Qu'est-ce que « Croissante, décroissante » ? — Mathématiques

Définition 3.8 Mathématiques du lycée · Chapitre 3 — Fonctions

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ lorsque pour tous $u, v \in I$ , si $u < v$ alors $f(u) \leq f(v)$ : les sorties croissent avec les entrées, et le graphique monte de gauche à droite.
$f$ est décroissante sur $I$ lorsque $u < v$ implique $f(u) \geq f(v)$ : le graphique descend de gauche à droite.

Avec des inégalités strictes $f(u) < f(v)$ (resp. $>$ ) on dit strictement croissante (resp. décroissante).

Exemples

Exemple 3.10

Considérons la fonction grapquée ci-dessous sur $\intcc{-2}{4}$ .

Une fonction définie sur [-2, 4], croissante puis décroissante. — Une fonction définie sur $\intcc{-2}{4}$ , croissante puis décroissante.

Lecture du graphique : $f$ croît de $f(-2) = -1.5$ jusqu’à son maximum $f(1) = 3$ , puis décroît jusqu’à $f(4) = -1.5$ . Son tableau de variations est

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Exemple 3.11 (Démontrer une variation)

Montrer que $f(x) = 3x + 1$ est strictement croissante sur $\R$ . Prendre $u < v$ quelconques et comparer les images :

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

car $v - u > 0$ . Donc $f(u) < f(v)$ : la fonction est strictement croissante. Le même calcul avec un coefficient négatif, par exemple $g(x) = -2x + 5$ , donne $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : strictement décroissante.

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Définition 11.4 Mathématiques du lycée · Chapitre 11 — Fonctions et variations

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . La fonction $f$ est croissante sur $I$ si elle préserve l’ordre :

\text{pour tous } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

et décroissante si elle inverse l’ordre ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Avec des inégalités strictes à droite, $f$ est strictement croissante (resp. décroissante). Une fonction qui est croissante ou décroissante sur $I$ est monotone sur $I$ .

Exemples

Exemple 11.10

Étudier $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ sur $\R$ . La fonction intérieure $u(x) = x^2 + 1$ est positive, décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ et croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ (un carré décalé). Par le point 3, $f$ a les mêmes variations : décroissante puis croissante, avec minimum $f(0) = 1$ .

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Exemples

Exemples

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