tirer une carte d’un jeu standard de $52$ cartes. Soit $A$ : « la carte est un cœur » ( $13$ cartes) et $B$ : « la carte est un roi » ( $4$ cartes). Alors $A \cap B$ est « le roi de cœur » ( $1$ carte), et

\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.

La règle du complémentaire est souvent la voie la plus rapide : la probabilité que la carte ne soit pas un cœur est $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ .

9.3 Arbres de probabilités

Méthode 9.8 (Expériences à deux étapes)

Pour une expérience réalisée en deux étapes :

dessiner un arbre : une branche par résultat possible de la première étape, puis depuis chacune, une branche par résultat de la seconde étape, en inscrivant la probabilité sur chaque branche (les branches sortant d’un nœud doivent sommer à $1$ ) ;
la probabilité d’un chemin (une feuille de l’arbre) est le produit des probabilités le long de ses branches ;
la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Exemple 9.9

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. Tirer une boule, la remettre, tirer à nouveau. Chaque tirage donne rouge (R) avec probabilité $\frac35$ et bleu (B) avec probabilité $\frac25$ .

L’arbre de deux tirages avec remise. Les quatre probabilités de chemin somment à 1. — L’arbre de deux tirages avec remise. Les quatre probabilités de chemin somment à $1$ .

La probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur est $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ ; la probabilité d’au moins une bleue est $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (règle du complémentaire).

Remarque 9.10

Sans remise, les probabilités du second tirage dépendent du premier : avec l’urne ci-dessus, après avoir tiré une boule rouge, il reste $2$ rouges et $2$ bleues, donc la seconde branche porte $\frac24$ et $\frac24$ . La méthode de l’arbre fonctionne sans changement ; seuls les nombres sur les branches du second niveau changent.

9.4 Fréquences et échantillonnage

Lorsqu’une expérience aléatoire est répétée de nombreuses fois, la fréquence observée d’un événement se rapproche de sa probabilité — c’est pourquoi la probabilité est utile pour décrire le monde réel.

Définition 9.11 (Échantillon)

Un échantillon de taille $n$ est le résultat de la répétition de la même expérience $n$ fois indépendamment. La fréquence observée d’un événement dans l’échantillon est le nombre d’occurrences divisé par $n$ .

Exemple 9.12

Une pièce équilibrée donne pile avec probabilité $0.5$ . La lancer $100$ fois donne rarement exactement $50$ piles : les échantillons fluctuent. Des séries typiques de $100$ lancers donnent des fréquences comme $0.46$ , $0.53$ , $0.49$ — proches de $0.5$ , mais non égales. Les grands échantillons fluctuent moins : avec $10\,000$ lancers, les fréquences observées sont habituellement à moins de $0.01$ de $0.5$ .

Remarque 9.13 (Intervalle de fluctuation)

Une règle pratique utile, justifiée dans le Chapitre 19 : pour un échantillon de taille $n$ d’un événement de probabilité $p$ (avec $n$ raisonnablement grand), la fréquence observée se trouve dans l’intervalle

\intcc{p - \frac{1}{\sqrt n}}{\,p + \frac{1}{\sqrt n}}

dans environ $95\,\%$ des échantillons. Si une fréquence observée tombe loin en dehors de cet intervalle, douter de la valeur de $p$ : c’est le point de départ des tests statistiques.

Exemple 9.14

Une usine prétend que seulement $10\,\%$ de ses pièces sont défectueuses ( $p = 0.1$ ). Dans un échantillon de $n = 400$ pièces, $64$ sont défectueuses : fréquence observée $\frac{64}{400} = 0.16$ . L’intervalle de fluctuation est $\intcc{0.1 - \frac{1}{20}}{0.1 + \frac{1}{20}} = \intcc{0.05}{0.15}$ , et $0.16$ tombe en dehors : l’échantillon jette un doute sérieux sur l’affirmation.

