विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

21आव्यूह

आव्यूह निर्देशांकों में लिखा गया रैखिक प्रतिचित्रण है। यह अध्याय वही शब्दकोश खड़ा करता है — संयुक्त प्रतिचित्रण आव्यूह-गुणनफल बन जाता है, एकैकी आच्छादकता व्युत्क्रमणीयता, और आधार-परिवर्तन संयुग्मन — तथा कलनविधि वाला पक्ष भी: पंक्ति संक्रियाएँ, कोटियों और प्रतिलोमों की संगणना। आव्यूह माध्यमिक खंड में पहली बार मिले थे, और अब वे अध्याय 18, 19 और 20 के सिद्धांत पर टिका दिए गए हैं।

21.1 आव्यूह और रैखिक प्रतिचित्रण

परिभाषा 21.1

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ अदिशों की $n \times p$ सारणियों $A = (a_{ij})$ की सदिश समष्टि है ( $i$ : पंक्ति, $j$ : स्तंभ), जिसकी विमा $np$ है (आधार: केवल एक $1$ वाले आव्यूह $E_{ij}$ )। $E$ का आधार $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ और $F$ का आधार $\mathcal{C}$ दिए हों ( $\dim F = n$ ), तो $u \in \mathcal{L}(E, F)$ का आव्यूह वह सारणी है जिसका $j$ -वाँ स्तंभ $\mathcal{C}$ में $u(e_j)$ के निर्देशांक देता है:

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

प्रतिचित्रण $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ $\mathcal{L}(E, F)$ से $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ पर एक तुल्याकारिता है (प्रतिज्ञप्ति 20.2: रैखिक प्रतिचित्रण ठीक $e_j$ के प्रतिबिंबों का चुनाव ही है)।

उदाहरण 21.2 (अवकलज, आव्यूह के रूप में)

$\R_3[X]$ पर मान लीजिए $D(P) = P'$ । एकपदी आधार $(1, X, X^2, X^3)$ में: $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , अतः

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

विभाजित आधार $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ में हर आधार-सदिश पिछले पर चला जाता है ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ), और आव्यूह शुद्ध सरकाव बन जाता है: अधिविकर्ण पर इकाइयाँ, बाक़ी जगह शून्य। दो सीखें: आव्यूह (प्रतिचित्रण, आधार) की जोड़ी का होता है, अकेले प्रतिचित्रण का नहीं; और अच्छा आधार संरचना को एक नज़र में दिखा देता है — सरकाव-रूप तुरंत दिखा देता है कि $\R_3[X]$ पर $D^4 = 0$ , क्योंकि आव्यूह की हर घात अपने इकाइयों वाले विकर्ण को एक क़दम और बाहर धकेल देती है।

परिभाषा 21.3 (गुणनफल)

$A \in \mathcal{M}_{n,p}$ और $B \in \mathcal{M}_{p,q}$ के लिए:

(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk} \qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).

यह ठीक संयुक्त प्रतिचित्रण का आव्यूह है: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\, \operatorname{Mat}(u)$ (बीच में आधार मेल खाते हुए)। इसी प्रकार, यदि $X$ $x$ के निर्देशांकों का स्तंभ है, तो $u(x)$ का स्तंभ $AX$ है।

संयोजन-सूत्र की उपपत्ति.

v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j) = \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i = \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere

∎

प्रतिज्ञप्ति 21.4 (बीजगणित $\mathcal{M}_n(K)$ )

वर्ग आव्यूह $\mathcal{M}_n(K)$ एक वलय बनाते हैं ( $n \geq 2$ के लिए अक्रमविनिमेय), जिसका तत्समक $I_n$ है; उसका इकाइयों का समूह व्यापक रैखिक समूह $GL_n(K)$ है, जो एकैकी आच्छादक अंतःसमाकारिताओं के अनुरूप है। $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ के लिए:

AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ और } B = A^{-1}

(एकतरफ़ा प्रतिलोम दुतरफ़ा होते हैं, उपप्रमेय 20.9 से)।

उपपत्ति. वलय के अभिगृहीत परिभाषा 21.1 की तुल्याकारिता के द्वारा $\mathcal{L}(E)$ से स्थानांतरित हो जाते हैं: वह संयुक्त प्रतिचित्रण को गुणनफल में और योग को योग में बदल देती है, अतः साहचर्य, वितरण नियम और $I_n$ की भूमिका प्रतिचित्रणों के तदनुरूप तथ्यों से विरासत में मिल जाते हैं, बिना किसी प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि सत्यापन के। अक्रमविनिमयता: $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22} = E_{21}E_{12}$ । यदि $AB = I_n$ : तो $A$ की अंतःसमाकारिता $a$ $a \circ b = \mathrm{id}$ संतुष्ट करती है, अतः $a$ आच्छादक है ( $x = a(b(x))$ हर $x$ का एक पूर्वप्रतिबिंब दिखा देता है), इसलिए परिमित विमा में एकैकी आच्छादक (उपप्रमेय 20.9); $a \circ b = \mathrm{id}$ को बाईं ओर से $a^{-1}$ के साथ संयुक्त करने पर $b = a^{-1}$ मिलता है, और फिर $b\circ a = \mathrm{id}$ भी: अर्थात् एकतरफ़ा प्रतिलोम आरंभ से ही दुतरफ़ा था — और यह कृपा कड़ाई से परिमित-विमीय है। ∎

परिभाषा 21.5 (परिवर्त; अनुरेख)

$A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ का परिवर्त $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ है; वह $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ और $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ संतुष्ट करता है। किसी वर्ग आव्यूह का अनुरेख $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ है; वह रैखिक है, और

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).

अनुरेख-सर्वसमिका की उपपत्ति. $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ और $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$ : वही दुहरा योग। ∎

उदाहरण 21.6 (अनुरेख काम पर)

$\operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $\operatorname{Vect}(1,1)$ पर अध्याय 20 का प्रक्षेप, अर्थात् $p(x, y) = (x, x)$ , विहित आधार में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ रखता है: वस्तुतः $A^2 = A$ , और

\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,

जो अभ्यास 21.8 को दर्शाता है: वर्गसम आव्यूहों के लिए अनुरेख प्रतिबिंब की विमा गिनता है, चाहे आव्यूह किसी भी तिरछे आधार में लिखा गया हो। अपरिवर्तिता की क्रियाविधि सर्वसमिका $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ है:

\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,

अतः $A$ के सदृश सभी आव्यूहों का अनुरेख वही होता है — यह किसी अंतःसमाकारिता का पहला संख्यात्मक अचर है, जिसके साथ अध्याय 22 में सारणिक आ मिलेगा (नीचे की सप्ताहांत समस्या वाली जोड़ी $(s, p)$ )।

उदाहरण 21.7 (सममित जमा प्रतिसममित)

$A$ को सममित कहिए जब $A^{\mathsf T} = A$ , और प्रतिसममित जब $A^{\mathsf T} = -A$ । हर वर्ग आव्यूह अद्वितीय रूप से एक जमा दूसरे के रूप में बँट जाता है:

A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{सममित}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{प्रतिसममित}},

और जो आव्यूह दोनों हो वह शून्य है ( $A = -A$ ): अतः दोनों समुच्चय $\mathcal{M}_n(K)$ की पूरक उपसमष्टियाँ हैं — यह फलनों के सम/विषम विभाजन (उदाहरण 18.11) का ठीक-ठीक तदनुरूप है, जहाँ $x \mapsto -x$ की भूमिका परिवर्तन निभाता है। विमाएँ: सममित आव्यूह विकर्ण पर और उसके ऊपर स्वतंत्र होता है, और प्रतिसममित कड़ाई से ऊपर (विकर्ण शून्य):

\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,

और गिनती का संतुलित हो जाना ग्रासमान द्वारा प्रत्यक्षता की पुष्टि है। $n = 2$ के लिए: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ । सममित आव्यूह अध्याय 25 में द्वितीय अवकलज के आँकड़ों के रूप में लौटते हैं (मोंज त्रिक $r, s, t$ ), और सममित-लांबिक आव्यूहों का वर्गीकरण अभ्यास 23.12 में है।

21.2 आधार-परिवर्तन

परिभाषा 21.8

मान लीजिए $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ $E$ के आधार हैं। आधार-परिवर्तन आव्यूह $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ के स्तंभ नए आधार-सदिशों के पुराने आधार में निर्देशांक हैं। वह व्युत्क्रमणीय है, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$ , और निर्देशांक $X = PX'$ के अनुसार बदलते हैं (पुराना $=$ $P\,\cdot$ नया)।

