Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

10Le moment cinétique quantique

Pointez un radiotélescope vers une région sombre du ciel et accordez-le sur $115\,\mathrm{GHz}$ : une raie brillante et fine comme une aiguille apparaît — des molécules de monoxyde de carbone, à dix kelvins au-dessus du zéro absolu, qui descendent d’un barreau d’une échelle d’états de rotation. Leur culbute, comme tout ce qui tourne en mécanique quantique, est quantifiée deux fois : la norme du moment cinétique ne peut valoir que $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$ , et sa composante sur un axe choisi que $m\hbar$ . Ce chapitre obtient cette double quantification — une fois algébriquement, à partir des commutateurs hérités des crochets de Poisson du Chapitre 2, et une fois concrètement, sous la forme des harmoniques sphériques qui dessinent chaque orbitale atomique. L’algèbre nous donnera plus que nous ne demandons : elle autorise des valeurs demi-entières qu’aucun mouvement orbital ne peut réaliser, une case vacante que la nature comblera deux chapitres plus loin avec le spin. En chemin nous rencontrons les échelles de rotation des molécules — les raies millimétriques par lesquelles les astronomes pèsent le gaz froid des galaxies — et les moments magnétiques par lesquels le moment cinétique s’est montré scindé pour la première fois.

10.1 L’algèbre de la rotation

Définition 10.1 (Opérateurs de moment cinétique)

Le moment cinétique orbital est l’opérateur $\hat{\vect L} = \hat{\vect r}\wedge\hat{\vect p}$ , de composantes $\hat L_z = \hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x$ et permutées. À partir de $[\hat x, \hat p_x] = \iu\hbar$ :

[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\,\hat L_z \quad\text{(et permutations circulaires)} , \qquad [\hat L^2, \hat L_z] = 0 :

les composantes sont mutuellement incompatibles — aucun état n’en a deux de bien définies — mais le carré total est compatible avec n’importe laquelle : le couple $(\hat L^2, \hat L_z)$ est le choix usuel d’étiquettes. Ces commutateurs valent exactement $\iu\hbar$ fois les crochets de Poisson calculés dans Exemple 2.12 : le dictionnaire de Dirac à l’œuvre.

Théorème 10.2 (Le spectre, par la seule algèbre)

Soient $\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z$ trois opérateurs hermitiens quelconques obéissant aux relations de commutation ci-dessus. Alors les valeurs propres communes de $(\hat J^2, \hat J_z)$ sont

\hat J^2:\ j(j+1)\hbar^2 , \qquad \hat J_z:\ m\hbar , \quad m = -j, -j+1, \dots, +j ,

où $j$ est un entier ou demi-entier positif ou nul : $2j + 1$ valeurs de $m$ pour chaque $j$ . Les opérateurs d’échelle $\hat J_\pm = \hat J_x \pm \iu\hat J_y$ font varier $m$ de $\pm1$ à $j$ fixé :

\hat J_\pm\ket{j,m} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\,\ket{j,m\pm1} .

Démonstration partielle. $[\hat J_z, \hat J_\pm] = \pm\hbar\hat J_\pm$ : agir avec $\hat J_\pm$ décale la valeur propre de $\hat J_z$ de $\pm\hbar$ , à $\hat J^2$ fixé (lequel commute avec tout ce qui est bâti sur les $\hat J_i$ ). La norme $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$ (calculée à partir de $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ ) doit rester positive ou nulle : l’échelle doit donc s’arrêter en haut à un certain $m_{\max}$ avec $m_{\max}(m_{\max}+1) = j(j+1)$ , c’est-à-dire $m_{\max} = j$ , et en bas à $m_{\min} = -j$ . Monter de $-j$ à $+j$ par pas unité force $2j$ à être un entier positif ou nul. La notation $j(j+1)\hbar^2$ pour la valeur propre s’en trouve justifiée après coup. ∎

Remarque 10.3 (Une case vacante au catalogue)

L’algèbre autorise $j = \tfrac12, \tfrac32, \dots$ — des échelles à nombre pair de barreaux. Le mouvement orbital, nous le montrons ensuite, n’utilise que les entiers. La nature, cependant, ne gaspille rien : l’électron lui-même porte $j = \tfrac12$ , sans aucune orbite derrière lui (Chapitre 12) ; l’algèbre obtenue ici, inchangée, gouvernera le magnétisme atomique, les spins nucléaires et le qubit.

