Mathématiques du lycée · Grades 10–12

8Statistique descriptive

La statistique résume une grande collection de nombres — notes, salaires, températures — par quelques indicateurs bien choisis. Ce chapitre introduit les deux familles d’indicateurs : ceux qui localisent le centre des données (moyenne, médiane) et ceux qui mesurent leur dispersion (étendue, quartiles). Un traitement plus approfondi, incluant l’écart type, vient dans le Chapitre 17.

8.1 Données et fréquences

Définition 8.1 (Série statistique)

Une série statistique est une liste de valeurs $x_1, x_2, \dots, x_N$ observées sur une population de taille $N$ . Lorsqu’une valeur $x$ apparaît $n$ fois, $n$ est son effectif et le quotient

f = \frac{n}{N}

est sa fréquence (souvent exprimée en pourcentage). Les fréquences de toutes les valeurs s’additionnent à $1$ .

Exemple 8.2

Les notes de $20$ élèves à un quiz sur $5$ points :

note $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
effectif $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
fréquence $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

Vérification : $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ et les fréquences somment à $1$ .

Le diagramme en bâtons des notes du quiz : un bâton par valeur, de hauteur égale à l’effectif.

8.2 Indicateurs de position

Définition 8.3 (Moyenne)

La moyenne de la série est

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Si les valeurs $v_1, \dots, v_k$ apparaissent avec les effectifs $n_1, \dots, n_k$ , le même nombre se calcule comme la moyenne pondérée

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Exemple 8.4

Pour le quiz de l’Exemple 8.2 :

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Définition 8.5 (Médiane)

La médiane est une valeur qui partage la série triée en deux moitiés : au moins la moitié des valeurs sont $\leq$ la médiane, et au moins la moitié sont $\geq$ à elle. En pratique, trier les $N$ valeurs ;

si $N$ est impair, la médiane est la valeur du milieu, en position $\frac{N+1}{2}$ ;
si $N$ est pair, prendre le milieu des deux valeurs centrales, en positions $\frac N2$ et $\frac N2 + 1$ .

Exemple 8.6

Série triée de $7$ prix de maisons (en milliers) : $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . La médiane est la $4$ -ième valeur, $180$ . La moyenne est $\frac{1960}{7} = 280$ — plus grande que $6$ des $7$ prix ! Une valeur extrême ( $900$ ) tire la moyenne bien plus que la médiane : la médiane est robuste, la moyenne ne l’est pas.

8.3 Indicateurs de dispersion

Définition 8.7 (Étendue, quartiles)

Pour une série triée :

l’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur ;
le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu’au moins un quart ( $25\,\%$ ) des valeurs sont $\leq Q_1$ ; le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins les trois quarts ( $75\,\%$ ) des valeurs sont $\leq Q_3$ ;
l’écart interquartile $Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion de la moitié centrale des données.

Méthode 8.8 (Trouver les quartiles)

Pour une série de $N$ valeurs triées :

calculer $\frac N4$ ; s’il n’est pas entier, l’arrondir au-dessus à l’entier suivant ; $Q_1$ est la valeur en cette position ;
calculer $\frac{3N}{4}$ ; arrondir au-dessus si besoin ; $Q_3$ est la valeur en cette position.

Exemple 8.9

Prendre les $11$ valeurs triées

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Médiane : position $\frac{11+1}{2} = 6$ , donc la médiane est $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , arrondir à $3$ ; la $3$ -ième valeur est $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , arrondir à $9$ ; la $9$ -ième valeur est $9$ . Étendue : $12 - 2 = 10$ ; écart interquartile : $9 - 5 = 4$ .

Le diagramme en boîte de l’ : la boîte s’étend sur l’intervalle interquartile [Q_1, Q_3] et contient la moitié centrale des données ; les moustaches atteignent les valeurs extrêmes. — Le diagramme en boîte de l’Exemple 8.9 : la boîte s’étend sur l’intervalle interquartile $\intcc{Q_1}{Q_3}$ et contient la moitié centrale des données ; les moustaches atteignent les valeurs extrêmes.

Exemple 8.10 (Comparer deux groupes)

Deux classes passent le même test (notes sur $20$ ) :

	médiane	$Q_1$	$Q_3$
classe A	$12$	$10$	$14$
classe B	$12$	$6$	$17$

Même médiane, dispersions très différentes : la classe A est homogène (la moitié de ses notes dans $\intcc{10}{14}$ ), la classe B est hétérogène (sa moitié centrale s’étend sur $\intcc{6}{17}$ ). Les indicateurs de position seuls ne disent jamais toute l’histoire.

