Mathématiques du lycée · Grades 10–12

3Fonctions

Une fonction est une machine qui prend un nombre en entrée et produit un nombre en sortie, toujours la même sortie pour la même entrée. Les fonctions sont les objets centraux de l’analyse que l’on construira au cours des prochaines années (Chapitre 10 et suivants) ; ce chapitre met en place le vocabulaire — ensemble de définition, image, graphique, variations — et entraîne la compétence essentielle de lire des informations sur un graphique.

3.1 Vocabulaire : images et antécédents

Définition 3.1 (Fonction)

Soit $D$ un ensemble de nombres réels. Une fonction $f$ définie sur $D$ associe à chaque nombre $x \in D$ exactement un nombre réel, noté $f(x)$ et appelé l’image de $x$ . L’ensemble $D$ est l’ensemble de définition de $f$ . On écrit

f : x \longmapsto f(x).

Si $f(x) = y$ , alors $x$ est un antécédent de $y$ .

Remarque 3.2

Chaque $x$ dans l’ensemble de définition a exactement une image, mais un nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Pour $f(x) = x^2$ : l’image de $3$ est $9$ , et $9$ a deux antécédents, $3$ et $-3$ ; le nombre $-4$ n’a pas d’antécédent.

Exemple 3.3 (Trouver un ensemble de définition)

Lorsqu’une fonction est donnée par une formule, son ensemble de définition est l’ensemble des $x$ pour lesquels la formule a un sens.

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ a un sens pour tout $x$ : l’ensemble de définition est $\R$ .
$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ exige $x - 2 \neq 0$ : l’ensemble de définition est tous les réels sauf $2$ .
$h(x) = \sqrt{x - 3}$ exige $x - 3 \geq 0$ : l’ensemble de définition est $\intco{3}{+\infty}$ .

Exemple 3.4 (Calculer images et antécédents)

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ , définie sur $\R$ .

Image de $5$ : substituer $x = 5$ : $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$ .

Antécédents de $3$ : résoudre $f(x) = 3$ :

x^2 - 4x + 3 = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 4x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 4) = 0,

donc les antécédents de $3$ sont $0$ et $4$ .

3.2 Le graphique d’une fonction

Définition 3.5 (Graphique)

Dans un repère, le graphique (ou la courbe) de $f$ est l’ensemble de tous les points $(x, f(x))$ pour $x$ dans l’ensemble de définition. Autrement dit, un point $(x, y)$ appartient au graphique exactement lorsque $y = f(x)$ .

Lire une image sur un graphique : partir de x = 3 sur l’axe horizontal, monter verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical pour lire f(3) = -1. — Lire une image sur un graphique : partir de $x = 3$ sur l’axe horizontal, monter verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical pour lire $f(3) = -1$ .

Méthode 3.6 (Lire un graphique)

Sur le graphique de $f$ :

image de $a$ : monter verticalement depuis $x = a$ sur l’axe horizontal jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical ; la valeur lue est $f(a)$ ;
antécédents de $b$ : tracer la droite horizontale $y = b$ ; les antécédents sont les abscisses de tous ses points d’intersection avec la courbe ;
solutions de $f(x) = k$ : même chose que les antécédents de $k$ ;
solutions de $f(x) \leq k$ : les $x$ pour lesquels la courbe est sur ou sous la droite $y = k$ .

Résoudre f(x) = k graphiquement : les solutions x_1 et x_2 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale y = k. Ici f(x) ≤ k est réalisé sur [x_1, x_2], où la courbe est sous la droite. — Résoudre $f(x) = k$ graphiquement : les solutions $x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale $y = k$ . Ici $f(x) \leq k$ est réalisé sur $\intcc{x_1}{x_2}$ , où la courbe est sous la droite.

Exemple 3.7

Le point $A(2, 5)$ appartient-il au graphique de $f(x) = x^2 + 1$ ? Calculer $f(2) = 4 + 1 = 5$ : oui, puisque $f(2)$ égale l’ordonnée de $A$ . Le point $B(3, 8)$ n’est pas sur le graphique, car $f(3) = 10 \neq 8$ .

3.3 Variations d’une fonction

Définition 3.8 (Croissante, décroissante)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ lorsque pour tous $u, v \in I$ , si $u < v$ alors $f(u) \leq f(v)$ : les sorties croissent avec les entrées, et le graphique monte de gauche à droite.
$f$ est décroissante sur $I$ lorsque $u < v$ implique $f(u) \geq f(v)$ : le graphique descend de gauche à droite.

