Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

11L’atome d’hydrogène

Neuf atomes sur dix dans l’univers sont de l’hydrogène : un proton qui retient un électron, le seul atome que la physique sache résoudre exactement — et la clé qui a ouvert tous les autres. L’ancienne théorie des quanta du Chapitre 2 devinait ses énergies ; la machinerie est désormais en place pour les obtenir : le potentiel coulombien entre dans l’équation radiale du chapitre précédent, et il en sort les niveaux $-E_{\text{I}}/n^2$ , le rayon de Bohr, les couches et sous-couches du tableau périodique de la chimie, et les séries spectrales que les astronomes lisent dans chaque nébuleuse. La même solution, réétalonnée, décrit l’hélium ionisé, les atomes muoniques, le positronium et les « atomes » électron–trou des semi-conducteurs ; étirée jusqu’à $n \approx 100$ elle décrit les atomes de Rydberg d’un demi-micromètre, dont les chuchotements radio cartographient les nuages ionisés de la Galaxie et dont les interactions font aujourd’hui tourner des ordinateurs quantiques.

11.1 Le problème de Coulomb résolu

Théorème 11.1 (Niveaux de l’hydrogène)

Pour $V(r) = -e^2/4\pi\varepsilon_0 r$ (on pose $k = e^2/4\pi \varepsilon_0$ ), les états liés sont étiquetés $(n, l, m)$ avec

E_n = -\frac{E_{\text{I}}}{n^2} , \qquad E_{\text{I}} = \frac{m_{\text{e}}k^2}{2\hbar^2} = 13.6\,\mathrm{eV} , \qquad n = 1, 2, 3, \dots

et, pour chaque $n$ , les nombres orbitaux $l = 0, 1, \dots, n-1$ et $m = -l, \dots, l$ . La longueur naturelle est le rayon de Bohr $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k = 52.9\,\mathrm{pm}$ ; l’état fondamental s’écrit

\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\;\eu^{-r/a_0} .

L’énergie dépend de $n$ seul : en comptant les $m$ et les $l$ , le niveau $n$ est $n^2$ fois dégénéré (le double avec le spin, Chapitre 12) — bien au-delà de la dégénérescence $(2l+1)$ que l’isotropie explique.

Démonstration partielle. Pour l’état fondamental, essayons $u = Cr\,\eu^{-r/a}$ dans l’équation radiale avec $l = 0$ : $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$ , si bien que $-\tfrac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}u'' - \tfrac kr u = Eu$ exige $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ (en identifiant les termes en $1/r$ ) — c’est-à-dire $a = a_0$ — et $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ . La solution générale (polynômes de Laguerre, $n - l - 1$ nœuds radiaux) est admise ; chaque étape de la construction est élémentaire mais longue. La dégénérescence « accidentelle » en $l$ reflète un secret classique de la force en $1/r$ pure — les ellipses de Kepler ne précessent pas, et un vecteur conservé supplémentaire (Laplace–Runge–Lenz) pointe le long du grand axe fixe ; sa version quantique est ce qui relie des $l$ différents à une même énergie (Exercice 11.12). ∎

Les niveaux de l’hydrogène -E_ I/n2, étalés selon l : toutes les sous-couches d’un même n coïncident (l’« accident » coulombien). Les sauts descendants qui se terminent sur n = 1 forment la série de Lyman, ultraviolette ; ceux qui se terminent sur n = 2, la série de Balmer, visible, qui colore les nébuleuses en rouge. — Les niveaux de l’hydrogène $-E_{\text{I}}/n^2$ , étalés selon $l$ : toutes les sous-couches d’un même $n$ coïncident (l’« accident » coulombien). Les sauts descendants qui se terminent sur $n = 1$ forment la série de Lyman, ultraviolette ; ceux qui se terminent sur $n = 2$ , la série de Balmer, visible, qui colore les nébuleuses en rouge.

11.2 Où se trouve l’électron

Proposition 11.2 (Distributions radiales)

La probabilité de trouver l’électron entre $r$ et $r + \dd r$ vaut $P(r)\,\dd r$ avec $P(r) = |u(r)|^2$ , le carré de la fonction radiale normée de Théorème 10.6. Pour les états les plus bas : $P_{1s} \propto r^2\eu^{-2r/a_0}$ , maximale exactement en $r = a_0$ avec $\langle r\rangle = \tfrac32 a_0$ ; $P_{2s}$ montre deux bosses séparées par un nœud sphérique ; $P_{2p} \propto r^4\eu^{-r/a_0}$ , maximale en $4a_0$ . En général $\langle r\rangle \approx n^2a_0$ : les atomes grandissent quadratiquement avec l’excitation, tandis que leur liaison décroît en $1/n^2$ — le levier qui produit les géants de Rydberg de Problème 11.1.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Densités de probabilité radiale. Le maximum de 1s se situe exactement en a_0 ; l’état 2s porte un nœud sphérique et un lobe proche du noyau — la « pénétration » qui ordonnera le tableau périodique — tandis que 2p, muré par la barrière centrifuge, reste à distance. — Densités de probabilité radiale. Le maximum de $1s$ se situe exactement en $a_0$ ; l’état $2s$ porte un nœud sphérique et un lobe proche du noyau — la « pénétration » qui ordonnera le tableau périodique — tandis que $2p$ , muré par la barrière centrifuge, reste à distance.

