Mathématiques du lycée · Grades 10–12

22Dérivation et convexité

La dérivée mesure le taux de variation instantané d’une fonction ; c’est le coefficient directeur de la tangente à son graphique. Ce chapitre revoit et étend les règles de dérivation, relie le signe de $f'$ aux variations de $f$ , et introduit la convexité, gouvernée par la dérivée seconde.

22.1 La dérivée

Définition 22.1 (Dérivée en un point)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . La fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

a une limite finie lorsque $h \to 0$ . Cette limite s’appelle la dérivée de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ . Si $f$ est dérivable en tout point de $I$ , la fonction $f' \colon x \mapsto f'(x)$ est la dérivée de $f$ .

Définition 22.2 (Tangente)

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$ est la droite d’équation

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Lorsque h diminue, la sécante par A = (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)) (orange) tourne vers la tangente en A (rouge) : son coefficient directeur f(a+h)-f(a)/h tend vers f'(a). — Lorsque $h$ diminue, la sécante par $A = (a, f(a))$ et $(a+h, f(a+h))$ (orange) tourne vers la tangente en $A$ (rouge) : son coefficient directeur $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$ .

Proposition 22.3

Une fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ . La réciproque est fausse.

Démonstration. Pour $h \neq 0$ petit, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Lorsque $h \to 0$ , le second membre tend vers $0 \times f'(a) = 0$ , donc $f(a+h) \to f(a)$ . Pour la réciproque, $x \mapsto \abs{x}$ est continue en $0$ , mais son taux d’accroissement en $0$ égale $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ selon le signe de $h$ , et n’a pas de limite. ∎

22.1.1 Règles de dérivation

Proposition 22.4 (Opérations)

Soient $u, v$ dérivables sur $I$ et $\lambda \in \R$ . Alors $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ sont dérivables sur $I$ , de même que $\frac{u}{v}$ où $v \neq 0$ , et

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Démonstration de la règle du produit. Écrire le taux d’accroissement de $uv$ en $a$ comme

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

Lorsque $h \to 0$ , $v(a+h) \to v(a)$ par continuité (Proposition 22.3), donc le second membre tend vers $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ . Les autres règles se démontrent de même. ∎

Théorème 22.5 (Règle de la chaîne)

Soit $u$ dérivable sur $I$ à valeurs dans $J$ , et $g$ dérivable sur $J$ . Alors $g \circ u$ est dérivable sur $I$ et

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

En particulier, pour $u$ dérivable :

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

Esquisse de démonstration. Lorsque $u(a+h) \neq u(a)$ pour $h$ petit, écrire

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

Lorsque $h \to 0$ , $u(a+h) \to u(a)$ , donc le premier facteur tend vers $g'(u(a))$ et le second vers $u'(a)$ . (Une démonstration complète doit traiter le cas où $u(a+h) = u(a)$ pour $h$ arbitrairement petit ; ce point technique est traité à l’université.) ∎

Exemple 22.6

Les dérivées usuelles, valables sur les domaines naturels :

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

La première se prouve par récurrence à partir de la règle du produit, et les deux dernières dans le Chapitre 24.

22.2 Variations et extrema

Théorème 22.7 (Signe de la dérivée et variations)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f' \geq 0$ sur $I$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f' \leq 0$ sur $I$ .
Si $f' > 0$ sur $I$ sauf en un nombre fini de points où elle s’annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Démonstration partielle. Si $f$ est croissante, tout taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est $\geq 0$ , et en passant à la limite on obtient $f'(a) \geq 0$ . Les implications réciproques reposent sur le théorème des accroissements finis, prouvé à l’université ; elles sont admises à ce niveau. ∎

Définition 22.8 (Extremum local)

$f$ a un maximum local en $a$ si $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$ voisin de $a$ ; les minima locaux se définissent de façon symétrique.

Proposition 22.9 (Condition du premier ordre)

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et a un extremum local en $a \in I$ , alors $f'(a) = 0$ . La réciproque est fausse ( $f(x) = x^3$ en $a = 0$ ).

Démonstration. Disons que $a$ est un maximum local. Pour $h > 0$ petit, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , donc en faisant $h \to 0^+$ on obtient $f'(a) \leq 0$ ; pour $h < 0$ le quotient est $\geq 0$ , d’où $f'(a) \geq 0$ . Donc $f'(a) = 0$ . ∎

En un extremum local à l’intérieur d’un intervalle ouvert, la tangente (orange) est horizontale : f'(a) = 0. Ici f(x) = x3 - 3x, avec un maximum local en -1 et un minimum local en 1. — En un extremum local à l’intérieur d’un intervalle ouvert, la tangente (orange) est horizontale : $f'(a) = 0$ . Ici $f(x) = x^3 - 3x$ , avec un maximum local en $-1$ et un minimum local en $1$ .

