Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

22Déterminants et systèmes linéaires

Le déterminant condense en un seul scalaire la réponse à la question « ces $n$ vecteurs forment-ils une base ? » — et, géométriquement, mesure le volume qu’ils engendrent. Nous le caractérisons par ses propriétés (multilinéaire, alterné, normalisé), le calculons en dimensions $2$ et $3$ puis, en général, par développement suivant une ligne ou une colonne, et le mettons au travail sur les systèmes linéaires, aux côtés de l’algorithme universel : le pivot de Gauss.

22.1 Le déterminant

Théorème 22.1 (Caractérisation)

Il existe exactement une application $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ , vue comme fonction des $n$ colonnes, qui soit :

linéaire en chaque colonne (les autres étant fixées) ;
alternée : échanger deux colonnes change le signe (donc deux colonnes égales donnent $0$ ) ;
normalisée : $\det I_n = 1$ .

Pour $n = 2$ et $3$ :

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(la règle de Sarrus en taille $3 \times 3$ : produits des diagonales descendantes moins produits des diagonales ascendantes).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 22.2

Pour $n = 2$ : développer par bilinéarité sur les colonnes canoniques donne la formule, laquelle satisfait réciproquement les axiomes — une démonstration complète ; le cas $n = 3$ est identique, avec davantage de termes. Le cas général (existence par la somme sur les permutations, unicité par le même développement) réclame la signature d’une permutation et est reporté à la deuxième année ; nous utilisons librement les axiomes et les conséquences ci-dessous.

Voici le développement pour $n = 2$ en entier, puisqu’il sert de modèle : avec les colonnes $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ et $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ , la bilinéarité donne

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

et le caractère alterné tue les paires répétées tout en retournant $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ : toute l’application se réduit à $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ par normalisation. L’unicité se lit dans le calcul lui-même — les axiomes n’ont laissé aucun choix à aucune étape — et c’est exactement l’énoncé d’unicité à un facteur près qui sert dans la démonstration de la formule du produit ci-dessous.

Théorème 22.3 (Propriétés)

Pour $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

ajouter à une colonne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant ; multiplier une colonne par $\lambda$ le multiplie par $\lambda$ (donc $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ ) ;
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
$A$ est inversible $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ les colonnes forment une base de $K^n$ ; et alors $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — ainsi toute règle sur les colonnes est aussi une règle sur les lignes ;
le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

Démonstration. (1) Par linéarité, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ , où le second déterminant a deux colonnes égales : il est nul.

(2) Fixons $A$ et considérons $\varphi(B) = \det(AB)$ comme fonction des colonnes de $B$ : puisque $AB$ a pour colonnes les $AB_j$ , $\varphi$ est multilinéaire et alternée en les $B_j$ . Nous admettons, avec le Théorème 22.1, son énoncé d’unicité à un facteur près : toute application multilinéaire alternée $\varphi$ des colonnes est égale à $\varphi(I_n) \cdot \det$ . Ici $\varphi(I_n) = \det A$ , donc $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

(3) Si $A$ est inversible : $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ , donc $\det A \neq 0$ et la formule de l’inverse vaut. Si $A$ n’est pas inversible, ses colonnes sont liées (Corollaire 20.9 et Proposition 20.2) ; exprimer une colonne à l’aide des autres puis développer par linéarité ne laisse que des déterminants à deux colonnes égales : $\det A = 0$ . L’énoncé sur la base est la Proposition 19.8.

(4) Admis avec la construction générale (c’est immédiat sur la formule par les permutations) ; nous l’enregistrons pour pouvoir utiliser les opérations sur les lignes.

(5) Si l’un des coefficients diagonaux est nul, les $k$ premières colonnes sont liées pour un certain $k$ (considérations de rang) et $\det = 0 =$ le produit. Sinon, on annule chaque colonne en dessous et à gauche par des opérations de type (1) — possibles grâce à la forme triangulaire —, atteignant la matrice diagonale, dont le déterminant est le produit des coefficients par multilinéarité à partir de $I_n$ . ∎

Exemple 22.4 (Les règles, vérifiées sur des nombres)

Prenons $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ). Alors

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

Multiplicativité et invariance par transposition confirmées — tandis que la fausse additivité échoue sur le même couple :

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

Trente secondes d’arithmétique de ce genre, chaque fois qu’une identité sur les déterminants est invoquée, constituent l’assurance contre l’erreur la moins chère qui soit.

Exemple 22.5 (Les déterminants comme aires)

Le parallélogramme engendré par $u = (2, 0)$ et $v = (1, 3)$ a pour base $2$ et pour hauteur $3$ : son aire vaut $6$ . Et

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

le déterminant $2\times2$ est l’aire algébrique du parallélogramme de ses colonnes. Les axiomes racontent la géométrie : ajouter à une colonne un multiple de l’autre est une transvection, qui fait glisser le parallélogramme parallèlement à un côté sans changer ni la base ni la hauteur (opération (1) du Théorème 22.3) ; multiplier une colonne par un scalaire multiplie l’aire d’autant ; échanger les colonnes renverse l’orientation, d’où le signe, $\det(v, u) = -6$ . Dans $\R^3$ la même lecture donne des volumes algébriques, et $\abs{\det}$ devient le facteur universel de dilatation des volumes des applications linéaires — le fait qui se cache derrière la formule de changement de variables pour les intégrales multiples dans le volume de Licence 2.