10.2 Moment cinétique orbital : les harmoniques sphériques

Proposition 10.4 (Harmoniques sphériques)

En coordonnées sphériques $\hat L_z = -\iu\hbar\,\partial_\varphi$ , et les fonctions propres communes de $(\hat L^2, \hat L_z)$ sur la sphère sont les harmoniques sphériques $Y_l^m(\theta, \varphi)$ :

\hat L^2\,Y_l^m = l(l+1)\hbar^2\,Y_l^m , \qquad \hat L_z\,Y_l^m = m\hbar\,Y_l^m ,

avec $l = 0, 1, 2, \dots$ entier — l’uniformité de $\eu^{\iu m\varphi}$ force $m$ entier, donc $l$ entier. Les premières, à la normalisation près : $Y_0^0 = \text{cte}$ (la forme $s$ , une sphère) ; $Y_1^0 \propto \cos\theta$ et $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\,\eu^{\pm\iu\varphi}$ (les formes $p$ , à deux lobes) ; $Y_2^0 \propto 3\cos^2\theta - 1$ et ses partenaires (la famille $d$ ). Parité : $Y_l^m(-\vect r$ direction $) = (-1)^l\,Y_l^m$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Diagrammes polaires de |Y_lm( )| (coupe dans un plan contenant l’axe z ; la forme complète est la figure de révolution). Ces squelettes angulaires, indépendants de tout potentiel, habilleront chaque atome au . — Diagrammes polaires de $|Y_l^m(\theta)|$ (coupe dans un plan contenant l’axe $z$ ; la forme complète est la figure de révolution). Ces squelettes angulaires, indépendants de tout potentiel, habilleront chaque atome au Chapitre 11.

Exemple 10.5 (Le rotateur rigide et son échelle)

Une molécule diatomique qui culbute avec le moment d’inertie $I$ a $\hat H = \hat L^2/2I$ : les énergies

E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1) = B\,J(J+1) , \qquad J = 0, 1, 2, \dots

chacune $(2J+1)$ fois dégénérée. L’absorption de photons obéit à $\Delta J = \pm1$ , si bien que les fréquences d’absorption valent $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ : un peigne de raies également espacées — la signature qui fait reconnaître un spectre de rotation au premier coup d’œil. Pour le monoxyde de carbone, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ : la raie fondamentale tombe à $115\,\mathrm{GHz}$ ( $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$ ), la raie de labeur de la radioastronomie millimétrique (Problème 10.1).

10.3 Les potentiels centraux, complétés

Théorème 10.6 (Séparation dans un potentiel central quelconque)

Pour $V(r)$ , les états stationnaires peuvent être pris sous la forme

\psi(\vect r) = \frac{u(r)}{r}\,Y_l^m(\theta, \varphi) ,

où $u$ résout l’équation radiale à une dimension

-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + \Big[V(r) + \frac{\hbar^2\,l(l+1)}{2mr^2}\Big]u = E\,u , \qquad u(0) = 0 .

Le problème angulaire est résolu une fois pour toutes par les $Y_l^m$ ; chaque $l$ ajoute la barrière centrifuge répulsive $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ — la version quantique du potentiel effectif de Exemple 1.12 — et chaque niveau de $l$ donné est $(2l+1)$ fois dégénéré, car aucune force centrale ne saurait se soucier de l’orientation de l’axe $z$ . L’astuce de l’onde $s$ de Proposition 7.8 était la ligne $l = 0$ de ce théorème.

Démonstration partielle. Le laplacien se scinde en $\Delta = \tfrac1r\partial_r^2(r\,\cdot) - \hat L^2/\hbar^2r^2$ (admis ; c’est l’énoncé selon lequel $\hat L^2$ est la partie angulaire de $-\hbar^2\Delta$ ). Reporter $\psi = (u/r)Y_l^m$ et utiliser la valeur propre de $\hat L^2$ : l’équation annoncée. La dégénérescence suit de ce que $\hat H$ commute avec les trois $\hat L_i$ , dont les opérateurs d’échelle déplacent $m$ sans changer l’énergie. ∎

Potentiels radiaux effectifs du problème coulombien : la barrière centrifuge 2l(l+1)/2mr2 mure l’origine pour l 1. Seuls les états s touchent le noyau — avec des conséquences allant des spectres atomiques à la capture électronique radioactive. — Potentiels radiaux effectifs du problème coulombien : la barrière centrifuge $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ mure l’origine pour $l \ge 1$ . Seuls les états $s$ touchent le noyau — avec des conséquences allant des spectres atomiques à la capture électronique radioactive.

10.4 Moments magnétiques : le moment cinétique rendu visible

Proposition 10.7 (Moment magnétique orbital et effet Zeeman)

Une particule de charge $q$ et de masse $m$ dotée du moment cinétique orbital $\hat{\vect L}$ porte le moment magnétique

\hat{\vect\mu} = \frac{q}{2m}\,\hat{\vect L} ;

pour l’électron, l’unité naturelle est le magnéton de Bohr $\mu_{\text{B}} = e\hbar/2m_{\text{e}} = 5.79 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ (à comparer à Exercice 7.5). Dans un champ $B\vect e_z$ , l’énergie $-\hat{\vect\mu}\cdot\vect B$ décale chaque niveau de $+m\,\mu_{\text{B}}B$ (la charge de l’électron étant négative) : un niveau de $l$ donné se scinde en ses $2l + 1$ composantes — l’effet Zeeman, première manifestation directe de la quantification de $m$ , et la raison pour laquelle $m$ s’appelle le nombre quantique magnétique. À $B = 1\,\mathrm{T}$ l’écart vaut $58\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : petit devant les énergies optiques, aisément résolu comme un déplacement de raies spectrales — et, lu à l’envers, un magnétomètre : la séparation Zeeman des raies solaires cartographie les champs magnétiques des taches du Soleil.

