Mathématiques du lycée · Grades 10–12

22Dérivation et convexité

La dérivée mesure le taux de variation instantané d’une fonction ; c’est le coefficient directeur de la tangente à son graphique. Ce chapitre revoit et étend les règles de dérivation, relie le signe de $f'$ aux variations de $f$ , et introduit la convexité, gouvernée par la dérivée seconde.

22.1 La dérivée

Définition 22.1 (Dérivée en un point)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . La fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

a une limite finie lorsque $h \to 0$ . Cette limite s’appelle la dérivée de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ . Si $f$ est dérivable en tout point de $I$ , la fonction $f' \colon x \mapsto f'(x)$ est la dérivée de $f$ .

Définition 22.2 (Tangente)

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$ est la droite d’équation

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Lorsque h diminue, la sécante par A = (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)) (orange) tourne vers la tangente en A (rouge) : son coefficient directeur f(a+h)-f(a)/h tend vers f'(a). — Lorsque $h$ diminue, la sécante par $A = (a, f(a))$ et $(a+h, f(a+h))$ (orange) tourne vers la tangente en $A$ (rouge) : son coefficient directeur $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$ .

Proposition 22.3

Une fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ . La réciproque est fausse.

Démonstration. Pour $h \neq 0$ petit, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Lorsque $h \to 0$ , le second membre tend vers $0 \times f'(a) = 0$ , donc $f(a+h) \to f(a)$ . Pour la réciproque, $x \mapsto \abs{x}$ est continue en $0$ , mais son taux d’accroissement en $0$ égale $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ selon le signe de $h$ , et n’a pas de limite. ∎

22.1.1 Règles de dérivation

Proposition 22.4 (Opérations)

Soient $u, v$ dérivables sur $I$ et $\lambda \in \R$ . Alors $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ sont dérivables sur $I$ , de même que $\frac{u}{v}$ où $v \neq 0$ , et

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Démonstration de la règle du produit. Écrire le taux d’accroissement de $uv$ en $a$ comme

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

Lorsque $h \to 0$ , $v(a+h) \to v(a)$ par continuité (Proposition 22.3), donc le second membre tend vers $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ . Les autres règles se démontrent de même. ∎

Théorème 22.5 (Règle de la chaîne)

Soit $u$ dérivable sur $I$ à valeurs dans $J$ , et $g$ dérivable sur $J$ . Alors $g \circ u$ est dérivable sur $I$ et

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

En particulier, pour $u$ dérivable :

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

Esquisse de démonstration. Lorsque $u(a+h) \neq u(a)$ pour $h$ petit, écrire

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

Lorsque $h \to 0$ , $u(a+h) \to u(a)$ , donc le premier facteur tend vers $g'(u(a))$ et le second vers $u'(a)$ . (Une démonstration complète doit traiter le cas où $u(a+h) = u(a)$ pour $h$ arbitrairement petit ; ce point technique est traité à l’université.) ∎

Exemple 22.6

Les dérivées usuelles, valables sur les domaines naturels :

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

La première se prouve par récurrence à partir de la règle du produit, et les deux dernières dans le Chapitre 24.

22.2 Variations et extrema

Théorème 22.7 (Signe de la dérivée et variations)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f' \geq 0$ sur $I$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f' \leq 0$ sur $I$ .
Si $f' > 0$ sur $I$ sauf en un nombre fini de points où elle s’annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Démonstration partielle. Si $f$ est croissante, tout taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est $\geq 0$ , et en passant à la limite on obtient $f'(a) \geq 0$ . Les implications réciproques reposent sur le théorème des accroissements finis, prouvé à l’université ; elles sont admises à ce niveau. ∎

Définition 22.8 (Extremum local)

$f$ a un maximum local en $a$ si $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$ voisin de $a$ ; les minima locaux se définissent de façon symétrique.

Proposition 22.9 (Condition du premier ordre)

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et a un extremum local en $a \in I$ , alors $f'(a) = 0$ . La réciproque est fausse ( $f(x) = x^3$ en $a = 0$ ).