उदाहरण 21.9 (आधार-परिवर्तन आव्यूह पढ़ना)

$\R^2$ में, विहित $\mathcal B$ से $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ तक:

P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

(नए सदिश पुराने निर्देशांकों में, स्तंभ-दर-स्तंभ लिखे हुए)। पुराने निर्देशांकों वाले सदिश $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ के नए निर्देशांक $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ हैं: वस्तुतः $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$ । दिशा का ध्यान रखिए — आव्यूह $P$ नए आधार से बनता है, पर वह निर्देशांकों को नए से पुराने में बदलता है ( $X = PX'$ ); पुराने से नए जाने की क़ीमत प्रतिलोम है। हर रूपांतरण के बाद जाँच $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ लिख लेने से उलटे- $P$ वाली त्रुटि पकड़ में आ जाती है, जो इस अध्याय की सबसे आम भूल है।

प्रमेय 21.10 (किसी प्रतिचित्रण के लिए आधार-परिवर्तन)

मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E)$ , जिसका $\mathcal{B}$ में आव्यूह $A$ है और $\mathcal{B}'$ में $A'$ , तथा $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ । तब

A' = P^{-1} A\, P .

इस प्रकार संबंधित दो आव्यूह सदृश कहलाते हैं। (दो जोड़ी आधारों वाले $u \colon E \to F$ के लिए सूत्र $A' = Q^{-1} A P$ है — तुल्य आव्यूह।)

उपपत्ति. किसी भी $x$ के लिए: $X = PX'$ , और प्रतिबिंब $Y = AX$ , $Y = PY'$ संतुष्ट करता है। अतः $PY' = APX'$ , अर्थात् सभी $X'$ के लिए $Y' = (P^{-1}AP)X'$ : इसलिए नए आधार में $u$ का आव्यूह $P^{-1}AP$ है ( $X'$ के लिए विहित स्तंभ लीजिए)। ∎

उदाहरण 21.11 (अच्छा आधार प्रतिचित्रण को पारदर्शी बना देता है)

मान लीजिए $u(x, y) = (y, x)$ (अदला-बदली), जिसका विहित आधार में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ है। आधार $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ में:

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

सचमुच किसी आव्यूह-गुणनफल की आवश्यकता नहीं थी: $u$ $(1,1)$ को अचल रखता है और $(1,-1)$ को उलट देता है, अतः $\mathcal B'$ में उसका आव्यूह $\operatorname{diag}(1, -1)$ होना ही था — अदला-बदली रेखा $y = x$ के पार का परावर्तन है। किसी दिए हुए अंतःसमाकारिता के लिए ऐसा आधार खोजना जिसमें उसका आव्यूह विकर्ण हो जाए, स्नातक वर्ष 2 के खंड की केंद्रीय समस्या है (लघुकरण-सिद्धांत); और नीचे की सप्ताहांत समस्या दिखाती है कि अकेली बहुपद-सर्वसमिकाएँ ही कितनी दूर तक ले जाती हैं।

उदाहरण 21.12 (आधार-परिवर्तन, उलटी दिशा में चलाया हुआ)

$G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ के अनुदिश $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ पर प्रक्षेप का, अनुकूलित आधार $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$ में, पारदर्शी आव्यूह $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$ है। उसका विहित-आधार वाला आव्यूह पाने के लिए प्रमेय 21.10 को उलटी दिशा में चलाइए, $A = P A' P^{-1}$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

जाँच: $A^2 = A$ (वर्गसम), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$ , और $A\binom{1}{1} = \binom11$ , $A\binom{1}{-1} = 0$ , जैसा निर्धारित था। यही उलटी दिशा — अच्छे आधार में आव्यूह गढ़िए, फिर वापस संयुग्मित कीजिए — वह विधि है जिससे व्यवहार में घूर्णन, परावर्तन और प्रक्षेप के आव्यूह सचमुच बनाए जाते हैं।

प्रमेय 21.13 (कोटि मानक रूप)

किसी आव्यूह की कोटि (उसके स्तंभों की कोटि, अथवा तुल्य रूप से संबद्ध रैखिक प्रतिचित्रण की कोटि) तुल्यता का एकमात्र अचर है: $r$ कोटि वाला हर $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ निम्नलिखित के तुल्य है