Théorème 22.6 (Développement par les cofacteurs)

Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et soit $\Delta_{ij}$ le déterminant de $A$ privée de sa ligne $i$ et de sa colonne $j$ . Alors, pour toute colonne $j$ fixée (ou toute ligne, par transposition) :

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 22.7

Développement suivant la première colonne :

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

Stratégie : créer d’abord des zéros (opérations sur les lignes ou les colonnes), puis développer suivant la rangée la plus vide.

Exemple 22.8 (L’inverse par les cofacteurs, une fois à la main)

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ : $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ . Les neuf cofacteurs $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ s’assemblent en

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

la formule citée dans l’Exercice 22.8. Vérifions un couple ligne-colonne : (ligne $1$ de $A$ )(colonne $1$ de $A^{-1}$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ , et contre la colonne $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ . Neuf déterminants $2\times2$ pour un seul inverse $3\times3$ : à cette taille déjà, la réduction par les lignes (Exercice 22.3) coûte moins cher — l’intérêt de la formule des cofacteurs est théorique (le caractère entier dans l’Exercice 22.8, la différentiabilité de l’inverse dans les volumes ultérieurs), non calculatoire.

Exemple 22.9 (La règle triangulaire par blocs, en taille $4$ )

Affirmation : $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ pour des blocs $2\times2$ . Annulons le bloc $N$ par des opérations sur les colonnes : ajouter aux colonnes $3, 4$ des combinaisons convenables des colonnes $1, 2$ élimine $N$ lorsque $M$ est inversible (résoudre $M\Lambda = -N$ pour obtenir les coefficients de combinaison $\Lambda$ ), ce qui laisse $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ ; puis le développement par les cofacteurs suivant la première colonne, deux fois, donne $\det M\det P$ pour cette forme diagonale par blocs. Si $M$ n’est pas inversible, ses colonnes sont liées, donc les deux premières colonnes de la grande matrice le sont aussi (leurs moitiés inférieures sont nulles) : les deux membres sont nuls. La règle s’étend à des blocs de tailles quelconques par le même argument en deux cas — et c’est le moteur de l’Exercice 22.10.

Exemple 22.10 (Un déterminant $4 \times 4$ , avec stratégie)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

Chaque ligne a pour somme $10$ : l’opération $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ rend la première colonne constante, et mettre $10$ en facteur n’y laisse que des $1$ . Puis $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) annule la première colonne :

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

le dernier déterminant $3\times3$ se développant suivant sa première ligne : $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ . Morale : une opération bien choisie (avoir repéré la somme constante des lignes) vaut mieux que seize cofacteurs.

Méthode 22.11 (Choisir une stratégie de calcul de déterminant)

Examinez la matrice avant de calculer quoi que ce soit.

Sommes des lignes ou des colonnes constantes : additionner le tout dans une même rangée, mettre la valeur commune en facteur (Exemple 22.10, Exercice 22.7).
Structure répétitive : soustraire des lignes ou des colonnes voisines pour créer des zéros ; les motifs en escalier s’effondrent vers la forme triangulaire, dont le déterminant se lit sur la diagonale.
Zéros isolés : développer suivant la rangée la plus vide (Exemple 22.7) ; les familles récursives (tridiagonales, Exercice 22.6) livrent ainsi des récurrences.
Un paramètre : le déterminant en est un polynôme ; on trouve ses racines en repérant les valeurs dégénérées (lignes égales, colonnes proportionnelles), puis on cerne le polynôme par son degré et son coefficient dominant. Pour la matrice de l’Exercice 22.7 : $m = 1$ donne trois lignes égales (rang $1$ , une racine double), $m = -2$ rend la somme des lignes nulle (une racine de plus) ; le déterminant est de degré $3$ en $m$ , de terme dominant $-m^3$ (le produit antidiagonal $m\cdot m\cdot m$ , dont le signe de Sarrus est $-1$ ), il vaut donc nécessairement $-(m+2)(m-1)^2$ — aucun développement n’est nécessaire, et les deux méthodes se contrôlent l’une l’autre.

Exemple 22.12 (Déterminant de Vandermonde)

Pour des scalaires $x_1, \dots, x_n$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

Esquisse de démonstration (détaillée dans l’Exercice 22.5) : les opérations sur les colonnes $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ , effectuées à partir de la droite, annulent la première ligne, et mettre en facteur chaque ligne restante ramène à $V(x_2, \dots, x_n)$ . Non nul si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts — le déterminant qui se cache derrière l’interpolation de Lagrange (Exemple 20.10).

22.2 Systèmes linéaires

Définition 22.13

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues est $AX = B$ avec $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; il est homogène lorsque $B = 0$ . Son ensemble de solutions, lorsqu’il est non vide, est $X_0 + \ker A$ : une solution particulière plus la solution générale du système homogène — un sous-espace affine de dimension $p - \operatorname{rk} A$ (théorème du rang).