Démonstration partielle. Classiquement, une charge sur une orbite est une boucle de courant : $\mu = IA = (qv/2\pi r)(\pi r^2) = qL/2m$ ; l’énoncé opératoriel en hérite (et découle du couplage à $\hat{\vect A}$ de Proposition 1.16). Le décalage en énergie relève de la théorie des perturbations au premier ordre, anticipée ici et justifiée au Chapitre 13. ∎

La « quantification spatiale » pour l = 2 : le vecteur moment cinétique a pour longueur √l(l+1)\, = √6\, mais ne peut offrir à l’axe z que les cinq projections m — jamais sa longueur entière : les composantes étant incompatibles, L ne peut jamais se coucher exactement sur un axe. — La « quantification spatiale » pour $l = 2$ : le vecteur moment cinétique a pour longueur $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt6\,\hbar$ mais ne peut offrir à l’axe $z$ que les cinq projections $m\hbar$ — jamais sa longueur entière : les composantes étant incompatibles, $\vect L$ ne peut jamais se coucher exactement sur un axe.

Méthode 10.8 (Le moment cinétique en pratique)

(1) Étiqueter les états par $(l, m)$ — ou $(j, m)$ pour l’algèbre abstraite — et ne jamais demander deux composantes à la fois. (2) Éléments de matrice : utiliser les formules d’échelle ; $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ . (3) Potentiel central : citer les $Y_l^m$ , ne résoudre que l’équation radiale avec la barrière centrifuge. (4) Énergies de rotation : $BJ(J+1)$ , raies à $2B(J+1)$ — en tirer $B$ , donc les longueurs de liaison, à partir des espacements égaux. (5) Questions magnétiques : convertir les moments cinétiques en moments à raison de $\mu_{\text{B}}$ par $\hbar$ , les énergies à raison de $\mu_{\text{B}}B$ par unité de $m$ .

10.5 Exercices

Exercice 10.1 ★

(a) Obtenir $[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\hat L_z$ à partir des commutateurs canoniques. (b) Montrer que $[\hat L^2, \hat L_z] = 0$ . (c) Montrer que $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$ : qu’engendre $\hat L_z$ ? (d) Pourquoi les trois composantes n’admettent-elles aucune base propre commune — sauf pour un état particulier (lequel) ?

Solution

Solution de Exercice 10.1.

(a) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat p_z]$ : seuls survivent les termes partageant une paire $\hat z, \hat p_z$ , ce qui donne $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$ . (b) $[\hat L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x, \hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$ : les quatre termes se compensent deux à deux. (c) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$ : $\hat L_z$ engendre les rotations autour de $z$ — des opérateurs comme des états. (d) Que deux composantes soient simultanément bien définies force (par le commutateur) la troisième à l’être aussi, avec la valeur zéro pour les trois : seul $l = 0$ y parvient.

Exercice 10.2 ★

Pour $l = 1$ , dans la base $\{\ket{1,1}, \ket{1,0}, \ket{1,-1}\}$ : (a) écrire la matrice de $\hat L_z$ ; (b) utiliser la formule d’échelle pour écrire $\hat L_+$ et $\hat L_-$ ; (c) assembler $\hat L_x$ et vérifier que ses valeurs propres sont $\hbar, 0, -\hbar$ ; (d) un état de $L_x = +\hbar$ est mesuré selon $z$ : donner les probabilités des trois issues.

Solution

Solution de Exercice 10.2.

(a) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$ . (b) $\hat L_+ = \hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$ , et $\hat L_-$ sa transposée. (c) $\hat L_x = \dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0 \end{pmatrix}$ : polynôme caractéristique $\lambda(\lambda^2 - \hbar^2)$ . (d) Le vecteur propre $L_x = +\hbar$ est $\tfrac12(1, \sqrt2, 1)$ : probabilités $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$ pour $m = +1, 0, -1$ .

Exercice 10.3 ★

Monoxyde de carbone : longueur de liaison $0.113\,\mathrm{nm}$ , masse réduite $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . (a) Calculer $I$ et $B = \hbar^2/2I$ en meV. (b) La fréquence et la longueur d’onde de la raie $J = 1 \leftarrow 0$ . (c) Les deux raies suivantes. (d) Une astronome mesure l’espacement du peigne à cinq chiffres : quelle grandeur moléculaire obtient-elle, et avec quelle précision ?

Solution

Solution de Exercice 10.3.

(a) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$ . (b) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$ . (c) $231\,\mathrm{GHz}$ et $346\,\mathrm{GHz}$ . (d) L’espacement donne $B$ , donc $I = \mu r_0^2$ : la longueur de liaison d’une molécule située à des années-lumière, à peu près à la moitié de la précision relative de l’espacement.