Exemple 11.3 (Lire les tailles)

État fondamental : $0.1\,\mathrm{nm}$ de diamètre, $13.6\,\mathrm{eV}$ de profondeur — les échelles de toute la chimie. À $n = 10$ : rayon $\sim5\,\mathrm{nm}$ , liaison $0.136\,\mathrm{eV}$ — retenu de façon lâche. À $n = 100$ : un atome de taille micrométrique lié par $1.4\,\mathrm{meV}$ , détruit par le champ le plus faible — et pourtant l’espace interstellaire est assez vide pour que de tels atomes vivent et émettent (Problème 11.1).

11.3 Le spectre

Proposition 11.4 (Séries et règles de sélection)

Un saut $n' \to n$ émet la longueur d’onde

\frac{1}{\lambda} = R_{\text{H}}\Big(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2}\Big) , \qquad R_{\text{H}} = \frac{E_{\text{I}}}{hc} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1} ,

soumis à la règle de sélection dipolaire $\Delta l = \pm1$ (le photon emporte $\hbar$ ). La série de Lyman ( $\to n = 1$ ) se situe dans l’ultraviolet lointain à partir de $121.6\,\mathrm{nm}$ ; la série de Balmer ( $\to n = 2$ ) commence à la raie rouge $H\alpha$ , $656.3\,\mathrm{nm}$ — la couleur des nébuleuses en émission et des protubérances solaires ; les séries de Paschen et suivantes reculent dans l’infrarouge, et entre $n = 110$ et $109$ la même formule tombe à $5.0\,\mathrm{GHz}$ : l’hydrogène parle de l’ultraviolet au cadran radio.

Démonstration. Conservation de l’énergie avec Théorème 11.1 ; $R_{\text{H}}$ comme dans Problème 2.1, désormais obtenu et non plus postulé. ∎

Exemple 11.5 (Atomes hydrogénoïdes : une solution, beaucoup d’atomes)

Remplaçons la charge du proton par $Ze$ et l’électron par une masse en orbite $\mu$ quelconque : toute formule se réétalonne selon

a \to a_0\,\frac{m_{\text{e}}}{\mu}\,\frac1Z , \qquad E_{\text{I}} \to E_{\text{I}}\,\frac{\mu}{m_{\text{e}}}\,Z^2 .

He $^+$ ( $Z = 2$ ) : $54.4\,\mathrm{eV}$ . Les électrons internes des atomes lourds ( $Z \sim 30$ ) : des énergies de couche K de l’ordre du keV — les rayons X caractéristiques par lesquels Moseley a ordonné les éléments (Exercice 11.5). L’hydrogène muonique ( $\mu = 207 m_{\text{e}}$ ) : un atome à l’échelle du femtomètre, qui sonde le proton lui-même. Le positronium ( $e^+e^-$ , $\mu = m_{\text{e}}/2$ ) : moitié moins lié, deux fois plus grand, et une vie brève close par une annihilation en photons. Et dans un semi-conducteur, un électron et un trou tournent l’un autour de l’autre avec de faibles masses effectives dans un diélectrique qui écrante : un exciton, le même atome grandi à dix nanomètres et quelques millielectronvolts (Exercice 11.7) — l’hydrogène est moins un atome qu’un patron.

Une solution, quatre « atomes » : en réétalonnant masse, charge et environnement diélectrique, l’hydrogène devient sonde du proton, test d’électrodynamique quantique pure et quasi-atome émetteur de lumière des semi-conducteurs.

Méthode 11.6 (Travailler avec les systèmes hydrogénoïdes)

(1) Réétalonner d’abord : $a \propto 1/\mu Z$ , $E \propto \mu Z^2$ transforment toute réponse pour l’hydrogène en réponse hydrogénoïde. (2) Tailles : $\langle r\rangle \sim n^2a$ ; écarts près du niveau $n$ : $\dd E/\dd n = 2E_{\text{I}}/n^3$ . (3) Spectres : formule de Rydberg plus $\Delta l = \pm1$ . (4) Pénétration : les états $s$ sentent le noyau, les états de $l$ élevé orbitent à l’extérieur — le levier de la chimie polyélectronique. (5) Repères de bon sens : $13.6\,\mathrm{eV}$ , $52.9\,\mathrm{pm}$ , $121.6\,\mathrm{nm}$ , $656.3\,\mathrm{nm}$ — quatre nombres à retenir pour la vie.

Un tube à décharge d’hydrogène et un spectroscope de poche : la lueur rose, décomposée, devient les raies de Balmer — l’empreinte entière que ce chapitre déduit du potentiel coulombien.

