Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

12Le spin et les systèmes à deux niveaux

En 1922, Stern et Gerlach envoyèrent un jet d’atomes d’argent à travers un aimant dissymétrique, s’attendant soit à aucune déviation, soit à une tache continue. Le jet se scinda nettement en deux. Aucun moment cinétique orbital ne peut faire cela : $2l + 1$ est toujours impair. Les atomes annonçaient une possession nouvelle et purement quantique — le spin, un moment cinétique intrinsèque de $j = \tfrac12$ , le barreau demi-entier que l’algèbre du Chapitre 10 tenait prêt et que les orbites ne pouvaient jamais employer. Le spin double chaque état électronique (et complète ainsi le compte derrière le tableau périodique), porte le magnétisme du fer et du proton, et constitue le système à deux niveaux le plus net que la nature offre : la physique de ce chapitre fait tourner l’appareil de résonance magnétique de chaque hôpital, l’horloge au césium qui définit la seconde, le murmure à 21 centimètres par lequel on cartographie les galaxies, et le qubit.

12.1 L’expérience qui l’a découvert

Exemple 12.1 (Stern–Gerlach)

Un moment magnétique $\vect\mu$ dans un champ inhomogène subit la force $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : la déviation mesure $\mu_z$ . Attente classique : des moments orientés au hasard, un éventail continu. Attente quantique pour des moments orbitaux : $2l + 1$ taches : une, trois, cinq — toujours un nombre impair. Observé pour l’argent (et pour l’hydrogène) : deux taches, symétriques, rien entre elles. La composante mesurée ne prend exactement que deux valeurs — la signature de $j = \tfrac12$ , interdite aux orbites, et l’exposition directe de la quantification : l’appareil est un instrument de mesure d’une composante du spin, et le jet se scinde selon ses deux valeurs propres.

L’expérience de Stern et Gerlach : un champ inhomogène tire en sens contraire des moments opposés, ce qui transforme l’aimant en appareil de mesure d’une composante du spin. Les atomes d’argent atterrissent en deux taches — une observable à deux valeurs, prise sur le fait.

Définition 12.2 (Le spin un demi)

L’électron (comme le proton, le neutron, les quarks) porte un moment cinétique intrinsèque de $j = \tfrac12$ : un espace d’états à deux dimensions engendré par $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (états propres de $\hat S_z$ pour $\pm\hbar/2$ ), sur lequel

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— les matrices de Pauli, qui réalisent l’algèbre du moment cinétique dans son plus petit logement possible. Un état général $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ est un spineur. Le moment magnétique de l’électron vaut

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

le double du taux orbital par unité de moment cinétique — l’anomalie qu’Einstein et de Haas avaient mesurée (Exercice 10.12) et que l’équation de Dirac allait prédire. Le spin n’est la rotation de rien : aucun rayon, aucune « boule qui tourne » ne résiste à l’examen — il est intrinsèque, comme la charge.

Exemple 12.3 (Filtres de Stern–Gerlach en cascade)

Sélectionnez le faisceau $S_z = +\hbar/2$ et mesurez $S_z$ de nouveau : tous les atomes répondent $+$ . Mesurez plutôt $S_x$ : moitié-moitié — l’état $\ket\uparrow$ est la superposition $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . Gardez maintenant le faisceau $S_x = +$ et mesurez $S_z$ une fois encore : moitié-moitié de nouveau — la mesure de $S_x$ a effacé le $S_z$ auparavant bien défini. Trois aimants suffisent à exhiber incompatibilité, réduction et règle de Born ; cette cascade est Exemple 8.7 jouée avec des atomes.

12.2 La sphère de Bloch

Proposition 12.4 (Le spin selon un axe quelconque)

Pour la direction unitaire $\vect n = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$ , l’opérateur $\vect n\cdot\hat{\vect\sigma}$ a pour valeurs propres $\pm1$ , avec

\ket{+\vect n} = \cos\tfrac\theta2\,\ket\uparrow + \eu^{\iu\varphi}\sin\tfrac\theta2\,\ket\downarrow .

Tout spineur pur est $\ket{+\vect n}$ pour exactement une direction : l’espace des états s’envoie sur une sphère — la sphère de Bloch — où les états orthogonaux sont antipodaux (noter les demi-angles : ce sont les directions opposées, non les perpendiculaires, qui sont orthogonales). Les rotations de la sphère sont exactement les évolutions qu’engendre un champ magnétique : la géométrie de toute manipulation de qubit jamais réalisée.