Démonstration. Disons que $a$ est un maximum local. Pour $h > 0$ petit, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , donc en faisant $h \to 0^+$ on obtient $f'(a) \leq 0$ ; pour $h < 0$ le quotient est $\geq 0$ , d’où $f'(a) \geq 0$ . Donc $f'(a) = 0$ . ∎

En un extremum local à l’intérieur d’un intervalle ouvert, la tangente (orange) est horizontale : f'(a) = 0. Ici f(x) = x3 - 3x, avec un maximum local en -1 et un minimum local en 1. — En un extremum local à l’intérieur d’un intervalle ouvert, la tangente (orange) est horizontale : $f'(a) = 0$ . Ici $f(x) = x^3 - 3x$ , avec un maximum local en $-1$ et un minimum local en $1$ .

Méthode 22.10 (Tableau de variations)

Pour étudier une fonction $f$ : déterminer son ensemble de définition et les limites au bord ; calculer $f'$ et la factoriser ; déterminer le signe de $f'$ sur chaque sous-intervalle ; tout enregistrer dans un tableau de variations, en marquant les extrema ; en déduire le nombre de solutions de $f(x) = k$ à l’aide du théorème de la bijection (Théorème 21.15).

22.3 Convexité

Définition 22.11 (Fonction convexe)

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ si toute corde de son graphique est au-dessus du graphique : pour tous $a, b \in I$ et $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Elle est concave si l’inégalité inverse vaut ( $-f$ convexe).

Une fonction convexe : toute corde (rouge) est au-dessus du graphique, et le graphique est au-dessus de chacune de ses tangentes (orange). Le segment en pointillés montre l’écart entre f ((1-t)a+tb ) et (1-t)f(a)+tf(b). — Une fonction convexe : toute corde (rouge) est au-dessus du graphique, et le graphique est au-dessus de chacune de ses tangentes (orange). Le segment en pointillés montre l’écart entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ et $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Théorème 22.12 (Convexité et dérivées)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
le graphique de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Si $f$ est deux fois dérivable, elles sont aussi équivalentes à $f'' \geq 0$ sur $I$ .

Démonstration de (2) $\Rightarrow$ (3). Fixer $a \in I$ et poser $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ , l’écart entre la courbe et la tangente en $a$ . Alors $g$ est dérivable et $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Si $f'$ est croissante, $g' \leq 0$ sur $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ et $g' \geq 0$ sur $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : $g$ décroît avant $a$ et croît après, donc $g$ atteint son minimum $g(a) = 0$ , d’où $g \geq 0$ . Les autres implications sont admises à ce niveau ; l’équivalence avec $f'' \geq 0$ suit du Théorème 22.7 appliqué à $f'$ . ∎

Définition 22.13 (Point d’inflexion)

Un point où la courbe de $f$ traverse sa tangente est un point d’inflexion. Pour $f$ deux fois dérivable, les points d’inflexion sont les points où $f''$ change de signe.

Exemple 22.14

$f(x) = x^3$ a $f''(x) = 6x$ : $f$ est concave sur $\intoc{-\infty}{0}$ , convexe sur $\intco{0}{+\infty}$ , avec un point d’inflexion à l’origine, où la courbe traverse sa tangente (l’axe des $x$ ).

Le point d’inflexion de x x3 à l’origine : la courbe traverse sa tangente (orange), concave à gauche, convexe à droite. — Le point d’inflexion de $x \mapsto x^3$ à l’origine : la courbe traverse sa tangente (orange), concave à gauche, convexe à droite.

Exemple 22.15 (Inégalités de convexité)

L’exponentielle est convexe sur $\R$ (sa dérivée seconde est elle-même, positive). Sa tangente en $0$ est $y = 1 + x$ , donc

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{pour tout } x \in \R .

De telles inégalités de tangente sont un produit standard de la convexité.

Méthode 22.16 (Utiliser la convexité)

Pour prouver une inégalité $f(x) \geq ax + b$ : identifier la droite comme une tangente d’une fonction convexe $f$ et invoquer le Théorème 22.12(3).
Pour localiser les points d’inflexion : résoudre $f''(x) = 0$ et vérifier que $f''$ change de signe là.
Dans un tableau de variations, la convexité affine le croquis de la courbe (de quel côté elle s’infléchit).

