Qu'est-ce que « Tangente » ? — Mathématiques

Définition 22.2 Mathématiques du lycée · Chapitre 22 — Dérivation et convexité

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$ est la droite d’équation

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Lorsque h diminue, la sécante par A = (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)) (orange) tourne vers la tangente en A (rouge) : son coefficient directeur f(a+h)-f(a)/h tend vers f'(a). — Lorsque $h$ diminue, la sécante par $A = (a, f(a))$ et $(a+h, f(a+h))$ (orange) tourne vers la tangente en $A$ (rouge) : son coefficient directeur $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$ .

Exemples

Exemple 22.14

$f(x) = x^3$ a $f''(x) = 6x$ : $f$ est concave sur $\intoc{-\infty}{0}$ , convexe sur $\intco{0}{+\infty}$ , avec un point d’inflexion à l’origine, où la courbe traverse sa tangente (l’axe des $x$ ).

Exemple 22.15 (Inégalités de convexité)

L’exponentielle est convexe sur $\R$ (sa dérivée seconde est elle-même, positive). Sa tangente en $0$ est $y = 1 + x$ , donc

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{pour tout } x \in \R .

De telles inégalités de tangente sont un produit standard de la convexité.

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Exemples

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