Remarque 8.11

Ni la moyenne ni la médiane n’est « meilleure » : la moyenne utilise chaque valeur (et est nécessaire pour calculer des totaux), la médiane résiste aux valeurs extrêmes. Un résumé sérieux d’une série donne au moins un indicateur de position et un de dispersion.

8.4 Exercices

Exercice 8.1 ★

Voici le nombre de livres lus en un an par $15$ élèves :

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

Calculer la moyenne, la médiane et l’étendue de cette série.

Solution

Solution de Exercice 8.1.

Somme : $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , donc la moyenne est $\frac{60}{15} = 4$ . La série est déjà triée et $N = 15$ est impair : la médiane est la $8$ -ième valeur, $3$ . Étendue : $12 - 0 = 12$ .

Exercice 8.2 ★

Un dé a été lancé $50$ fois :

issue	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
effectif	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

Calculer la fréquence de chaque issue et la moyenne des issues.

Solution

Solution de Exercice 8.2.

Fréquences : $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (somme $1$ ). Issue moyenne :

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

Exercice 8.3 ★

Trouver la médiane, $Q_1$ et $Q_3$ de la série triée

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

et dessiner le diagramme en boîte correspondant.

Solution

Solution de Exercice 8.3.

$N = 12$ (pair) : la médiane est le milieu des $6$ -ième et $7$ -ième valeurs, toutes deux égales à $6$ : médiane $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , donc $Q_1$ est la $3$ -ième valeur : $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , donc $Q_3$ est la $9$ -ième valeur : $8$ .

Diagramme en boîte : boîte de $4$ à $8$ avec la barre de médiane en $6$ , moustaches de $1$ à $11$ .

Exercice 8.4 ★

La moyenne de $24$ notes de test est $11.5$ . Un $25$ -ième élève passe le test et obtient $19$ . Quelle est la nouvelle moyenne de la classe ?

Solution

Solution de Exercice 8.4.

Les $24$ notes totalisent $24 \times 11.5 = 276$ . Avec la nouvelle note le total est $276 + 19 = 295$ pour $25$ élèves : nouvelle moyenne $\frac{295}{25} = 11.8$ .

Exercice 8.5 ★★

Un élève a une moyenne de $12$ après $5$ tests, tous de même poids. Quelle note au $6$ -ième test porterait la moyenne à $13$ ? Une moyenne de $14$ est-elle atteignable (notes sur $20$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 8.5.

Total actuel : $5 \times 12 = 60$ . Une moyenne de $13$ sur $6$ tests exige un total de $78$ , donc la $6$ -ième note doit être $78 - 60 = 18$ . Une moyenne de $14$ exigerait $84 - 60 = 24 > 20$ : non atteignable.

Exercice 8.6 ★★

Inventer une série de $7$ valeurs positives ou nulles dont la médiane est $10$ et dont la moyenne est plus grande que $20$ ; puis une dont la médiane est $10$ et dont la moyenne est plus petite que $6$ . Pourquoi la moyenne d’une telle série ne peut-elle jamais être plus petite que $\frac{40}{7}$ ? Que montrent ces exemples ?

Solution

Solution de Exercice 8.6.

Moyenne plus grande que $20$ : par exemple $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — médiane $10$ (la $4$ -ième valeur triée), moyenne $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

Moyenne plus petite que $6$ : par exemple $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — médiane $10$ , moyenne $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

La moyenne ne peut pas descendre sous $\frac{40}{7}$ : pour que la médiane (la $4$ -ième valeur triée) soit $10$ , les valeurs en positions $4$ à $7$ doivent toutes être $\geq 10$ , donc le total est au moins $40$ et la moyenne au moins $\frac{40}{7}$ — le second exemple est extrémal.

Ces exemples montrent que la moyenne et la médiane sont largement indépendantes : connaître l’une dit peu sur l’autre, d’où l’intérêt d’un bon résumé qui rapporte les deux.

Exercice 8.7 ★★

Dans une entreprise, les $9$ employés gagnent $1800$ chacun par mois et le directeur gagne $12000$ .

Calculer le salaire moyen et le salaire médian.
Quel indicateur décrit le mieux un salaire « typique » ici ? Pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 8.7.

1. Moyenne : $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . Médiane : triés, les $10$ salaires sont neuf valeurs $1800$ puis $12000$ ; la médiane est le milieu des $5$ -ième et $6$ -ième valeurs, toutes deux $1800$ : médiane $1800$ .

