Qu'est-ce que « Médiane » ? — Mathématiques

Définition 8.5 Mathématiques du lycée · Chapitre 8 — Statistique descriptive

La médiane est une valeur qui partage la série triée en deux moitiés : au moins la moitié des valeurs sont $\leq$ la médiane, et au moins la moitié sont $\geq$ à elle. En pratique, trier les $N$ valeurs ;

si $N$ est impair, la médiane est la valeur du milieu, en position $\frac{N+1}{2}$ ;
si $N$ est pair, prendre le milieu des deux valeurs centrales, en positions $\frac N2$ et $\frac N2 + 1$ .

Exemples

Exemple 8.6

Série triée de $7$ prix de maisons (en milliers) : $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . La médiane est la $4$ -ième valeur, $180$ . La moyenne est $\frac{1960}{7} = 280$ — plus grande que $6$ des $7$ prix ! Une valeur extrême ( $900$ ) tire la moyenne bien plus que la médiane : la médiane est robuste, la moyenne ne l’est pas.

Exemple 8.9

Prendre les $11$ valeurs triées

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Médiane : position $\frac{11+1}{2} = 6$ , donc la médiane est $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , arrondir à $3$ ; la $3$ -ième valeur est $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , arrondir à $9$ ; la $9$ -ième valeur est $9$ . Étendue : $12 - 2 = 10$ ; écart interquartile : $9 - 5 = 4$ .

Exemple 8.10 (Comparer deux groupes)

Deux classes passent le même test (notes sur $20$ ) :

	médiane	$Q_1$	$Q_3$
classe A	$12$	$10$	$14$
classe B	$12$	$6$	$17$

Même médiane, dispersions très différentes : la classe A est homogène (la moitié de ses notes dans $\intcc{10}{14}$ ), la classe B est hétérogène (sa moitié centrale s’étend sur $\intcc{6}{17}$ ). Les indicateurs de position seuls ne disent jamais toute l’histoire.

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Définition 17.2 Mathématiques du lycée · Chapitre 17 — Statistique descriptive

Une médiane d’un jeu de données trié est une valeur qui le partage en deux : au moins la moitié des valeurs sont $\leq$ à elle, et au moins la moitié sont $\geq$ à elle. En pratique, trier les $n$ valeurs ; si $n$ est impair, la médiane est la valeur du milieu ; si $n$ est pair, prendre le milieu des deux valeurs centrales.

Exemples

Exemple 17.3

Pour le jeu fil rouge, la somme est $144$ , donc $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . Les deux valeurs centrales ( $6$ -ième et $7$ -ième de la liste triée) sont toutes deux $12$ , donc la médiane est $12$ aussi. Moyenne et médiane n’ont pas besoin de coïncider : la médiane ignore à quel point les valeurs extrêmes sont éloignées, la moyenne non. Remplacer la note haute $17$ par $20$ déplace la moyenne à $12.25$ mais laisse la médiane à $12$ .

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