Mathématiques du lycée · Grades 10–12

8Statistique descriptive

La statistique résume une grande collection de nombres — notes, salaires, températures — par quelques indicateurs bien choisis. Ce chapitre introduit les deux familles d’indicateurs : ceux qui localisent le centre des données (moyenne, médiane) et ceux qui mesurent leur dispersion (étendue, quartiles). Un traitement plus approfondi, incluant l’écart type, vient dans le Chapitre 17.

8.1 Données et fréquences

Définition 8.1 (Série statistique)

Une série statistique est une liste de valeurs $x_1, x_2, \dots, x_N$ observées sur une population de taille $N$ . Lorsqu’une valeur $x$ apparaît $n$ fois, $n$ est son effectif et le quotient

f = \frac{n}{N}

est sa fréquence (souvent exprimée en pourcentage). Les fréquences de toutes les valeurs s’additionnent à $1$ .

Exemple 8.2

Les notes de $20$ élèves à un quiz sur $5$ points :

note $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
effectif $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
fréquence $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

Vérification : $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ et les fréquences somment à $1$ .

Le diagramme en bâtons des notes du quiz : un bâton par valeur, de hauteur égale à l’effectif.

8.2 Indicateurs de position

Définition 8.3 (Moyenne)

La moyenne de la série est

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Si les valeurs $v_1, \dots, v_k$ apparaissent avec les effectifs $n_1, \dots, n_k$ , le même nombre se calcule comme la moyenne pondérée

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Exemple 8.4

Pour le quiz de l’Exemple 8.2 :

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Définition 8.5 (Médiane)

La médiane est une valeur qui partage la série triée en deux moitiés : au moins la moitié des valeurs sont $\leq$ la médiane, et au moins la moitié sont $\geq$ à elle. En pratique, trier les $N$ valeurs ;

si $N$ est impair, la médiane est la valeur du milieu, en position $\frac{N+1}{2}$ ;
si $N$ est pair, prendre le milieu des deux valeurs centrales, en positions $\frac N2$ et $\frac N2 + 1$ .

Exemple 8.6

Série triée de $7$ prix de maisons (en milliers) : $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . La médiane est la $4$ -ième valeur, $180$ . La moyenne est $\frac{1960}{7} = 280$ — plus grande que $6$ des $7$ prix ! Une valeur extrême ( $900$ ) tire la moyenne bien plus que la médiane : la médiane est robuste, la moyenne ne l’est pas.

8.3 Indicateurs de dispersion

Définition 8.7 (Étendue, quartiles)

Pour une série triée :

l’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur ;
le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu’au moins un quart ( $25\,\%$ ) des valeurs sont $\leq Q_1$ ; le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins les trois quarts ( $75\,\%$ ) des valeurs sont $\leq Q_3$ ;
l’écart interquartile $Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion de la moitié centrale des données.

Méthode 8.8 (Trouver les quartiles)

Pour une série de $N$ valeurs triées :

calculer $\frac N4$ ; s’il n’est pas entier, l’arrondir au-dessus à l’entier suivant ; $Q_1$ est la valeur en cette position ;
calculer $\frac{3N}{4}$ ; arrondir au-dessus si besoin ; $Q_3$ est la valeur en cette position.

Exemple 8.9

Prendre les $11$ valeurs triées

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Médiane : position $\frac{11+1}{2} = 6$ , donc la médiane est $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , arrondir à $3$ ; la $3$ -ième valeur est $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , arrondir à $9$ ; la $9$ -ième valeur est $9$ . Étendue : $12 - 2 = 10$ ; écart interquartile : $9 - 5 = 4$ .

Le diagramme en boîte de l’ : la boîte s’étend sur l’intervalle interquartile [Q_1, Q_3] et contient la moitié centrale des données ; les moustaches atteignent les valeurs extrêmes. — Le diagramme en boîte de l’Exemple 8.9 : la boîte s’étend sur l’intervalle interquartile $\intcc{Q_1}{Q_3}$ et contient la moitié centrale des données ; les moustaches atteignent les valeurs extrêmes.

Exemple 8.10 (Comparer deux groupes)

Deux classes passent le même test (notes sur $20$ ) :

	médiane	$Q_1$	$Q_3$
classe A	$12$	$10$	$14$
classe B	$12$	$6$	$17$

Même médiane, dispersions très différentes : la classe A est homogène (la moitié de ses notes dans $\intcc{10}{14}$ ), la classe B est hétérogène (sa moitié centrale s’étend sur $\intcc{6}{17}$ ). Les indicateurs de position seuls ne disent jamais toute l’histoire.

Remarque 8.11

Ni la moyenne ni la médiane n’est « meilleure » : la moyenne utilise chaque valeur (et est nécessaire pour calculer des totaux), la médiane résiste aux valeurs extrêmes. Un résumé sérieux d’une série donne au moins un indicateur de position et un de dispersion.

8.4 Exercices

Exercice 8.1 ★

Voici le nombre de livres lus en un an par $15$ élèves :

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

Calculer la moyenne, la médiane et l’étendue de cette série.

Solution

Solution de Exercice 8.1.

Somme : $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , donc la moyenne est $\frac{60}{15} = 4$ . La série est déjà triée et $N = 15$ est impair : la médiane est la $8$ -ième valeur, $3$ . Étendue : $12 - 0 = 12$ .