Exercice 10.4 ★

Une particule est dans un état de $l = 2$ . (a) Énumérer les issues possibles d’une mesure de $L_z$ . (b) Le plus petit angle entre $\vect L$ et l’axe $z$ , avec $\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$ : l’évaluer. (c) Pourquoi cet angle ne peut-il jamais être nul ? (d) Montrer que l’angle minimal tend vers zéro quand $l \to \infty$ : les vecteurs classiques retrouvés.

Solution

Solution de Exercice 10.4.

(a) $m\hbar$ avec $m = -2 \dots 2$ . (b) $\cos\theta = 2/\sqrt6$ : $\theta = 35.3^\circ$ . (c) Un alignement parfait rendrait $L_x = L_y = 0$ bien définis en même temps que $L_z$ — ce qu’interdisent les commutateurs, sauf dans le cas trivial $l = 0$ . (d) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$ : aux grands $l$ le cône se referme sur l’axe et la flèche classique revient.

Exercice 10.5 ★★

La partie angulaire de $-\hbar^2\Delta$ est $\hat L^2$ , avec

\hat L^2 = -\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\theta (\sin\theta\,\partial_\theta) + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\partial_\varphi^2\Big] .

(a) Vérifier que $Y_1^0 \propto \cos\theta$ a pour valeur propre de $\hat L^2$ la valeur $2\hbar^2$ . (b) Le vérifier de même pour $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\, \eu^{\pm\iu\varphi}$ , ainsi que leurs valeurs propres de $\hat L_z$ . (c) Vérifier les parités. (d) Pourquoi doit-on avoir $\braket{Y_1^0}{Y_1^1} = 0$ sans calculer la moindre intégrale ?

Solution

Solution de Exercice 10.5.

(a) Sans dépendance en $\varphi$ , l’opérateur donne $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta)) = 2\hbar^2\cos\theta$ . (b) Le même calcul avec le facteur $\eu^{\pm\iu\varphi}$ : valeur propre $2\hbar^2$ ; $\hat L_z$ donne $\pm\hbar$ . (c) $\cos\theta$ et $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu \varphi}$ changent de signe sous $\vect r \to -\vect r$ ( $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ ) : parité $-1 = (-1)^1$ . (d) Ce sont des vecteurs propres de l’opérateur hermitien $\hat L_z$ pour des valeurs propres différentes.

Exercice 10.6 ★★

Quelle raie de rotation est la plus brillante ? La population du niveau $J$ est $\propto (2J+1)\,\eu^{-BJ(J+1)/k_{\text{B}}T}$ . (a) Expliquer les deux facteurs. (b) Montrer que le maximum est près de $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ . (c) Pour CO à $10\,\mathrm{K}$ (un nuage sombre) puis à $300\,\mathrm{K}$ : quelles raies dominent ? (d) En inversant : une échelle de CO observée dont le maximum est en $J = 7$ trahit quelle température ?

Solution

Solution de Exercice 10.6.

(a) $2J + 1$ états partagent le niveau (dégénérescence) ; le facteur de Boltzmann taxe son énergie. (b) Maximiser le produit : $\dd/\dd J = 0$ donne $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$ , soit le $J_{\max}$ annoncé. (c) À $10\,\mathrm{K}$ : $J_{\max} \approx 0.8$ , donc $J = 1$ domine et les raies à $115\,\mathrm{GHz}$ et $230\,\mathrm{GHz}$ brillent ; à $300\,\mathrm{K}$ : $J_{\max} \approx 7$ . (d) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/ k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — un thermomètre rotationnel.

Exercice 10.7 ★★

Effet Zeeman normal. Une raie spectrale à $500\,\mathrm{nm}$ provient d’une transition $l = 2 \to l = 1$ dans un champ $B = 2\,\mathrm{T}$ ; on ignore le spin (ce qui vaut pour des états « singulets » particuliers). (a) Représenter les niveaux scindés. (b) Avec la règle de sélection $\Delta m = 0, \pm1$ , montrer que seules trois positions de raie apparaissent, à $0, \pm\mu_{\text{B}}B/h$ . (c) Calculer l’écart en GHz et en picomètres de longueur d’onde. (d) La plupart des raies réelles se scindent en plus de trois composantes (Zeeman « anormal ») : de quel ingrédient manquant, porté par l’électron lui-même, cela a-t-il été historiquement la preuve ?

Solution

Solution de Exercice 10.7.

(a) Le niveau supérieur se scinde en cinq, l’inférieur en trois, tous au même espacement $\mu_{\text{B}}B$ . (b) Les espacements étant égaux, $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ avec $\Delta m \in \{0, \pm1\}$ : trois positions seulement. (c) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ , donc à $B = 2\,\mathrm{T}$ l’écart vaut $28\,\mathrm{GHz}$ , c’est-à-dire $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — résoluble depuis les réseaux de Zeeman en 1896. (d) Le spin propre de l’électron, avec son facteur anormal $g \approx 2$ : les motifs « anormaux » ont été les empreintes du spin avant qu’il n’eût de nom (Chapitre 12).

