Wat is Buigpunt? — Wiskunde

Definitie 22.13 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 22 — Afgeleiden en convexiteit

Een punt waar de kromme van $f$ haar raaklijn kruist heet een buigpunt. Is $f$ twee keer differentieerbaar, dan zijn de buigpunten de punten waar $f''$ van teken verandert.

Het buigpunt van x x3 in de oorsprong: de kromme kruist haar raaklijn (oranje), concaaf links en convex rechts. — Het buigpunt van $x \mapsto x^3$ in de oorsprong: de kromme kruist haar raaklijn (oranje), concaaf links en convex rechts.

Voorbeelden

Voorbeeld 22.14

Voor $f(x) = x^3$ is $f''(x) = 6x$ : $f$ is concaaf op $\intoc{-\infty}{0}$ en convex op $\intco{0}{+\infty}$ , met een buigpunt in de oorsprong, waar de kromme haar raaklijn (de $x$ -as) kruist.

Voorbeeld 22.15 (Ongelijkheden uit convexiteit)

De exponentiële functie is convex op $\R$ (haar tweede afgeleide is ze zelf, en die is positief). Haar raaklijn in $0$ is $y = 1 + x$ , dus

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{voor alle } x \in \R .

Zulke raaklijnongelijkheden zijn een standaardproduct van de convexiteit.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen