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गणित · शब्दावली

नति-परिवर्तन बिंदु क्या है?

परिभाषा 22.13 उच्च माध्यमिक गणित · अध्याय 22 — अवकलन और उत्तलता

जिस बिंदु पर $f$ का वक्र अपनी स्पर्श रेखा को पार कर जाता है वह नति-परिवर्तन बिंदु है। दो बार अवकलनीय $f$ के लिए नति-परिवर्तन बिंदु वही हैं जहाँ $f''$ चिह्न बदलता है।

मूल बिंदु पर x x3 का नति-परिवर्तन बिंदु: वक्र अपनी स्पर्श रेखा (नारंगी) को पार कर जाता है, बाईं ओर अवतल और दाईं ओर उत्तल। — मूल बिंदु पर $x \mapsto x^3$ का नति-परिवर्तन बिंदु: वक्र अपनी स्पर्श रेखा (नारंगी) को पार कर जाता है, बाईं ओर अवतल और दाईं ओर उत्तल।

उदाहरण

उदाहरण 22.14

$f(x) = x^3$ के लिए $f''(x) = 6x$ : $f$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर अवतल और $\intco{0}{+\infty}$ पर उत्तल है, और मूल बिंदु पर उसका नति-परिवर्तन बिंदु है, जहाँ वक्र अपनी स्पर्श रेखा ( $x$ -अक्ष) को पार कर जाता है।

उदाहरण 22.15 (उत्तलता से असमिकाएँ)

चरघातांकी फलन $\R$ पर उत्तल है (उसका द्वितीय अवकलज वही स्वयं है, जो धनात्मक है)। $0$ पर उसकी स्पर्श रेखा $y = 1 + x$ है, इसलिए

\eu^x \geq 1 + x \quad x \in \R \text{ के लिए} .

ऐसी स्पर्श-रेखा असमिकाएँ उत्तलता की मानक उपज हैं।

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