11.4 Exercices

Exercice 11.1 ★

(a) Vérifier par substitution que $u = Cr\eu^{-r/a_0}$ résout l’équation radiale $l = 0$ avec $E = -E_{\text{I}}$ , pourvu que $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k$ . (b) La normaliser ( $\int_0^\infty x^2\eu^{-x}\dd x = 2$ ). (c) Vérifier les dimensions de $a_0$ et de $E_{\text{I}}$ . (d) Pourquoi n’existe-t-il aucun état sous $-E_{\text{I}}$ (argumenter avec Exercice 7.12) ?

Solution

Solution de Exercice 11.1.

(a) $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$ ; les termes en $1/r$ s’identifient quand $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ , c’est-à-dire $a = a_0$ , et les termes constants donnent $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ . (b) $C = 2/a_0^{3/2}$ . (c) $[\hbar^2/mk] = \mathrm{m}$ ; $[mk^2/\hbar^2] = \mathrm{J}$ . (d) L’argument variationnel de Exercice 7.12 montre que $-E_{\text{I}}$ est la plus petite énergie qu’un état normé puisse atteindre : le principe d’indétermination met un plancher à l’atome.

Exercice 11.2 ★

Calculer (a) les longueurs d’onde de Lyman $\alpha$ et de la limite de Lyman ; (b) les trois premières raies de Balmer et la limite de Balmer — lesquelles sont visibles, et de quelles couleurs ? (c) l’étendue de la série de Paschen ; (d) la fréquence de la transition $n = 110 \to 109$ .

Solution

Solution de Exercice 11.2.

(a) $121.6\,\mathrm{nm}$ ; limite $91.2\,\mathrm{nm}$ . (b) $656.3$ (rouge), $486.1$ (bleu-vert), $434.0\,\mathrm{nm}$ (violet) ; limite $364.6\,\mathrm{nm}$ — les trois premières sont visibles. (c) De $1875\,\mathrm{nm}$ jusqu’à $820\,\mathrm{nm}$ : proche infrarouge. (d) $R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$ .

Exercice 11.3 ★

Pour l’état fondamental : (a) situer le maximum de $P_{1s}(r)$ ; (b) calculer $\langle r\rangle$ ; (c) calculer la probabilité de trouver l’électron au-delà de $2a_0$ ( $\int_x^\infty t^2\eu^{-t}\dd t = (x^2 + 2x + 2)\eu^{-x}$ ) ; (d) pourquoi les images d’« orbite » de rayon exactement $a_0$ sont-elles trompeuses ?

Solution

Solution de Exercice 11.3.

(a) $\dd(r^2\eu^{-2r/a_0})/\dd r = 0$ en $r = a_0$ . (b) $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty r^3\eu^{-2r/a_0}\dd r = (4/a_0^3)\times 3!\,(a_0/2)^4 = \tfrac32 a_0$ . (c) Avec $x = 4$ : $\tfrac12(16 + 8 + 2)\eu^{-4} = 0.24$ : un quart du temps, l’électron est au-delà de $2a_0$ . (d) L’électron n’a pas de rayon : $P(r)$ est une distribution avec un mode, une moyenne et de longues queues — l’atome est flou au facteur deux près.

Exercice 11.4 ★

(a) Énumérer les couples $(l, m)$ de $n = 3$ et vérifier le compte $n^2 = 9$ . (b) Avec le spin, combien d’états dans les couches $n = 1, 2, 3$ ? (c) Les rapprocher des longueurs $2, 8, 18$ des lignes du tableau périodique. (d) Quelle dégénérescence (en $m$ ou en $l$ ) survit pour l’électron externe du sodium, et pourquoi l’autre se brise-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 11.4.

(a) $l = 0$ : un ; $l = 1$ : trois ; $l = 2$ : cinq — neuf. (b) $2$ , $8$ , $18$ . (c) Exactement les longueurs des trois premières lignes : le tableau périodique est le registre de remplissage de ces couches. (d) La dégénérescence en $m$ survit (l’espace reste isotrope) ; celle en $l$ se brise parce que le potentiel écranté que voit l’électron de valence n’est plus en $1/r$ pur — Exercice 11.8.

Exercice 11.5 ★★

L’échelle de Moseley. Un électron interne (couche K) d’un élément $Z$ se meut dans un champ nucléaire presque nu, écranté par l’unique autre électron K : charge effective $\approx Z - 1$ . (a) Montrer que l’énergie du rayon X $2p \to 1s$ vaut approximativement $\tfrac34(Z-1)^2E_{\text{I}}$ . (b) L’évaluer pour le cuivre ( $Z = 29$ ) et comparer à la raie K $\alpha$ mesurée à $8.05\,\mathrm{keV}$ . (c) Moseley (1913) traça $\sqrt{\nu}$ en fonction de $Z$ et obtint des droites : qu’a prouvé cela sur le sens du numéro atomique ? (d) Prédiser l’énergie K $\alpha$ de l’élément $Z = 43$ , alors manquant.