Exercice 8.2 ★

Un dé a été lancé $50$ fois :

issue	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
effectif	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

Calculer la fréquence de chaque issue et la moyenne des issues.

Solution

Solution de Exercice 8.2.

Fréquences : $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (somme $1$ ). Issue moyenne :

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

Exercice 8.3 ★

Trouver la médiane, $Q_1$ et $Q_3$ de la série triée

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

et dessiner le diagramme en boîte correspondant.

Solution

Solution de Exercice 8.3.

$N = 12$ (pair) : la médiane est le milieu des $6$ -ième et $7$ -ième valeurs, toutes deux égales à $6$ : médiane $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , donc $Q_1$ est la $3$ -ième valeur : $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , donc $Q_3$ est la $9$ -ième valeur : $8$ .

Diagramme en boîte : boîte de $4$ à $8$ avec la barre de médiane en $6$ , moustaches de $1$ à $11$ .

Exercice 8.4 ★

La moyenne de $24$ notes de test est $11.5$ . Un $25$ -ième élève passe le test et obtient $19$ . Quelle est la nouvelle moyenne de la classe ?

Solution

Solution de Exercice 8.4.

Les $24$ notes totalisent $24 \times 11.5 = 276$ . Avec la nouvelle note le total est $276 + 19 = 295$ pour $25$ élèves : nouvelle moyenne $\frac{295}{25} = 11.8$ .

Exercice 8.5 ★★

Un élève a une moyenne de $12$ après $5$ tests, tous de même poids. Quelle note au $6$ -ième test porterait la moyenne à $13$ ? Une moyenne de $14$ est-elle atteignable (notes sur $20$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 8.5.

Total actuel : $5 \times 12 = 60$ . Une moyenne de $13$ sur $6$ tests exige un total de $78$ , donc la $6$ -ième note doit être $78 - 60 = 18$ . Une moyenne de $14$ exigerait $84 - 60 = 24 > 20$ : non atteignable.

Exercice 8.6 ★★

Inventer une série de $7$ valeurs positives ou nulles dont la médiane est $10$ et dont la moyenne est plus grande que $20$ ; puis une dont la médiane est $10$ et dont la moyenne est plus petite que $6$ . Pourquoi la moyenne d’une telle série ne peut-elle jamais être plus petite que $\frac{40}{7}$ ? Que montrent ces exemples ?

Solution

Solution de Exercice 8.6.

Moyenne plus grande que $20$ : par exemple $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — médiane $10$ (la $4$ -ième valeur triée), moyenne $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

Moyenne plus petite que $6$ : par exemple $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — médiane $10$ , moyenne $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

La moyenne ne peut pas descendre sous $\frac{40}{7}$ : pour que la médiane (la $4$ -ième valeur triée) soit $10$ , les valeurs en positions $4$ à $7$ doivent toutes être $\geq 10$ , donc le total est au moins $40$ et la moyenne au moins $\frac{40}{7}$ — le second exemple est extrémal.

Ces exemples montrent que la moyenne et la médiane sont largement indépendantes : connaître l’une dit peu sur l’autre, d’où l’intérêt d’un bon résumé qui rapporte les deux.

Exercice 8.7 ★★

Dans une entreprise, les $9$ employés gagnent $1800$ chacun par mois et le directeur gagne $12000$ .

Calculer le salaire moyen et le salaire médian.
Quel indicateur décrit le mieux un salaire « typique » ici ? Pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 8.7.

1. Moyenne : $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . Médiane : triés, les $10$ salaires sont neuf valeurs $1800$ puis $12000$ ; la médiane est le milieu des $5$ -ième et $6$ -ième valeurs, toutes deux $1800$ : médiane $1800$ .

2. La médiane ( $1800$ ) décrit le salaire typique : c’est ce que gagnent réellement $9$ employés sur $10$ . La moyenne ( $2820$ ) est tirée vers le haut par l’unique haut salaire et ne correspond à la fiche de paie de personne.

Exercice 8.8 ★★

Une classe de $12$ garçons a une taille moyenne de $168$ cm ; les $18$ filles de la même classe ont une taille moyenne de $163$ cm. Calculer la taille moyenne de toute la classe. (Attention : ce n’est pas le milieu de $168$ et $163$ — pondérer les moyennes par les tailles des groupes.)

Solution

Solution de Exercice 8.8.

Taille totale : $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm pour $30$ élèves, donc la moyenne est $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Elle est plus proche de la moyenne des filles car elles sont plus nombreuses (moyenne pondérée, poids $12$ et $18$ ).

Exercice 8.9 ★★★

Une série de $N$ valeurs $x_1, \dots, x_N$ a pour moyenne $\bar x$ . Chaque valeur est transformée en $y_i = a x_i + b$ pour des nombres fixes $a$ et $b$ .

Montrer que la moyenne de la nouvelle série est $a \bar x + b$ .
Les températures d’une semaine, en degrés Celsius, ont pour moyenne $20$ . Quelle est leur moyenne en degrés Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 8.9.

1. La nouvelle moyenne est

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. Avec $a = 1.8$ et $b = 32$ : moyenne $1.8 \times 20 + 32 = 68$ degrés Fahrenheit.