Avec des inégalités strictes $f(u) < f(v)$ (resp. $>$ ) on dit strictement croissante (resp. décroissante).

Définition 3.9 (Tableau de variations)

Un tableau de variations résume sur quels intervalles $f$ croît et décroît, avec des flèches $\nearrow$ et $\searrow$ , et enregistre les valeurs de $f$ aux points de retournement.

Exemple 3.10

Considérons la fonction grapquée ci-dessous sur $\intcc{-2}{4}$ .

Une fonction définie sur [-2, 4], croissante puis décroissante. — Une fonction définie sur $\intcc{-2}{4}$ , croissante puis décroissante.

Lecture du graphique : $f$ croît de $f(-2) = -1.5$ jusqu’à son maximum $f(1) = 3$ , puis décroît jusqu’à $f(4) = -1.5$ . Son tableau de variations est

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Exemple 3.11 (Démontrer une variation)

Montrer que $f(x) = 3x + 1$ est strictement croissante sur $\R$ . Prendre $u < v$ quelconques et comparer les images :

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

car $v - u > 0$ . Donc $f(u) < f(v)$ : la fonction est strictement croissante. Le même calcul avec un coefficient négatif, par exemple $g(x) = -2x + 5$ , donne $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : strictement décroissante.

3.4 Extrema

Définition 3.12 (Maximum, minimum)

Soit $f$ définie sur $D$ et $a \in D$ . La valeur $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $D$ lorsque $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x \in D$ ; c’est le minimum lorsque $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in D$ . Sur un graphique, ce sont les points les plus hauts et les plus bas de la courbe.

Exemple 3.13

Montrer que $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ a pour minimum $2$ sur $\R$ , atteint en $x = 1$ . Pour tout $x$ , le carré $(x-1)^2$ est $\geq 0$ , donc $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; et $f(1) = 0 + 2 = 2$ , donc la valeur $2$ est effectivement atteinte. Ces deux faits ensemble prouvent que $2$ est le minimum.

La courbe de f(x) = (x-1)2 + 2 ne descend jamais sous la droite en pointillés y = 2, et la touche en x = 1 : le minimum de f est 2. — La courbe de $f(x) = (x-1)^2 + 2$ ne descend jamais sous la droite en pointillés $y = 2$ , et la touche en $x = 1$ : le minimum de $f$ est $2$ .

3.5 Exercices

Exercice 3.1 ★

Soit $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ . Calculer les images de $0$ , $2$ , $-1$ et $\frac12$ .

Solution

Solution de Exercice 3.1.

$f(0) = 1$ ; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ ; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$ ; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 - \tfrac32 + 1 = 0$ .

Exercice 3.2 ★

Donner l’ensemble de définition de chaque fonction :

f(x) = 5x - 2, \qquad g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.

Solution

Solution de Exercice 3.2.

$f$ : aucune contrainte, ensemble de définition $\R$ .

$g$ : exige $x + 4 \neq 0$ , ensemble de définition tous les réels sauf $-4$ .

$h$ : exige $2x - 6 \geq 0$ , c’est-à-dire $x \geq 3$ : ensemble de définition $\intco{3}{+\infty}$ .

$k$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ ne s’annule jamais, ensemble de définition $\R$ .

Exercice 3.3 ★

Soit $f(x) = x^2 - 2x$ . Trouver tous les antécédents de $0$ , de $3$ , et de $-1$ .

Solution

Solution de Exercice 3.3.

Antécédents de $0$ : $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$ , donc $0$ et $2$ .

Antécédents de $3$ : $x^2 - 2x = 3$ , c’est-à-dire $x^2 - 2x - 3 = 0$ , c’est-à-dire $(x-3)(x+1) = 0$ (vérifier en développant), donc $3$ et $-1$ .

Antécédents de $-1$ : $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$ , donc l’unique antécédent $1$ .

Exercice 3.4 ★

Le point $A(-1, 4)$ appartient-il au graphique de $f(x) = x^2 - 2x + 1$ ? Et le point $B(2, 1)$ ? Justifier par un calcul.

Solution

Solution de Exercice 3.4.

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$ : oui, $A(-1, 4)$ est sur le graphique. $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$ : oui, $B(2, 1)$ est aussi sur le graphique.