Solution

Solution de Exercice 11.5.

(a) Hydrogénoïde avec $Z - 1$ : $h\nu = (Z-1)^2E_{\text{I}}(1 - \tfrac14)$ . (b) $784 \times 10.2\,\mathrm{eV} = 8.0\,\mathrm{keV}$ — en accord avec la K $\alpha$ mesurée du cuivre. (c) Que l’entier qui ordonne les éléments est la charge nucléaire, et non la masse atomique : les lacunes dans les droites de Moseley ont localisé des éléments non découverts. (d) $42^2 \times 10.2 = 18.0\,\mathrm{keV}$ — le technétium, trouvé des décennies plus tard, s’y est conformé.

Exercice 11.6 ★★

Le positronium. (a) Justifier $\mu = m_{\text{e}}/2$ et donner son énergie de liaison et son rayon de Bohr. (b) Sa longueur d’onde Lyman $\alpha$ . (c) Le para-positronium s’annihile en deux photons : leurs énergies et leurs directions relatives (d’après Chapitre 5). (d) Où la médecine détecte-t-elle exactement cette signature chaque jour ?

Solution

Solution de Exercice 11.6.

(a) Deux masses égales : $\mu = m_{\text{e}}/2$ : liaison $6.8\,\mathrm{eV}$ , rayon $2a_0 = 0.106\,\mathrm{nm}$ . (b) $\tfrac34 \times 6.8 = 5.1\,\mathrm{eV}$ : $243\,\mathrm{nm}$ . (c) Deux photons de $511\,\mathrm{keV}$ , dos à dos (conservation de la quantité de mouvement au repos). (d) La tomographie par émission de positons : la paire de photons colinéaires de $511\,\mathrm{keV}$ est le signal que triangule chaque anneau TEP.

Exercice 11.7 ★★

Les excitons. Dans l’arséniure de gallium, $\varepsilon_{\text{r}} = 12.9$ et la masse effective réduite vaut $\mu = 0.058\,m_{\text{e}}$ . (a) Montrer que $a_{\text{ex}} = a_0\,\varepsilon_{\text{r}}\,m_{\text{e}}/\mu$ et l’évaluer. (b) L’énergie de liaison de l’exciton. (c) Comparer $a_{\text{ex}}$ aux rayons de boîte quantique de Problème 7.1 et justifier enfin la négligence du terme de Coulomb dans les petites boîtes. (d) Pourquoi les raies excitoniques n’apparaissent-elles que dans des semi-conducteurs purs et froids ( $k_{\text{B}}T$ face à votre réponse à (b)) ?

Solution

Solution de Exercice 11.7.

(a) $a_{\text{ex}} = 0.0529 \times 12.9/0.058 = 11.8\,\mathrm{nm}$ . (b) $E = 13.6 \times 0.058/12.9^2 = 4.7\,\mathrm{meV}$ . (c) La taille naturelle de la paire dépasse celle de la boîte : c’est la paroi, et non l’attraction, qui façonne l’état — le $1/R^2$ bat le $1/R$ , comme promis. (d) $k_{\text{B}}T$ à température ambiante vaut cinq fois la liaison : les paires s’ionisent ; la physique excitonique vit au-dessous de $\sim50\,\mathrm{K}$ dans des cristaux propres.

Exercice 11.8 ★★

Pénétration et métaux alcalins. Le sodium est un électron de valence hydrogénoïde à l’extérieur d’un cœur fermé de charge effective $+e$ . (a) Lequel de $3s$ , $3p$ , $3d$ ressent le plus le noyau incomplètement écranté, et pourquoi (rappeler la figure radiale) ? (b) Les niveaux mesurés sont $E_{3s} = -5.14\,\mathrm{eV}$ , $E_{3p} = -3.04\,\mathrm{eV}, E_{3d} = -1.52\,\mathrm{eV}$ : vérifier que $3d$ est presque hydrogénoïde ( $n = 3$ ) alors que $3s$ est bien plus profond, et expliquer. (c) Calculer la longueur d’onde de $3p \to 3s$ : quelle couleur célèbre est-ce ? (d) Écrire les niveaux alcalins sous la forme $-E_{\text{I}}/(n - \delta_l)^2$ et extraire les « défauts quantiques » $\delta_s$ et $\delta_p$ du sodium.

Solution

Solution de Exercice 11.8.

(a) $3s$ : son lobe le plus interne plonge dans le cœur, où le $+11$ nucléaire est à peine écranté. (b) $-13.6/9 = -1.51\,\mathrm{eV}$ correspond presque exactement à $3d$ : $3d$ orbite hors du cœur et ne voit qu’un $+1$ net ; $3s$ (et en partie $3p$ ) goûtent le potentiel profond et s’enfoncent. (c) $\Delta E = 2.10\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 590\,\mathrm{nm}$ — le jaune sodium des lampadaires. (d) $n_{\text{eff}} = \sqrt{13.6/|E|}$ : $1.63$ et $2.11$ , d’où $\delta_s = 1.37$ , $\delta_p = 0.89$ .