9.5 Exercices

Exercice 9.1 ★

Un dé équilibré est lancé. Calculer la probabilité de chaque événement : « obtenir un $6$ » ; « obtenir un nombre impair » ; « obtenir au plus $4$ » ; « obtenir un $7$ ».

Solution

Solution de Exercice 9.1.

Chacune des $6$ issues a pour probabilité $\frac16$ . « Obtenir un $6$ » : $\frac16$ . « Nombre impair » $= \{1, 3, 5\}$ : $\frac36 = \frac12$ . « Au plus $4$ » $= \{1,2,3,4\}$ : $\frac46 = \frac23$ . « Obtenir un $7$ » : événement impossible, probabilité $0$ .

Exercice 9.2 ★

Un sac contient $5$ billes vertes, $3$ jaunes et $2$ noires ; une bille est tirée au hasard. Calculer la probabilité qu’elle soit verte ; qu’elle ne soit pas noire ; qu’elle soit verte ou jaune.

Solution

Solution de Exercice 9.2.

Il y a $10$ billes équiprobables. $\P(\text{verte}) = \frac{5}{10} = \frac12$ . $\P(\text{non noire}) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac45$ . Verte et jaune sont incompatibles : $\P(\text{verte ou jaune}) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac45$ .

Exercice 9.3 ★

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ étudient l’espagnol, $10$ l’allemand, et $4$ les deux. Un élève est choisi au hasard. En utilisant la règle d’addition, calculer la probabilité que cet élève étudie au moins l’une des deux langues, puis la probabilité qu’il n’étudie ni l’une ni l’autre.

Solution

Solution de Exercice 9.3.

Soit $S$ : « étudie l’espagnol », $G$ : « étudie l’allemand ». Alors $\P(S) = \frac{18}{30}$ , $\P(G) = \frac{10}{30}$ , $\P(S \cap G) = \frac{4}{30}$ . Règle d’addition :

\P(S \cup G) = \frac{18}{30} + \frac{10}{30} - \frac{4}{30} = \frac{24}{30} = \frac45 .

Complémentaire : $\P(\text{ni l'un ni l'autre}) = 1 - \frac45 = \frac15$ .

Exercice 9.4 ★

Une pièce équilibrée est lancée deux fois. Dessiner l’arbre de l’expérience et calculer la probabilité d’obtenir deux faces ; exactement une face ; au moins une face.

Solution

Solution de Exercice 9.4.

L’arbre a quatre chemins FF, FP, PF, PP, chacun de probabilité $\frac12 \times \frac12 = \frac14$ . Deux faces : $\frac14$ . Exactement une face (FP ou PF) : $\frac24 = \frac12$ . Au moins une face : $1 - \P(\text{PP}) = 1 - \frac14 = \frac34$ .

Exercice 9.5 ★★

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ blanches. Deux boules sont tirées l’une après l’autre sans remise. Dessiner l’arbre avec les bonnes probabilités au second niveau, et calculer la probabilité de tirer deux boules rouges, puis de tirer deux boules de couleurs différentes.

Solution

Solution de Exercice 9.5.

Premier tirage : rouge avec probabilité $\frac{4}{10}$ , blanche $\frac{6}{10}$ . Second tirage sans remise : après une rouge, $3$ rouges et $6$ blanches restent parmi $9$ ; après une blanche, $4$ rouges et $5$ blanches parmi $9$ .

Deux rouges : $\frac{4}{10} \times \frac39 = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$ .

Couleurs différentes : chemins RB et BR :

\frac{4}{10} \times \frac69 + \frac{6}{10} \times \frac49 = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}.

Exercice 9.6 ★★

Deux dés équilibrés sont lancés et leur somme est enregistrée.

Expliquer pourquoi l’univers peut être pris comme les $36$ couples équiprobables $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$ .
Calculer la probabilité que la somme soit $7$ ; qu’elle soit $12$ ; qu’elle soit au plus $4$ .
Quelle somme est la plus probable ?

