Qu'est-ce que « Point d’inflexion » ? — Mathématiques

Définition 22.13 Mathématiques du lycée · Chapitre 22 — Dérivation et convexité

Un point où la courbe de $f$ traverse sa tangente est un point d’inflexion. Pour $f$ deux fois dérivable, les points d’inflexion sont les points où $f''$ change de signe.

Le point d’inflexion de x x3 à l’origine : la courbe traverse sa tangente (orange), concave à gauche, convexe à droite. — Le point d’inflexion de $x \mapsto x^3$ à l’origine : la courbe traverse sa tangente (orange), concave à gauche, convexe à droite.

Exemples

Exemple 22.14

$f(x) = x^3$ a $f''(x) = 6x$ : $f$ est concave sur $\intoc{-\infty}{0}$ , convexe sur $\intco{0}{+\infty}$ , avec un point d’inflexion à l’origine, où la courbe traverse sa tangente (l’axe des $x$ ).

Exemple 22.15 (Inégalités de convexité)

L’exponentielle est convexe sur $\R$ (sa dérivée seconde est elle-même, positive). Sa tangente en $0$ est $y = 1 + x$ , donc

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{pour tout } x \in \R .

De telles inégalités de tangente sont un produit standard de la convexité.

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Exemples

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