Exercice 11.9 ★★

Un proton d’une nébuleuse capture un électron dans $n = 100$ . (a) Quelle énergie est libérée dans le photon de capture si l’électron arrivait presque libre ? (b) L’atome dégringole, de préférence par pas $\Delta n = 1$ aux $n$ élevés : dans quelle bande tombent ces photons ? (c) La dernière étape de la cascade est Lyman $\alpha$ ; la lumière visible des nébuleuses est dominée par H $\alpha$ : repérer de quelle étape de la cascade il s’agit. (d) Expliquer pourquoi les nébuleuses en émission luisent en rouge alors que la raie la plus intense de l’hydrogène (Lyman $\alpha$ ) est ultraviolette.

Solution

Solution de Exercice 11.9.

(a) À peu près la liaison de $n = 100$ , $\sim1.4\,\mathrm{meV}$ , plus la faible énergie thermique de l’électron : un photon d’infrarouge lointain ou radio. (b) Les pas $\Delta n = 1$ vers $n \approx 100$ tombent dans la bande radio du GHz — les raies de recombinaison. (c) H $\alpha$ est l’étape $3 \to 2$ , près de la fin de la cascade. (d) Lyman $\alpha$ , quoique la plus intense, est ultraviolette et, dans une nébuleuse pleine d’hydrogène dans son état fondamental, elle est diffusée de façon résonnante et piégée ; H $\alpha$ s’échappe librement et peint la nébuleuse en rouge.

Exercice 11.10 ★★★

Moyennes et viriel. Pour l’état fondamental, calculer (a) $\langle 1/r\rangle$ et vérifier $\langle E_p\rangle = -2E_{\text{I}} = 2E_1$ ; (b) $\langle E_k\rangle = +E_{\text{I}}$ , ce qui vérifie le rapport du viriel de Exercice 2.4 ; (c) la vitesse quadratique moyenne de l’électron et $v/c$ ; (d) l’ordre de grandeur du champ magnétique que le proton subit du fait du mouvement de l’électron (une boucle de courant $ev/2\pi a_0$ vue à la distance $a_0$ ) — un nombre dont la structure hyperfine aura besoin.

Solution

Solution de Exercice 11.10.

(a) $\langle 1/r\rangle = 1/a_0$ : $\langle E_p\rangle = -k/a_0 = -27.2\,\mathrm{eV} = 2E_1$ . (b) $\langle E_k\rangle = E_1 - \langle E_p\rangle = +13.6\,\mathrm{eV}$ : le rapport du viriel $-\tfrac12$ de toute orbite en $1/r$ . (c) $v = \sqrt{2E_k/m_{\text{e}}} = \alpha c = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) $I = ev/2\pi a_0 \approx 1\,\mathrm{mA}$ circulant à $53\,\mathrm{pm}$ : $B \sim \mu_0I/2a_0 \approx 12\,\mathrm{T}$ — l’énorme champ interne dont se nourrira la structure hyperfine.

Exercice 11.11 ★★★

À quel point la structure fine est-elle fine. (a) Montrer que l’échelle de vitesse de l’état fondamental est $\langle v^2\rangle^{1/2}/c = \alpha \approx 1/137$ , et pour un hydrogénoïde de charge $Z$ : $Z\alpha/n$ . (b) Les corrections relativistes entrent à l’ordre relatif $(v/c)^2$ : estimer l’échelle de structure fine $\alpha^2E_{\text{I}}$ en meV, et l’ordre de grandeur de l’écart pour $n = 2$ en GHz. (c) Pour l’uranium hydrogénoïde ( $Z = 92$ ) : $v/c$ à $n = 1$ — le traitement non relativiste est-il tenable ? (d) Qu’annonce physiquement la divergence formelle en $Z\alpha \to 1$ ( $Z \approx 137$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 11.11.

(a) D’après Exercice 11.10(c), $v/c = \alpha$ ; par réétalonnage : $Z\alpha/n$ . (b) $\alpha^2E_{\text{I}} = 0.72\,\mathrm{meV}$ ; à $n = 2$ les écarts sortent à quelques dizaines de $\text{µ}\mathrm{eV}$ — quelque $10\,\mathrm{GHz}$ , mesurables par radio (et mesurés). (c) $Z\alpha = 0.67$ : les deux tiers de la vitesse de la lumière — le traitement de Schrödinger échoue ; l’équation de Dirac prend le relais. (d) Quand $Z\alpha \to 1$ , l’énergie de l’état fondamental plonge formellement sous $-2m_{\text{e}}c^2$ : le vide lui-même produirait des paires électron–positon — les champs supercritiques, cherchés dans les collisions d’ions lourds.