2. La médiane ( $1800$ ) décrit le salaire typique : c’est ce que gagnent réellement $9$ employés sur $10$ . La moyenne ( $2820$ ) est tirée vers le haut par l’unique haut salaire et ne correspond à la fiche de paie de personne.

Exercice 8.8 ★★

Une classe de $12$ garçons a une taille moyenne de $168$ cm ; les $18$ filles de la même classe ont une taille moyenne de $163$ cm. Calculer la taille moyenne de toute la classe. (Attention : ce n’est pas le milieu de $168$ et $163$ — pondérer les moyennes par les tailles des groupes.)

Solution

Solution de Exercice 8.8.

Taille totale : $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm pour $30$ élèves, donc la moyenne est $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Elle est plus proche de la moyenne des filles car elles sont plus nombreuses (moyenne pondérée, poids $12$ et $18$ ).

Exercice 8.9 ★★★

Une série de $N$ valeurs $x_1, \dots, x_N$ a pour moyenne $\bar x$ . Chaque valeur est transformée en $y_i = a x_i + b$ pour des nombres fixes $a$ et $b$ .

Montrer que la moyenne de la nouvelle série est $a \bar x + b$ .
Les températures d’une semaine, en degrés Celsius, ont pour moyenne $20$ . Quelle est leur moyenne en degrés Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 8.9.

1. La nouvelle moyenne est

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. Avec $a = 1.8$ et $b = 32$ : moyenne $1.8 \times 20 + 32 = 68$ degrés Fahrenheit.

8.5 Problème : l’individu moyen n’existe pas

Problème 8.1

Devoir du week-end — moyenne contre médiane : valeurs aberrantes, barèmes rehaussés, l’entrepôt sur la route, et le cockpit conçu pour personne

En 1950, l’armée de l’air américaine mesura $4\,000$ pilotes sur dix dimensions corporelles et construisit le cockpit de l’homme moyen. Il allait — comme un lieutenant s’en aperçut en comptant — à peu près à personne. La statistique résume des foules par des nombres uniques, et chaque résumé dit la vérité sur quelque chose et ment sur autre chose. Ce problème traduit la moyenne et la médiane (Définition 8.3, Définition 8.5) devant le tribunal, laisse chacune montrer ce qu’elle sait faire de mieux, et referme le dossier du cockpit.

Partie I — Deux résumés à la barre.

Une rue vend sept maisons, en milliers d’euros : $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — et un manoir à $1\,200$ . Calculer le prix moyen et le prix médian. Lequel des deux nombres décrit « une maison de cette rue » ?
Retirer le manoir et recalculer les deux. De combien chaque résumé s’est-il déplacé ? Énoncer la morale sur les valeurs aberrantes.
Un tableau de recensement : sur $100$ familles, $20$ n’ont pas d’enfant, $25$ en ont un, $30$ en ont deux, $15$ en ont trois, $10$ en ont quatre. Calculer le nombre moyen d’enfants. Aucune famille « n’a $1.7$ enfant » — quelle quantité réelle la moyenne code-t-elle donc ? (La multiplier par $100$ .)
Pour les quinze notes $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : déterminer la médiane et les quartiles $Q_1$ , $Q_3$ (Méthode 8.8).
Pour la même série, donner l’étendue et l’écart interquartile. Que mesure chacun ?

Partie II — Barèmes rehaussés et classes regroupées.

D’après l’Exercice 8.9 : translater toutes les valeurs de $+b$ translate moyenne, médiane et quartiles de $+b$ ; les multiplier par $a$ les multiplie par $a$ . Qu’advient-il de l’étendue et de l’écart interquartile lors d’une translation ? Lors d’une multiplication ? Justifier.
Un contrôle a pour moyenne $9$ (sur $20$ ) et l’enseignant veut une moyenne de $12$ . Deux barèmes sont proposés : ajouter $3$ points à tout le monde, ou multiplier chaque note par $\frac43$ . Calculer le sort d’un élève à $6$ et d’un élève à $18$ sous chaque barème. Lequel favorise qui — et lequel se heurte à un problème de plafond ?
La classe A ( $20$ élèves) a pour moyenne $12$ ; la classe B ( $30$ élèves) a pour moyenne $10$ . Calculer la moyenne des $50$ élèves réunis, et expliquer pourquoi elle ne vaut pas $11$ (la leçon des moyennes pondérées du devoir du week-end sur la moyenne harmonique, du volume précédent, transposée en salle de classe).
Montrer que les médianes refusent ce jeu : calculer les médianes de $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{0, 10\}$ , puis la médiane de la liste réunie, et comparer avec la moyenne des deux médianes pondérée par les effectifs.
Patinage artistique : cinq juges notent $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Calculer la moyenne, la médiane et la moyenne élaguée (retirer la note la plus basse et la plus haute, faire la moyenne du reste). Pourquoi la plupart des sports jugés élaguent-ils ?