J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},

और $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$ : अर्थात् पंक्ति-कोटि स्तंभ-कोटि के बराबर होती है।

उपपत्ति. मान लीजिए $u \colon E \to F$ की कोटि $r$ है। $\ker u$ की कोई पूरक $S$ चुनिए ( $\dim S = r$ , प्रमेय 20.7) जिसका आधार $(e_1, \dots, e_r)$ हो, और उसे $\ker u$ के आधार से पूर्ण करके $E$ का आधार बनाइए; प्रतिबिंब $f_i = u(e_i)$ , $i \leq r$ , $\operatorname{im} u$ का आधार बनाते हैं (सीमन एक तुल्याकारिता है), जिसे $F$ के आधार तक पूर्ण कर लीजिए। इन आधारों में $u$ का आव्यूह ठीक $J_r$ है। अतः व्युत्क्रमणीय $P, Q$ के लिए $A = Q J_r P^{-1}$ ।

परिवर्त लेने पर: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ , जहाँ $J_r^{\mathsf T}$ उसी रूप का है (कोटि $r$ ) और बाहरी गुणनखंड व्युत्क्रमणीय हैं (व्युत्क्रमणीय का परिवर्त व्युत्क्रमणीय होता है, $AA^{-1} = I$ पर $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ लगाने से): $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$ । ∎

21.3 पंक्ति संक्रियाएँ

विधि 21.14 (आव्यूहों पर गाउसीय विलोपन)

तीन प्राथमिक पंक्ति संक्रियाएँ — दो पंक्तियों की अदला-बदली, किसी पंक्ति को $\lambda \neq 0$ से गुणा करना, किसी पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ना — कोटि नहीं बदलतीं (हर एक किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह से बाईं ओर का गुणन है)। कलनविधि: एक धुरी बनाइए (सबसे बाईं अशून्य प्रविष्टि), उसके स्तंभ को नीचे से साफ़ कीजिए, अगली पंक्ति और अगले स्तंभ पर बढ़िए; प्राप्त सोपानिक रूप की धुरियों की संख्या ही कोटि है।

प्रतिलोम की संगणना: कलनविधि को खंड $(A \mid I_n)$ पर तब तक चलाइए जब तक बायाँ खंड $I_n$ न बन जाए (यह संभव है तभी जब $A$ व्युत्क्रमणीय हो); तब दायाँ खंड $A^{-1}$ है — वस्तुतः प्रयुक्त प्राथमिक आव्यूहों का गुणनफल $A^{-1}$ के बराबर है।

उदाहरण 21.15

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ : $(A \mid I_2)$ का लघुकरण कीजिए:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix},

(संक्रियाएँ: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ ; फिर $L_1 \leftarrow L_1 + L_2$ , $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$ )। अतः $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$ । जाँच: $AA^{-1} = I_2$ ।

उदाहरण 21.16 (प्राचल वाली कोटि, केवल पंक्तियों से)

$m \in \R$ के लिए $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{pmatrix}$ की कोटि। लघुकरण कीजिए: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ और $L_3 \leftarrow L_3 - mL_1$ ये पंक्तियाँ देते हैं

(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad (0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).

स्थिति $m = 1$ : अंतिम दो पंक्तियाँ शून्य हो जाती हैं — एक धुरी, $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (मूल तीनों पंक्तियाँ बराबर थीं)। स्थिति $m \neq 1$ : $L_2$ को $\frac1{m-1}$ से और $L_3$ को $\frac1{1-m}$ से मापित करके $(0, 1, -1)$ और $(0, 1, 1 + m)$ पाइए, फिर $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$ । यदि $m = -2$ : दो धुरियाँ, कोटि $2$ ; अन्यथा तीन धुरियाँ, कोटि $3$ । सारांश:

\operatorname{rk} M_m = \begin{cases} 1 & m = 1,\\ 2 & m = -2,\\ 3 & \text{अन्यथा}. \end{cases}

यही देहलियाँ अध्याय 22 में एक ही सारणिक-संगणना से निकल आएँगी (अभ्यास 22.7 का बहुपद $-(m+2)(m-1)^2$ ) — पर ध्यान दीजिए कि विलोपन वह देता है जो सारणिक नहीं देता: अपभ्रष्ट स्थितियों में कोटि का मान, केवल यह तथ्य नहीं कि वह गिर गई।

उदाहरण 21.17 (घातों की संगणना)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ , जहाँ $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ । चूँकि $I$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं, द्विपद प्रमेय (प्रतिज्ञप्ति 7.20) कट जाती है:

A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (k \in \N, \text{ तथा } k \in \Z \text{ भी, बशर्ते } A^{-1} = I - N).

