module কী?

Exemple 3.2

Les trois cas motivants.

1. $A = K$ un corps : les modules sont les espaces vectoriels.
2. $A = \Z$ : les modules sont exactement les groupes abéliens ($nx$ est forcé à valoir $x + \dots + x$), les sous-modules sont les sous-groupes.
3. $A = K[X]$ : un module est un $K$-espace vectoriel $V$ muni de l’application $K$-linéaire $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — réciproquement, toute paire $(V, u)$ avec $u \in \mathcal L(V)$ devient un $K[X]$-module par $P \cdot x = P(u)(x)$. Les sous-modules sont précisément les sous-espaces $u$-stables.

Un idéal de $A$ est exactement un sous-module de $A$ ; un anneau quotient $A/I$ est un $A$-module. Contrairement aux espaces vectoriels, les modules peuvent avoir de la torsion : dans $\Z/6\Z$, l’élément $\bar 3 \ne 0$ est tué par $2 \neq 0$.