Méthode 22.10 (Tableau de variations)

Pour étudier une fonction $f$ : déterminer son ensemble de définition et les limites au bord ; calculer $f'$ et la factoriser ; déterminer le signe de $f'$ sur chaque sous-intervalle ; tout enregistrer dans un tableau de variations, en marquant les extrema ; en déduire le nombre de solutions de $f(x) = k$ à l’aide du théorème de la bijection (Théorème 21.15).

22.3 Convexité

Définition 22.11 (Fonction convexe)

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ si toute corde de son graphique est au-dessus du graphique : pour tous $a, b \in I$ et $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Elle est concave si l’inégalité inverse vaut ( $-f$ convexe).

Une fonction convexe : toute corde (rouge) est au-dessus du graphique, et le graphique est au-dessus de chacune de ses tangentes (orange). Le segment en pointillés montre l’écart entre f ((1-t)a+tb ) et (1-t)f(a)+tf(b). — Une fonction convexe : toute corde (rouge) est au-dessus du graphique, et le graphique est au-dessus de chacune de ses tangentes (orange). Le segment en pointillés montre l’écart entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ et $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Théorème 22.12 (Convexité et dérivées)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
le graphique de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Si $f$ est deux fois dérivable, elles sont aussi équivalentes à $f'' \geq 0$ sur $I$ .

Démonstration de (2) $\Rightarrow$ (3). Fixer $a \in I$ et poser $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ , l’écart entre la courbe et la tangente en $a$ . Alors $g$ est dérivable et $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Si $f'$ est croissante, $g' \leq 0$ sur $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ et $g' \geq 0$ sur $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : $g$ décroît avant $a$ et croît après, donc $g$ atteint son minimum $g(a) = 0$ , d’où $g \geq 0$ . Les autres implications sont admises à ce niveau ; l’équivalence avec $f'' \geq 0$ suit du Théorème 22.7 appliqué à $f'$ . ∎

Définition 22.13 (Point d’inflexion)

Un point où la courbe de $f$ traverse sa tangente est un point d’inflexion. Pour $f$ deux fois dérivable, les points d’inflexion sont les points où $f''$ change de signe.

Exemple 22.14

$f(x) = x^3$ a $f''(x) = 6x$ : $f$ est concave sur $\intoc{-\infty}{0}$ , convexe sur $\intco{0}{+\infty}$ , avec un point d’inflexion à l’origine, où la courbe traverse sa tangente (l’axe des $x$ ).

Le point d’inflexion de x x3 à l’origine : la courbe traverse sa tangente (orange), concave à gauche, convexe à droite. — Le point d’inflexion de $x \mapsto x^3$ à l’origine : la courbe traverse sa tangente (orange), concave à gauche, convexe à droite.

Exemple 22.15 (Inégalités de convexité)

L’exponentielle est convexe sur $\R$ (sa dérivée seconde est elle-même, positive). Sa tangente en $0$ est $y = 1 + x$ , donc

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{pour tout } x \in \R .

De telles inégalités de tangente sont un produit standard de la convexité.

Méthode 22.16 (Utiliser la convexité)

Pour prouver une inégalité $f(x) \geq ax + b$ : identifier la droite comme une tangente d’une fonction convexe $f$ et invoquer le Théorème 22.12(3).
Pour localiser les points d’inflexion : résoudre $f''(x) = 0$ et vérifier que $f''$ change de signe là.
Dans un tableau de variations, la convexité affine le croquis de la courbe (de quel côté elle s’infléchit).

22.4 Exercices

Exercice 22.1 ★

Dériver les fonctions suivantes sur leurs ensembles de définition :

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Solution

Solution de Exercice 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ .

Règle du quotient : $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Règle de la chaîne avec $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ .

Règle de la chaîne avec $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Exercice 22.2 ★

Donner l’équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ au point d’abscisse $a = 2$ , et déterminer les positions de la courbe par rapport à cette tangente.

Solution

Solution de Exercice 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , donc $f(2) = -1$ et $f'(2) = 1$ : la tangente est $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ . L’écart est

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

donc la courbe est au-dessus de la tangente partout, ne la touchant qu’en $x = 2$ (comme attendu : $f$ est convexe).

Exercice 22.3 ★

En utilisant la définition de la dérivée, calculer

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{et}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

Solution

Solution de Exercice 22.3.

Ce sont tous deux des taux d’accroissement. Avec $f(x) = (1+x)^{100}$ en $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , donc la limite est $f'(0) = 100$ . Avec $g(x) = \sqrt{x}$ en $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , donc la limite est $g'(4) = \frac14$ .

Exercice 22.4 ★★

Étudier la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ sur son ensemble de définition : limites, dérivée, tableau de variations, extrema locaux.

Solution

Solution de Exercice 22.4.