Démonstration partielle. Diagonalisons la matrice $2\times2$ $\vect n\cdot\vect\sigma = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\,\eu^{-\iu\varphi}\\ \sin\theta\,\eu^{\iu\varphi} & -\cos\theta\end{pmatrix}$ : trace $0$ , déterminant $-1$ , valeurs propres $\pm1$ ; le spineur donné se vérifie par substitution (identités de l’angle moitié). Antipodes : $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ donne $\braket{+\vect n'}{+\vect n} = 0$ . ∎

La sphère de Bloch : chaque état de spin 1/2 est un point ; les pôles sont ,, l’équateur porte leurs superpositions à poids égaux, et les états orthogonaux siègent aux antipodes. Les champs magnétiques font tourner la sphère — le pupitre de commande du qubit. — La sphère de Bloch : chaque état de spin $\tfrac12$ est un point ; les pôles sont $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ , l’équateur porte leurs superpositions à poids égaux, et les états orthogonaux siègent aux antipodes. Les champs magnétiques font tourner la sphère — le pupitre de commande du qubit.

12.3 Le spin dans un champ : précession et résonance

Proposition 12.5 (Précession de Larmor)

Dans un champ statique $\vect B_0 = B_0\vect e_z$ , le hamiltonien $\hat H = -\hat{\vect\mu}\cdot\vect B_0$ sépare les deux niveaux de $\hbar\omega_0$ et fait précesser le spin moyen autour du champ :

\frac{\dd\langle\hat{\vect S}\rangle}{\dd t} = \gamma\,\langle\hat{\vect S}\rangle\wedge\vect B_0 , \qquad \omega_0 = |\gamma|B_0 ,

avec le rapport gyromagnétique $\gamma$ ( $\mu = \gamma S$ ). Le vecteur de Bloch tourne autour de $z$ à $\omega_0$ , son angle avec le champ restant figé — exactement l’image classique du gyroscope, exacte ici parce que les commutateurs sont linéaires. Pour l’électron : $28\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ ; pour le proton (moment $2.79$ magnétons nucléaires) : $\gamma_p/2\pi = 42.6\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ — la plaque d’immatriculation de toute IRM.

Démonstration. Appliquons Proposition 8.12 avec $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ : les commutateurs donnent $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = +\gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ et $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ , qui s’assemblent en le produit vectoriel annoncé. ∎

Proposition 12.6 (Résonance magnétique)

Ajoutons un petit champ $B_1$ tournant dans le plan transverse à la fréquence $\omega$ . Dans le référentiel qui tourne avec lui, $B_0$ est effectivement réduit à $(\omega_0 - \omega)/|\gamma|$ ; à la résonance ( $\omega = \omega_0$ ) seul $B_1$ subsiste, et le spin précesse autour de lui à la fréquence de Rabi $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ : partant de $\ket\uparrow$ , la probabilité d’avoir basculé vaut

\mathcal P_\downarrow(t) = \sin^2\Big(\frac{\Omega_1t}{2}\Big) .

Une impulsion de durée $\pi/\Omega_1$ (une « impulsion $\pi$ ») retourne le spin ; sa moitié (une « impulsion $\pi/2$ ») le couche dans le plan équatorial, où il précesse à $\omega_0$ et, par induction de Faraday, émet sa fréquence dans toute bobine voisine. Hors résonance l’amplitude du basculement s’effondre comme $\Omega_1^2/[\Omega_1^2 + (\omega - \omega_0)^2]$ : la réponse est fortement sélective — une résonance — et c’est ce qui rend les spins adressables, espèce par espèce et, avec un gradient de champ, lieu par lieu (Problème 12.1).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

À gauche : les oscillations de Rabi — à la résonance le spin bascule complètement et périodiquement ; désaccordé, seulement partiellement et plus vite. À droite : entre deux impulsions, le spin moyen précesse autour de B_0 à la fréquence de Larmor, en diffusant sa note dans la bobine réceptrice. — À gauche : les oscillations de Rabi — à la résonance le spin bascule complètement et périodiquement ; désaccordé, seulement partiellement et plus vite. À droite : entre deux impulsions, le spin moyen précesse autour de $\vect B_0$ à la fréquence de Larmor, en diffusant sa note dans la bobine réceptrice.

Exemple 12.7 (Structure hyperfine et raie à 21 cm)

Dans l’état fondamental de l’hydrogène, les spins de l’électron et du proton interagissent par leurs moments magnétiques : les quatre états de spin se séparent en un triplet et un singulet distants de $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ seulement — la séparation hyperfine, $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ , $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . La transition est absurdement lente (un basculement tous les dix millions d’années), mais la Galaxie contient $10^{66}$ atomes d’hydrogène : la raie à 21 cm est assez brillante pour avoir cartographié les bras spiraux, le gauchissement du disque et — par ses décalages Doppler — les courbes de rotation plates qui plaident pour la matière noire. La même physique, dans l’état fondamental du césium, sépare des niveaux d’exactement $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : depuis 1967, la définition de la seconde est un basculement de spin hyperfin que l’on compte (Exercice 12.12).