विधि 21.18 ( $A^n$ की संगणना: तीन रास्ते)

द्विपद रास्ता: यदि $A = \lambda I + N$ , जहाँ $N$ शून्यंभावी है, तो द्विपद प्रमेय कट जाती है (उदाहरण 21.17, अभ्यास 21.5); और वह लागू इसलिए होती है क्योंकि $\lambda I$ हर चीज़ के साथ क्रमविनिमेय है।
बहुपद रास्ता: $A$ द्वारा संतुष्ट कोई बहुपद-सर्वसमिका खोजिए (विमा $2$ में सदा $A^2 = sA - pI$ ) और $X^n$ का उसके सापेक्ष लघुकरण कीजिए; नीचे की सप्ताहांत समस्या यह रास्ता पूरा-पूरा बनाती है।
सादृश्य रास्ता: ऐसा व्युत्क्रमणीय $P$ खोजिए कि $P^{-1}AP = D$ सरल हो (विकर्ण, अथवा सरकाव), $D^n$ संगणित कीजिए, और फिर उलट दीजिए: $A^n = P D^n P^{-1}$ (प्रमेय 21.10, उदाहरण 21.11); ऐसे $P$ की व्यवस्थित खोज ही स्नातक वर्ष 2 का लघुकरण-सिद्धांत है।

रास्ता कोई भी हो, परिणाम को $n = 0, 1, 2$ पर जाँच लीजिए: ये तीन सस्ती परीक्षाएँ लगभग हर चूक पकड़ लेती हैं।

टिप्पणी 21.19 (सामान्य भूलें: अक्रमविनिमयता की क़ीमत)

अदिश बीजगणित की हर वह सर्वसमिका, जिसकी उपपत्ति गुणनखंडों का क्रम बदलती है, $\mathcal{M}_n(K)$ , $n \geq 2$ में मर जाती है। वर्ग: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , और बीच का भाग $2AB$ तक तभी ढहता है जब $AB = BA$ (अभ्यास 21.1)। गुणनफलों की घातें: $(AB)^k$ $ABAB\cdots$ है, $A^kB^k$ नहीं। शून्य भाजक: $E_{12} \neq 0$ के साथ $E_{12}E_{12} = 0$ ; और इसीलिए कोई निरसन नहीं: $AB = AC$ से $B = C$ तभी निकलता है जब $A$ व्युत्क्रमणीय हो ( $A^{-1}$ से गुणा कीजिए — सही ओर से)। अनुरेख: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ सदा, पर व्यापक रूप से $\operatorname{tr}(AB) \neq \operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ ( $A = B = I_2$ लीजिए: $2 \neq 4$ ), और $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$ (चक्रीय), जबकि $\operatorname{tr}(ACB)$ भिन्न हो सकते हैं। परिवर्त क्रम उलट देते हैं: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ — इस उलटाव को भूल जाना लांबिकता की संगणनाओं में सबसे आम त्रुटि है (अध्याय 23)। संदेह हो तो किसी भी दावा की गई सर्वसमिका को $E_{12}$ और $E_{21}$ पर परखिए: सबसे छोटी अक्रमविनिमेय जोड़ी अधिकांश ग़लत सूत्रों को एक ही पंक्ति में खंडित कर देती है।

टिप्पणी 21.20 (यह शब्दकोश कहाँ जाता है)

आव्यूह-शब्दकोश इस खंड के शेष हर पृष्ठ पर काम आता है: अध्याय 22 हर वर्ग आव्यूह से एक ही संख्या जोड़ देता है जो व्युत्क्रमणीयता तय कर देती है, और $AX = B$ को व्यवस्थित रूप से हल कर देता है; अध्याय 23 उन आव्यूहों को छाँट लेता है जो लंबाइयाँ सुरक्षित रखते हैं (लांबिक आव्यूह); और अध्याय 25 में दो चरों के किसी फलन का द्वितीय-कोटि व्यवहार एक सममित $2 \times 2$ आव्यूह है। ऊपर लगभग चलते-चलते आया अनुरेख एक शक्तिशाली अचर बन जाता है: अभ्यास 21.6 और 21.8 उसका पहला स्वाद देते हैं, और स्नातक वर्ष 2 का खंड उसी पर अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत खड़ा करता है। सप्ताहांत समस्या दूसरा भारवाहक विकसित करती है: किसी आव्यूह द्वारा संतुष्ट बहुपद-सर्वसमिकाएँ, जो $A^n$ की संगणना को दो-पदीय रैखिक पुनरावृत्ति में बदल देती हैं।

