Qu'est-ce que « polynôme minimal » ?

Exemple 3.13 (Polynômes minimaux trouvés à la main)

Le polynôme minimal se calcule en testant les degrés successifs. Pour la matrice remplie de $1$ $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ : $J \neq \lambda I$ (le degré $1$ est exclu), et $J^2 = 3J$, donc

degré $2$, scindé, racines simples — $J$ est diagonalisable de spectre $\{0, 3\}$ (Corollaire 3.17 ci-dessous), ce qui confirme l’Exemple 2.19 sans un seul déterminant. Pour la matrice d’échange $A$ de l’Exemple 3.15 : $A \neq \pm I$ et $A^2 = I$ donnent $\mu_A = X^2 - 1$. Dans les deux cas le schéma est le même : on devine une identité de bas degré à partir de la structure (le rang un force $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$ ; une involution force $A^2 = I$), puis on vérifie qu’aucun diviseur propre n’annule. Les polynômes minimaux sont d’ordinaire trouvés, non calculés à partir de $\chi$.

Exemple 3.15 (Le lemme des noyaux avec projecteurs explicites)

Soit $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (échange des deux premières coordonnées). Alors $A^2 = I$ : le polynôme $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ annule $A$, ses facteurs sont premiers entre eux, et Bézout est explicite :

En suivant la preuve du Théorème 3.14, les projections sur $\ker(A - I)$ et $\ker(A + I)$ sont les polynômes en $A$

Vérification : $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$, et les images sont le plan $\{x = y\}$ (vecteurs symétriques, valeur propre $1$) et la droite $\R(1, -1, 0)$ (antisymétriques, valeur propre $-1$). Le lemme des noyaux n’est pas un énoncé d’existence : les coefficients de Bézout sont les formules des projecteurs.

Exemple 3.20 (Minimal contre caractéristique)

Pour $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ : $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$ mais $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, puisque $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (vérifier sur la base canonique) tandis qu’aucun facteur seul n’annule $D$. Pour le bloc de décalage $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, c’est-à-dire $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$ : $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ et $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — la racine double est véritablement nécessaire parce que $N'$ n’est pas diagonalisable du côté du noyau ($N'e_2 = e_1 \neq 0$). Règle empirique : $\mu$ et $\chi$ partagent leurs racines (Proposition 3.12) ; la multiplicité dans $\mu$ mesure la taille du plus grand bloc nilpotent, celle dans $\chi$ la dimension totale du sous-espace caractéristique.