Exercice 11.12 ★★★

La dégénérescence déraisonnable. (a) En mécanique classique, montrer que pour $V = -k/r$ l’orbite se referme (pas de précession) en invoquant le vecteur conservé de Laplace–Runge–Lenz $\vect A = \vect p\wedge\vect L - mk\,\vect e_r$ — vérifier $\dd\vect A/\dd t = 0$ avec la loi de Newton. (b) Argumenter : un vecteur conservé qui fixe l’axe de l’ellipse est une symétrie supplémentaire au-delà des rotations — et symétrie supplémentaire signifie dégénérescence supplémentaire (rappeler Exercice 8.9). (c) Ajouter une petite correction en $1/r^2$ au potentiel et montrer que l’ellipse précesse : l’axe tourne, $\vect A$ n’est plus conservé. (d) Relier : dans les atomes polyélectroniques le potentiel effectif n’est pas en $1/r$ pur, et la dégénérescence en $l$ se brise (le sodium !) ; dans l’hydrogène même, la relativité fournit la petite correction — de quel trait observé de Exercice 11.11 s’agit-il ?

Solution

Solution de Exercice 11.12.

(a) Dériver : $\dot{\vect p}\wedge\vect L = -(mk/r^3)\vect r\wedge(\vect r\wedge\dot{\vect r}\,m)$ ; en développant le double produit vectoriel on obtient exactement $mk\,\dd\vect e_r/\dd t$ : $\dot{\vect A} = \vect 0$ . (b) Un axe conservé est une symétrie au-delà de l’isotropie ; une dégénérescence est un étiquetage incomplet, et l’étiquette supplémentaire (le cousin quantique de $\vect A$ ) relie les $l$ d’un même $n$ . (c) Avec $V = -k/r + \epsilon/r^2$ le moment cinétique effectif se décale, la période angulaire ne s’accorde plus à la période radiale, et l’axe de l’ellipse tourne à un rythme $\propto\epsilon$ . (d) Les corrections de la relativité jouent le rôle d’ $\epsilon$ dans l’hydrogène même : la structure fine de Exercice 11.11 est précisément la brisure de la dégénérescence en $l$ .

11.5 Problème : des atomes géants

Problème 11.1

Problème du week-end — les atomes de Rydberg, de la lueur radio de la Galaxie aux ordinateurs quantiques

Étirer l’hydrogène jusqu’à $n \approx 100$ et il devient un objet d’une autre espèce : large de quelques micromètres, lié par des millielectronvolts, absurdement sensible — et absurdement utile. Ce problème réétalonne vers le haut la solution de l’hydrogène, d’abord vers les nuages interstellaires qui émettent aux longueurs d’onde centimétriques, puis vers les réseaux de laboratoire où de tels géants s’intriquent en processeurs. Données : $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ , $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $R_{\text{H}}c = 3.29 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ , $k_{\text{B}}T$ à $300\,\mathrm{K}$ vaut $25.9\,\mathrm{meV}$ .

Partie I — Les lois d’échelle.

Donner les quatre lois d’échelle de base en $n$ : taille $\langle r\rangle$ , liaison $|E_n|$ , écart $E_{n+1} - E_n$ (aux grands $n$ ) et fréquence orbitale classique de l’orbite de Bohr correspondante.
Montrer qu’aux grands $n$ la fréquence de transition $n+1 \to n$ tend vers $2R_{\text{H}}c/n^3$ , et vérifier qu’elle égale la fréquence orbitale classique (le principe de correspondance de Problème 2.1, achevé).
Évaluer taille et liaison à $n = 50$ et $n = 100$ .
Le dipôle électrique d’un atome de Rydberg varie comme $n^2ea_0$ : l’évaluer à $n = 50$ en debyes ( $1\,\text{D} = 3.34 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) et comparer au $1.85\,\mathrm{D}$ d’une molécule d’eau.
Estimer le champ électrique qui déchire l’atome $n = 50$ , sous la forme $F \sim |E_n|/(e\,\langle r\rangle)$ , en V/cm.
Pourquoi de tels atomes ne survivent-ils pas à la chimie d’un vide de laboratoire ordinaire — alors qu’ils survivent fort bien dans l’espace interstellaire (comparer les taux de collision) ?

Partie II — Les raies de recombinaison de la Galaxie. Dans les nébuleuses ionisées, les protons capturent des électrons à $n$ élevé ; la cascade rayonne un peigne de « raies de recombinaison radio ».

Calculer la fréquence de la transition $n = 110 \to 109$ (appelée H109 $\alpha$ ).
Dans quelle bande tombe-t-elle, et quel type de télescope la reçoit ?
Calculer la longueur d’onde de H109 $\alpha$ et la comparer à la taille de l’atome émetteur : combien d’atomes tiennent dans une longueur d’onde ?
Ces raies mesurent la température de la nébuleuse par leur largeur Doppler : à $T = 10^{4}\,\mathrm{K}$ , la vitesse thermique de l’hydrogène vaut $\sim12.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — calculer la largeur relative $\Delta\nu/\nu$ et la largeur de H109 $\alpha$ en kHz.
Les ondes radio traversent la poussière qui noircit le ciel optique : que cela permet-il de cartographier aux astronomes des raies de recombinaison, et que les astronomes des raies de Balmer ne peuvent pas ?
Au-delà de $n \sim 1000$ environ (des atomes de $0.05$ millimètre !), les niveaux se brouillent en un continuum même dans l’espace : nommer deux effets qui élargissent ou détruisent de tels états.

