Mathématiques du lycée · Grades 10–12

5Géométrie repérée

La grande idée de Descartes fut de décrire les points par des paires de nombres, transformant les problèmes de géométrie en calculs. Avec seulement deux formules — le milieu et la distance — on peut prouver qu’un triangle est isocèle, qu’un quadrilatère est un parallélogramme, ou que trois points sont alignés, sans tracer une seule ligne auxiliaire.

5.1 Coordonnées dans le plan

Définition 5.1 (Repère)

Un repère du plan est constitué d’une origine $O$ et de deux axes gradués passant par $O$ : l’axe horizontal des $x$ et l’axe vertical des $y$ . Tout point $M$ a alors une unique paire de coordonnées $(x, y)$ : son abscisse $x$ et son ordonnée $y$ . Le repère est orthonormal lorsque les axes sont perpendiculaires et portent la même unité de longueur. Tous les repères de ce chapitre sont orthonormaux.

Tout point du plan est repéré par deux nombres : d’abord l’abscisse (horizontale), puis l’ordonnée (verticale).

5.2 Milieu d’un segment

Proposition 5.2 (Formule du milieu)

Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ . Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées

I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

Démonstration. Considérons les coordonnées horizontales. En allant de $A$ à $B$ , l’abscisse change de $x_B - x_A$ ; le point à mi-chemin a pour abscisse

x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2},

la moyenne des deux abscisses. Le même calcul s’applique aux ordonnées. ∎

Exemple 5.3

Avec $A(-1, 4)$ et $B(5, -2)$ , le milieu de $[AB]$ est

I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).

La formule fonctionne aussi à l’envers : si $A(-1, 4)$ et le milieu est $I(2, 1)$ , alors $B$ satisfait $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ et $\frac{4 + y_B}{2} = 1$ , donc $x_B = 5$ et $y_B = -2$ : le point $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$ .

5.3 Distance entre deux points

Théorème 5.4 (Formule de la distance)

Dans un repère orthonormal, la distance entre $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

Démonstration. Soit $C$ le point $(x_B, y_A)$ : il a la même hauteur que $A$ et la même abscisse que $B$ , donc le triangle $ACB$ a un angle droit en $C$ . Ses côtés adjacents à l’angle droit sont des segments horizontal et vertical, de longueurs $AC = \abs{x_B - x_A}$ et $CB = \abs{y_B - y_A}$ . Par le théorème de Pythagore,

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

et en prenant la racine carrée (les deux membres sont positifs ou nuls) on obtient la formule. ∎

La formule de la distance est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ACB construit sur un côté horizontal et un côté vertical. — La formule de la distance est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $ACB$ construit sur un côté horizontal et un côté vertical.

Exemple 5.5

Avec $A(1, 1)$ et $B(5, 3)$ :

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .

Les distances sont en général gardées sous forme exacte (racine carrée) ; n’arrondir qu’à la toute fin si une réponse décimale est nécessaire.

Remarque 5.6

L’ordre des points n’importe pas : $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ . Mais ne pas oublier les carrés ! La distance n’est pas $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$ .

5.4 Utiliser les formules en géométrie

Méthode 5.7 (Nature d’un triangle)

Étant donnés trois points $A$ , $B$ , $C$ par leurs coordonnées :

calculer les trois longueurs au carré $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ avec la formule de la distance (garder les carrés évite les racines) ;
deux longueurs au carré égales $\Rightarrow$ le triangle est isocèle ;
si la plus grande longueur au carré est la somme des deux autres, le triangle est rectangle au sommet opposé au plus long côté, par la réciproque du théorème de Pythagore.

Exemple 5.8

Soient $A(0, 1)$ , $B(4, 3)$ et $C(2, -3)$ . Alors

\begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*}

D’abord, $AB^2 = AC^2$ , donc $AB = AC$ : le triangle est isocèle en $A$ . De plus $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$ , donc par la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est aussi rectangle en $A$ .

Méthode 5.9 (Reconnaître un parallélogramme)

Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme exactement lorsque ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. Donc : calculer les deux milieux avec la formule du milieu et les comparer.

Exemple 5.10

Soient $A(-1, 0)$ , $B(2, 2)$ , $C(5, 1)$ et $D(2, -1)$ . Le milieu de $[AC]$ est $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ ; le milieu de $[BD]$ est $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$ . Ils coïncident, donc $ABCD$ est un parallélogramme.

ABCD est un parallélogramme car ses deux diagonales partagent le même milieu I(2, 1/2). — $ABCD$ est un parallélogramme car ses deux diagonales partagent le même milieu $I(2, \frac12)$ .

5.5 Exercices

Exercice 5.1 ★

Soient $A(2, 5)$ et $B(-4, 1)$ . Calculer les coordonnées du milieu de $[AB]$ et la distance $AB$ .

Solution

Solution de Exercice 5.1.

