Qu'est-ce que « Fonction convexe » ?

Exemple 22.14

$f(x) = x^3$ a $f''(x) = 6x$ : $f$ est concave sur $\intoc{-\infty}{0}$, convexe sur $\intco{0}{+\infty}$, avec un point d’inflexion à l’origine, où la courbe traverse sa tangente (l’axe des $x$).

Exemple 22.15 (Inégalités de convexité)

L’exponentielle est convexe sur $\R$ (sa dérivée seconde est elle-même, positive). Sa tangente en $0$ est $y = 1 + x$, donc

De telles inégalités de tangente sont un produit standard de la convexité.

Exemple 14.20 (Inégalités de convexité classiques)

$\exp$ est convexe ($\exp'' = \exp > 0$) : sa tangente en $0$ donne $\eu^x \geq 1 + x$ pour tout $x$. $\ln$ est concave : sa tangente en $1$ donne $\ln x \leq x - 1$ ; ses cordes donnent, pour $0 < a \leq b$, l’inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique : en prenant $t = \frac12$ dans la concavité,

L’inégalité arithmético-géométrique générale est l’Exercice 14.9.

Exemple 14.21 (Une inégalité de convexité fabriquée de toutes pièces)

La fonction $f(t) = t\ln t$ est convexe sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $f''(t) = \frac1t > 0$. Son inégalité de milieu, multipliée par $2$, s’écrit : pour tous $a, b > 0$,

avec égalité si et seulement si $a = b$ (convexité stricte). Essai : $a = 1$, $b = 3$ donne $3\ln 3 = 3.296$ contre $4\ln 2 = 2.773$. Cette inégalité anodine est le cas à deux points de la comparaison d’entropie qui reparaît avec l’inégalité de Jensen (Exercice 14.9) et dans les asymptotiques de la théorie de l’information du volume de Licence 3. L’idée à retenir : pour fabriquer une inégalité, trouver une fonction dont la dérivée seconde a un signe et écrire ce que dit la convexité — la caractérisation différentielle transforme une seule vérification de signe en une infinité d’inégalités.

Exemple 14.24 (L’inégalité de Young par la concavité)

Soient $p, q > 1$ avec $\frac1p + \frac1q = 1$. Pour tous $a, b > 0$ :

Démonstration par une seule application de la concavité de $\ln$ avec les poids $\frac1p, \frac1q$ (l’inégalité de Jensen à deux points, comme dans l’Exercice 14.9) :

et la croissance de $\ln$ convertit l’inégalité entre logarithmes en l’énoncé voulu ; égalité si et seulement si $a^p = b^q$ (concavité stricte). Le cas $p = q = 2$ est l’inégalité arithmético-géométrique $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ déguisée. L’idée à retenir : l’inégalité de Young est la graine algébrique des inégalités de Hölder et de Minkowski du volume de Licence 2 — un seul énoncé de concavité sur $\ln$, moissonné pour les normes.