Méthode 12.8 (L’art des deux niveaux)

(1) Écrire tout hamiltonien à deux niveaux avec les matrices de Pauli : $\hat H = \epsilon_0\mathbb 1 + \vect h\cdot\hat{\vect\sigma}$ — alors le vecteur de Bloch précesse autour de $\vect h$ à $2|\vect h|/\hbar$ ; tout le reste est de la géométrie. (2) États propres selon $\vect n$ : utiliser les demi-angles. (3) Problèmes de résonance : passer au référentiel tournant ; à la résonance, seul $B_1$ demeure. (4) Impulsions : $\pi/2$ pour lancer un signal de précession, $\pi$ pour retourner (et pour refocaliser — l’écho de spin). (5) Échelles d’énergie : $\mu_{\text{B}}B$ pour les électrons ( $58\,\text{µ}\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ ), trois ordres de moins pour les noyaux — des radiofréquences, une spectroscopie sans kelvins.

Un appareil d’IRM : un champ supraconducteur aligne les spins des protons du corps, des impulsions radio les inclinent, et leur précession de Larmor est relue bobine par bobine — la physique à deux niveaux de ce chapitre, qui radiographie un genou.

12.4 Exercices

Exercice 12.1 ★

(a) Vérifier $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \mathbb 1$ et $\sigma_x\sigma_y = \iu\sigma_z$ . (b) En déduire $[\hat S_x, \hat S_y] = \iu\hbar\hat S_z$ : l’algèbre du moment cinétique en dimension deux. (c) Montrer que $\hat S^2 = \tfrac34\hbar^2\,\mathbb 1$ et vérifier $j(j+1)$ pour $j = \tfrac12$ . (d) Montrer que toute matrice hermitienne $2\times2$ est une combinaison réelle de $\mathbb 1$ et des trois $\sigma_i$ .

Solution

Solution de Exercice 12.1.

(a) Multiplication directe. (b) $[\hat S_x, \hat S_y] = (\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$ . (c) $\hat S^2 = (\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$ : c’est bien $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$ . (d) $\{\mathbb 1, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$ engendrent les quatre dimensions réelles des matrices hermitiennes $2\times2$ ( $a + \vect b\cdot\vect\sigma$ avec $a, \vect b$ réels).

Exercice 12.2 ★

(a) Trouver les états propres normés de $\sigma_x$ et de $\sigma_y$ . (b) Un spin préparé dans $\ket{+x}$ est mesuré selon $z$ : probabilités des issues ? (c) Selon $y$ ? (d) Vérifier les deux dans l’image de Bloch (quels angles $\theta, \varphi$ ?).

Solution

Solution de Exercice 12.2.

(a) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$ ; $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$ . (b) Moitié-moitié. (c) Moitié-moitié encore : $|\braket{\pm y}{+x}|^2 = |1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$ . (d) $\ket{+x}$ : équateur en $\varphi = 0$ ; mesurer selon $z$ ou $y$ projette sur des pôles à $90^\circ$ — toujours $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$ .

Exercice 12.3 ★

Trois aimants de Stern–Gerlach en cascade, d’axes $z$ , puis $\vect n$ à l’angle $\theta$ dans le plan $xz$ , puis $z$ de nouveau ; on garde le faisceau $+$ à chaque fois. (a) Probabilité de survivre au deuxième aimant. (b) De survivre aux trois. (c) Évaluer à $\theta = 90^\circ$ et comparer à Exemple 12.3. (d) Pour quel $\theta$ la survie aux trois aimants est-elle maximale, et de quoi la réponse est-elle l’écho, tiré de Exercice 8.5 ?

Solution

Solution de Exercice 12.3.

(a) $\cos^2(\theta/2)$ . (b) $\cos^2(\theta/2) \times \cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$ . (c) $\theta = 90^\circ$ : $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$ , le nombre de la cascade de polariseurs. (d) Trivialement $\theta = 0$ ; la vraie leçon est que les mesures intermédiaires douces coûtent le moins — la limite des petits pas de Exercice 8.5, où de nombreuses petites rotations font passer l’état sans perte notable.

Exercice 12.4 ★

Calculer l’écart de niveaux $2|\mu|B$ et la fréquence de résonance dans un champ de $1\,\mathrm{T}$ pour (a) l’électron ( $g = 2$ ) ; (b) le proton ( $\mu_p = 2.79\,\mu_{\text{N}}$ , $\mu_{\text{N}} = e\hbar/2m_{\text{p}}$ ) ; (c) comparer les deux à $k_{\text{B}}T$ à $300\,\mathrm{K}$ : à quel point les spins électroniques et nucléaires sont-ils polarisés à température ambiante ? (d) Quelles bandes du spectre la RPE et la RMN occupent-elles donc ?

Solution

Solution de Exercice 12.4.

(a) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 28\,\mathrm{GHz}$ . (b) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B = 0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$ . (c) Face à $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$ : polarisation électronique $\sim2 \times 10^{-3}$ , protonique $\sim3 \times 10^{-6}$ — les ensembles thermiques de spins sont presque parfaitement brouillés. (d) RPE : micro-ondes ; RMN : radio — trois ordres de grandeur d’écart, une seule physique.

