Qu'est-ce que « Loi de probabilité » ? — Mathématiques

Définition 9.2 Mathématiques du lycée · Chapitre 9 — Probabilités et échantillonnage

Attribuer à chaque issue $\omega_i$ un nombre $p_i \geq 0$ , avec $p_1 + \dots + p_n = 1$ , définit une probabilité : la probabilité $\P(A)$ d’un événement $A$ est la somme des $p_i$ des issues dans $A$ . En particulier $\P(\Omega) = 1$ et l’événement impossible $\varnothing$ a pour probabilité $0$ .

Exemples

Exemple 9.4

Lancer un dé équilibré : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , chaque issue ayant la probabilité $\frac16$ . L’événement $A$ : « le résultat est pair » est $A = \{2, 4, 6\}$ , donc $\P(A) = \frac36 = \frac12$ . L’événement $B$ : « le résultat est au moins $5$ » est $B = \{5, 6\}$ , donc $\P(B) = \frac26 = \frac13$ .

Exemple 9.7

Tirer une carte d’un jeu standard de $52$ cartes. Soit $A$ : « la carte est un cœur » ( $13$ cartes) et $B$ : « la carte est un roi » ( $4$ cartes). Alors $A \cap B$ est « le roi de cœur » ( $1$ carte), et

\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.

La règle du complémentaire est souvent la voie la plus rapide : la probabilité que la carte ne soit pas un cœur est $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ .

Exemple 9.9

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. Tirer une boule, la remettre, tirer à nouveau. Chaque tirage donne rouge (R) avec probabilité $\frac35$ et bleu (B) avec probabilité $\frac25$ .

L’arbre de deux tirages avec remise. Les quatre probabilités de chemin somment à 1. — L’arbre de deux tirages avec remise. Les quatre probabilités de chemin somment à $1$ .

La probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur est $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ ; la probabilité d’au moins une bleue est $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (règle du complémentaire).

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