Partie III — Des géants au laboratoire.

Des lasers portent des atomes de rubidium à $n \approx 70$ dans des réseaux de pinces optiques espacées d’un micromètre. Deux tels atomes distants de $R$ interagissent par leurs dipôles induits (rappeler Exercice 9.10) : avec un dipôle $\propto n^2$ , montrer que l’intensité de van der Waals varie comme un colossal $n^{11}$ (utiliser $C_6 \propto d^4/\Delta E$ avec un espacement $\Delta E \propto n^{-3}$ ).
Le « blocage » : à l’intérieur d’un rayon $R_{\text{b}}$ , l’interaction déplace l’état doublement excité hors de résonance du laser, de sorte que deux atomes ne peuvent pas être excités ensemble. Expliquer en une phrase pourquoi cela réalise une porte à deux qubits.
Les rayons de blocage atteignent plusieurs micromètres — des milliers de fois la taille des atomes dans leur état fondamental : pourquoi cette longue portée (à comparer à l’échelle nanométrique de la chimie) est-elle exactement ce que veut un processeur extensible ?
Un état de Rydberg à $n = 70$ vit $\sim100\,\text{µ}\mathrm{s}$ tandis qu’une porte prend $\sim0.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ : combien d’opérations tiennent grossièrement dans une durée de vie, et pourquoi est-ce ce rapport, et non la durée de vie seule, qui importe ?
Le rayonnement du corps noir à température ambiante, dont le maximum est vers $100\,\mathrm{meV}$ mais dont la queue de basse énergie est riche, provoque des transitions entre niveaux de Rydberg voisins séparés de seulement $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : pourquoi les expériences de précision doivent-elles enfermer les atomes dans des écrans froids ?
Estimer combien de transitions dipolaires de type antenne ( $\propto n^2$ ) un bain de photons à $300\,\mathrm{K}$ entraîne par seconde, comparé à un atome $n = 1$ : quelle loi d’échelle fait des atomes de Rydberg des capteurs exquis de champs micro-ondes et térahertz ?

Partie IV — La vue d’ensemble.

Une seule formule, $E_n = -E_{\text{I}}\mu Z^2/m_{\text{e}}n^2$ , couvre combien d’ordres de grandeur d’énergie de liaison, de l’uranium hydrogénoïde ( $Z = 92$ , $n = 1$ ) jusqu’à un état de Rydberg $n = 1000$ ? Calculer les deux extrémités.
Les durées de vie radiatives des états de $l$ faible varient comme $n^3$ : à partir de la durée de vie de $2p$ , $1.6\,\mathrm{ns}$ , estimer celle d’un état $100p$ — et comparer au problème du corps noir à température ambiante de la partie III.
Au CERN, des anti-atomes d’antihydrogène sont désormais spectroscopiés sur l’intervalle $1s \to 2s$ à quinze chiffres : quelle symétrie fondamentale l’accord avec l’hydrogène ordinaire teste-t-il, et pourquoi l’hydrogène est-il le bon atome pour cette comparaison ?
À $n \sim 100$ l’onde de de Broglie de l’électron enroule une orbite presque classique ; à $n = 1$ aucune orbite n’existe : en une phrase, où l’image classique s’allume-t-elle ?
La constante de Rydberg est mesurée à quinze chiffres : pourquoi l’hydrogène est-il, entre tous les systèmes, l’ancre naturelle de précision de la physique atomique ?
Le prix Nobel 2012 (Haroche) a utilisé des atomes de Rydberg comme compteurs de photons qui ne détruisent pas le photon : quelles deux propriétés des parties I et III en font des sondes non destructives idéales des champs micro-ondes ?
Résumer le résultat nommé : les lois d’échelle en $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ et $n^{11}$ d’un unique atome résolu exactement étirent l’hydrogène de $52.9\,\mathrm{pm}$ à un demi-micromètre, accordent sa voix de $121.6\,\mathrm{nm}$ à $6\,\mathrm{cm}$ , et en font à la fois la balise radio de la Galaxie et la porte à deux qubits des ordinateurs quantiques à atomes neutres.

Solution

Solution de Problème 11.1.