Exercice 10.8 ★★

Le mur centrifuge. Pour l’hydrogène ( $V = -e^2/4\pi\varepsilon_0r$ ), écrire $U_{\text{eff}}$ pour $l = 1$ en unités de $E_{\text{I}}$ et $a_0$ . (a) Situer son minimum et sa valeur. (b) Montrer que $U_{\text{eff}} > 0$ pour $r < \dots$ — trouver le rayon en deçà duquel la barrière domine. (c) Comparer $|\psi|^2$ près de $r = 0$ pour les états $s$ et $p$ ( $u \sim r^{l+1}$ , admis) : quels états « touchent » le noyau ? (d) La capture électronique — un noyau avalant l’un des électrons de son atome — procède très majoritairement depuis les couches $s$ : expliquer en une phrase.

Solution

Solution de Exercice 10.8.

Dans les unités indiquées, $U_{\text{eff}} = -2/x + l(l+1)/x^2$ . (a) Pour $l = 1$ : minimum en $x = 2$ ( $r = 2a_0$ ), de profondeur $-E_{\text{I}}/2$ . (b) $U_{\text{eff}} > 0$ pour $x < 1$ : en deçà d’un rayon de Bohr, le mur l’emporte. (c) $\psi \sim r^l$ près de l’origine : seuls les états $l = 0$ ont une densité non nulle en $r = 0$ . (d) Capturer un électron exige une densité électronique sur le noyau : les électrons $s$ , seuls à n’être pas barrés par le mur centrifuge, sont ceux qui sont avalés.

Exercice 10.9 ★★

Sur $\ket{l, m}$ : (a) montrer que $\langle\hat L_x\rangle = \langle\hat L_y\rangle = 0$ ; (b) montrer que $\langle\hat L_x^2\rangle = \langle\hat L_y^2\rangle = \tfrac12[l(l+1) - m^2]\hbar^2$ ; (c) vérifier la relation d’indétermination $\Delta L_x\,\Delta L_y \ge \tfrac\hbar2 |\langle\hat L_z\rangle|$ sur l’état étiré $m = l$ ; (d) interpréter l’image du « cône » de la figure à la lumière de (a) et (b).

Solution

Solution de Exercice 10.9.

(a) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ change $m$ : les éléments diagonaux s’annulent. (b) Par symétrie les deux carrés transverses sont égaux, et leur somme vaut $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$ . (c) À $m = l$ : $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2 \,l\hbar$ : c’est l’égalité — l’état étiré est aussi aligné que l’algèbre le permet. (d) Le cône : $L_z$ bien défini, moyennes transverses nulles, écarts transverses égaux — un vecteur de longueur et de projection définies, démocratiquement étalé en azimut.

Exercice 10.10 ★★★

Bandes de vibration-rotation. Une transition vibrationnelle infrarouge ( $\hbar\omega_0$ ) d’une molécule diatomique change $J$ de $\pm1$ simultanément. (a) Montrer que les raies d’absorption tombent en $h\nu = \hbar\omega_0 + 2B(J+1)$ (la branche $R$ , de $J \to J+1$ ) et $h\nu = \hbar\omega_0 - 2BJ$ (la branche $P$ , $J \to J-1$ ), $J \ge 1$ . (b) Pourquoi y a-t-il un trou en $\hbar\omega_0$ même ? (c) Représenter la bande : deux peignes encadrant une raie centrale manquante, l’intensité de chaque raie suivant Exercice 10.6. (d) La bande à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ de Problème 9.1 a exactement cette anatomie : qu’est-ce qui fixe sa largeur totale, et donc les « ailes » qui rendent efficace le dioxyde de carbone ajouté ?

Solution

Solution de Exercice 10.10.

(a) Bilan d’énergie avec $E_J = BJ(J+1)$ : $J \to J + 1$ ajoute $2B(J+1)$ ; $J \to J - 1$ retranche $2BJ$ . (b) $\Delta J = 0$ est interdit, et les deux branches commencent à $\pm 2B$ : rien ne tombe à la fréquence vibrationnelle pure. (c) Deux peignes d’espacement $2B$ encadrant un trou, d’intensités croissant jusqu’à $J_{\max}$ puis décroissant. (d) La largeur de la bande est l’étendue peuplée des peignes, qui croît comme $\sqrt{T}$ : ces ailes thermiquement peuplées sont précisément là où une bande de serre saturée continue d’absorber.

Exercice 10.11 ★★★

Achever l’algèbre. (a) À partir de $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ , calculer $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2$ et les coefficients d’échelle. (b) Montrer que si l’échelle ne s’arrêtait pas, une norme deviendrait négative : exhiber l’état coupable. (c) Conclure que $m_{\max} - m_{\min} = 2j$ doit être un entier positif ou nul et énumérer les $j$ permis. (d) Où exactement l’argument échoue-t-il à exclure les demi-entiers — et quelle exigence supplémentaire (l’uniformité sur la sphère) les exclut-elle pour le seul mouvement orbital ?