22.4 Exercices

Exercice 22.1 ★

Dériver les fonctions suivantes sur leurs ensembles de définition :

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Solution

Solution de Exercice 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ .

Règle du quotient : $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Règle de la chaîne avec $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ .

Règle de la chaîne avec $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Exercice 22.2 ★

Donner l’équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ au point d’abscisse $a = 2$ , et déterminer les positions de la courbe par rapport à cette tangente.

Solution

Solution de Exercice 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , donc $f(2) = -1$ et $f'(2) = 1$ : la tangente est $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ . L’écart est

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

donc la courbe est au-dessus de la tangente partout, ne la touchant qu’en $x = 2$ (comme attendu : $f$ est convexe).

Exercice 22.3 ★

En utilisant la définition de la dérivée, calculer

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{et}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

Solution

Solution de Exercice 22.3.

Ce sont tous deux des taux d’accroissement. Avec $f(x) = (1+x)^{100}$ en $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , donc la limite est $f'(0) = 100$ . Avec $g(x) = \sqrt{x}$ en $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , donc la limite est $g'(4) = \frac14$ .

Exercice 22.4 ★★

Étudier la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ sur son ensemble de définition : limites, dérivée, tableau de variations, extrema locaux.

Solution

Solution de Exercice 22.4.

Ensemble de définition $\R \setminus \{1\}$ . Limites : en $\pm\infty$ , $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; en $1^\pm$ , le numérateur $\to 4 > 0$ et le dénominateur $\to 0^\pm$ , donc $f \to \pm\infty$ ; la droite $x = 1$ est une asymptote verticale.

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

D’où $f' > 0$ sur $\intoo{-\infty}{-1}$ et $\intoo{3}{+\infty}$ , $f' < 0$ sur $\intoo{-1}{1}$ et $\intoo{1}{3}$ . La fonction croît jusqu’à un maximum local $f(-1) = -2$ , décroît vers $-\infty$ , saute vers $+\infty$ après l’asymptote, décroît jusqu’à un minimum local $f(3) = 6$ , puis croît.

Exercice 22.5 ★★

Une boîte sans couvercle est fabriquée à partir d’une feuille de carton carrée de côté $30$ cm en découpant des carrés égaux de côté $x$ aux coins et en relevant les côtés. Déterminer $x$ maximisant le volume de la boîte.

Solution

Solution de Exercice 22.5.

Pour $x \in \intoo{0}{15}$ , la boîte a une base carrée de côté $30 - 2x$ et une hauteur $x$ , donc

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ . Sur $\intoo{0}{15}$ , $30 - 2x > 0$ , donc $V'$ a le signe de $30 - 6x$ : positif avant $x = 5$ , négatif après. Le volume est maximal pour $x = 5$ cm, donnant $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ .

Exercice 22.6 ★★

Soit $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ .

Calculer $f''$ et déterminer les intervalles de convexité et les points d’inflexion de $f$ .
Montrer que la tangente au point d’inflexion d’abscisse $2$ traverse la courbe là.

Solution

Solution de Exercice 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ et $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Ainsi $f'' > 0$ sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{2}{+\infty}$ (convexe), $f'' < 0$ sur $\intoo{0}{2}$ (concave). $f''$ change de signe en $0$ et en $2$ : ce sont tous deux des points d’inflexion.

2. En $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ , tangente $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ . L’écart est

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

Comme $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ , $(x-2)^3$ divise $g$ ; la division donne $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ . Au voisinage de $x = 2$ , $x + 2 > 0$ , donc $g$ a le signe de $(x-2)^3$ : négatif avant $2$ , positif après. La courbe traverse la tangente : $2$ est bien un point d’inflexion.

Exercice 22.7 ★★

En utilisant une inégalité de tangente, montrer que pour tout $x > 0$ ,

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

et identifier quand l’égalité a lieu. (Indication : la racine carrée est concave.)

Solution

Solution de Exercice 22.7.

La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ satisfait $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : elle est concave, donc son graphique est sous chaque tangente. La tangente en $a = 1$ est

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

d’où $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ pour tout $x > 0$ . L’égalité signifie que la courbe touche la tangente, ce qui n’arrive qu’au point de contact $x = 1$ . (Équivalent : $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ .)