Exercice 3.5 ★

Une fonction $g$ définie sur $\intcc{-3}{5}$ a le tableau de variations

$x$	$-3$		$0$		$3$		$5$
$g$	$1$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$

Quels sont le maximum et le minimum de $g$ sur $\intcc{-3}{5}$ ?
Comparer $g(-1)$ et $g(-0.5)$ sans connaître leurs valeurs.
Combien de solutions l’équation $g(x) = 0$ a-t-elle au plus sur chaque intervalle du tableau ?

Solution

Solution de Exercice 3.5.

1. La plus grande valeur du tableau est $4 = g(3)$ (maximum), la plus petite est $-2 = g(0)$ (minimum).

2. Sur $\intcc{-3}{0}$ la fonction décroît, et $-1 < -0.5$ , donc $g(-1) \geq g(-0.5)$ .

3. Sur chaque intervalle de monotonie, $g$ prend chaque valeur au plus une fois, donc $g(x) = 0$ a au plus une solution par intervalle : au plus $3$ solutions au total. (Ici $0$ est entre $-2$ et $1$ , entre $-2$ et $4$ , et entre $0$ et $4$ , donc il y en a exactement trois.)

Exercice 3.6 ★★

Soit $f(x) = -2x + 7$ . Montrer, en comparant $f(u)$ et $f(v)$ pour $u < v$ , que $f$ est strictement décroissante sur $\R$ .

Solution

Solution de Exercice 3.6.

Soit $u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,

car $v - u > 0$ . Donc $f(v) < f(u)$ : $f$ est strictement décroissante sur $\R$ .

Exercice 3.7 ★★

Montrer que la fonction $f(x) = x^2 + 6x + 11$ a un minimum sur $\R$ , et donner sa valeur et où il est atteint. (Indication : écrire $f(x) = (x + 3)^2 + c$ pour la bonne constante $c$ .)

Solution

Solution de Exercice 3.7.

Compléter le carré : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , donc

f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .

Pour tout $x$ , $(x+3)^2 \geq 0$ , donc $f(x) \geq 2$ ; et $f(-3) = 0 + 2 = 2$ . Le minimum de $f$ est $2$ , atteint en $x = -3$ .

Exercice 3.8 ★★

Un jardin rectangulaire a un périmètre de $40$ m. Soit $x$ sa largeur, en mètres.

Exprimer la longueur, puis l’aire $A(x)$ , en fonction de $x$ . Pour quels $x$ cela a-t-il un sens ?
Calculer $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ et $A(16)$ . Que conjecturer sur la forme d’aire maximale ?

Solution

Solution de Exercice 3.8.

1. Longueur $+$ largeur $= 20$ , donc la longueur est $20 - x$ et

A(x) = x(20 - x).

Les deux dimensions doivent être positives : $0 < x < 20$ .

2. $A(4) = 64$ , $A(8) = 96$ , $A(10) = 100$ , $A(12) = 96$ , $A(16) = 64$ . Les valeurs croissent jusqu’à $x = 10$ puis décroissent symétriquement : l’aire semble maximale pour $x = 10$ , c’est-à-dire pour un jardin carré. (Chapitre 10 prouve cette conjecture.)

Exercice 3.9 ★★

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ , définie sur $\R$ .

Montrer que $0 < f(x) \leq 1$ pour tout réel $x$ .
$f$ a-t-elle un maximum sur $\R$ ? Un minimum ? Justifier.

Solution

Solution de Exercice 3.9.

1. Pour tout $x$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ , donc $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ est positif, et comme $x^2 + 1 \geq 1$ , en prenant les inverses (les deux membres positifs) on obtient $f(x) \leq 1$ .

2. Maximum : $f(0) = 1$ et $f(x) \leq 1$ pour tout $x$ , donc $1$ est le maximum, atteint en $0$ . Minimum : $f(x) > 0$ toujours, mais aucune valeur de $x$ n’atteint $0$ (un quotient de nombres non nuls est non nul), et $f$ prend des valeurs aussi proches de $0$ que l’on veut pour $x$ grand ; donc $f$ n’a pas de minimum.

Exercice 3.10 ★★★

Soit $f(x) = x^2$ sur $\R$ .

Soit $0 \leq u < v$ . Factoriser $f(v) - f(u)$ et en déduire que $f$ est strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ .
Adapter l’argument pour montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ .

Solution

Solution de Exercice 3.10.

