Mathématiques du lycée · Grades 10–12

3Fonctions

Une fonction est une machine qui prend un nombre en entrée et produit un nombre en sortie, toujours la même sortie pour la même entrée. Les fonctions sont les objets centraux de l’analyse que l’on construira au cours des prochaines années (Chapitre 10 et suivants) ; ce chapitre met en place le vocabulaire — ensemble de définition, image, graphique, variations — et entraîne la compétence essentielle de lire des informations sur un graphique.

3.1 Vocabulaire : images et antécédents

Définition 3.1 (Fonction)

Soit $D$ un ensemble de nombres réels. Une fonction $f$ définie sur $D$ associe à chaque nombre $x \in D$ exactement un nombre réel, noté $f(x)$ et appelé l’image de $x$ . L’ensemble $D$ est l’ensemble de définition de $f$ . On écrit

f : x \longmapsto f(x).

Si $f(x) = y$ , alors $x$ est un antécédent de $y$ .

Remarque 3.2

Chaque $x$ dans l’ensemble de définition a exactement une image, mais un nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Pour $f(x) = x^2$ : l’image de $3$ est $9$ , et $9$ a deux antécédents, $3$ et $-3$ ; le nombre $-4$ n’a pas d’antécédent.

Exemple 3.3 (Trouver un ensemble de définition)

Lorsqu’une fonction est donnée par une formule, son ensemble de définition est l’ensemble des $x$ pour lesquels la formule a un sens.

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ a un sens pour tout $x$ : l’ensemble de définition est $\R$ .
$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ exige $x - 2 \neq 0$ : l’ensemble de définition est tous les réels sauf $2$ .
$h(x) = \sqrt{x - 3}$ exige $x - 3 \geq 0$ : l’ensemble de définition est $\intco{3}{+\infty}$ .

Exemple 3.4 (Calculer images et antécédents)

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ , définie sur $\R$ .

Image de $5$ : substituer $x = 5$ : $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$ .

Antécédents de $3$ : résoudre $f(x) = 3$ :

x^2 - 4x + 3 = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 4x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 4) = 0,

donc les antécédents de $3$ sont $0$ et $4$ .

3.2 Le graphique d’une fonction

Définition 3.5 (Graphique)

Dans un repère, le graphique (ou la courbe) de $f$ est l’ensemble de tous les points $(x, f(x))$ pour $x$ dans l’ensemble de définition. Autrement dit, un point $(x, y)$ appartient au graphique exactement lorsque $y = f(x)$ .

Lire une image sur un graphique : partir de x = 3 sur l’axe horizontal, monter verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical pour lire f(3) = 1.25. — Lire une image sur un graphique : partir de $x = 3$ sur l’axe horizontal, monter verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical pour lire $f(3) = 1.25$ .

Méthode 3.6 (Lire un graphique)

Sur le graphique de $f$ :

image de $a$ : monter verticalement depuis $x = a$ sur l’axe horizontal jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical ; la valeur lue est $f(a)$ ;
antécédents de $b$ : tracer la droite horizontale $y = b$ ; les antécédents sont les abscisses de tous ses points d’intersection avec la courbe ;
solutions de $f(x) = k$ : même chose que les antécédents de $k$ ;
solutions de $f(x) \leq k$ : les $x$ pour lesquels la courbe est sur ou sous la droite $y = k$ .

Résoudre f(x) = k graphiquement : les solutions x_1 et x_2 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale y = k. Ici f(x) ≤ k est réalisé sur [x_1, x_2], où la courbe est sous la droite. — Résoudre $f(x) = k$ graphiquement : les solutions $x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale $y = k$ . Ici $f(x) \leq k$ est réalisé sur $\intcc{x_1}{x_2}$ , où la courbe est sous la droite.

Exemple 3.7

Le point $A(2, 5)$ appartient-il au graphique de $f(x) = x^2 + 1$ ? Calculer $f(2) = 4 + 1 = 5$ : oui, puisque $f(2)$ égale l’ordonnée de $A$ . Le point $B(3, 8)$ n’est pas sur le graphique, car $f(3) = 10 \neq 8$ .

3.3 Variations d’une fonction

Définition 3.8 (Croissante, décroissante)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ lorsque pour tous $u, v \in I$ , si $u < v$ alors $f(u) \leq f(v)$ : les sorties croissent avec les entrées, et le graphique monte de gauche à droite.
$f$ est décroissante sur $I$ lorsque $u < v$ implique $f(u) \geq f(v)$ : le graphique descend de gauche à droite.