Solution

Solution de Exercice 10.11.

(a) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm \ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$ . (b) Grimper au-delà de $m = j$ donnerait $j(j+1) - j(j+1) = 0$ puis des normes négatives un pas plus loin : la chaîne doit contenir l’état supérieur annihilé. (c) Le haut et le bas diffèrent d’un nombre entier de pas unité : $2j \in \mathbb N$ : $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (d) L’algèbre n’utilise jamais de fonctions d’onde ; seule l’exigence que $\eu^{\iu m\varphi}$ soit uniforme sur le cercle force $m$ entier — une condition qui lie le mouvement orbital et laisse les moments cinétiques intrinsèques (de spin) libres d’être demi-entiers.

Exercice 10.12 ★★★

Einstein–de Haas : le moment cinétique est mécanique. Un cylindre de fer (rayon $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , masse volumique $\rho = 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{atomes}/\mathrm{m}^{3}$ ) est suspendu à un fil de torsion ; renverser son aimantation retourne environ un $\hbar$ de moment cinétique par atome. (a) Par conservation, la tige doit reculer : calculer le moment cinétique transféré par unité de volume. (b) Avec le moment d’inertie de la tige $\tfrac12 M a^2$ , montrer que la tige acquiert $\omega = 2n\hbar/\rho a^2$ et l’évaluer. (c) L’expérience de 1915 entretenait le renversement à la résonance du fil pour accumuler les minuscules coups : estimer l’amplitude d’oscillation après $Q \sim 100$ renversements résonnants, en prenant votre $\omega$ par coup. (d) Le rapport mesuré moment magnétique sur moment cinétique valait le double de la prédiction orbitale $e/2m_{\text{e}}$ : qu’annonçait ce facteur deux ?

Solution

Solution de Exercice 10.12.

(a) $n\hbar$ par unité de volume. (b) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2) = 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/ (7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — invisible en un seul coup. (c) Renverser au rythme de la résonance du fil accumule $\sim Q$ coups : $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , des oscillations milliradian sur une période de quelques secondes — visibles avec un miroir et un faisceau lumineux, comme l’ont vu Einstein et de Haas. (d) Le rapport gyromagnétique mesuré valait $e/m_{\text{e}}$ , le double de la valeur orbitale $e/2m_{\text{e}}$ : le magnétisme du fer ne tient pas à des courants orbitaux mais au spin de l’électron, dont les chapitres suivants expliquent le $g \approx 2$ .

10.6 Problème : peser les galaxies à 2,6 millimètres

Problème 10.1

Problème du week-end — monoxyde de carbone, radioastronomie et univers froid

L’essentiel de la matière qui fabrique les étoiles d’une galaxie est de l’hydrogène moléculaire froid — et il est invisible : H $_2$ , symétrique, n’a ni dipôle ni raies de rotation aux températures des nuages froids. La solution de l’astronomie est son fidèle compagnon. Une molécule de CO pour $10^{4}$ H $_2$ , avec son échelle à $115\,\mathrm{GHz}$ , illumine chaque nuage moléculaire du ciel. Données : pour CO, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ ( $B = 0.238\,\mathrm{meV}$ ) ; longueur de liaison $r_0 = 0.113\,\mathrm{nm}$ ; masse réduite $\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ; $k_{\text{B}}T$ à $10\,\mathrm{K}$ vaut $0.862\,\mathrm{meV}$ .

Partie I — Le rotateur quantique.

À partir de $\hat H = \hat L^2/2I$ , donner les énergies $E_J$ et leurs dégénérescences.
Vérifier $B = \hbar^2/2I$ pour CO à partir de $r_0$ et $\mu$ .
Avec la règle de sélection $\Delta J = \pm1$ , obtenir les fréquences d’absorption $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ et donner les trois premières.
Pourquoi les raies sont-elles également espacées — et que livre un espacement mesuré à l’astronome (via $I$ ) ?
Calculer la longueur d’onde de la raie fondamentale, et expliquer pourquoi l’observer exige des sites hauts et secs (qu’est-ce qui absorbe les ondes millimétriques dans notre propre atmosphère — rappeler la voisine de la molécule de Problème 9.1, l’eau) ?
Le photon de la raie $1 \to 0$ emporte $\hbar$ de moment cinétique : pourquoi $\Delta J = \pm1$ n’est-il pas une simple règle empirique mais une loi de conservation ?

Partie II — Pourquoi CO et pas H $_2$ .