Exemple 22.14 (La structure affine, rendue visible)

Résolvons

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

En soustrayant les équations : $2y - z = 1$ , donc $z = 2y - 1$ et $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . Les solutions forment la droite

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

la solution particulière $X_0 = (4, 0, -1)$ (le choix $y = 0$ ) plus la droite noyau $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ du système homogène associé — vérification : $(-3) + 1 + 2 = 0$ et $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Géométriquement, deux plans non parallèles de $\R^3$ se coupent selon une droite, et le compte des dimensions $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ le savait avant que nous ayons résolu quoi que ce soit. Changer de solution particulière (disons $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) change la description, pas la droite : un sous-espace affine a plusieurs origines et une seule direction.

Théorème 22.15 (Systèmes de Cramer carrés)

Si $A \in GL_n(K)$ , le système $AX = B$ a pour unique solution $X = A^{-1}B$ , dont les coordonnées sont

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ dont la colonne } j \text{ est remplacée par } B .

Démonstration. L’existence et l’unicité sont l’inversibilité même. Pour la formule : écrivons $B = \sum_k x_k C_k$ (les $C_k$ étant les colonnes de $A$ ) ; alors, par multilinéarité et alternance,

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

tous les termes sauf $k = j$ ayant une colonne répétée. ∎

Exemple 22.16 (Cramer avec un paramètre, en entier)

Pour $m \in \R$ , résolvons

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

Le déterminant vaut $1 - m^2$ . Cas générique $m \neq \pm1$ : Cramer donne

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

une solution propre pour chaque $m$ admissible (vérification en $m = 0$ : $(1, 2)$ , manifestement correct). Cas dégénérés : en $m = 1$ les équations s’écrivent $x + y = 1$ et $x + y = 2$ : incompatibles ; en $m = -1$ elles s’écrivent $x - y = 1$ et $-x + y = 2$ , c’est-à-dire $x - y = 1$ et $x - y = -2$ : incompatibles de nouveau. L’annulation du déterminant annonce que quelque chose dégénère, mais ne dit jamais quoi — ensemble vide ou ensemble infini doit se décider en regardant le second membre. Remarquons aussi comme les formules signalent elles-mêmes leurs limites : quand $m \to 1^{-}$ , $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ; le point solution s’enfuit à mesure que les deux droites deviennent parallèles.

Méthode 22.17 (Le pivot de Gauss sur les systèmes)

On réduit la matrice augmentée $(A \mid B)$ à une forme échelonnée.

Si un pivot apparaît dans la dernière colonne (une ligne $0 = 1$ ) : pas de solution.
Sinon, les inconnues se répartissent en inconnues principales et inconnues libres (les paramètres) ; la remontée exprime les premières en fonction des secondes : l’ensemble des solutions est un sous-espace affine de dimension $=$ nombre d’inconnues libres.

Les formules de Cramer servent à la théorie et aux petits systèmes ; l’élimination est l’algorithme pratique.

Exemple 22.18 (Une discussion avec paramètre)

Pour $m \in \R$ , considérons

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

La matrice a pour déterminant $-(m+2)(m-1)^2$ (calculé dans l’Exercice 22.7 en ajoutant toutes les colonnes à la première). Pour $m \neq 1, -2$ : solution unique $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (par symétrie). Pour $m = 1$ : une seule équation répétée trois fois, un plan de solutions. Pour $m = -2$ : en ajoutant les trois équations on obtient $0 = 3$ , pas de solution.

Remarque 22.19 (Pièges classiques)

Le déterminant n’est pas linéaire en la matrice : $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (déjà $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ ) ; il est linéaire en chaque colonne séparément, ce qui est tout autre chose. Homogénéité : $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , et non $\lambda\det A$ — chacune des $n$ colonnes est multipliée. Les opérations sur les lignes ne sont pas toutes gratuites : $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ conserve le déterminant, mais un échange change le signe et $L_i \leftarrow \lambda L_i$ le multiplie par $\lambda$ — les erreurs de comptabilité ici sont la source classique des signes faux dans les calculs par élimination. Un déterminant nul est un début, non une fin : il dit « rang $< n$ » mais pas quel rang ; seul un travail supplémentaire (forme échelonnée, ou les mineurs de l’Exercice 22.12) le localise — cf. le cas $m = 1$ contre $m = -2$ dans l’Exemple 22.18. Cramer exige l’inversibilité : lorsque $\det A = 0$ les formules $x_j = \det A_j/\det A$ n’ont aucun sens, et le système peut parfaitement avoir (une infinité de) solutions. Seules les matrices carrées ont un déterminant : pour un système rectangulaire, l’élimination est le seul outil.

Remarque 22.20 (Où vont les déterminants)

Trois vies attendent ce scalaire. Géométrique : $\abs{\det}$ est le facteur de dilatation des aires ou des volumes de l’application associée — rendu précis pour le plan dans le Chapitre 23 et, comme jacobien d’un changement de variables, dans les intégrales multiples du volume de Licence 2. Algébrique : $\det(A - \lambda I)$ , le polynôme caractéristique, ouvre la théorie des valeurs propres en Licence 2 — l’identité $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ du devoir maison du Chapitre 21 en est la première ombre. Analytique : les déterminants de matrices particulières (Vandermonde, Cauchy, Gram) décident quand les problèmes d’interpolation, de décomposition et de projection sont bien posés ; le devoir maison ci-dessous évalue complètement les deux premières familles.