1. $\langle r\rangle \sim n^2a_0$ ; $|E_n| = E_{\text{I}}/n^2$ ; écart $\approx 2E_{\text{I}}/n^3$ ; fréquence orbitale $\propto 1/n^3$ (Kepler sur l’orbite de Bohr). 2. $E_{n+1} - E_n \to 2E_{\text{I}}/n^3$ , et $h$ fois la fréquence classique $v_n/2\pi r_n$ donne la même expression (le calcul de Problème 2.1, question 20). 3. $n = 50$ : $132\,\mathrm{nm}$ , $5.4\,\mathrm{meV}$ ; $n = 100$ : $0.53\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.4\,\mathrm{meV}$ . 4. $n^2ea_0 = 2.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m} \approx 6300\,\text{D}$ : l’équivalent de trois mille molécules d’eau de dipôle sur un seul atome. 5. $F \sim 5.4 \times 10^{-3}/1.32 \times 10^{-7} \approx 4 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} = 400\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$ ; le seuil exact d’ionisation classique est environ huit fois plus faible ( $\sim50\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$ ) : dans les deux cas, un souffle de champ. 6. Avec des sections efficaces géométriques $\sim\pi n^4a_0^2$ , même un vide de laboratoire ultra-poussé fait entrer un tel atome en collision en quelques microsecondes ; les densités interstellaires ( $\sim10^{6}$ particules par $\mathrm{m}^{3}$ ) lui laissent des jours — l’espace est la meilleure enceinte à vide. 7. $\nu = R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$ . 8. Radio centimétrique : un radiotélescope — une grande antenne et un récepteur silencieux. 9. $\lambda = 6.0\,\mathrm{cm}$ ; l’atome $n = 110$ mesure $\sim0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ : cent mille atomes par longueur d’onde — confortablement un régime d’« antenne ». 10. $\Delta\nu/\nu \sim v/c = 4.3 \times 10^{-5}$ : environ $200\,\mathrm{kHz}$ sur $5\,\mathrm{GHz}$ — et la largeur mesurée rend la température nébulaire. 11. La Galaxie interne ionisée : des régions HII cachées derrière une poussière qui éteint tout photon de Balmer — les raies de recombinaison radio ont cartographié la structure spirale que l’astronomie optique ne pouvait voir. 12. Les micro-champs électriques des ions voisins (élargissement Stark) brouillent les niveaux, et le rayonnement du corps noir ou cosmique ainsi que les collisions ionisent ou mélangent en $l$ ces états fragiles. 13. $C_6 \sim d^4/\Delta E \propto (n^2)^4/n^{-3} = n^{11}$ : porter $n$ de $1$ à $70$ et l’interaction croît de vingt ordres de grandeur. 14. À l’intérieur de $R_{\text{b}}$ , l’état de paire est décalé hors résonance, si bien que l’excitation d’un atome conditionne la réponse de son voisin : exactement la logique contrôlée dont a besoin une porte à deux qubits. 15. Des interactions de portée micrométrique permettent à chaque atome de siéger dans sa propre pince adressable, très éloigné selon les critères atomiques et pourtant fortement couplé — une portée d’interaction accordée à la résolution optique. 16. $\sim 200$ portes par durée de vie : ce rapport borne la fidélité atteignable, et c’est lui, non les microsecondes brutes, dont vit un processeur. 17. À $300\,\mathrm{K}$ le bain de photons est dense vers $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : il brasse et ionise les niveaux de Rydberg en moins d’une durée de vie radiative ; des écrans froids ( $4\,\mathrm{K}$ ) affament ces transitions. 18. Les taux varient comme $d^2 \propto n^4$ : à $n = 50$ , six millions de fois le couplage d’un atome ordinaire — et c’est pourquoi une cellule de vapeur d’atomes de Rydberg est aujourd’hui un capteur étalonné de champs micro-ondes et térahertz. 19. De $92^2 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 115\,\mathrm{keV}$ jusqu’à $13.6/10^6\,\mathrm{eV} = 13.6\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : dix ordres de grandeur à partir d’une seule formule. 20. Le classique se lève là où l’écart devient une fraction évanescente de l’énergie, $n \gg 1$ — la limite de correspondance propre à l’atome. 21. C’est le seul atome calculable à partir des premiers principes jusqu’à la précision de l’expérience : tout désaccord serait une découverte, aussi l’hydrogène ancre-t-il les constantes fondamentales. 22. $\tau \approx 1.6\,\mathrm{ns} \times 50^3 = 0.2\,\mathrm{ms}$ — généreux, mais la redistribution par le corps noir (partie III) l’entame, une raison de plus pour les écrans froids. 23. La symétrie CPT — atomes de matière et d’antimatière doivent coïncider raie par raie ; l’hydrogène est l’ancre parce que lui seul voit la théorie atteindre le quinzième chiffre à côté de l’expérience. 24. Le dipôle en $n^2$ fait sentir à l’atome le champ d’un seul photon micro-onde, tandis que sa longue durée de vie et sa structure de niveaux lui permettent d’acquérir une phase mesurable sans absorber le photon : de la détection quantique non destructive. 25. Les lois d’échelle $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ , $n^{11}$ étirent l’unique atome résolu de $52.9\,\mathrm{pm}$ à un demi-micromètre et de $121.6\,\mathrm{nm}$ à $6\,\mathrm{cm}$ — la même solution de Schrödinger émettant depuis les régions HII de la Galaxie et cadençant des portes à deux qubits dans des réseaux de pinces optiques.