17Statistique descriptive

Solution de Problème 17.1.

1. Moyenne $\bar x = \frac{25}{5} = 5$. Carrés des écarts : $1, 9, 1, 0, 9$ : variance $\frac{20}{5} = 4$, donc $\sigma = 2$.

2. Moyenne des carrés : $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$ ; moins $\bar x^2 = 25$ : variance $4$. Même réponse, moitié moins de travail.

3. Moyenne $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times 14}{10} = 10.2$ ; variance $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 + 2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$ ; $\sigma \approx 2.09$.

4. Moyenne : $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$F ; $\sigma$ : $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$F — la translation de $+32$ n’étale rien du tout.

5. En ajoutant $b$ : chaque écart $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ est inchangé, donc la variance aussi. En multipliant par $a$ : les écarts sont multipliés par $a$, leurs carrés par $a^2$, la variance par $a^2$, et $\sigma$ par $\sqrt{a^2} = \abs a$.

6. $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$ ; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$. Alice se détache davantage de son groupe : le $15$ du contrôle difficile bat le $13$ du contrôle facile.

7. Cotes $z$ : $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$ : moyenne $0$, écart type $1$. En général, standardiser revient à retrancher $\bar x$ (ce qui annule la moyenne sans toucher à $\sigma$) puis à diviser par $\sigma$ (ce qui ramène le nouvel écart type à $1$) : la question 5, appliquée deux fois.

8. $z = 2$ : $100 + 2 \times 15 = 130$. Et $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$.

9. Le bébé se situe $2.5$ écarts types au-dessous du poids moyen des bébés de son âge — inquiétant pour sa cohorte. Les kilogrammes bruts ne se comparent pas d’un âge à l’autre (tous les bébés grossissent) ; les cotes z mesurent chaque enfant face à sa propre classe d’âge, une seule règle pour tous les âges.

10. Moyenne $5$ ; moyenne des carrés $\frac{622}{10} = 62.2$, variance $37.2$, $\sigma \approx 6.10$ ; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$ : juste sous le seuil d’alerte — le test cille à peine.

11. Sans le $23$ : moyenne $3$, variance $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$, $\sigma \approx 1.15$ ; face à cette règle assainie, $23$ obtient $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ : un monstre. La valeur aberrante avait gonflé à la fois la moyenne et $\sigma$, se camouflant ainsi elle-même — c’est pourquoi l’Exercice 17.10 recommande des résumés robustes (médiane, écart interquartile) lorsque la contamination menace.

12. Dans la somme $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$, ne gardons que les termes vérifiant $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ : il y en a $pN$, chacun valant au moins $(k\sigma)^2$, donc $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 = p\,k^2\sigma^2$ ; en divisant par $k^2 \sigma^2$ (dispersion non nulle) : $p \leq \frac{1}{k^2}$.

13. Au-delà de $2\sigma$ : au plus $\frac14 = 25\,\%$ de n’importe quelle série ; au-delà de $3\sigma$ : au plus $\frac19 \approx 11\,\%$. Pour les données de la question 1 : au-delà de $2\sigma = 4$ de la moyenne $5$ signifie $\leq 1$ ou $\geq 9$, c’est-à-dire aucune des cinq valeurs — $0\,\% \leq 25\,\%$, comme promis.

14. Être hors de $\intcc{49.7}{50.3}$, c’est être au-delà de $3\sigma$ : au plus $\frac19$ de la production, quelle que soit la forme de la distribution — Tchebychev n’exige rien d’autre qu’une moyenne et un $\sigma$. Une production en cloche se concentre bien mieux (environ $0.3\,\%$ au-delà de $3\sigma$) : la loi normale, l’an prochain.

15. $-19\,\%$ se situe $24$ points sous la moyenne $5$. Fonds B : $24 = 2\sigma_B$, donc Tchebychev autorise jusqu’à $\frac14$ des années aussi mauvaises. Fonds A : $24 = 12\sigma_A$, donc au plus $\frac{1}{144}$. Même rendement moyen, dangers sans commune mesure — $\sigma$ est ce que la finance appelle le risque (ou la volatilité).

16. Développons autour de $\bar x$ : $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2 = (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) + (\bar x - c)^2$. En moyennant, le terme du milieu disparaît (les écarts à la moyenne se compensent), et il reste $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ — minimal exactement en $c = \bar x$, avec pour minimum $\sigma^2$. La moyenne est le centre des moindres carrés, comme la médiane est le centre des moindres écarts absolus (Problème 8.1).

17. Directement : les écarts à $6$ valent $-2, 2, 0, -1, -4$, de carrés $4, 4, 0, 1, 16$, donc $f(6) = \frac{25}{5} = 5$. Par la formule : $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$. Les deux concordent.

18. Les deux séries ont pour moyenne $7$ ; variances : $P$ : $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$ ; $Q$ : $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$ : deux dispersions derrière une même moyenne. Pour $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ : la variance $\frac{2a^2}{5} = 8$ donne $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ : la série $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ porte exactement la moyenne et la variance de $P$ avec un profil complètement différent — les résumés compriment, et comprimer fait perdre.

19. $\sigma^2 = 0$ signifie qu’une somme de carrés $(x_i - \bar x)^2$ s’annule ; les carrés étant $\geq 0$, une somme nulle force chaque terme à être nul : $x_i = \bar x$ pour tout $i$ — toutes les valeurs sont égales.

20. Les centres disent où vivent les données ; les dispersions, avec quel relâchement ; la cote z pose une seule règle sur toutes les séries, tous les contrôles, tous les âges et toutes les monnaies ; Tchebychev convertit $\sigma$ en garantie inconditionnelle ; et la question 18 nous garde honnêtes — jamais une poignée de nombres ne contient toute l’histoire. L’an prochain, la courbe en cloche affinera la règle en probabilités exactes.