Exercice 22.8 ★★★

Soit $f$ convexe et dérivable sur $\R$ , et supposons que $f'$ s’annule en un certain point $a$ . Montrer que $f(a)$ est le minimum global de $f$ sur $\R$ .

Solution

Solution de Exercice 22.8.

Par le Théorème 22.12, le graphique d’une fonction convexe dérivable est au-dessus de chacune de ses tangentes. La tangente en $a$ est horizontale ( $f'(a) = 0$ ), d’équation $y = f(a)$ . D’où $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in \R$ : $f(a)$ est le minimum global.

Exercice 22.9 ★★★

Montrer que parmi tous les rectangles de périmètre fixe $p$ , le carré a l’aire la plus grande. Puis montrer que parmi tous les rectangles d’aire fixe $A$ , le carré a le plus petit périmètre, et expliquer comment les deux énoncés sont liés.

Solution

Solution de Exercice 22.9.

Périmètre fixe. Un rectangle de côtés $x$ et $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) a pour aire $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ . Alors $S'(x) = \frac p2 - 2x$ s’annule en $x = \frac p4$ , positif avant et négatif après : le maximum est en $x = \frac{p}{4}$ , où les deux côtés valent $\frac p4$ — un carré.

Aire fixe. Les côtés $x$ et $\frac Ax$ donnent le périmètre $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ , avec $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ , négatif pour $x < \sqrt A$ et positif après : minimum en $x = \sqrt{A}$ , un carré encore.

Lien. Les deux énoncés sont duaux. Supposons qu’un rectangle non carré minimise le périmètre à aire fixe $A$ ; le carré de même périmètre aurait une aire $> A$ par le premier énoncé, et le rétrécir homothétiquement à l’aire $A$ diminuerait strictement son périmètre — contredisant la minimalité. Chaque énoncé implique donc l’autre.

22.5 Problème : le calcul du maître nageur

Problème 22.1

Devoir du week-end — le sauvetage le plus rapide obéit à la loi de Descartes, la convexité certifie tout optimum, et la canette idéale est exactement aussi haute que large

Un maître nageur aperçoit un nageur en difficulté — en diagonale le long de la plage, au large. Courir va plus vite que nager : la ligne droite n’est pas le trajet le plus rapide. Le trajet qui minimise le temps se brise au bord de l’eau, et sa loi de brisure est précisément celle selon laquelle la lumière se réfracte en entrant dans l’eau : la nature aussi dérive. Ce problème entraîne la dérivation des fonctions composées (Théorème 22.5), effectue le sauvetage, moissonne les inégalités de la convexité (Théorème 22.12) et dessine une boîte de conserve.

Partie I — Aisance avec les fonctions composées.

Dériver : $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
Donner la tangente à $y = \sqrt{x^2 + 9}$ en $x = 4$ .
Construire le tableau de variations de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur $\R$ (extremums compris).
Pour $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : tableau de variations et tableau de convexité ( $g''$ ), avec le point d’inflexion (Définition 22.13).
Calculer la tangente à $g$ en son point d’inflexion, et montrer que $g(x) - (\text{tangente}) = (x - 1)^3$ : que dit ce changement de signe sur la façon dont la tangente rencontre la courbe en un point d’inflexion ?

Partie II — Le sauvetage. Le rivage suit l’axe des abscisses ; le maître nageur se tient sur le sable en $A(0, 30)$ , le nageur attend en $B(40, -20)$ (en mètres). Le sauveteur court à $5$ m/s sur le sable, nage à $2$ m/s, et entre dans l’eau en un point $(x, 0)$ de son choix.