1. $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Si $0 \leq u < v$ , alors $v - u > 0$ et $v + u > 0$ (somme d’un nombre positif ou nul et d’un nombre positif), donc $f(v) - f(u) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ .

2. Si $u < v \leq 0$ , alors $v - u > 0$ encore, mais maintenant $v + u < 0$ (somme d’un nombre négatif ou nul et d’un nombre négatif), donc $f(v) - f(u) < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ .

3.6 Problème : des machines nourries de leur propre sortie

Problème 3.1

Devoir du week-end — points fixes, itération et trois machines célèbres : l’améliorateur de Héron, l’élévateur au carré et les grêlons non résolus

Une fonction est une machine : un nombre entre, un nombre sort. Les expériences les plus intéressantes consistent à lui redonner à manger sa propre sortie, encore et encore — et deux questions dominent alors : le procédé se stabilise-t-il quelque part (en un point fixe), et comment les variations de la machine l’y conduisent-elles ? L’une des machines de ce problème polit des racines carrées depuis deux mille ans ; une autre garde le plus célèbre problème ouvert que les mathématiques élémentaires aient à offrir.

Partie I — La machine de Héron. On considère la fonction

f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).

Donner l’ensemble de définition de $f$ , et calculer $f(1)$ , $f(2)$ et $f\!\left(\frac32\right)$ sous forme de fractions exactes.
Déterminer tous les antécédents de $\frac32$ : résoudre $f(x) = \frac32$ (chasser le dénominateur et employer les méthodes du Problème 2.1).
Un point fixe de $f$ est un nombre que la machine laisse inchangé : $f(x) = x$ . Déterminer les deux points fixes de $f$ . Quelle vieille connaissance garde le point fixe positif ?
En partant de $x = 1$ , redonner trois fois à la machine sa propre sortie et noter les résultats exacts. Quelle suite du devoir du week-end sur l’irrationalité, dans le volume précédent, vient-on de reconstruire — et qu’était la « recette de Héron », dans le langage des fonctions ?
Sur une même figure, tracer l’allure de la courbe de $f$ (pour $x > 0$ ) et la droite $y = x$ . Où sont les points fixes sur ce dessin ? (Comparer avec le devoir du week-end sur les deux thermomètres, dans le volume précédent : la température qui se lit de la même façon dans les deux échelles reposait sur la même idée.)

Partie II — Pourquoi la machine ne peut pas manquer sa cible.

Pour $0 < u < v$ , montrer par réduction au même dénominateur que

$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$

et en déduire les variations de $f$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : décroissante jusqu’à un certain point, puis croissante — lequel ? (Même technique qu’à l’Exercice 3.10.)
En déduire que sur $\intoo{0}{+\infty}$ la fonction $f$ admet un minimum, valant exactement $\sqrt2$ et atteint en $\sqrt2$ . Que cela dit-il de toute sortie de la machine (entrées positives) ?
Montrer que si $x > \sqrt2$ , alors $\sqrt2 < f(x) < x$ : une estimation trop grande est toujours améliorée, jamais dépassée. (Pour $f(x) < x$ , comparer $\frac2x$ et $x$ .)
Rassembler les questions 6 à 8 dans le tableau de variations de $f$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ (Définition 3.9), minimum compris.
Une deuxième machine : $g(x) = x^2$ . Ses points fixes sont $0$ et $1$ (le vérifier). Itérer $g$ quatre fois à partir de $x = 0.9$ , puis quatre fois à partir de $x = 1.1$ (calculatrice, trois décimales). L’un des points fixes attire, l’autre repousse : lequel est lequel ?

Partie III — La machine à grêlons. Sur les entiers naturels, on pose $h(n) = \frac n2$ si $n$ est pair, et $h(n) = 3n + 1$ si $n$ est impair. Les nombres rebondissent sous $h$ comme des grêlons dans un nuage d’orage.