Solution

Solution de Exercice 9.6.

1. Chaque dé montre indépendamment chaque face avec probabilité $\frac16$ , donc les $36$ couples ordonnés sont équiprobables ; la somme est déterminée par le couple.

2. Somme $7$ : les couples $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ , donc $\P = \frac{6}{36} = \frac16$ . Somme $12$ : seulement $(6,6)$ , $\P = \frac{1}{36}$ . Somme au plus $4$ : couples sommant à $2$ , $3$ ou $4$ : $(1,1)$ ; $(1,2), (2,1)$ ; $(1,3), (2,2), (3,1)$ — six couples, donc $\P = \frac{6}{36} = \frac16$ .

3. Le nombre de couples réalisant chaque somme croît de $1$ (somme $2$ ) à $6$ (somme $7$ ) puis décroît : la somme la plus probable est $7$ .

Exercice 9.7 ★★

Une question à choix multiples propose $4$ réponses, une seule correcte. Un élève répond à $2$ telles questions indépendantes complètement au hasard. Calculer la probabilité de répondre correctement aux deux, à exactement une, à aucune. Vérifier que les trois probabilités somment à $1$ .

Solution

Solution de Exercice 9.7.

Chaque question est correctement répondue avec probabilité $\frac14$ , indépendamment. Arbre à deux niveaux :

Les deux correctes : $\frac14 \times \frac14 = \frac{1}{16}$ .

Exactement une correcte : chemins correct–faux et faux–correct : $\frac14 \times \frac34 + \frac34 \times \frac14 = \frac{6}{16} = \frac38$ .

Aucune correcte : $\frac34 \times \frac34 = \frac{9}{16}$ .

Vérification : $\frac{1}{16} + \frac{6}{16} + \frac{9}{16} = 1$ .

Exercice 9.8 ★★

Un politicien prétend avoir $50\,\%$ d’approbation. Dans un sondage de $n = 900$ électeurs choisis au hasard, $396$ approuvent.

Calculer la fréquence observée et l’intervalle de fluctuation autour de $p = 0.5$ pour $n = 900$ .
Le sondage jette-t-il un doute sur l’affirmation ?

Solution

Solution de Exercice 9.8.

1. Fréquence observée : $\frac{396}{900} = 0.44$ . Avec $n = 900$ : $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0.033$ , donc l’intervalle de fluctuation est environ $\intcc{0.467}{0.533}$ .

2. La fréquence observée $0.44$ est hors de l’intervalle : des échantillons de $900$ électeurs d’une population à $50\,\%$ d’approbation s’écartent rarement autant. Le sondage jette un doute sérieux sur les $50\,\%$ affirmés.

Exercice 9.9 ★★★

Un jeu coûte $2$ à jouer : on lance un dé équilibré et on gagne $6$ si l’on obtient un $6$ , $3$ si l’on obtient un $5$ , rien sinon.

Calculer la probabilité de chaque montant gagné ( $6$ , $3$ , $0$ ).
Sur $600$ parties, environ combien de chaque issue attend-on ? Calculer le gain et la perte totaux attendus : le jeu vaut-il la peine d’être joué ?

Solution

Solution de Exercice 9.9.

1. $\P(\text{gagner } 6) = \frac16$ (lancer un $6$ ), $\P(\text{gagner } 3) = \frac16$ (lancer un $5$ ), $\P(\text{gagner } 0) = \frac46 = \frac23$ .

2. Sur $600$ parties, on attend environ $100$ six, $100$ cinq, $400$ autres lancers. Gains : environ $100 \times 6 + 100 \times 3 = 900$ . Coût : $600 \times 2 = 1200$ . Résultat net attendu : $900 - 1200 = -300$ , c’est-à-dire une perte d’environ $0.5$ par partie en moyenne — le jeu ne vaut pas la peine d’être joué.