Remarque 22.21 (Perspectives à l’intérieur du livre 3)

Ce chapitre referme la colonne vertébrale d’algèbre linéaire du volume, et ses deux derniers chapitres en touchent les dividendes. Dans le Chapitre 23 : la matrice de Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ teste la liberté d’une famille par un déterminant (Exercice 23.11), et les isométries du plan se répartissent en rotations et réflexions selon le signe de leur déterminant — c’est sur lui que repose la classification du devoir maison de ce chapitre-là. Dans le Chapitre 25 : la quantité de Monge $rt - s^2$ est le déterminant de la matrice symétrique des dérivées secondes, et les équations normales des moindres carrés forment un système de Cramer dont la matrice est une matrice de Gram (donc de moments) — inversible précisément grâce aux critères de saveur Vandermonde établis ici. Quand ces chapitres affirmeront « inversible » ou « positif », les justificatifs seront dans celui-ci.

22.3 Exercices

Exercice 22.1 ★

Calculer :

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

Solution

Solution de Exercice 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

Deuxième : $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (sur les lignes d’origine) donnent les lignes $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : deux lignes égales, déterminant $0$ . (Sarrus confirme : $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ .)

Troisième : c’est un Vandermonde avec $x = 1, 2, 3$ (Exemple 22.12) : $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ .

Exercice 22.2 ★

Pour quels $\lambda \in \R$ la famille $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ est-elle une base de $\R^3$ ?

Solution

Solution de Exercice 22.2.

Le déterminant vaut (ajouter toutes les colonnes à la première, puis mettre en facteur) $(\lambda + 2)$ fois

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

(annuler avec $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ puis développer), d’où $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ . Base $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ .

Exercice 22.3 ★

Résoudre par la règle de Cramer :

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{puis}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

Solution

Solution de Exercice 22.3.

Premier système : $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ , $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ . Vérification : $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$ .

Second système : après $L_2 - L_1$ et $L_3 - 2L_1$ , les lignes deviennent $(1,1,1)$ , $(0,-2,0)$ , $(0,-1,-3)$ , donc

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

Cramer, en remplaçant les colonnes par $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(les numérateurs se calculant de la même façon). Vérification : $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$ .

Exercice 22.4 ★

Résoudre par le pivot de Gauss, en décrivant l’ensemble des solutions :

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

Solution

Solution de Exercice 22.4.

Réduisons la matrice augmentée : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Inconnues principales $x, z$ ; inconnues libres $y, t$ . Remontée : $z = 1 + t$ , $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ . Ensemble des solutions :

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

un plan affine (de dimension $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ ) de $\R^4$ .

Exercice 22.5 ★★

Démontrer la formule de Vandermonde de l’Exemple 22.12 par récurrence sur $n$ , à l’aide des opérations sur les colonnes $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ effectuées de $k = n$ jusqu’à $k = 2$ .

Solution

Solution de Exercice 22.5.

Récurrence ; pour $n = 1$ le produit est vide, égal à $1$ . Pour l’hérédité, effectuons $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ pour $k = n, n-1, \dots, 2$ (dans cet ordre, de sorte que chaque opération utilise une colonne non encore modifiée). La première ligne devient $(1, 0, \dots, 0)$ ; dans la ligne $i \geq 2$ , le $k$ -ième coefficient devient $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ . En développant suivant la première ligne et en mettant $(x_i - x_1)$ en facteur dans chaque ligne $i$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

et l’hypothèse de récurrence complète le produit $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .

Exercice 22.6 ★★

(Tridiagonal) Soit $D_n$ le déterminant $n \times n$ valant $2$ sur la diagonale, $1$ sur les deux diagonales adjacentes et $0$ ailleurs. En développant suivant la première ligne, démontrer $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ et calculer $D_n$ ( $D_1 = 2$ , $D_2 = 3$ ).

Solution

Solution de Exercice 22.6.

En développant $D_n$ suivant la première ligne : $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & \text{bloc } D_{n-2} \end{vmatrix}$ ; le second déterminant, développé suivant sa première colonne, vaut $D_{n-2}$ . Donc $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , c’est-à-dire $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : les différences sont constantes, égales à $D_2 - D_1 = 1$ . Ainsi $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ . (Vérification : $D_2 = 3$ , et le cas $3\times3$ est Exemple 22.7 : $D_3 = 4$ .)

Exercice 22.7 ★★

Compléter l’Exemple 22.18 : calculer le déterminant $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ par l’opération $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ , et mener la discussion complète du système.

Solution

Solution de Exercice 22.7.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ rend la première colonne constante, égale à $(m+2)$ ; mettons-la en facteur :

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(développer suivant la première colonne : l’unique coefficient $1$ porte le signe $+$ , et le déterminant $2 \times 2$ restant vaut $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ ).

Discussion. $m \notin \{1, -2\}$ : système de Cramer ; par la symétrie des équations, $x = y = z$ , et chaque équation donne $(m + 2)x = 1$ : solution unique $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ . $m = 1$ : les trois équations s’écrivent toutes $x + y + z = 1$ : les solutions forment le plan affine $x + y + z = 1$ . $m = -2$ : en sommant les trois équations on obtient $0 = 3$ : ensemble de solutions vide.