H $_2$ est homonucléaire : dites pourquoi elle n’émet aucun rayonnement dipolaire de rotation.
H $_2$ est aussi légère : calculer la constante de rotation de H $_2$ ( $\mu = m_{\text{p}}/2$ , $r_0 = 0.074\,\mathrm{nm}$ ) et l’énergie de sa première transition accessible ; comparer à $k_{\text{B}}T$ à $10\,\mathrm{K}$ : même par des portes dérobées quadrupolaires, H $_2$ froid pourrait-il rayonner ?
Le premier barreau de CO coûte $2B = 0.48\,\mathrm{meV}$ contre $k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : l’échelle est-elle vivante à $10\,\mathrm{K}$ ?
Calculer le rapport de populations $n_1/n_0$ à $10\,\mathrm{K}$ (dégénérescence comprise).
Près de quel $J$ la population culmine-t-elle à $10\,\mathrm{K}$ (utiliser $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ ) ?
Résumer en une phrase le marché conclu : ce que fournit CO, ce qu’il faut supposer du rapport CO sur H $_2$ .

Partie III — Lire le ciel.

La raie d’un nuage arrive à $115.156\,\mathrm{GHz}$ au lieu des $115.271\,\mathrm{GHz}$ du laboratoire : calculer la vitesse du nuage sur la ligne de visée, et son sens.
La raie est élargie par effet Doppler à cause de mouvements internes de $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : calculer la largeur de raie en MHz, et comparer à la largeur thermique attendue à $10\,\mathrm{K}$ ( $v_{\text{th}} \sim \sqrt{k_{\text{B}}T/m_{\text{CO}}} \approx 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : qu’est-ce qui domine l’élargissement ?
Cartographier le décalage Doppler de CO à travers le disque d’une galaxie spirale donne sa courbe de rotation $v(r)$ . Ces courbes restent plates bien au-delà du disque visible : rappeler (volume de première année, gravitation) ce que $v(r)$ devrait faire autour d’une masse concentrée au centre, et dites ce qu’implique cette platitude.
Le rapport de brillance de la raie $2\to1$ à celle de la raie $1\to0$ mesure les populations des niveaux : quelle unique grandeur physique du nuage livre-t-il ?
ALMA résout CO dans des galaxies dont la lumière est partie quand l’univers était jeune ; la fréquence observée de la raie $1 \to 0$ d’une galaxie de « décalage vers le rouge $z = 1$ » arrive à la moitié de sa valeur au repos — à quelle fréquence, et (rappeler Exemple 4.13) qu’est-ce qui l’a étirée ?
À partir d’une luminosité de raie CO mesurée, les astronomes annoncent des masses de nuages en masses solaires : énumérer la chaîne de conversions (photons de la raie $\to$ nombre de CO $\to$ masse de H $_2$ ) et le maillon le plus faible.

Partie IV — Les pouponnières froides.

Les cœurs de formation stellaire sont à $10\,\mathrm{K}$ : par la loi de Wien, leur lueur thermique culmine vers $290\,\text{µ}\mathrm{m}$ — invisible pour tout télescope optique. En une phrase : pourquoi l’échelle de rotation est-elle le seul thermomètre et la seule balance qu’offre un tel cœur ?
Le niveau $J = 1$ se trouve $5.5\,\mathrm{K}$ (en unités de température) au-dessus du fondamental : pourquoi cela fait-il de la raie $1\to0$ un thermomètre exquis précisément dans le régime des $10\,\mathrm{K}$ (plutôt que, disons, une raie optique à $2\,\mathrm{eV}$ $\sim 23\,000\,\mathrm{K}$ ) ?
Pourquoi un cœur qui s’effondre finit-il par ne plus être visible en CO ( $1\to0$ ) — penser à ce que la forte densité et la poussière font à la raie et à son évasion.
Les nuages moléculaires montrent aussi des raies de NH $_3$ , HCN et de dizaines d’autres molécules, chacune avec son propre $B$ et son dipôle : que permet de démêler la richesse de ce « cadran radio chimique » ?
Tout le ciel luit à $2.7\,\mathrm{K}$ (le fond diffus cosmologique) : qu’advient-il du contraste des raies CO d’un nuage à mesure que sa propre température s’approche de $2.7\,\mathrm{K}$ , et pourquoi est-ce un plancher dur pour ce thermomètre ?
Une antenne millimétrique doit garder sa forme à environ $\lambda/20$ : calculer cette tolérance à $115\,\mathrm{GHz}$ , et comparer à celle qu’un miroir optique ( $500\,\mathrm{nm}$ ) doit tenir — pourquoi les antennes de douze mètres d’ALMA pouvaient-elles être bâties en plein air ?
Résumer le résultat nommé : une échelle $BJ(J+1)$ avec $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ , peuplée à dix kelvins et lue à $2.6\,\mathrm{mm}$ , est la façon dont on mesure la masse, la température, la vitesse et la rotation de l’univers froid — et l’indice de la matière noire autour des galaxies spirales.

Solution

Solution de Problème 10.1.

