परिबंध, उच्चतम और निम्नतम क्या है? — गणित

परिभाषा 10.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · 第 10 章 — वास्तविक संख्याएँ

मान लीजिए $A \subseteq \R$ अरिक्त है। वास्तविक $M$ $A$ का ऊपरी परिबंध तब है जब सभी $a \in A$ के लिए $a \leq M$ ; $A$ ऊपर से परिबद्ध तब है जब उसका कोई ऊपरी परिबंध हो (इसी प्रकार नीचे से, निचले परिबंधों के साथ; परिबद्ध का अर्थ है दोनों)। $A$ का अधिकतम ऐसा ऊपरी परिबंध है जो स्वयं $A$ का सदस्य हो।

उच्चतम $\sup A$ $A$ का लघुतम ऊपरी परिबंध है, जब वह विद्यमान हो; निम्नतम $\inf A$ महत्तम निचला परिबंध है।

संख्या रेखा पर समुच्चय A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\: उसके बिंदु 1 की ओर ढेर होते जाते हैं पर उस तक पहुँचते नहीं। प्रत्येक संख्या ≥ 1 ऊपरी परिबंध है (वह किरण), और उससे छोटा कोई नहीं, क्योंकि A का कोई अवयव हर अंतराल (1 - , 1) में घुस आता है: अर्थात् एक ही चित्र में के दोनों उपवाक्य। उच्चतम ऊपरी परिबंधों की किरण का बायाँ सिरा है — और पूर्णता अभिगृहीत ठीक यही गारंटी है कि इस किरण का सदा एक बायाँ सिरा होता है। — संख्या रेखा पर समुच्चय $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ : उसके बिंदु $1$ की ओर ढेर होते जाते हैं पर उस तक पहुँचते नहीं। प्रत्येक संख्या $\geq 1$ ऊपरी परिबंध है (वह किरण), और उससे छोटा कोई नहीं, क्योंकि $A$ का कोई अवयव हर अंतराल $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ में घुस आता है: अर्थात् एक ही चित्र में प्रतिज्ञप्ति 10.4 के दोनों उपवाक्य। उच्चतम ऊपरी परिबंधों की किरण का बायाँ सिरा है — और पूर्णता अभिगृहीत ठीक यही गारंटी है कि इस किरण का सदा एक बायाँ सिरा होता है।

示例

उदाहरण 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , जो प्राप्त नहीं होता (कोई अधिकतम नहीं); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ । $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ के लिए: $\sup A = 1$ , जो प्राप्त नहीं होता; $\inf A = \min A = 0$ । अधिकतम, जब विद्यमान हो, उच्चतम ही होता है; $\sup$ का पूरा प्रयोजन यही है कि जब अधिकतम विद्यमान न हो तब उसका विकल्प उपलब्ध रहे।

उदाहरण 10.6 (व्यवहार में उच्चतम की संगणना)

प्रतिज्ञप्ति 10.4 के दो पूरे अभ्यास।

समुच्चय $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ । प्रत्येक $x > 0$ के लिए $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , अतः $2$ निचला परिबंध है; और $2 = 1 + \frac11 \in A$ : इसलिए $\inf A = \min A = 2$ , जो $x = 1$ पर प्राप्त होता है। ऊपर की ओर $A$ अपरिबद्ध है ( $x + \frac1x > x$ किसी भी $M$ को प्रमेय 10.10 से पार कर सकता है): अतः $\R$ में $\sup A$ विद्यमान नहीं है ( $\overline\R$ में वह $+\infty$ है)।

समुच्चय $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ । प्रत्येक अवयव $\intoo{0}{1}$ में है, अतः $0$ और $1$ परिबंध हैं। इनमें से कोई प्राप्त नहीं होता: $\frac{m}{m+n} = 1$ $n = 0$ पर बाध्य कर देता। उच्चतम के लिए $n = 1$ को नियत कीजिए और $m$ को बढ़ने दीजिए: $m + 1 > \frac1\varepsilon$ होते ही $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ (आर्किमिडीज़): $\sup B = 1$ । सममित रूप से ( $m = 1$ , $n$ बड़ा), $\inf B = 0$ । समापन का सार: उच्चतम को कीलने के लिए समुच्चय के भीतर एक सुचयनित एक-प्राचल पथ पर्याप्त है — यहाँ पथ $n = 1$ — और $\varepsilon$ -अभिलक्षण इससे अधिक कुछ नहीं माँगता।

उदाहरण 10.7 (निम्नतम का दर्पण)

निम्नतम का अपना $\varepsilon$ -अभिलक्षण है, जो $\inf A = -\sup(-A)$ के द्वारा प्रतिज्ञप्ति 10.4 से मिलता है: $i = \inf A$ तभी जब $i$ $A$ को नीचे से परिबद्ध करता हो और प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए कोई $a \in A$ $a < i + \varepsilon$ संतुष्ट करता हो। दोनों परिबंधों का एक साथ अभ्यास: मान लीजिए

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

सम सूचकांक $1 + \frac1n \leq \frac32$ देते हैं, जहाँ $n = 2$ पर समता है: और चूँकि विषम-सूचकांक वाले मान भी $\leq 0 < \frac32$ हैं, अतः $\sup A = \max A = \frac32$ । विषम सूचकांक $-1 + \frac1n > -1$ देते हैं, जो $-1$ की ओर घटते जाते हैं: $A$ का प्रत्येक अवयव $> -1$ है, और विषम $n > \frac1\varepsilon$ के लिए $-1 + \frac1n$ $-1 + \varepsilon$ को हरा देता है: $\inf A = -1$ , जो प्राप्त नहीं होता। एक ही समुच्चय, और चारों व्यवहार प्रदर्शित: ऐसा उच्चतम जो अधिकतम है, और ऐसा निम्नतम जो न्यूनतम नहीं है।

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