Exercice 22.8 ★★

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ à coefficients entiers. Démontrer que $A$ admet un inverse à coefficients entiers si et seulement si $\det A = \pm 1$ . (Pour le sens direct, prendre les déterminants ; pour la réciproque, admettre — ou démontrer pour $n \leq 3$ par les cofacteurs — que $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ avec une comatrice à coefficients entiers.)

Solution

Solution de Exercice 22.8.

( $\Rightarrow$ ) Si $A^{-1}$ est à coefficients entiers : $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ avec les deux déterminants entiers (sommes de produits de coefficients) : deux entiers de produit $1$ valent tous deux $\pm1$ .

( $\Leftarrow$ ) La formule des cofacteurs $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (vérifiée pour $n \leq 3$ par développement direct, admise en général) fournit une comatrice $\operatorname{Com}(A)$ à coefficients entiers (chaque cofacteur est un déterminant entier) ; diviser par $\det A = \pm 1$ conserve les entiers.

Exercice 22.9 ★★★

Calculer le déterminant $n \times n$ de la matrice $aI + bJ$ (Exercice 21.9), c’est-à-dire celle qui vaut $a + b$ sur la diagonale et $b$ ailleurs. (Ajouter toutes les colonnes à la première, mettre en facteur, puis annuler.) Retrouver la condition d’inversibilité $a \neq 0$ , $a + nb \neq 0$ .

Solution

Solution de Exercice 22.9.

Ajoutons toutes les colonnes à la première : chaque coefficient de la nouvelle première colonne vaut $a + nb$ ; mettons-le en facteur, de sorte que la première colonne ne contienne que des $1$ . Puis les opérations sur les lignes $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) annulent tous les coefficients situés sous le $1$ en haut à gauche et laissent $a$ sur la diagonale et $0$ ailleurs dans ces lignes : la matrice est triangulaire supérieure, de diagonale $(1, a, \dots, a)$ . Ainsi

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

non nul si et seulement si $a \neq 0$ et $a + nb \neq 0$ : la condition de l’Exercice 21.9.

Exercice 22.10 ★★★

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ . Démontrer que

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

par des opérations sur les colonnes et les lignes par blocs ( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ , puis $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , sous forme de blocs), en admettant la règle triangulaire par blocs naturelle $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — démontrée pour des blocs $2 \times 2$ dans l’Exemple 22.9.

Solution

Solution de Exercice 22.10.

Opérations par blocs (chacune est une composée des $n$ opérations scalaires correspondantes, autorisées par le Théorème 22.3 (1)) :

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

en utilisant la règle triangulaire par blocs pour la dernière étape.

Exercice 22.11 ★★

(Circulante d’ordre $3$ ) Soient $a, b, c \in \C$ et

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

Démontrer que $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ , puis factoriser complètement sur $\C$ à l’aide de $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

(Commencer par $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ; pour la forme complexe, remarquer que la colonne $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ se comporte presque comme un vecteur propre.)

Solution

Solution de Exercice 22.11.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ rend la première colonne constante, égale à $(a + b + c)$ ; mettons-la en facteur, puis $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

et en développant, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ . Sur $\C$ , avec $j^3 = 1$ et $1 + j + j^2 = 0$ :

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

d’où la factorisation complète. (Structurellement : la colonne $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ vérifie $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ , et de même pour $j^2$ et $1$ : les trois facteurs sont les trois « valeurs propres » de la circulante, une histoire systématisée dans le volume de Licence 2.)

Exercice 22.12 ★★★

(Rang et mineurs) Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ . Démontrer que $\operatorname{rk} A$ est égal à la plus grande taille $r$ d’une sous-matrice $r \times r$ inversible de $A$ (une sous-matrice retient les coefficients situés aux croisements de $r$ lignes et de $r$ colonnes choisies). (Si $\operatorname{rk} A = r$ , choisir $r$ colonnes libres, puis $r$ lignes libres du bloc $n \times r$ obtenu ; réciproquement, une sous-matrice inversible force les colonnes correspondantes de $A$ à être libres.)

Solution

Solution de Exercice 22.12.

Posons $r = \operatorname{rk} A$ .

Il existe une sous-matrice $r \times r$ inversible. Choisissons $r$ colonnes libres de $A$ et soit $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ la matrice qu’elles forment : $\operatorname{rk} B = r$ . Comme le rang par lignes est égal au rang par colonnes (Théorème 21.13), $B$ possède $r$ lignes libres ; ne garder que ces lignes fournit une sous-matrice $r \times r$ de $A$ de rang $r$ , c’est-à-dire inversible.

Il n’en existe pas de plus grande. Soit $S$ une sous-matrice $s \times s$ inversible, extraite des colonnes $j_1, \dots, j_s$ et des lignes $i_1, \dots, i_s$ de $A$ . Si une combinaison $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ des colonnes entières correspondantes est nulle, alors en ne lisant que les lignes $i_1, \dots, i_s$ on obtient $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ sur les colonnes de $S$ , donc tous les $\lambda_k = 0$ ( $S$ est inversible) : les colonnes $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ de $A$ sont libres, et $s \leq \operatorname{rk} A = r$ .

Ainsi $\operatorname{rk} A$ est exactement la plus grande taille d’une sous-matrice inversible.