Partie III — Lire une distribution.

Deux usines produisent des boulons de longueur moyenne $50$ mm. Usine A : $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; usine B : $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Il vous faut des boulons interchangeables : quelle usine, et quel indicateur a tranché ?
Dans un cabinet médical, l’attente médiane est de $10$ minutes mais l’attente moyenne est de $25$ . Quelle forme de distribution ce couple trahit-il ? Construire une série de cinq valeurs ayant exactement cette médiane et cette moyenne.
« Votre bébé est au 75^e centile pour la taille » — que signifie cette phrase ? Et tous les enfants d’une ville peuvent-ils être « au-dessus de la moyenne » ? Au-dessus de la médiane ? Expliquer la différence.
Classe A : minimum $4$ , $Q_1\,8$ , médiane $11$ , $Q_3\,13$ , maximum $17$ . Classe B : minimum $2$ , $Q_1\,9$ , médiane $11$ , $Q_3\,12$ , maximum $19$ . Comparer : note typique, homogénéité de la moitié centrale, turbulence des extrêmes.
La liste de contrôle du journaliste : un titre annonce « salaire moyen chez TechCorp : $5\,000$ euros ». Énumérer les trois questions que ce problème vous a appris à poser avant de croire que ce titre dit quoi que ce soit d’un employé typique.

Partie IV — Le dossier du cockpit.

Fabriquer sa propre pièce à conviction : construire cinq prix de maisons de moyenne $300$ et de médiane $200$ (en milliers d’euros).
La moyenne est le point d’équilibre : démontrer à partir de la définition que les écarts à la moyenne se compensent toujours, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , et le vérifier sur la série de la question 16.
La médiane minimise les tournées : des boutiques se trouvent aux kilomètres $1$ , $3$ , $4$ , $9$ , $13$ d’une route, et un entrepôt doit minimiser la distance totale aux cinq boutiques. Calculer ce total pour un entrepôt placé à la médiane ( $4$ ), à la moyenne ( $6$ ), puis en $5$ . Qui gagne ? (Le fait est général : la médiane minimise la distance totale en valeur absolue — essayer n’importe quel autre emplacement.)
Le cockpit, résolu : supposons qu’un pilote ait $30\,\%$ de chances d’être « proche de la moyenne » sur une dimension corporelle, indépendamment d’une dimension à l’autre sur les $10$ . Estimer la probabilité d’être proche de la moyenne sur les dix à la fois — et rapprocher le résultat de ce que le lieutenant a trouvé sur $4\,000$ pilotes. Qu’a construit l’armée de l’air à la place du cockpit moyen ?
Pour finir — le mode d’emploi, une ligne chacun : quand ce sont les totaux qui comptent (un budget, une récolte), employer la … ; quand c’est l’individu typique qui compte (salaires, temps d’attente), employer la … ; quand c’est l’équité de la dispersion qui compte, publier les … ; quand la contamination menace, employer la …. Refermer le dossier par le titre du problème.

Solution

Solution de Problème 8.1.

1. Moyenne : $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ milliers d’euros ; médiane : la quatrième des sept valeurs ordonnées, soit $230$ . C’est la médiane qui décrit la rue — six des sept maisons sont très loin de $364$ .

2. Sans le manoir : moyenne $\frac{1\,350}{6} = 225$ , médiane $\frac{220 + 230}{2} = 225$ . La moyenne a chuté d’environ $139$ ; la médiane de $5$ . Une seule valeur extrême peut emmener la moyenne n’importe où ; la médiane s’en aperçoit à peine — elle est robuste.

3. Moyenne $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$ . Aucune famille n’a $1.7$ enfant, mais $1.7 \times 100 = 170$ est le nombre total exact d’enfants : la moyenne code le total, redistribué également — c’est là son vrai talent.

4. $N = 15$ : médiane $=$ 8^e valeur $= 11$ ; $Q_1 =$ 4^e valeur $= 8$ ; $Q_3 =$ 12^e valeur $= 14$ .

5. Étendue $19 - 4 = 15$ : la dispersion totale, extrêmes compris. Écart interquartile $14 - 8 = 6$ : la largeur de la moitié centrale — la dispersion débarrassée du bruit des extrêmes.

