Mathématiques du lycée · Grades 10–12

17Statistique descriptive

La statistique comprime une liste de nombres en quelques résumés signifiants : où se situent les données (moyenne, médiane), et comment elles sont dispersées (quartiles, variance, écart type). Ce chapitre calcule tout sur un exemple fil rouge. Les mêmes résumés réapparaissent pour les variables aléatoires dans le Chapitre 18, et leurs lois probabilistes dans le Chapitre 34.

Tout au long du chapitre, notre jeu de données fil rouge est les notes (sur $20$ ) d’une classe de $12$ élèves :

8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .

17.1 Moyenne et médiane

Définition 17.1 (Moyenne)

La moyenne des valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ est

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

Si la valeur $x_i$ apparaît avec l’effectif $n_i$ (avec $n_1 + \dots + n_k = n$ ), alors $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

Définition 17.2 (Médiane)

Une médiane d’un jeu de données trié est une valeur qui le partage en deux : au moins la moitié des valeurs sont $\leq$ à elle, et au moins la moitié sont $\geq$ à elle. En pratique, trier les $n$ valeurs ; si $n$ est impair, la médiane est la valeur du milieu ; si $n$ est pair, prendre le milieu des deux valeurs centrales.

Exemple 17.3

Pour le jeu fil rouge, la somme est $144$ , donc $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . Les deux valeurs centrales ( $6$ -ième et $7$ -ième de la liste triée) sont toutes deux $12$ , donc la médiane est $12$ aussi. Moyenne et médiane n’ont pas besoin de coïncider : la médiane ignore à quel point les valeurs extrêmes sont éloignées, la moyenne non. Remplacer la note haute $17$ par $20$ déplace la moyenne à $12.25$ mais laisse la médiane à $12$ .

17.2 Quartiles

Définition 17.4 (Quartiles, écart interquartile)

Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu’au moins un quart des données est $\leq Q_1$ ; le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins les trois quarts des données sont $\leq Q_3$ . L’écart interquartile est $Q_3 - Q_1$ : la largeur de la moitié centrale des données.

Exemple 17.5

$n = 12$ : un quart vaut $3$ , donc $Q_1$ est la $3$ -ième valeur triée : $Q_1 = 10$ . Trois quarts valent $9$ , donc $Q_3$ est la $9$ -ième valeur : $Q_3 = 13$ . L’écart interquartile est $3$ : la moitié centrale de la classe se trouve dans un intervalle de $3$ points.

Le jeu fil rouge en diagramme en points, sa moyenne (rouge), et le résumé en cinq nombres au-dessus (orange) : minimum, Q_1, médiane, Q_3, maximum. La boîte contient la moitié centrale des données. — Le jeu fil rouge en diagramme en points, sa moyenne (rouge), et le résumé en cinq nombres au-dessus (orange) : minimum, $Q_1$ , médiane, $Q_3$ , maximum. La boîte contient la moitié centrale des données.

17.3 Variance et écart type

Définition 17.6 (Variance, écart type)

La variance du jeu de données est la moyenne des écarts au carré à la moyenne :

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,

et l’écart type est $\sigma = \sqrt{V}$ , exprimé dans la même unité que les données.

Proposition 17.7 (Formule de König–Huygens)

La variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne :

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.

Démonstration. Développer chaque écart au carré : $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$ . En sommant et en divisant par $n$ :

V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .

La même identité, pour les variables aléatoires, est la Proposition 18.13. ∎

Exemple 17.8

Pour le jeu fil rouge, les écarts à $\bar x = 12$ sont $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ ; leurs carrés somment à

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

D’où

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ points}.

En gros, une note typique se situe à environ $2.6$ points de la moyenne.

Proposition 17.9 (Changement d’unités)

Si chaque valeur est transformée par $y_i = a x_i + b$ , alors

\bar y = a \bar x + b, \qquad V_y = a^2\, V_x, \qquad \sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .

Démonstration. $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) + \frac1n \cdot nb = a\bar x + b$ . Puis $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$ : chaque écart est multiplié par $a$ (le décalage $b$ s’annule), donc chaque écart au carré est multiplié par $a^2$ , et sa moyenne aussi. En prenant les racines carrées, $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$ . ∎

Exemple 17.10

Des températures enregistrées en degrés Celsius de moyenne $20$ et d’écart type $3$ se convertissent en Fahrenheit par $F = 1.8\,C + 32$ : la moyenne devient $1.8 \times 20 + 32 = 68$ , l’écart type $1.8 \times 3 = 5.4$ . Décaler un jeu de données ne change pas sa dispersion ; le redimensionner redimensionne la dispersion.

Méthode 17.11 (Résumer et comparer des jeux de données)

Pour comparer deux jeux de données, mettre côte à côte : moyenne (ou médiane) pour la position, écart type (ou écart interquartile) pour la dispersion. Le couple (médiane, écart interquartile) est robuste aux valeurs extrêmes ; le couple (moyenne, écart type) utilise chaque valeur et alimente la théorie des probabilités.

Exemple 17.12

Deux archers tirent chacun $10$ flèches ; les scores moyennent $8.5$ pour les deux, mais les écarts types sont $0.5$ et $2.1$ . Même niveau en moyenne — mais le premier archer est bien plus régulier.

17.4 Exercices

Exercice 17.1 ★

Calculer la moyenne, la médiane, les quartiles et l’écart interquartile du jeu de données

5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .

Solution

Solution de Exercice 17.1.