1. $E_J = BJ(J+1)$ , dégénérescence $2J + 1$ . 2. $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ : $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ , soit $B/h = 57.7\,\mathrm{GHz}$ — la constante mesurée. 3. $115$ , $231$ , $346\,\mathrm{GHz}$ . 4. $E_{J+1} - E_J = 2B(J+1)$ croît linéairement : deux raies consécutives diffèrent de la constante $2B$ . L’espacement donne $I$ , donc la longueur de liaison — de la chimie structurale par radio. 5. $\lambda = c/\nu = 2.6\,\mathrm{mm}$ . La vapeur d’eau atmosphérique absorbe avidement les ondes millimétriques ; d’où l’Atacama, le Mauna Kea, le pôle Sud — haut, froid, sec. 6. Le photon est une particule de spin $1$ portant $\hbar$ : la conservation du moment cinétique total oblige le $J$ de la molécule à changer d’une unité. 7. Sa distribution de charge est symétrique quel que soit l’angle de rotation : pas de dipôle oscillant, pas de raie dipolaire — un camouflage parfait. 8. $B_{\text{H}_2} = \hbar^2/2\mu r_0^2 \approx 7.6\,\mathrm{meV}$ ; les faibles transitions quadrupolaires de cette molécule symétrique exigent $\Delta J = 2$ , au coût de $6B \approx 46\,\mathrm{meV}$ — cinquante fois $k_{\text{B}}T$ à $10\,\mathrm{K}$ : l’hydrogène froid ne peut absolument pas rayonner. 9. $2B = 0.48\,\mathrm{meV} < k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : les collisions maintiennent les premiers barreaux peuplés — l’échelle fonctionne exactement là où vivent les nuages. 10. $n_1/n_0 = 3\,\eu^{-0.478/0.862} = 1.7$ : le niveau émetteur est bien garni. 11. $J_{\max} \approx \sqrt{0.86/0.48} - 0.5 \approx 0.8$ : la population culmine en $J = 1$ . 12. CO livre les photons ; les convertir en masse totale de gaz repose sur une abondance CO/H $_2$ supposée — messager lumineux, rançon étalonnée. 13. $\Delta\nu = 115\,\mathrm{MHz}$ : $v = c\,\Delta\nu/\nu \approx 300\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , en fuite (fréquence abaissée) — des vitesses orbitales galactiques. 14. $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ couvre $1.5\,\mathrm{MHz}$ ; le mouvement thermique à $10\,\mathrm{K}$ ne donne que $\sim40\,\mathrm{kHz}$ : la largeur est de la turbulence, non de la température — les largeurs de raie cartographient la météo interne d’un nuage. 15. Autour d’une masse centrale, $v \propto 1/\sqrt r$ devrait décroître (Kepler) ; la platitude mesurée signifie que la masse enfermée continue de croître avec le rayon — de la matière invisible enveloppant le disque lumineux : la matière noire. 16. Le rapport des populations, c’est-à-dire la température d’excitation du gaz. 17. À $57.6\,\mathrm{GHz}$ : l’expansion cosmique a doublé toute longueur d’onde en vol — le décalage vers le rouge cosmologique sur lequel revient le dernier chapitre de ce livre. 18. Flux de photons $\to$ luminosité CO (il faut la distance) $\to$ nombre de CO (modèle d’excitation) $\to$ masse de H $_2$ (le « facteur X » CO/H $_2$ : le maillon le plus faible, étalonné localement et exporté avec prudence). 19. Un cœur à $10\,\mathrm{K}$ n’émet rien qu’un télescope optique puisse voir ; ses raies de rotation sont à la fois son seul thermomètre, son seul tachymètre et sa seule balance. 20. Un thermomètre est sensible là où l’espacement vaut $\sim k_{\text{B}}T$ : un espacement de $5.5\,\mathrm{K}$ répond fortement entre $5$ et $50$ K, tandis qu’un niveau optique à $2\,\mathrm{eV}$ ne serait peuplé par rien du tout. 21. La raie sature (milieu optiquement épais) et, pire, CO gèle sur les grains de poussière dans le gaz le plus dense et le plus froid : les astronomes passent aux isotopologues plus rares ( $^{13}$ CO, C $^{18}$ O) et à d’autres molécules. 22. Chaque espèce a besoin de sa propre densité et de sa propre température pour briller : ensemble, elles tomographient le nuage — enveloppes externes en CO, cœurs denses en NH $_3$ et HCN. 23. Une raie se voit par contraste sur le fond cosmique ; à mesure que la température du gaz s’approche de $2.7\,\mathrm{K}$ , son excitation s’équilibre avec le fond et le contraste s’évanouit : aucun nuage plus froid ne se lit de cette façon. 24. $\lambda/20 = 130\,\text{µ}\mathrm{m}$ contre $25\,\mathrm{nm}$ pour l’optique : cinq mille fois plus tolérant — et c’est pourquoi des antennes millimétriques de douze mètres se dressent en plein désert quand les miroirs optiques vivent sous coupole. 25. Une échelle $BJ(J+1)$ avec $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ , vivante à dix kelvins et lue à $2.6\,\mathrm{mm}$ , mesure la masse, la température, la turbulence et la rotation de l’univers froid — et ses courbes de rotation plates sont une pièce à conviction permanente en faveur de la matière noire.

Termes définis dans ce chapitre

Opérateurs de moment cinétique

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