Calculer le vol complet de $7$ sous $h$ , jusqu’à $1$ . Combien d’étapes faut-il, et à quelle hauteur monte-t-il ?
Amorcer le vol de $27$ et calculer dix étapes. (Son vol complet dure $111$ étapes et culmine à $9\,232$ — pour un point de départ égal à $27$ .) Quelle leçon $7$ et $27$ donnent-ils sur les règles simples ?
Expliquer pourquoi tout vol qui atteint une puissance de $2$ retombe droit sur $1$ , et ce qui se passe en $1$ (calculer $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ ). La fonction $h$ a-t-elle un point fixe parmi les entiers strictement positifs ? Que forme plutôt la fin de tout vol observé ?
La conjecture de Collatz affirme que tout nombre de départ finit par atteindre $1$ . Les ordinateurs l’ont vérifiée bien au-delà de $10^{20}$ ; personne ne l’a démontrée. Quelles sont les deux sortes de découvertes qui la réfuteraient ? Et pourquoi une vérification massive ne clôt-elle toujours pas l’affaire (le devoir du week-end sur l’oracle aux allumettes, dans le volume précédent, avait déjà sonné cette alarme) ?
« Les mathématiques ne sont pas encore mûres pour de telles questions », disait Paul Erdős de cette conjecture. En une phrase : qu’est-ce qui sépare la machine à grêlons de celle de Héron, où les questions 6 à 8 ont tout réglé ?

Partie IV — Le mode d’emploi des machines.

Ensembles de définition sous forme d’intervalles (le langage du Problème 1.1) : donner les ensembles de définition de $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ .
Retour au $f$ de Héron : déterminer les antécédents exacts de $3$ (résoudre $f(x) = 3$ par mise sous forme canonique).
On lance une pierre vers le haut : sa hauteur vaut $H(t) = 20t - 5t^2$ mètres après $t$ secondes. Sur quel intervalle de temps la formule a-t-elle un sens physique ? Mettre sous forme canonique pour trouver la hauteur maximale et l’instant où elle est atteinte (Définition 3.12), puis donner le tableau de variations.
Pendant combien de temps la pierre est-elle à au moins $15$ m de hauteur ? (Résoudre $H(t) \geq 15$ à l’aide d’un tableau de signes, Méthode 2.17.)
Pour finir : ce problème a fait tourner quatre machines — l’améliorateur de Héron, l’élévateur au carré, les grêlons, la hauteur de la pierre. En deux ou trois phrases, énoncer ce que toute fonction possède (un ensemble de définition, une règle, une courbe) et les deux grandes questions que ce problème a posées à chacune (où l’itération se stabilise-t-elle ? comment la fonction varie-t-elle ?) — questions que les chapitres suivants reprennent une à une.

Solution

Solution de Problème 3.1.

1. Ensemble de définition : $x \neq 0$ (division par $x$ ). $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$ ; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$ ; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac{17}{12}$ .

2. $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ donne $x^2 + 2 = 3x$ , c’est-à-dire $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$ : les antécédents de $\frac32$ sont $1$ et $2$ — comme la question 1 l’annonçait.

3. $f(x) = x$ donne $x + \frac2x = 2x$ , donc $\frac2x = x$ et $x^2 = 2$ : points fixes $\sqrt2$ et $-\sqrt2$ . Le point fixe positif est la diagonale du carré unité, irrationnelle d’après le devoir du week-end sur l’irrationalité du volume précédent.

4. $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$ : les approximations de $\sqrt2$ dues à Héron. Sa recette « faire la moyenne de l’estimation et de $2/$ estimation » est exactement l’itération de la fonction $f$ — et le nombre que le procédé poursuit est le point fixe de $f$ .

5. Les points fixes sont les intersections de la courbe avec la droite $y = x$ : réinjecter les sorties fait cheminer le point le long de la courbe vers cette intersection. Dans le devoir du week-end sur les deux thermomètres, du volume précédent, la lecture $-40^\circ$ reposait sur la même idée de croisement avec la diagonale, pour la fonction de conversion.

6. $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u = \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$ . Pour $0 < u < v \leq \sqrt2$ : $uv < 2$ , la parenthèse est négative, donc $f(v) < f(u)$ : $f$ est décroissante. Pour $\sqrt2 \leq u < v$ : $uv > 2$ , donc $f$ est croissante. Point de retournement : $\sqrt2$ .

7. Décroissante avant $\sqrt2$ , croissante après : $f$ atteint son minimum en $\sqrt2$ , et ce minimum vaut $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$ . Conséquence : toute sortie de la machine (pour une entrée positive) vaut au moins $\sqrt2$ — dès le premier tour de manivelle, les estimations vivent dans $\intco{\sqrt2}{+\infty}$ .

