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Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « Croissante, décroissante » ?

Aussi appelé : fonction croissante · fonction décroissante

Définition 3.8 Mathématiques du lycée · Chapitre 3 — Fonctions

Soit ff définie sur un intervalle II.

  • ff est croissante sur II lorsque pour tous u,v∈Iu, v \in I, si u<vu < v alors f(u)≤f(v)f(u) \leq f(v) : les sorties croissent avec les entrées, et le graphique monte de gauche à droite.
  • ff est décroissante sur II lorsque u<vu < v implique f(u)≥f(v)f(u) \geq f(v) : le graphique descend de gauche à droite.

Avec des inégalités strictes f(u)<f(v)f(u) < f(v) (resp. >>) on dit strictement croissante (resp. décroissante).

Exemples

Exemple 3.10

Considérons la fonction grapquée ci-dessous sur [−2, 4]\intcc{-2}{4}.

Une fonction définie sur [-2, 4], croissante puis décroissante.
Une fonction définie sur [−2, 4]\intcc{-2}{4}, croissante puis décroissante.

Lecture du graphique : ff croît de f(−2)=−1.5f(-2) = -1.5 jusqu’à son maximum f(1)=3f(1) = 3, puis décroît jusqu’à f(4)=−1.5f(4) = -1.5. Son tableau de variations est

xx−2-21144
ff−1.5-1.5↗\nearrow33↘\searrow−1.5-1.5

Exemple 3.11 (Démontrer une variation)

Montrer que f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 est strictement croissante sur R\R. Prendre u<vu < v quelconques et comparer les images :

f(v)−f(u)=(3v+1)−(3u+1)=3(v−u)>0,f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

car v−u>0v - u > 0. Donc f(u)<f(v)f(u) < f(v) : la fonction est strictement croissante. Le même calcul avec un coefficient négatif, par exemple g(x)=−2x+5g(x) = -2x + 5, donne g(v)−g(u)=−2(v−u)<0g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0 : strictement décroissante.

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Définition 11.4 Mathématiques du lycée · Chapitre 11 — Fonctions et variations

Soit ff définie sur un intervalle II. La fonction ff est croissante sur II si elle préserve l’ordre :

pour tous u,v∈I:u<v  ⟹  f(u)≤f(v),\text{pour tous } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

et décroissante si elle inverse l’ordre (u<v  ⟹  f(u)≥f(v)u < v \implies f(u) \geq f(v)). Avec des inégalités strictes à droite, ff est strictement croissante (resp. décroissante). Une fonction qui est croissante ou décroissante sur II est monotone sur II.

Exemples

Exemple 11.10

Étudier f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1} sur R\R. La fonction intérieure u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1 est positive, décroissante sur (−∞, 0]\intoc{-\infty}{0} et croissante sur [0, +∞)\intco{0}{+\infty} (un carré décalé). Par le point 3, ff a les mêmes variations : décroissante puis croissante, avec minimum f(0)=1f(0) = 1.

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