Ensemble de définition $\R \setminus \{1\}$ . Limites : en $\pm\infty$ , $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; en $1^\pm$ , le numérateur $\to 4 > 0$ et le dénominateur $\to 0^\pm$ , donc $f \to \pm\infty$ ; la droite $x = 1$ est une asymptote verticale.

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

D’où $f' > 0$ sur $\intoo{-\infty}{-1}$ et $\intoo{3}{+\infty}$ , $f' < 0$ sur $\intoo{-1}{1}$ et $\intoo{1}{3}$ . La fonction croît jusqu’à un maximum local $f(-1) = -2$ , décroît vers $-\infty$ , saute vers $+\infty$ après l’asymptote, décroît jusqu’à un minimum local $f(3) = 6$ , puis croît.

Exercice 22.5 ★★

Une boîte sans couvercle est fabriquée à partir d’une feuille de carton carrée de côté $30$ cm en découpant des carrés égaux de côté $x$ aux coins et en relevant les côtés. Déterminer $x$ maximisant le volume de la boîte.

Solution

Solution de Exercice 22.5.

Pour $x \in \intoo{0}{15}$ , la boîte a une base carrée de côté $30 - 2x$ et une hauteur $x$ , donc

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ . Sur $\intoo{0}{15}$ , $30 - 2x > 0$ , donc $V'$ a le signe de $30 - 6x$ : positif avant $x = 5$ , négatif après. Le volume est maximal pour $x = 5$ cm, donnant $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ .

Exercice 22.6 ★★

Soit $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ .

Calculer $f''$ et déterminer les intervalles de convexité et les points d’inflexion de $f$ .
Montrer que la tangente au point d’inflexion d’abscisse $2$ traverse la courbe là.

Solution

Solution de Exercice 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ et $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Ainsi $f'' > 0$ sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{2}{+\infty}$ (convexe), $f'' < 0$ sur $\intoo{0}{2}$ (concave). $f''$ change de signe en $0$ et en $2$ : ce sont tous deux des points d’inflexion.

2. En $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ , tangente $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ . L’écart est

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

Comme $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ , $(x-2)^3$ divise $g$ ; la division donne $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ . Au voisinage de $x = 2$ , $x + 2 > 0$ , donc $g$ a le signe de $(x-2)^3$ : négatif avant $2$ , positif après. La courbe traverse la tangente : $2$ est bien un point d’inflexion.

Exercice 22.7 ★★

En utilisant une inégalité de tangente, montrer que pour tout $x > 0$ ,

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

et identifier quand l’égalité a lieu. (Indication : la racine carrée est concave.)

Solution

Solution de Exercice 22.7.

La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ satisfait $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : elle est concave, donc son graphique est sous chaque tangente. La tangente en $a = 1$ est

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

d’où $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ pour tout $x > 0$ . L’égalité signifie que la courbe touche la tangente, ce qui n’arrive qu’au point de contact $x = 1$ . (Équivalent : $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ .)

Exercice 22.8 ★★★

Soit $f$ convexe et dérivable sur $\R$ , et supposons que $f'$ s’annule en un certain point $a$ . Montrer que $f(a)$ est le minimum global de $f$ sur $\R$ .

Solution

Solution de Exercice 22.8.

Par le Théorème 22.12, le graphique d’une fonction convexe dérivable est au-dessus de chacune de ses tangentes. La tangente en $a$ est horizontale ( $f'(a) = 0$ ), d’équation $y = f(a)$ . D’où $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in \R$ : $f(a)$ est le minimum global.

Exercice 22.9 ★★★

Montrer que parmi tous les rectangles de périmètre fixe $p$ , le carré a l’aire la plus grande. Puis montrer que parmi tous les rectangles d’aire fixe $A$ , le carré a le plus petit périmètre, et expliquer comment les deux énoncés sont liés.

Solution

Solution de Exercice 22.9.

Périmètre fixe. Un rectangle de côtés $x$ et $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) a pour aire $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ . Alors $S'(x) = \frac p2 - 2x$ s’annule en $x = \frac p4$ , positif avant et négatif après : le maximum est en $x = \frac{p}{4}$ , où les deux côtés valent $\frac p4$ — un carré.

Aire fixe. Les côtés $x$ et $\frac Ax$ donnent le périmètre $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ , avec $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ , négatif pour $x < \sqrt A$ et positif après : minimum en $x = \sqrt{A}$ , un carré encore.

Lien. Les deux énoncés sont duaux. Supposons qu’un rectangle non carré minimise le périmètre à aire fixe $A$ ; le carré de même périmètre aurait une aire $> A$ par le premier énoncé, et le rétrécir homothétiquement à l’aire $A$ diminuerait strictement son périmètre — contredisant la minimalité. Chaque énoncé implique donc l’autre.