Modélisation : exprimer le temps total de sauvetage $T(x)$ , et dire pourquoi seuls les $x \in \intcc{0}{40}$ méritent d’être considérés.
Dériver $T$ (la dérivation des composées à l’œuvre — deux fois).
Soit $\theta_1$ l’angle de la portion courue avec la perpendiculaire au rivage, et $\theta_2$ celui de la portion nagée. Montrer que $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ et que la condition $T'(x) = 0$ s’écrit

$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$

— la loi de la réfraction, avec les deux vitesses à la place des vitesses de la lumière dans l’air et dans l’eau.
Le segment $[AB]$ coupe le rivage en $x = 24$ . Calculer $T(24)$ , $T(40)$ (courir le long de la plage, puis nager droit au large) et $T(0)$ : la ligne droite géométrique est-elle la plus rapide ? L’une des deux stratégies extrêmes l’est-elle ?
Localiser le point d’entrée optimal par dichotomie sur $T'$ (il vaut $\approx 33.7$ m) : donner $x^*$ au mètre près et le temps record $T(x^*)$ au dixième de seconde. Combien la brisure optimale fait-elle gagner par rapport à la ligne droite ?
Pourquoi le point critique est-il un minimum global ? (Chaque terme de $T$ est convexe — on admettra qu’une somme de fonctions convexes est convexe — puis appliquer l’Exercice 22.8.)
Le principe de Fermat affirme que la lumière emprunte toujours le trajet de temps minimal. En déduire pourquoi un rayon lumineux se brise exactement à la surface en entrant dans l’eau (où la lumière est plus lente), et nommer l’observation quotidienne que cela explique à propos d’un crayon plongé dans un verre d’eau.

Partie III — La moisson de la convexité.

Montrer que $x \mapsto x^2$ est convexe, et démontrer deux fois l’inégalité du milieu $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ : une fois par la convexité, une fois en développant $(a - b)^2 \geq 0$ .
En déduire que la moyenne quadratique $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ domine la moyenne arithmétique, et assembler la chaîne complète de la série — harmonique $\leq$ géométrique $\leq$ arithmétique $\leq$ quadratique — en vérifiant les quatre pour $a = 2$ et $b = 8$ .
Tangente sous la courbe : $x \mapsto \frac1x$ est convexe sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; écrire sa tangente en $1$ et en déduire l’inégalité $\frac1x \geq 2 - x$ pour tout $x > 0$ . Où y a-t-il égalité ?
Une inflexion dans la vie réelle : lors d’une épidémie, le nombre cumulé de cas suit une courbe en S. Que se passe-t-il en son point d’inflexion, et pourquoi les épidémiologistes guettent-ils cette date ? Relier au signe de la dérivée seconde de part et d’autre.

Partie IV — La boîte idéale. Une boîte cylindrique doit contenir $V = 330$ cm $^3$ avec le moins de métal possible : surface $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ , sous la contrainte $\pi r^2 h = V$ .

Exprimer $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , dériver, et calculer le rayon et la hauteur optimaux pour $V = 330$ (au millimètre près).
Démontrer l’élégante loi générale : à l’optimum, $h = 2r$ — la boîte idéale est exactement aussi haute que large.
Vérifier $S''(r) > 0$ et conclure (par l’Exercice 22.8 de nouveau) que l’optimum est global. Les canettes de soda réelles sont visiblement plus hautes que larges : donner une raison non mathématique.
Pour finir — la chaîne de l’optimisation : modéliser, interroger la dérivée, résoudre pour trouver les points critiques, certifier par la convexité ou par un tableau, interpréter. Dérouler cette liste sur le maître nageur, sur la boîte et sur la poutre la plus résistante de l’an dernier (Problème 12.1) — et dire ce que le principe de Fermat nous apprend sur qui d’autre déroule cette même chaîne.

Solution

Solution de Problème 22.1.

1. $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$ ; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ .

2. $y(4) = 5$ , coefficient directeur $\frac45$ : tangente $y = 5 + \frac45(x - 4)$ , c’est-à-dire $y = \frac45 x + \frac95$ .

3. $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : négative, puis positive, puis négative de part et d’autre de $-1$ et $1$ : minimum $f(-1) = -\frac12$ , maximum $f(1) = \frac12$ , avec l’asymptote horizontale $0$ des deux côtés.

4. $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ : croissante, décroissante, croissante de part et d’autre de $0$ et $2$ ; maximum local $g(0) = 4$ , minimum local $g(2) = 0$ . $g''(x) = 6x - 6$ : concave avant $1$ , convexe après : inflexion en $(1, 2)$ .