8. Si $x > \sqrt2$ , alors $x^2 > 2$ , donc $\frac2x < x$ et la moyenne $f(x)$ de $x$ et de $\frac2x$ est inférieure à $x$ ; et $f(x) \geq \sqrt2$ d’après la question 7, avec égalité seulement en $x = \sqrt2$ . Ainsi $\sqrt2 < f(x) < x$ : chaque itération améliore strictement sans jamais dépasser — la suite de la question 4 descend en glissant sur $\sqrt2$ .

9. Sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $f$ décroît depuis $+\infty$ (au voisinage de $0$ ) jusqu’au minimum $\sqrt2$ atteint en $x = \sqrt2$ , puis croît sans borne.

10. $g(x) = x$ donne $x^2 = x$ , soit $x(x - 1) = 0$ : points fixes $0$ et $1$ . À partir de $0.9$ : $0.81$ , $0.656$ , $0.430$ , $0.185$ — glissement vers $0$ . À partir de $1.1$ : $1.21$ , $1.464$ , $2.144$ , $4.595$ — fuite vers l’infini. Le point fixe $0$ attire, le point fixe $1$ repousse : un cheveu d’écart au départ, des destins opposés.

11. $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ : seize étapes, avec un sommet à $52$ .

12. $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — toujours en train de monter après dix étapes, en route vers un sommet à $9\,232$ et un vol de $111$ étapes. Leçon : une règle de deux lignes peut produire un comportement que personne ne devine au premier coup d’œil — des nombres voisins ( $26$ , $27$ , $28$ ) ont des vols radicalement différents.

13. Une puissance de $2$ redescend toute son échelle par divisions successives : $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$ . En bas, $h(1) = 4$ , $h(4) = 2$ , $h(2) = 1$ : le vol entre dans le cycle $4 \to 2 \to 1 \to 4$ . Un point fixe exigerait $\frac n2 = n$ (seulement $n = 0$ ) ou $3n + 1 = n$ (négatif) : il n’y en a aucun parmi les entiers strictement positifs — les vols observés s’achèvent non pas en un point fixe, mais dans ce petit cycle.

14. Un contre-exemple serait soit un vol qui croît indéfiniment (sans jamais revenir à $1$ ), soit un second cycle disjoint de $4 \to 2 \to 1$ . Une vérification jusqu’à $10^{20}$ laisse une infinité de nombres non testés — exactement la leçon des régions du cercle, dans le devoir du week-end sur l’oracle aux allumettes du volume précédent : un accord sur un nombre fini de cas ne démontre rien sur tous.

15. Pour la machine de Héron, nous avions une structure — une différence factorisée (question 6) révélant les variations, un minimum, un encadrement — tandis que la règle à bascule de parité des grêlons n’offre aucune prise de ce genre : personne n’a trouvé la structure qui la dompterait.

16. $\sqrt{x - 3}$ exige $x - 3 \geq 0$ : $\intco{3}{+\infty}$ . $\frac{1}{x^2 - 9}$ exige $x \neq \pm 3$ : $\R$ privé de $-3$ et de $3$ . $\sqrt{9 - x^2}$ exige $x^2 \leq 9$ : $\intcc{-3}{3}$ .

17. $f(x) = 3$ donne $x + \frac2x = 6$ , donc $x^2 - 6x + 2 = 0$ , c’est-à-dire $(x - 3)^2 = 7$ : $x = 3 - \sqrt7$ ou $x = 3 + \sqrt7$ (tous deux positifs : deux antécédents exacts).

18. La formule a un sens physique tant que la pierre est en l’air : $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ pour $t \in \intcc{0}{4}$ . Forme canonique : $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$ : maximum $20$ m à $t = 2$ s. Variations : croissante sur $\intcc{0}{2}$ de $0$ à $20$ , décroissante sur $\intcc{2}{4}$ jusqu’à $0$ .

19. $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff (t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$ : deux secondes pleines au-dessus de $15$ m.

20. Chaque machine possède un ensemble de définition (là où la règle est autorisée), une règle (la formule ou la bascule de parité) et une courbe ou un tableau qui l’affiche tout entière. À chacune nous avons posé les deux grandes questions : où mène la répétition (points fixes, cycles, attraction — réglé pour Héron, ouvert pour les grêlons) et comment la sortie bouge avec l’entrée (variations, extremums — le sommet de la pierre, le minimum de Héron). Les chapitres à venir affinent les deux : les fonctions de référence d’abord, puis, les années suivantes, les dérivées pour mesurer les variations et les limites pour certifier où les itérations aboutissent.

Termes définis dans ce chapitre

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