Exercice 12.5 ★★

Obtenir la précession de Larmor : avec $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ , (a) calculer $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t$ , $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t$ à partir des commutateurs ; (b) résoudre pour $\langle\hat{\vect S}\rangle(t)$ avec un spin initialement selon $x$ ; (c) montrer que $\|\langle\hat{\vect S}\rangle\|$ et l’angle avec $\vect B_0$ sont constants ; (d) pourquoi l’image des états propres de l’énergie (deux niveaux stationnaires) et celle de la précession (un vecteur qui tourne) décrivent-elles la même physique — quel état précesse ?

Solution

Solution de Exercice 12.5.

(a) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ , $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ . (b) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$ , $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ (signe selon celui de $\gamma$ ). (c) Les deux sont manifestes d’après (b). (d) L’état est une superposition des deux états propres de l’énergie ; sa phase relative avance à $\omega_0$ , et cette phase tournante est la précession — niveaux stationnaires et vecteur tournant sont les deux lectures d’une même évolution à deux niveaux.

Exercice 12.6 ★★

(a) Vérifier que $\ket{+\vect n}$ de Proposition 12.4 est bien le vecteur propre annoncé. (b) Montrer que les états antipodaux sont orthogonaux. (c) Où, sur la sphère, se trouvent les états propres de $\sigma_x$ et de $\sigma_y$ ? (d) Une porte « NON » de qubit envoie $\ket\uparrow \leftrightarrow \ket\downarrow$ : quelle rotation de la sphère est-ce, et quelle impulsion de Proposition 12.6 la réalise ?

Solution

Solution de Exercice 12.6.

(a) Substituer et utiliser les identités de l’angle moitié. (b) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 + \eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 = \cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$ . (c) Sur l’équateur, en $\varphi = 0, \pi$ ( $\sigma_x$ ) et $\varphi = \pm\pi/2$ ( $\sigma_y$ ). (d) Une rotation de $180^\circ$ autour d’un axe équatorial quelconque — l’impulsion $\pi$ de la résonance magnétique est la porte NON du qubit.

Exercice 12.7 ★★

Le référentiel tournant, honnêtement. Avec $\hat H(t) = -\gamma(B_0\hat S_z + B_1[\hat S_x\cos\omega t - \hat S_y\sin\omega t])$ : (a) expliquer pourquoi passer au référentiel tournant à $\omega$ autour de $z$ remplace $B_0$ par $B_0 - \omega/\gamma$ et fige $B_1$ ; (b) à la résonance, décrire le mouvement du vecteur de Bloch dans ce référentiel ; (c) obtenir la durée de l’impulsion $\pi$ pour un proton avec $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; (d) représenter ce que voit un observateur du laboratoire pendant cette impulsion (deux rotations emboîtées).

Solution

Solution de Exercice 12.7.

(a) Dans le référentiel tournant, l’excitation est immobile, tandis que la rotation du référentiel retranche $\omega/\gamma$ du champ statique effectif (la même comptabilité qu’une force d’inertie en référentiel tournant). (b) Seul $B_1$ subsiste : le vecteur de Bloch précesse autour de l’axe transverse (fixe) $B_1$ à $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ — un basculement régulier. (c) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{ MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$ . (d) Une spirale rapide dont le cône se resserre : précession à $128\,\mathrm{MHz}$ autour de $z$ , avec une nutation lente à $426\,\mathrm{Hz}$ — un tire-bouchon de mille tours d’un pôle à l’autre.

Exercice 12.8 ★★

La raie à 21 cm. (a) Vérifier que $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ donne $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ et $\lambda = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) L’état excité vit $10^{7}\,\mathrm{yr}$ : quelle largeur de raie est-ce, et pourquoi les largeurs observées ( $\sim$ kHz et plus) sont-elles purement Doppler ? (c) Le bord du disque d’une galaxie s’éloigne à $220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ par rapport à son centre : calculer l’étendue en fréquence de son profil à 21 cm. (d) Pourquoi la raie à 21 cm trace-t-elle le gaz atomique neutre là où CO (Problème 10.1) trace le gaz moléculaire — et pourquoi les astronomes ont-ils besoin des deux ?

Solution

Solution de Exercice 12.8.

(a) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} = 1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) $\Delta \nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$ : totalement négligeable — toute largeur observée est du mouvement. (c) $\Delta\nu = \nu\,(2v/c) = 1420\,\text{MHz} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx 2\,\mathrm{MHz}$ : le profil à deux cornes d’un disque en rotation. (d) La raie à 21 cm parle partout où l’hydrogène est atomique (chaud, diffus) ; CO parle là où l’hydrogène s’est apparié en H $_2$ invisible (froid, dense) : ensemble ils inventorient tout le milieu interstellaire d’une galaxie.