Avec des inégalités strictes $f(u) < f(v)$ (resp. $>$ ) on dit strictement croissante (resp. décroissante).

Définition 3.9 (Tableau de variations)

Un tableau de variations résume sur quels intervalles $f$ croît et décroît, avec des flèches $\nearrow$ et $\searrow$ , et enregistre les valeurs de $f$ aux points de retournement.

Exemple 3.10

Considérons la fonction grapquée ci-dessous sur $\intcc{-2}{4}$ .

Une fonction définie sur [-2, 4], croissante puis décroissante. — Une fonction définie sur $\intcc{-2}{4}$ , croissante puis décroissante.

Lecture du graphique : $f$ croît de $f(-2) = -1.5$ jusqu’à son maximum $f(1) = 3$ , puis décroît jusqu’à $f(4) = -1.5$ . Son tableau de variations est

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Exemple 3.11 (Démontrer une variation)

Montrer que $f(x) = 3x + 1$ est strictement croissante sur $\R$ . Prendre $u < v$ quelconques et comparer les images :

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

car $v - u > 0$ . Donc $f(u) < f(v)$ : la fonction est strictement croissante. Le même calcul avec un coefficient négatif, par exemple $g(x) = -2x + 5$ , donne $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : strictement décroissante.

3.4 Extrema

Définition 3.12 (Maximum, minimum)

Soit $f$ définie sur $D$ et $a \in D$ . La valeur $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $D$ lorsque $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x \in D$ ; c’est le minimum lorsque $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in D$ . Sur un graphique, ce sont les points les plus hauts et les plus bas de la courbe.

Exemple 3.13

Montrer que $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ a pour minimum $2$ sur $\R$ , atteint en $x = 1$ . Pour tout $x$ , le carré $(x-1)^2$ est $\geq 0$ , donc $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; et $f(1) = 0 + 2 = 2$ , donc la valeur $2$ est effectivement atteinte. Ces deux faits ensemble prouvent que $2$ est le minimum.

La courbe de f(x) = (x-1)2 + 2 ne descend jamais sous la droite en pointillés y = 2, et la touche en x = 1 : le minimum de f est 2. — La courbe de $f(x) = (x-1)^2 + 2$ ne descend jamais sous la droite en pointillés $y = 2$ , et la touche en $x = 1$ : le minimum de $f$ est $2$ .

3.5 Exercices

Exercice 3.1 ★

Soit $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ . Calculer les images de $0$ , $2$ , $-1$ et $\frac12$ .

Solution

Solution de Exercice 3.1.

$f(0) = 1$ ; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ ; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$ ; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 - \tfrac32 + 1 = 0$ .

Exercice 3.2 ★

Donner l’ensemble de définition de chaque fonction :

f(x) = 5x - 2, \qquad g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.

Solution

Solution de Exercice 3.2.

$f$ : aucune contrainte, ensemble de définition $\R$ .

$g$ : exige $x + 4 \neq 0$ , ensemble de définition tous les réels sauf $-4$ .

$h$ : exige $2x - 6 \geq 0$ , c’est-à-dire $x \geq 3$ : ensemble de définition $\intco{3}{+\infty}$ .

$k$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ ne s’annule jamais, ensemble de définition $\R$ .

Exercice 3.3 ★

Soit $f(x) = x^2 - 2x$ . Trouver tous les antécédents de $0$ , de $3$ , et de $-1$ .

Solution

Solution de Exercice 3.3.

Antécédents de $0$ : $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$ , donc $0$ et $2$ .

Antécédents de $3$ : $x^2 - 2x = 3$ , c’est-à-dire $x^2 - 2x - 3 = 0$ , c’est-à-dire $(x-3)(x+1) = 0$ (vérifier en développant), donc $3$ et $-1$ .

Antécédents de $-1$ : $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$ , donc l’unique antécédent $1$ .

Exercice 3.4 ★

Le point $A(-1, 4)$ appartient-il au graphique de $f(x) = x^2 - 2x + 1$ ? Et le point $B(2, 1)$ ? Justifier par un calcul.

Solution

Solution de Exercice 3.4.

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$ : oui, $A(-1, 4)$ est sur le graphique. $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$ : oui, $B(2, 1)$ est aussi sur le graphique.

Exercice 3.5 ★

Une fonction $g$ définie sur $\intcc{-3}{5}$ a le tableau de variations

$x$	$-3$		$0$		$3$		$5$
$g$	$1$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$

Quels sont le maximum et le minimum de $g$ sur $\intcc{-3}{5}$ ?
Comparer $g(-1)$ et $g(-0.5)$ sans connaître leurs valeurs.
Combien de solutions l’équation $g(x) = 0$ a-t-elle au plus sur chaque intervalle du tableau ?