5. Tangente en $1$ : coefficient directeur $g'(1) = -3$ , d’où $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$ . Différence : $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$ , qui change de signe en $1$ : la tangente traverse la courbe — le comportement caractéristique d’un point d’inflexion, où la courbe change de côté.

6. $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} + \dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$ . Entrer avant $0$ ou au-delà de $40$ rallonge les deux portions : c’est sans intérêt.

7. $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} - \dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$ .

8. Dans le triangle de la course, le côté le long du rivage vaut $x$ et l’hypoténuse $\sqrt{x^2 + 900}$ : le sinus de l’angle avec la perpendiculaire est précisément leur quotient (côté opposé sur hypoténuse) ; de même $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$ . Alors $T'(x) = 0$ s’écrit $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — la loi de la réfraction, avec les vitesses $5$ et $2$ .

9. $T(24) \approx 20.5$ s ; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s ; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. La ligne droite perd même face à « courir jusqu’au bout, puis nager droit devant » — et les deux perdent face au trajet réfracté.

10. La dichotomie sur $T'$ (négative en $24$ , positive en $40$ ) converge vers $x^* \approx 34$ m, avec $T(x^*) \approx 19.5$ s : environ une seconde de moins que la ligne droite — la différence entre un sauvetage et un drame.

11. Chaque durée partielle est une fonction convexe de $x$ (une branche de $\sqrt{\text{trinôme}}$ ), donc $T$ est convexe, et un point critique d’une fonction convexe dérivable en est le minimum global (Exercice 22.8) : $x^*$ n’est pas seulement stationnaire, il est imbattable.

12. La lumière est plus lente dans l’eau ; d’après le principe de Fermat, le trajet le plus rapide de l’air vers l’eau se brise à la surface exactement selon la loi de la réfraction — si bien que les rayons issus d’un crayon immergé parviennent brisés à l’œil, et le cerveau, qui prolonge les lignes droites, voit le crayon cassé au niveau de la surface.

13. $(x^2)'' = 2 > 0$ : la fonction est convexe. Convexité appliquée au milieu : $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$ , ce qui est exactement l’énoncé. À la main : $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$ .

14. En prenant les racines carrées (fonction croissante) dans la question 13 : $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ . Chaîne complète sur $2$ et $8$ : harmonique $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$ ; géométrique $\sqrt{16} = 4$ ; arithmétique $5$ ; quadratique $\sqrt{34} \approx 5.83$ : chaque moyenne s’incline devant la suivante.

15. Tangente à $\frac1x$ en $1$ : valeur $1$ , coefficient directeur $-1$ , d’où $y = 2 - x$ . Les courbes convexes se tiennent au-dessus de leurs tangentes (Théorème 22.12) : $\frac1x \geq 2 - x$ pour tout $x > 0$ , avec égalité exactement au point de contact $x = 1$ .

16. À l’inflexion, le nombre quotidien de cas (la dérivée) atteint son maximum : la croissance cesse d’accélérer et commence à ralentir — le premier signal mathématique que la vague se retourne, bien avant que les comptages eux-mêmes ne baissent. Avant ce point, $f'' > 0$ (chaque jour pire que le précédent) ; après, $f'' < 0$ (encore en croissance, mais de plus en plus lentement).

17. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ donne $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$ : $r \approx 3.74$ cm, et $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

18. $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ à l’optimum : la hauteur égale le diamètre, quel que soit le volume.

19. $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$ : la fonction est convexe, donc le rayon critique donne le minimum global. Les canettes réelles sont plus élancées pour la prise en main, pour l’empilement, pour la présence en rayon et à cause du métal plus épais du dessus et du dessous — l’optimisation minimise toujours exactement ce que l’on a écrit, jamais ce que l’on voulait dire.

20. Maître nageur : modéliser $T(x)$ , dériver, réfraction, convexité, une seconde gagnée. Boîte : modéliser $S(r)$ , dériver, $h = 2r$ , convexité, du métal économisé. Poutre (Problème 12.1) : modéliser $S(w)$ , dériver, $d = w\sqrt2$ , tableau, de la rigidité gagnée. Et d’après le principe de Fermat, la lumière elle-même déroule cette chaîne à chaque surface qu’elle rencontre — la nature fut le premier optimiseur.

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