22.4 Problème : le double alternant de Cauchy

Problème 22.1

Deux déterminants gouvernent les applications de ce chapitre : le déterminant de Vandermonde, évalué dans l’Exercice 22.5, et le déterminant de Cauchy $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ , évalué ici. Autour d’eux, ce problème rassemble la boîte à outils des alternants : astuces de colonnes polynomiales, interpolation par Cramer, matrice de Hilbert, discriminant d’une cubique et méthode des polynômes alternés. Partout, $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ désigne la valeur de Vandermonde.

Partie I — La boîte à outils de Vandermonde.

Calculer $V(1, 2, 3, 4)$ , et rappeler pourquoi l’interpolation en $n$ nœuds deux à deux distincts est un système de Cramer.
(Alternant polynomial) Soient $P_0, \dots, P_{n-1}$ unitaires avec $\deg P_k = k$ . Démontrer

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

les opérations sur les colonnes remplacent gratuitement chaque colonne de puissances par n’importe quel escalier unitaire.
Appliquer la question 2 aux polynômes binomiaux $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : démontrer que pour des entiers $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ ,

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

le produit de toutes les différences deux à deux de $n$ entiers est divisible par la superfactorielle $0!\,1!\cdots(n-1)!$ .
Démontrer $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (les puissances commençant maintenant à $1$ ).
(Matrice des moments) Soit $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ où $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ . Démontrer que $S = W^{\mathsf T} W$ pour la matrice $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ , en déduire

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

et conclure : $n$ nombres réels sont deux à deux distincts si et seulement si leur matrice des moments est inversible, et $\det S \geq 0$ toujours.

Partie II — L’interpolation revisitée. Nœuds $x_1 < \dots < x_n$ , valeurs $y_1, \dots, y_n$ .

Écrire les conditions « $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ interpole » comme un système linéaire en les $c_k$ de matrice $W$ , et retrouver à partir de $\det W = V \neq 0$ l’existence et l’unicité de l’interpolant (comparer aux deux démonstrations antérieures, Théorème 8.23 et Exemple 20.10).
Par la règle de Cramer et le développement par les cofacteurs du déterminant concerné suivant sa dernière colonne, démontrer que le coefficient dominant de l’interpolant vaut

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(Vandermonde confluent) Calculer

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

et interpréter : les données $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ déterminent un unique $P \in \R_2[X]$ lorsque $x_1 \neq x_2$ (interpolation d’Hermite).
Trouver l’unique $P \in \R_2[X]$ tel que $P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ , et contrôler la réponse au moyen de la question 8.

Partie III — Le déterminant de Cauchy. Soient $a_1, \dots, a_n$ et $b_1, \dots, b_n$ des scalaires tels que $a_i + b_j \neq 0$ pour tous $i, j$ , et

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

Calculer $C_2$ à la main et le mettre sous la forme « produits de différences sur produits de sommes ».
Pour $n \geq 2$ , effectuer $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ( $i < n$ ) et mettre en facteur lignes et colonnes pour démontrer

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

où $M$ coïncide avec la matrice de Cauchy sur les lignes $i < n$ et a pour dernière ligne $(1, 1, \dots, 1)$ .
Effectuer $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ( $j < n$ ) sur $M$ , mettre de nouveau en facteur, et conclure par récurrence au double alternant de Cauchy :

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
En déduire le critère d’inversibilité (les $a_i$ deux à deux distincts et les $b_j$ deux à deux distincts). Pour la matrice de Hilbert $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : calculer $\det H_2$ et $\det H_3$ à partir de la formule, et vérifier que $H_2^{-1}$ est à coefficients entiers.
Montrer que pour des $b_j$ deux à deux distincts et un second membre quelconque, le système $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) a une unique solution, et relier cela à l’existence et à l’unicité des décompositions en éléments simples à pôles simples (Théorème 9.5).

Partie IV — Le discriminant d’une cubique. Soient $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ les racines (dans $\C$ ) de $X^3 + pX + q$ , et $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ .

En utilisant $\lambda^3 = -p\lambda - q$ en chaque racine et les relations de Viète ( $p_1 = 0$ ), calculer $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ et $p_4 = 2p^2$ .
Avec la question 5 (sur $\C$ , en gardant $\det S = V^2$ ), calculer

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
En déduire : $X^3 + pX + q$ a une racine multiple si et seulement si $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; vérifier sur $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
Supposons $p, q$ réels. Démontrer que la cubique a trois racines réelles distinctes si et seulement si $\operatorname{disc} > 0$ , et une racine réelle plus deux racines conjuguées non réelles si et seulement si $\operatorname{disc} < 0$ . (Si $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ et $\lambda_1 \in \R$ , montrer que $V$ est imaginaire pur.)

Partie V — Dividendes, et la méthode alternée.

Pour $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , montrer $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
Calculer $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ pour $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , d’abord par les questions 2–3, puis par développement direct.
Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ deux à deux distincts et non nuls. À l’aide d’une matrice de Vandermonde inversible, démontrer de nouveau que les suites géométriques $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ forment une famille libre de l’espace des suites.
Calculer $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ à partir du double alternant.
(Polynômes alternés) Appelons alterné un polynôme $F$ en $x_1, \dots, x_n$ dont le signe change lorsqu’on échange deux variables quelconques. Montrer qu’un $F$ alterné s’annule dès que $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), et en déduire — une variable à la fois, par le théorème de factorisation — que $F$ est divisible par $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
Utiliser la question 23 pour redémontrer la formule de Vandermonde sans récurrence : le déterminant $\det(x_i^{\,j-1})$ est un polynôme alterné de degré total $\binom n2$ , donc un multiple constant de $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; identifier la constante en comparant un monôme.
Synthèse, en quatre phrases : quelle unique propriété du déterminant (quel axiome) engendre toutes les factorisations de ce problème ; pourquoi l’identité de la matrice des moments de la question 5 transforme un énoncé portant sur la distinction des racines complexes en un test de signe réel calculable ; quelles deux matrices classiques ont été complètement évaluées ici et quels problèmes linéaires elles gouvernent ; et comment la méthode alternée des questions 23–24 explique, d’un seul coup, pourquoi $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ne cesse de réapparaître. Nommer le théorème de la partie III.

Solution

Solution de Problème 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ . L’interpolation en des nœuds distincts demande les coefficients de $P$ solution de $W c = y$ avec $W = (x_i^{\,j-1})$ , et $\det W = V \neq 0$ : c’est un système de Cramer.

2. Parcourons les colonnes de gauche à droite. $C_1$ est la colonne constante $P_0(x_i) = 1$ ( $P_0$ est unitaire de degré $0$ ). Supposons les colonnes $1, \dots, j-1$ déjà réduites aux puissances pures $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ . Comme $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ , retrancher de $C_j$ la combinaison $\sum_k \alpha_k\,(\text{colonne des } x_i^k)$ — opération qui ne change pas le déterminant — laisse la colonne de puissances pures $x_i^{\,j-1}$ . Après la dernière colonne, la matrice est la matrice de Vandermonde : $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ .

3. Les polynômes $(j-1)!\,B_{j-1}$ sont unitaires de degré $j - 1$ , donc la question 2 donne

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

Le membre de gauche est le déterminant d’une matrice à coefficients entiers ( $B_k$ est à valeurs entières sur $\Z$ : questions 16–17 du devoir maison Problème 18.1), donc un entier ; et il est positif puisque $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ pour $m_1 < \dots < m_n$ . Ainsi la superfactorielle divise le produit de toutes les différences deux à deux.

4. Mettons $x_i$ en facteur dans chaque ligne $i$ : $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ .

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : $S = W^{\mathsf T}W$ . Donc $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (Théorème 22.3 (2),(4)). Pour des $x_i$ réels : $\det S = V^2 \geq 0$ , et $S$ est inversible si et seulement si $V \neq 0$ , si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts — un test de signe calculable à partir des seules sommes de puissances.

6. Les conditions d’interpolation $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ forment le système $Wc = y$ ; $\det W = V \neq 0$ donne d’un coup l’existence et l’unicité. C’est la troisième démonstration du livre : formule explicite dans le Théorème 8.23, argument par le noyau dans l’Exemple 20.10, Cramer ici.

7. Cramer : $c_{n-1} = \det W'/\det W$ où $W'$ est $W$ dont la dernière colonne est remplacée par $y$ . En développant $\det W'$ suivant cette colonne :

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

Or $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ , et convertir le second produit coûte $(-1)^{n-i}$ :

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

d’où $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — de nouveau la formule des différences divisées.

8. $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donne les lignes $(1, x_1, x_1^2)$ , $(0, 1, 2x_1)$ , $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ; en développant suivant la première colonne et en mettant $(x_2 - x_1)$ en facteur :

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

Non nul pour $x_1 \neq x_2$ : le système linéaire qui exprime $P(x_1) = u$ , $P'(x_1) = v$ , $P(x_2) = w$ sur les coefficients de $P \in \R_2[X]$ est un système de Cramer — l’interpolation d’Hermite avec un nœud double est bien posée.

9. $P = a + bX + cX^2$ avec $a = P(0) = 1$ , $b = P'(0) = 0$ , $a + b + c = P(1) = 2$ : $c = 1$ , donc $P = 1 + X^2$ , unique. Cohérence : ici $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ et le déterminant de la question 8 vaut $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ .

10. Calcul direct :

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

et le numérateur se développe en $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : des différences sur des sommes.

11. Pour $i < n$ , le nouveau coefficient de la ligne $i$ est

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

Mettons $(a_n - a_i)$ en facteur dans chaque ligne $i < n$ , puis $\frac1{a_n + b_j}$ dans chaque colonne $j$ : ce qui reste a pour coefficients $\frac1{a_i + b_j}$ dans les lignes $i < n$ et la constante $1$ dans la ligne $n$ — c’est la matrice $M$ , avec le préfacteur annoncé.

12. Sur $M$ , pour $j < n$ l’opération $C_j \leftarrow C_j - C_n$ transforme la ligne $n$ en $(0, \dots, 0, 1)$ et, dans la ligne $i < n$ ,

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

Mettons $(b_n - b_j)$ en facteur dans chaque colonne $j < n$ et $\frac1{a_i + b_n}$ dans chaque ligne $i < n$ , puis développons suivant la dernière ligne (de signe $(-1)^{n+n} = +1$ ) : le déterminant restant est $C_{n-1}$ . En rassemblant les facteurs des questions 11–12 :

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

et la récurrence (avec le cas de base $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) reconstitue exactement le double alternant de Cauchy : les facteurs $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ pour toutes les paires, sur toutes les sommes $(a_i + b_j)$ .

13. La formule s’annule si et seulement si $a_j = a_i$ ou $b_j = b_i$ pour un couple : la matrice de Cauchy est inversible si et seulement si les deux familles sont formées d’éléments deux à deux distincts. Hilbert : $a_i = i$ , $b_j = j - 1$ . Pour $n = 2$ : numérateur $(2-1)(1-0) = 1$ , dénominateur $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : $\det H_2 = \frac1{12}$ . Pour $n = 3$ : numérateur $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ , dénominateur $(1\cdot2\cdot3)(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ . Inverse pour $n = 2$ :

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

tous entiers (un phénomène vrai pour tout $n$ ).

14. La matrice du système est la matrice de Cauchy, inversible d’après la question 13 lorsque les $b_j$ (et les $a_i$ ) sont deux à deux distincts : solution unique. Interprétation : une fraction rationnelle $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ à pôles simples est déterminée par $n$ de ses valeurs $R(a_1), \dots, R(a_n)$ , et réciproquement toute telle table de données est réalisée exactement une fois — le pendant « échantillonné » du théorème d’existence et d’unicité de la décomposition en éléments simples (Théorème 9.5).

15. Viète pour $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ , donc $p_1 = 0$ et $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ . Chaque racine vérifie $\lambda^3 = -p\lambda - q$ ; en sommant : $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ . En multipliant par $\lambda$ puis en sommant : $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ .

16. D’après la question 5 (l’identité $S = W^{\mathsf T}W$ et $\det S = V^2$ valent sur $\C$ ),

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

en développant suivant la première ligne.

17. Une racine multiple signifie deux $\lambda_i$ égaux, c’est-à-dire $V = 0$ , c’est-à-dire $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ . Pour $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ , ce qui correspond bien à la racine double $1$ de $(X-1)^2(X+2)$ .

18. Les racines non réelles d’une cubique réelle vont par paires conjuguées, donc exactement deux cas se présentent lorsque $\operatorname{disc} \neq 0$ . Trois racines réelles distinctes : $V$ est réel et non nul, donc $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ . Une racine réelle $\lambda_1$ et $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : alors

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

donc $V$ est un nombre imaginaire pur non nul et $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ . Les deux signes caractérisent les deux cas.

19. Prenons $b_i = a_i$ dans le double alternant : le numérateur est $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ et le dénominateur $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (tous les coefficients sont positifs) : le déterminant est positif. (En langage ultérieur : le noyau $\frac1{x+y}$ est défini positif.)

20. D’après les questions 2–3, le déterminant vaut $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . Directement, la matrice est

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. Supposons $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ en tant que suite. La lecture en $k = 0, 1, \dots, n-1$ donne $W^{\mathsf T}c = 0$ avec $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ inversible ( $\det = V \neq 0$ , les $\lambda_i$ étant distincts) : $c = 0$ . Les suites géométriques forment une famille libre.

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : numérateur $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ; dénominateur $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ . Ainsi $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ .

23. Si $x_i = x_j$ , l’échange des deux variables fixe le point mais doit changer le signe de $F$ : $F = -F$ , donc $F = 0$ en ce point. Divisibilité : voyons $F$ comme un polynôme en la seule variable $x_n$ , à coefficients dans les autres variables ; il s’annule aux $n - 1$ « valeurs » $x_1, \dots, x_{n-1}$ , donc des factorisations successives (Théorème 8.7) donnent $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ avec $G$ polynomial. Le préfacteur est invariant par échange de deux indices $i, j < n$ , donc $G$ est alterné en $x_1, \dots, x_{n-1}$ , et la récurrence conclut : $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ divise $F$ .

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ est un polynôme en les $x_i$ ; échanger deux variables échange deux lignes, donc $D$ est alterné, et d’après la question 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ pour un certain polynôme $c$ . Degrés totaux : $D$ est de degré $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ , et le produit est de degré exactement $\binom n2$ : $c$ est une constante. Le monôme $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ a pour coefficient $1$ dans $D$ (produit diagonal) et $1$ dans le produit (choisir la variable d’indice le plus grand dans chaque facteur) : $c = 1$ , et la formule de Vandermonde tombe sans aucune récurrence.

25. (i) L’alternance — l’axiome « deux colonnes égales tuent le déterminant » — est le moteur : elle a produit chaque facteur $(x_j - x_i)$ , $(a_j - a_i)$ , $(b_j - b_i)$ du problème. (ii) L’identité $\det S = V^2$ remplace les racines complexes, individuellement inaccessibles, par leurs sommes de puissances, qui sont des polynômes réels en les coefficients ; la distinction des racines devient donc le signe d’un nombre réel calculable. (iii) Le déterminant de Vandermonde gouverne l’interpolation polynomiale, le déterminant de Cauchy gouverne les éléments simples et les fractions rationnelles échantillonnées (avec la matrice de Hilbert comme cas particulier le plus célèbre). (iv) Tout polynôme alterné est divisible par $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ , et un compte de degrés cerne alors un tel polynôme à une constante près — et c’est pourquoi ce produit ne cesse de réapparaître partout où un déterminant s’annule sur des coïncidences. Le théorème de la partie III est le double alternant de Cauchy.