6. Une translation de $+b$ déplace toutes les valeurs ; les différences de valeurs — étendue, écart interquartile — sont donc inchangées : $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$ . Une multiplication par $a$ multiplie toutes les différences par $a$ : étendue et écart interquartile sont multipliés par $\abs a$ .

7. Barème additif : $6 \to 9$ et $18 \to 21$ — l’élève faible gagne $50\,\%$ , le fort $17\,\%$ , et $21$ ne crève que très légèrement l’échelle sur $20$ . Barème multiplicatif : $6 \to 8$ et $18 \to 24$ — les rapports sont préservés, mais $24$ est impossible sur une échelle de $20$ : c’est le problème du plafond. Les barèmes additifs flattent le bas ; les multiplicatifs font exploser le haut.

8. Total des notes : $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$ , donc la moyenne globale vaut $\frac{540}{50} = 10.8$ : les trente élèves de la classe B pèsent plus que les vingt de la classe A — les moyennes se regroupent par moyenne pondérée, jamais par moyenne simple.

9. Médiane de $A$ : $2$ ; de $B$ : $5$ . Liste réunie $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : médiane $2$ . La moyenne des médianes pondérée par les effectifs vaudrait $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ : les médianes ne portent aucun total, aucune formule de regroupement n’existe donc — il faut retrier toute la liste.

10. Moyenne : $\frac{31.3}{5} = 6.26$ . Médiane : $5.4$ . Moyenne élaguée : $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$ . Un juge enthousiaste (ou corrompu) a déplacé la moyenne de près d’un point ; la médiane et la moyenne élaguée n’ont pas bronché — d’où les règles d’élagage des sports jugés.

11. Usine A : moitié centrale à $0.2$ mm près ; usine B : à $4$ mm près. Même moyenne, fiabilité opposée : acheter chez A. C’est l’écart interquartile qui a tranché — les moyennes seules comparent des centres, jamais des régularités.

12. Une médiane très inférieure à la moyenne trahit une longue traîne à droite : la plupart des attentes sont courtes, quelques-unes catastrophiques. Exemple : $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — médiane $10$ , moyenne $\frac{125}{5} = 25$ .

13. Cela signifie que $75\,\%$ des bébés du même âge sont plus petits (et $25\,\%$ plus grands) : c’est un rang, pas une taille. « Tous les enfants au-dessus de la moyenne » est impossible : si toutes les valeurs dépassaient la moyenne, leur moyenne dépasserait la moyenne, c’est-à-dire elle-même : contradiction. Mais presque tous le peuvent : un seul enfant très petit suffit à maintenir la moyenne au-dessous de tous les autres. Au-dessus de la médiane : jamais plus de la moitié, par définition. On ne flatte pas un rang ; on flatte une moyenne.

14. Note typique : la même, médiane $11$ pour les deux. Homogénéité du centre : B est plus resserrée (écart interquartile $3$ contre $5$ ). Extrêmes : B est plus turbulente (étendue $17$ contre $13$ ). B est une classe d’élèves semblables plus quelques valeurs aberrantes ; A est régulièrement étalée.

15. (1) $5\,000$ est-il la moyenne ou la médiane — et puis-je avoir la médiane ? (2) Quelle est la dispersion (les quartiles), pour savoir à quel point « typique » est typique ? (3) Qui a été compté — taille et sélection de l’échantillon (la leçon sur les sondages du devoir du week-end sur les mensonges des données, dans le volume précédent) ?

16. Par exemple $100, 150, 200, 250, 800$ : médiane $200$ , moyenne $\frac{1\,500}{5} = 300$ .

17. $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x = 0$ . Vérification : $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$ . La moyenne est le point où les écarts s’équilibrent — le centre de gravité des données (le $G$ du devoir du week-end correspondant du volume précédent, à une dimension).

18. À la médiane $4$ : $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. À la moyenne $6$ : $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. En $5$ : $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. La médiane gagne — s’en éloigner revient toujours à s’écarter de plus de boutiques qu’on ne s’en rapproche, si bien que le total ne peut que croître.

19. $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : environ six pilotes par million. Sur $4\,000$ pilotes, l’effectif attendu est $0.02$ — c’est-à-dire zéro, comme l’a constaté le lieutenant Daniels. L’armée de l’air a cessé de concevoir pour l’homme moyen et a tout rendu réglable : sièges, pédales, sangles — concevoir pour la dispersion, non pour le centre.

20. Totaux : la moyenne. Individu typique : la médiane. Équité de la dispersion : les quartiles (et l’écart interquartile). Contamination : la moyenne élaguée. Et le mot de la fin : l’individu moyen n’existe pas — mais l’individu médian, presque.

Termes définis dans ce chapitre

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