$n = 8$ , somme $71$ : moyenne $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$ . Médiane : milieu des $4$ -ième et $5$ -ième valeurs, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$ . Quartiles : un quart de $8$ est $2$ , donc $Q_1$ est la $2$ -ième valeur, $7$ ; trois quarts est $6$ , donc $Q_3$ est la $6$ -ième valeur, $10$ . Écart interquartile : $10 - 7 = 3$ .

Exercice 17.2 ★

Calculer la variance et l’écart type du jeu de données $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (moyenne d’abord, puis la formule de König–Huygens de la Proposition 17.7).

Solution

Solution de Exercice 17.2.

Somme $40$ , donc $\bar x = 5$ . Somme des carrés : $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$ . Par la formule de König–Huygens,

V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4, \qquad \sigma = 2 .

Exercice 17.3 ★

Un dé est lancé $50$ fois ; les issues sont résumées par des effectifs :

issue	1	2	3	4	5	6
effectif	6	9	8	10	9	8

Calculer la moyenne des issues et la médiane.

Solution

Solution de Exercice 17.3.

Moyenne :

\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10 + 5 \times 9 + 6 \times 8}{50} = \frac{181}{50} = 3.62 .

Médiane : les effectifs cumulés sont $6, 15, 23, 33, \dots$ , donc les $25$ -ième et $26$ -ième issues triées sont toutes deux $4$ : la médiane est $4$ .

Exercice 17.4 ★★

Une classe de $15$ élèves a une moyenne de $11.2$ . Un $16$ -ième élève arrive et obtient $18$ . Quelle est la nouvelle moyenne de la classe ?

Solution

Solution de Exercice 17.4.

Le total des $15$ notes est $15 \times 11.2 = 168$ ; avec le nouvel arrivant, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$ .

Exercice 17.5 ★★

La moyenne du jeu de données $6, 8, x, 12, 14$ est $10$ . Trouver $x$ , puis calculer l’écart type du jeu complété.

Solution

Solution de Exercice 17.5.

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ donne $40 + x = 50$ , donc $x = 10$ . Les écarts de $6, 8, 10, 12, 14$ à la moyenne $10$ sont $-4, -2, 0, 2, 4$ , de carrés sommant à $40$ : $V = \frac{40}{5} = 8$ et $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$ .

Exercice 17.6 ★

Des notes de moyenne $12.4$ et d’écart type $2.5$ sont redimensionnées par $y = \frac{x}{2} + 4$ . Donner la nouvelle moyenne et le nouvel écart type.

Solution

Solution de Exercice 17.6.

Par la Proposition 17.9 avec $a = \frac12$ , $b = 4$ : nouvelle moyenne $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$ ; nouvel écart type $\frac{2.5}{2} = 1.25$ .

Exercice 17.7 ★★

Le groupe A ( $20$ valeurs) a pour moyenne $10$ ; le groupe B ( $30$ valeurs) a pour moyenne $15$ . Calculer la moyenne des $50$ valeurs mises ensemble. Est-ce le milieu $12.5$ ? Pourquoi pas ?

Solution

Solution de Exercice 17.7.

La moyenne regroupée est la moyenne pondérée

\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,

pas $12.5$ : le groupe B contribue plus de valeurs, donc tire la moyenne regroupée vers la sienne.

Exercice 17.8 ★★

Deux chaînes de production remplissent des sacs de sucre de $1$ kg. Des échantillons donnent : chaîne 1 : moyenne $1.002$ kg, écart type $0.006$ kg ; chaîne 2 : moyenne $1.001$ kg, écart type $0.019$ kg. Quelle chaîne recalibrer en premier, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 17.8.

Les deux chaînes sont presque dans la cible en moyenne ( $1.002$ et $1.001$ kg), mais l’écart type de la chaîne 2 est trois fois plus grand : ses sacs varient beaucoup plus, produisant bien plus de sacs manifestement sous- et sur-remplis. La chaîne 2 doit être traitée en premier — c’est la régularité, pas seulement la moyenne, qu’il faut corriger.

Exercice 17.9 ★★

Un jeu de données de $n = 10$ valeurs a $\sum x_i = 70$ et $\sum x_i^2 = 540$ . Calculer sa moyenne, sa variance et son écart type.

Solution

Solution de Exercice 17.9.

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$ ; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$ ; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$ .

Exercice 17.10 ★★★

Le jeu de données $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ contient une valeur aberrante.

Calculer la moyenne et la médiane avec et sans la valeur $23$ .
Calculer l’écart interquartile avec et sans $23$ .
Quels résumés sont robustes à la valeur aberrante ? Conclure avec une recommandation.

Solution

Solution de Exercice 17.10.

1. Avec $23$ : somme $50$ , moyenne $5$ ; médiane $=$ milieu des $5$ -ième et $6$ -ième valeurs $= 3$ . Sans $23$ : somme $27$ , moyenne $3$ ; médiane ( $5$ -ième sur $9$ valeurs) $= 3$ .

2. Avec $23$ ( $n = 10$ ) : $Q_1$ est la $3$ -ième valeur ( $2$ ), $Q_3$ la $8$ -ième ( $4$ ) : écart interquartile $2$ . Sans ( $n = 9$ ) : $Q_1$ est la $3$ -ième valeur ( $2$ ), $Q_3$ la $7$ -ième ( $4$ ) : encore $2$ .

3. L’unique valeur aberrante tire la moyenne de $3$ à $5$ mais laisse la médiane et l’écart interquartile inchangés : ces deux-là sont robustes. Lorsqu’un jeu de données peut contenir des valeurs aberrantes, rapporter la médiane et l’écart interquartile plutôt que la moyenne et l’écart type.