Exercice 12.9 ★★

L’azote de la molécule d’ammoniac traverse le plan des H $_3$ par effet tunnel : les deux configurations en « parapluie » se mélangent en états symétrique et antisymétrique séparés de $\Delta E = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ (le doublet d’inversion du volume de deuxième année). (a) Justifier que l’on traite l’ammoniac comme un système à deux niveaux. (b) La fréquence et la longueur d’onde de la transition. (c) Dans le maser (1954), des molécules triées en état traversent une cavité résonnante et amplifient cette micro-onde : quelle condition de population le jet entrant doit-il satisfaire, et en quoi diffère-t-elle du cas thermique ? (d) Qu’a démontré le maser à ammoniac trois ans avant le laser optique du volume de deuxième année ?

Solution

Solution de Exercice 12.9.

(a) Deux configurations couplées par effet tunnel : à basse énergie l’espace est de dimension deux — l’ammoniac est un spin $\tfrac12$ déguisé. (b) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 1.25\,\mathrm{cm}$ . (c) Le jet doit arriver avec l’état supérieur surpeuplé (sélectionné par déviation électrostatique) — une inversion de population, inaccessible thermiquement, puisque Boltzmann favorise toujours le niveau inférieur. (d) L’amplification stimulée par inversion de population — le principe de fonctionnement du laser, démontré d’abord aux fréquences micro-ondes.

Exercice 12.10 ★★★

Couplage spin–orbite, estimé. Dans le référentiel propre de l’électron, c’est le noyau qui tourne autour de lui : l’électron siège dans un champ magnétique $B_{\text {int}}$ . (a) D’après Exercice 11.10(d), prendre $B_{\text{int}} \sim 10\,\mathrm{T}$ pour l’hydrogène $n = 2$ et estimer le décalage de niveau $\mu_{\text{B}}B_{\text{int}}$ : comparer à l’échelle de structure fine de Exercice 11.11. (b) La raie D du sodium est séparée de $0.6\,\mathrm{nm}$ à $589\,\mathrm{nm}$ : convertir en meV puis en champ interne. (c) Pourquoi l’écart croît-il fortement avec $Z$ (le champ interne varie grossièrement comme $Z^4$ sur $n^3$ ) ? (d) Les états sont étiquetés par le moment total $j = l \pm \tfrac12$ : compter les états d’un niveau $p$ et vérifier qu’aucun n’a disparu.

Solution

Solution de Exercice 12.10.

(a) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — soit l’échelle $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ de Exercice 11.11 : la structure fine est le spin rencontrant le champ du mouvement. (b) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/ \lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$ : un champ interne $\Delta E/2\mu_{ \text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$ . (c) Le champ interne croît comme $Z^4$ (la charge nucléaire au cube dans le champ, une fois de plus dans le rayon de l’orbite) : les atomes lourds ont une structure fine visible au spectroscope de poche. (d) $j = \tfrac32$ : quatre états ; $j = \tfrac12$ : deux — six en tout, exactement $2 \times (2l + 1)$ pour $l = 1$ .

Exercice 12.11 ★★★

Deux spins ensemble. Pour deux particules de spin $\tfrac12$ , le spin total vaut $\hat{\vect S} = \hat{\vect S}_1 + \hat{\vect S}_2$ . (a) Montrer que les quatre états produits se réorganisent en un triplet ( $S = 1$ : $\ket{\uparrow\uparrow}$ , $(\ket{\uparrow\downarrow} + \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ , $\ket{\downarrow\downarrow}$ ) et un singulet ( $S = 0$ : $(\ket{\uparrow\downarrow} - \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ ) — vérifier les comptes de $S_z$ et, pour les deux états du milieu, l’effet de $\hat S^2$ (utiliser $\hat S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2$ et $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S_{1+}\hat S_{2-} + \hat S_{1-}\hat S_{2+}) + \hat S_{1z}\hat S_{2z}$ ). (b) Lequel des quatre est intriqué — non factorisable en produit ? (c) La paire hyperfine de l’hydrogène (Exemple 12.7) est exactement ce triplet/singulet : lequel est le plus haut en énergie, sachant que la raie est émise à 21 cm ? (d) Les spins du singulet sont parfaitement anticorrélés selon tout axe : mesurer l’un selon un $\vect n$ quelconque et l’autre répond à l’opposé. Pourquoi cette corrélation, si frappante soit-elle, ne transmet-elle aucun signal ?

Solution

Solution de Exercice 12.11.

(a) Comptes de $S_z$ : $+\hbar, 0, 0, -\hbar$ ; agir avec $\hat S^2$ (via l’identité d’échelle) sur la combinaison symétrique donne $2\hbar^2$ ( $S = 1$ ), sur l’antisymétrique $0$ ( $S = 0$ ). (b) Seul le singulet (et l’état triplet du milieu) ne s’écrit pas comme un produit — le singulet est la paire maximalement intriquée. (c) L’émission signifie que le triplet est au-dessus : la configuration à spins parallèles est la plus énergétique, de $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ . (d) Chaque observateur, seul, voit des issues parfaitement aléatoires ; la corrélation n’apparaît que lorsque les deux listes sont rapprochées — aucune statistique locale ne change, donc rien ne se propage (l’argument de Remarque 8.8).