Solution

Solution de Exercice 3.5.

1. La plus grande valeur du tableau est $4 = g(3)$ (maximum), la plus petite est $-2 = g(0)$ (minimum).

2. Sur $\intcc{-3}{0}$ la fonction décroît, et $-1 < -0.5$ , donc $g(-1) \geq g(-0.5)$ .

3. Sur chaque intervalle de monotonie, $g$ prend chaque valeur au plus une fois, donc $g(x) = 0$ a au plus une solution par intervalle : au plus $3$ solutions au total. (Ici $0$ est entre $-2$ et $1$ , entre $-2$ et $4$ , et entre $0$ et $4$ , donc il y en a exactement trois.)

Exercice 3.6 ★★

Soit $f(x) = -2x + 7$ . Montrer, en comparant $f(u)$ et $f(v)$ pour $u < v$ , que $f$ est strictement décroissante sur $\R$ .

Solution

Solution de Exercice 3.6.

Soit $u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,

car $v - u > 0$ . Donc $f(v) < f(u)$ : $f$ est strictement décroissante sur $\R$ .

Exercice 3.7 ★★

Montrer que la fonction $f(x) = x^2 + 6x + 11$ a un minimum sur $\R$ , et donner sa valeur et où il est atteint. (Indication : écrire $f(x) = (x + 3)^2 + c$ pour la bonne constante $c$ .)

Solution

Solution de Exercice 3.7.

Compléter le carré : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , donc

f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .

Pour tout $x$ , $(x+3)^2 \geq 0$ , donc $f(x) \geq 2$ ; et $f(-3) = 0 + 2 = 2$ . Le minimum de $f$ est $2$ , atteint en $x = -3$ .

Exercice 3.8 ★★

Un jardin rectangulaire a un périmètre de $40$ m. Soit $x$ sa largeur, en mètres.

Exprimer la longueur, puis l’aire $A(x)$ , en fonction de $x$ . Pour quels $x$ cela a-t-il un sens ?
Calculer $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ et $A(16)$ . Que conjecturer sur la forme d’aire maximale ?

Solution

Solution de Exercice 3.8.

1. Longueur $+$ largeur $= 20$ , donc la longueur est $20 - x$ et

A(x) = x(20 - x).

Les deux dimensions doivent être positives : $0 < x < 20$ .

2. $A(4) = 64$ , $A(8) = 96$ , $A(10) = 100$ , $A(12) = 96$ , $A(16) = 64$ . Les valeurs croissent jusqu’à $x = 10$ puis décroissent symétriquement : l’aire semble maximale pour $x = 10$ , c’est-à-dire pour un jardin carré. (Chapitre 10 prouve cette conjecture.)

Exercice 3.9 ★★

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ , définie sur $\R$ .

Montrer que $0 < f(x) \leq 1$ pour tout réel $x$ .
$f$ a-t-elle un maximum sur $\R$ ? Un minimum ? Justifier.

Solution

Solution de Exercice 3.9.

1. Pour tout $x$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ , donc $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ est positif, et comme $x^2 + 1 \geq 1$ , en prenant les inverses (les deux membres positifs) on obtient $f(x) \leq 1$ .

2. Maximum : $f(0) = 1$ et $f(x) \leq 1$ pour tout $x$ , donc $1$ est le maximum, atteint en $0$ . Minimum : $f(x) > 0$ toujours, mais aucune valeur de $x$ n’atteint $0$ (un quotient de nombres non nuls est non nul), et $f$ prend des valeurs aussi proches de $0$ que l’on veut pour $x$ grand ; donc $f$ n’a pas de minimum.

Exercice 3.10 ★★★

Soit $f(x) = x^2$ sur $\R$ .

Soit $0 \leq u < v$ . Factoriser $f(v) - f(u)$ et en déduire que $f$ est strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ .
Adapter l’argument pour montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ .

Solution

Solution de Exercice 3.10.

1. $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Si $0 \leq u < v$ , alors $v - u > 0$ et $v + u > 0$ (somme d’un nombre positif ou nul et d’un nombre positif), donc $f(v) - f(u) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ .

2. Si $u < v \leq 0$ , alors $v - u > 0$ encore, mais maintenant $v + u < 0$ (somme d’un nombre négatif ou nul et d’un nombre négatif), donc $f(v) - f(u) < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ .