Qu'est-ce que « Descriptions de Lagrange et d’Euler » ? — Physique

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Français সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Définition 2.2 Physique universitaire — 2e année · অধ্যায় 2 — Cinématique des fluides

La description lagrangienne suit chaque particule de fluide : sa position $\vect r(t)$ et sa vitesse $\dd\vect r/\dd t$ en fonction du temps et de sa position initiale. La description eulérienne donne, en chaque point fixe $M$ et à chaque instant $t$ , la vitesse $\vect v(M, t)$ de la particule qui passe en $M$ à cet instant. Une trajectoire est le chemin suivi par une particule ; une ligne de courant à l’instant $t$ est une courbe tangente en chacun de ses points à $\vect v(M, t)$ ; un tube de courant est la surface formée des lignes de courant s’appuyant sur une courbe fermée. Un écoulement est stationnaire (ou permanent) lorsque les champs eulériens ne dépendent pas du temps, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$ ; lignes de courant et trajectoires coïncident alors et sont fixes.

À gauche : un écoulement convergent stationnaire — les lignes de courant sont fixes, une particule marquée suit l’une d’elles et accélère à mesure que le tube se resserre. À droite : la description eulérienne enregistre le vecteur vitesse en des points fixes ; la description lagrangienne suit une particule le long de sa trajectoire.

উদাহরণ

Exemple 2.3 (Deux descriptions d’un même écoulement)

L’eau d’un tuyau d’arrosage de section $S$ au débit $Q$ va à $v = Q/S$ partout : le champ eulérien est uniforme et le mouvement lagrangien de chaque particule est uniforme. Dans la lance qui se rétrécit le champ eulérien est encore stationnaire mais $v$ croît le long de l’axe : chaque particule accélère en la traversant, alors que rien ne change au cours du temps en un point fixe. C’est la première chose que la description eulérienne doit apprendre à exprimer.

Exemple 2.15 (Trois écoulements plans)

(i) Écoulement de point d’arrêt $\vect v = k(x, -y)$ : $\operatorname{div}\vect v = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ , $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ; lignes de courant $xy =$ const, des hyperboles — un jet qui frappe une paroi, au voisinage de l’axe. (ii) Tourbillon ponctuel $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (coordonnées polaires planes) : incompressible et irrotationnel partout sauf en $r = 0$ , $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (multiforme), et la circulation sur tout cercle entourant le centre vaut $\Gamma$ — la vorticité est concentrée sur l’axe. (iii) Tourbillon de Rankine : un cœur $r < a$ en rotation en bloc $v_\theta = \Omega r$ (vorticité $2\Omega$ ) raccordé au tourbillon ponctuel $v_\theta = \Omega a^2/r$ à l’extérieur : le modèle d’une tornade, du tourbillon d’une baignoire ou du remous derrière la pile du pont — la vitesse est maximale au bord du cœur.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