Qu'est-ce que « Nombre d’onde complexe : propagation et atténuation » ? — Physique

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Définition 8.3 Physique universitaire — 2e année · অধ্যায় 8 — Dispersion et paquets d’ondes

Lorsque la relation de dispersion donne, pour $\omega$ réel, un $\underline k = k' - \iu k''$ complexe, l’onde s’écrit

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

elle se propage à $v_\varphi = \omega/k'$ et son amplitude décroît en $\eu^{-x/\delta}$ avec la longueur d’atténuation $\delta = 1/k''$ (elle doit décroître dans son sens de propagation : $k'$ et $k''$ de même signe). Si $\underline k$ est imaginaire pur, $\underline k = -\iu\kappa$ , l’onde est évanescente : $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , une oscillation stationnaire dont l’amplitude s’éteint sur la distance $1/\kappa$ sans rien propager — le cas du milieu de Klein–Gordon en dessous de sa coupure, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , et d’un métal aux fréquences optiques.

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Exemple 8.4 (Une corde amortie)

Une corde dans un fluide visqueux, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . Pour un amortissement faible ( $\alpha \ll \mu \omega$ ), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : l’onde garde sa célérité et perd de l’amplitude sur $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ , indépendante de la fréquence — une perte dissipative et non dispersive, de $8.7\,\mathrm{dB}$ par longueur $\delta$ .

Exemple 8.11 (Trois câbles)

Le câble transatlantique de 1858 : un unique fil de cuivre sous gutta-percha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ et $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ par point : un mot à la minute, et les tentatives des opérateurs pour forcer le signal avec $2\,\mathrm{kV}$ détruisirent l’isolant en quelques semaines. Une ligne téléphonique chargée de bobines tous les $2\,\mathrm{km}$ pour satisfaire la condition de Heaviside (1900) : une parole claire sur des centaines de kilomètres. Un câble coaxial moderne de $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , et une atténuation due à l’effet de peau dans les conducteurs (Chapitre 14), croissant comme $\sqrt f$ : quelques décibels par centaine de mètres à $100\,\mathrm{MHz}$ .

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