Exercice 12.12 ★★★

L’horloge qui définit la seconde. La séparation hyperfine de l’état fondamental du césium vaut exactement $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ (par définition de la seconde). Dans une horloge à fontaine, les atomes reçoivent une impulsion $\pi/2$ , volent librement pendant $T = 0.5\,\mathrm{s}$ , puis reçoivent une seconde impulsion $\pi/2$ ; la fraction transférée oscille comme $\cos^2(\pi\,\delta\,T)$ avec le désaccord $\delta$ (franges de Ramsey — on l’admet). (a) Expliquer en langage de Bloch ce que font chaque impulsion $\pi/2$ et le vol libre. (b) Largeur de la frange centrale. (c) Si le rapport signal sur bruit permet de scinder le centre de frange par $10^4$ , quelle exactitude relative en fréquence en résulte ? (d) Pourquoi les horloges optiques (transitions du pétahertz) battent-elles les horloges micro-ondes à capacité de scission de frange égale — et d’environ quel facteur ?

Solution

Solution de Exercice 12.12.

(a) La première $\pi/2$ couche le vecteur de Bloch sur l’équateur ; pendant $T$ il précesse au $\nu_0$ propre de l’atome tandis que l’oscillateur local tourne à $\nu$ : l’écart d’angle accumulé vaut $2\pi\delta T$ ; la seconde $\pi/2$ convertit cette phase en une population — un interféromètre dans le temps. (b) $\Delta\delta \sim 1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$ . (c) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx 10^{-14}$ — une seconde en trois millions d’années. (d) La même scission absolue de frange sur une porteuse $10^5$ fois plus haute gagne $10^5$ en exactitude relative : d’où les horloges optiques au strontium et à l’ytterbium à $10^{-18}$ , et une redéfinition de la seconde en attente.

12.5 Problème : voir à l’intérieur du corps

Problème 12.1

Problème du week-end — l’imagerie par résonance magnétique, du spin à l’image

Les deux tiers d’un être humain sont de l’eau ; chaque molécule d’eau porte deux protons, chacun un aimant de spin $\tfrac12$ . Placer une personne dans un champ intense, chatouiller les protons à leur fréquence de Larmor, et écouter : voilà l’imagerie par résonance magnétique, la physique du spin devenue médecine. Données : $\gamma_{\text{p}}/2\pi = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ ; $B_0 = 3.0\,\mathrm{T}$ ; densité de protons du tissu $n \approx 6.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $k_{\text{B}}T$ à $310\,\mathrm{K}$ vaut $26.7\,\mathrm{meV}$ ; $h = 4.14 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{s}$ .

Partie I — Les spins dans l’aimant.

Calculer la fréquence de Larmor à $3.0\,\mathrm{T}$ et l’énergie du photon $h\nu$ en eV.
Calculer le déséquilibre de population entre les deux niveaux du proton, $\Delta n/n \approx h\nu/2k_{\text{B}}T$ .
Seul cet excédent — quelques parties par million — contribue au signal : combien de protons « utiles » par centimètre cube de tissu ?
Pourquoi la polarisation thermique est-elle si faible ici, alors que le jet de Stern et Gerlach se scindait entièrement ? (Que mesure chaque expérience : des valeurs propres d’un atome unique, ou une moyenne thermique ?)
Que fait au signal le doublement de $B_0$ (deux effets : la polarisation et la f.é.m. induite à plus haute fréquence) ? Pourquoi les hôpitaux paient-ils pour des aimants plus gros ?
L’aimant est supraconducteur et toujours en service : pourquoi une bouteille d’oxygène en acier laissée libre dans la salle est-elle un projectile mortel (quelle force de Exemple 12.1 agit sur elle) ?

Partie II — Impulsions et échos.

Une bobine transverse applique $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ à la résonance : calculer la fréquence de Rabi et les durées des impulsions $\pi/2$ et $\pi$ .
Après l’impulsion $\pi/2$ , que fait l’aimantation, et qu’induit la loi de Faraday dans la bobine réceptrice (à quelle fréquence) ?
Le signal transverse décroît avec la constante de temps $T_2$ (les spins se déphasent dans le champ les uns des autres et dans les inhomogénéités locales) ; l’aimantation longitudinale repousse avec $T_1$ (l’énergie s’écoule vers le tissu). Valeurs typiques : $T_1 \approx 1\,\mathrm{s}$ , $T_2 \approx 0.1\,\mathrm{s}$ . Pourquoi le temps de cohérence ne peut-il jamais beaucoup dépasser le temps de relaxation de l’énergie (que fait à la phase chaque basculement qui échange de l’énergie) ?
L’écho de spin : après l’impulsion $\pi/2$ et un délai $\tau$ , on applique une impulsion $\pi$ et, à $2\tau$ , les spins déphasés se réalignent et le signal revient. Expliquer l’astuce avec des coureurs sur une piste que l’on fait faire demi-tour.
Quelle décroissance l’écho défait-il — le déphasage dû aux inhomogénéités de champ statiques, ou celui dû aux champs moléculaires fluctuants — et pourquoi celui-là seulement ?
Les tissus ont des $T_1$ , $T_2$ différents (la graisse : $T_1$ court ; l’eau et les liquides : long ; bien des tumeurs : $T_2$ plus long que leur tissu hôte). En une phrase : comment le minutage de la séquence d’impulsions change-t-il des temps de relaxation en contraste d’image ?