Milieu : $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ . Distance :

AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Exercice 5.2 ★

Soient $A(3, -2)$ et $I(1, 2)$ . Trouver les coordonnées du point $B$ tel que $I$ soit le milieu de $[AB]$ .

Solution

Solution de Exercice 5.2.

$I$ est le milieu de $[AB]$ signifie $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ et $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$ , donc $x_B = -1$ et $y_B = 6$ : $B(-1, 6)$ .

Exercice 5.3 ★

Lequel des points $P(4, 1)$ , $Q(-3, 2)$ et $R(0, -5)$ est le plus proche de l’origine $O(0,0)$ ? Répondre avec des distances exactes.

Solution

Solution de Exercice 5.3.

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$ . Comme $13 < 17 < 25$ , la racine carrée étant croissante, $Q$ est le plus proche de l’origine.

Exercice 5.4 ★

Placer les points $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(7, 0)$ sur du papier millimétré, puis montrer par le calcul que le triangle $ABC$ est isocèle. Est-il rectangle ?

Solution

Solution de Exercice 5.4.

Longueurs au carré :

\begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*}

$AB = BC$ : le triangle est isocèle en $B$ . De plus $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : par la réciproque du théorème de Pythagore il est aussi rectangle en $B$ .

Exercice 5.5 ★★

Soient $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, 1)$ et $D(1, -1)$ .

Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer $AB$ et $BC$ . $ABCD$ est-il un losange (tous les côtés égaux) ?
Calculer $AC$ et $BD$ . $ABCD$ est-il un rectangle (diagonales égales) ?

Solution

Solution de Exercice 5.5.

1. Milieu de $[AC]$ : $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ; milieu de $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$ . Même milieu : $ABCD$ est un parallélogramme.

2. $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ et $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : $AB \neq BC$ , ce n’est pas un losange.

3. $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ et $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : $AC \neq BD$ , ce n’est pas un rectangle. $ABCD$ est un simple parallélogramme.

Exercice 5.6 ★★

Le cercle de centre $\Omega(2, 1)$ et de rayon $5$ est l’ensemble de tous les points à distance $5$ de $\Omega$ . Lesquels des points $A(5, 5)$ , $B(-1, -3)$ , $C(6, 2)$ sont sur ce cercle ? À l’intérieur ? À l’extérieur ?

Solution

Solution de Exercice 5.6.

Calculer les distances au carré à $\Omega(2,1)$ et comparer à $5^2 = 25$ :

\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .

$A$ et $B$ sont sur le cercle ; $C$ est à l’intérieur ( $17 < 25$ ).

Exercice 5.7 ★★

Soient $A(1, 1)$ et $B(7, 5)$ . Trouver tous les points $M(x, 0)$ de l’axe des $x$ équidistants de $A$ et de $B$ . (Écrire $MA^2 = MB^2$ et résoudre en $x$ .)

Solution

Solution de Exercice 5.7.

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ et $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$ . En posant $MA^2 = MB^2$ :

x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 .

L’unique tel point est $M(6, 0)$ .

Exercice 5.8 ★★

Soient $A(0, 3)$ , $B(4, 1)$ .

Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ .
Montrer que $M(2, 2) = I$ , puis vérifier en calculant $MA$ , $MB$ que $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ .
Trouver un second point, sur l’axe des $y$ , équidistant de $A$ et de $B$ .

Solution

Solution de Exercice 5.8.

1. $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

2. $M(2,2)$ est bien $I$ . Et $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ , $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : le milieu est équidistant des deux extrémités, comme attendu.

3. Chercher $N(0, y)$ avec $NA^2 = NB^2$ :

(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8,

donc $y = -2$ : le point $N(0, -2)$ .

Exercice 5.9 ★★

Les points $A(-1, -1)$ , $B(3, 1)$ et $C(11, 5)$ sont donnés. Calculer $AB$ , $BC$ et $AC$ , et en déduire que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés. (Trois points sont alignés exactement lorsque la plus grande des trois distances est la somme des deux autres.)

Solution

Solution de Exercice 5.9.

\begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*}

Alors $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : l’inégalité triangulaire est une égalité, donc $B$ est sur le segment $[AC]$ — les trois points sont alignés.

Exercice 5.10 ★★★

Soient $A(a, 0)$ et $B(0, b)$ avec $a, b > 0$ , et soit $I$ le milieu de $[AB]$ . Montrer par le calcul que $OI = IA = IB$ , où $O$ est l’origine. (Cela prouve un théorème classique : dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets.)

Solution

Solution de Exercice 5.10.

Le milieu de $[AB]$ est $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$ . Alors

OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},

et $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ aussi. Les trois distances au carré sont égales, donc $OI = IA = IB$ : le milieu de l’hypoténuse du triangle rectangle $OAB$ est équidistant des trois sommets (c’est le centre de son cercle circonscrit).