Partie III — Du signal à l’image.

Superposons un gradient $G = 40\,\mathrm{mT}/\mathrm{m}$ selon $z$ : la fréquence de Larmor devient dépendante de la position. Calculer $\dd\nu/\dd z$ en kHz par millimètre.
Une impulsion radiofréquence mise en forme ne contenant que la seule bande $\nu_0 \pm 1\,\mathrm{kHz}$ excite quelle tranche du corps ? (Sélection de coupe.)
Pendant la lecture, un gradient selon $x$ fait émettre à chaque colonne de la coupe sa propre fréquence : quelle opération mathématique change le signal temporel reçu en un profil spatial (rappeler la boîte à outils de Fourier du volume de deuxième année) ?
Estimer l’information totale d’un examen : une image $256 \times 256$ sur 12 bits, et pourquoi l’acquérir ligne par ligne (un écho par ligne, temps de répétition $\sim T_1$ ) fait durer un examen plusieurs minutes.
Le patient entend de forts coups : qu’est-ce qui cogne mécaniquement (penser aux bobines de gradient qui commutent dans le champ de $3\,\mathrm{T}$ — quelle force) ?
L’imagerie par rayons X contraste la densité électronique ; l’IRM contraste la densité de protons et la relaxation : pourquoi l’IRM est-elle l’outil de choix pour les tissus mous et le cerveau, et quelle dose ionisante délivre-t-elle ?

Partie IV — Les autres métiers du spin.

Les chimistes font la même expérience à une résolution de $10\,\mathrm{ppm}$ : les nuages électroniques écrantent légèrement chaque noyau et décalent sa résonance (le « déplacement chimique »). Pourquoi cela transforme-t-il la RMN en empreinte moléculaire ?
L’IRM fonctionnelle cartographie la pensée : l’hémoglobine désoxygénée est paramagnétique et raccourcit le $T_2^*$ local. Retracer la chaîne de l’activité neuronale à la luminosité de l’image.
La même physique de Larmor avec le moment de l’électron opère à $84\,\mathrm{GHz}$ sous $3\,\mathrm{T}$ : pourquoi la résonance électronique est-elle inutile à l’intérieur d’un être humain mais précieuse pour étudier radicaux et défauts ?
Comparer l’énergie du photon de la question 1 aux énergies de liaison chimiques typiques : justifier l’adjectif « non ionisant » et l’opposer à un photon X de $60\,\mathrm{keV}$ .
La polarisation de dix ppm peut être augmentée : du xénon polarisé par laser atteint une polarisation d’ordre un et est inhalé pour imager les espaces aériens du poumon. De quel facteur environ le signal par noyau croît-il, et pourquoi la faible densité du gaz rend-elle malgré tout l’astuce nécessaire ?
Un spin d’électron unique dans un piège de type transistor au silicium est aujourd’hui lu et piloté comme un qubit avec exactement les impulsions de ce chapitre : nommer les deux propriétés du spin (dimension de son espace de Hilbert ; faiblesse de son couplage au bruit) qui le recommandent.
Résumer le résultat nommé : une précession de spin à $128\,\mathrm{MHz}$ , une polarisation thermique de dix parties par million, deux horloges de relaxation et trois gradients de champ suffisent à photographier un cerveau vivant en coupes — les deux taches de Stern et Gerlach, devenues un hôpital.

Solution

Solution de Problème 12.1.

1. $\nu = 42.58 \times 3.0 = 127.7\,\mathrm{MHz}$ ; $h\nu = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . 2. $\Delta n/n = h\nu/2k_{\text{B}}T = 5.3 \times 10^{-7}/(2 \times 0.0267) \approx 10^{-5}$ : dix parties par million. 3. $6.6 \times 10^{22}\,\mathrm{cm}^{-3} \times 10^{-5} \approx 7 \times 10^{17}$ protons porteurs de signal par centimètre cube — faible par spin, puissant par le nombre. 4. Stern et Gerlach mesuraient chaque atome et le scindaient selon la valeur propre ; l’IRM écoute une moyenne thermique de $10^{23}$ spins, et Boltzmann maintient cette moyenne à quelques microvolts de zéro. 5. La polarisation est $\propto B_0$ et la f.é.m. induite $\propto \omega \propto B_0$ : le signal est à peu près $\propto B_0^2$ — l’argument du $3\,\mathrm{T}$ contre le $1.5\,\mathrm{T}$ , et des machines de recherche à $7\,\mathrm{T}$ . 6. Un ferromagnétique dans le gradient de fuite subit $F = \mu\,\partial B/\partial z$ ramené à des kilogrammes de fer : des centaines de newtons qui apparaissent dans une embrasure — la raison du blindage et des listes de contrôle. 7. $\nu_1 = \gamma B_1/2\pi = 426\,\mathrm{Hz}$ : impulsion $\pi/2$ de $0.59\,\mathrm{ms}$ , impulsion $\pi$ de $1.2\,\mathrm{ms}$ . 8. Elle précesse dans le plan transverse à $127.7\,\mathrm{MHz}$ ; le flux de l’aimantation tournante à travers la bobine y induit (Faraday) une f.é.m. radio exactement à cette fréquence — le signal de RM brut. 9. Tout basculement qui échange de l’énergie rend aussi aléatoire la phase du spin retourné : ce qui cause $T_1$ contribue à $T_2$ , et le déphasage dispose en outre de canaux propres — la cohérence meurt la première. 10. À $\tau$ chaque coureur fait demi-tour : les plus rapides, les plus avancés, ont désormais le plus long chemin de retour ; à $2\tau$ tous franchissent la ligne de front de concert — le déphasage se rembobine et l’écho retentit. 11. Seule la partie statique : un spin qui a gardé une fréquence constante (même fausse) retrace exactement sa phase ; les champs moléculaires fluctuants changent entre les deux moitiés et ne se rembobinent pas — leur décroissance est le vrai $T_2$ , propre au tissu. 12. Échantillonner tôt et souvent (TR court, TE court) et le $T_1$ court de la graisse brille ; attendre longtemps et faites l’écho tard, et les liquides à $T_2$ long luisent : les réglages d’horloge de la séquence choisissent quelle constante de relaxation peint l’image. 13. $\dd\nu/\dd z = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T} \times 0.04\,\mathrm{T}/\mathrm{m} = 1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm}$ . 14. La tranche où la fréquence de Larmor locale tombe dans la bande : épaisseur $2\,\mathrm{kHz}/1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm} \approx 1.2\,\mathrm{mm}$ — une coupe sélectionnée. 15. Une transformation de Fourier : la fréquence étiquette la position, donc le spectre de l’écho est la projection de la coupe. 16. $256^2 \times 12 \approx 100\,\mathrm{kB}$ ; à raison d’une ligne codée par temps de répétition de l’ordre de $T_1$ , les $256$ lignes coûtent des minutes — d’où la consigne de ne pas bouger. 17. Les bobines de gradient portent des courants commutés à l’échelle du kiloampère dans $3\,\mathrm{T}$ : la force de Laplace les martèle contre leurs supports à chaque commutation — la bande-son en rafales de tout examen. 18. Les rayons X ombrent la densité électronique — l’os contre l’air — et déposent une dose ionisante ; l’IRM lit la densité de protons et deux horloges de relaxation, qui diffèrent richement d’un tissu mou à l’autre : cerveau, cartilage et tumeurs, tous semblables aux rayons X, sont distincts pour les spins, et à dose ionisante nulle. 19. Chaque environnement chimique écrante son proton de quelques parties par million : les protons d’une molécule se signalent en un peigne résolu de raies décalées — de la détermination de structure dans un tube. 20. L’activité augmente le débit sanguin local et l’oxygénation ; la désoxyhémoglobine paramagnétique s’y dilue ; le $T_2^*$ local s’allonge ; le voxel s’éclaircit quelques secondes après la pensée. 21. À $84\,\mathrm{GHz}$ les tissus sont opaques (les micro-ondes millimétriques pénètrent à peine la peau) et la relaxation électronique est de l’ordre de la microseconde — sans espoir in vivo, mais parfait pour compter radicaux et défauts dans les matériaux et pour la dosimétrie. 22. $5 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ contre des liaisons de quelques eV : dix millions de fois trop faible pour rien briser — non ionisant ; un photon X de $60\,\mathrm{keV}$ en porte $10^{11}$ fois plus. 23. De $10^{-5}$ à l’ordre un : un gain de $\sim10^5$ par noyau — nécessaire parce que le gaz inhalé est des milliers de fois plus dilué que les protons de l’eau. 24. Un spin $\tfrac12$ est un système à deux niveaux parfait (aucun niveau de fuite), et il ne se couple que faiblement au bruit de charge, par l’intermédiaire de moments magnétiques : une longue cohérence dans un matériau industriel. 25. Une précession à $128\,\mathrm{MHz}$ , une polarisation de $10^{-5}$ , deux horloges de relaxation et trois gradients : la physique du spin photographiant un cerveau vivant, coupe par coupe, à dose ionisante nulle — les deux taches d’argent de 1922, devenues un service hospitalier.

Termes définis dans ce chapitre

Le spin un demi

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