टिप्पणी 21.21 (पुस्तक 3 के भीतर के परिदृश्य)

यहाँ प्रस्तुत तीन आव्यूह-कुलों की इस खंड में आगे भेंट तय है। सममित आव्यूह (उदाहरण 21.7) दो चरों के फलनों के द्वितीय-कोटि आँकड़े ढोते हैं: अध्याय 25 की मोंज कसौटी किसी सममित $2\times2$ आव्यूह के चिह्न-व्यवहार के विषय में एक कथन है, और उसका सारणिक $rt - s^2$ अध्याय 22 की मशीनरी से संगणित होता है। लांबिक आव्यूह ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) अध्याय 23 के समदूरक हैं, जहाँ परिवर्त को अंततः उसका ज्यामितीय अर्थ मिल जाता है: वह अंतर्गुणन की बीजगणितीय छाया है। व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की व्यावहारिक परीक्षा अध्याय 22 में होती है — एक ही संख्या, $\det A \neq 0$ — और वही उस खोज को बंद करती है जो इस अध्याय ने पंक्ति-लघुकरण से आरंभ की थी। फिर अनुरेख और सारणिक सप्ताहांत समस्या की अचर जोड़ी $(s, p)$ के रूप में यात्रा करते हैं, ठीक स्नातक वर्ष 2 के अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत तक।

21.4 अभ्यास

अभ्यास 21.1 ★

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ और $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ । $AB$ , $BA$ , $A^2 - B^2$ और $(A+B)(A-B)$ संगणित कीजिए; और समझाइए कि अंतिम दो भिन्न क्यों हैं।

हल

हल — अभ्यास 21.1.

AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},

(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

वे $BA - AB \neq 0$ जितने भिन्न हैं: सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ के लिए क्रमविनिमयता चाहिए, जो यहाँ विफल है।

अभ्यास 21.2 ★

निम्नलिखित की कोटि संगणित कीजिए

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

हल

हल — अभ्यास 21.2.

$M$ : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ दूसरी पंक्ति मार देता है; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ $(0, -1, -2)$ देता है। दो धुरियाँ: $\operatorname{rk} M = 2$ ।

$N$ : $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ $(0,1,1,1) = L_2$ देता है; फिर $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = 0$ । दो धुरियाँ: $\operatorname{rk} N = 2$ ।

अभ्यास 21.3 ★

पंक्ति-लघुकरण से $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ का प्रतिलोम निकालिए, और एक गुणनफल पर जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 21.3.

$(A \mid I_3)$ का लघुकरण: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},

फिर $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$ :

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

जाँच: $A$ की पहली पंक्ति गुणा $A^{-1}$ का पहला स्तंभ: $1 \cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$ ; गुणा दूसरा स्तंभ: $1 - 0 - 1 = 0$ ; गुणा तीसरा: $-1 + 0 + 1 = 0$ ।

अभ्यास 21.4 ★

$\R_2[X]$ के विहित आधार में अंतःसमाकारिता $u(P) = P(X + 1)$ का आव्यूह लिखिए। बिना संगणना के समझाइए कि वह व्युत्क्रमणीय क्यों है, और $u^{-1}$ का आव्यूह दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.4.

$u(1) = 1$ , $u(X) = X + 1$ , $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$ : $(1, X, X^2)$ में निर्देशांकों के स्तंभ देते हैं

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

$u$ व्युत्क्रमणीय है, क्योंकि उसका स्पष्ट प्रतिलोम $P \mapsto P(X - 1)$ है (प्रतिस्थापनों का संयोजन)। उसका आव्यूह उसी तरह $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$ से मिल जाता है:

M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

अभ्यास 21.5 ★★

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ । $A = 2I + N$ लिखिए, $N^2$ संगणित कीजिए, और द्विपद प्रमेय से सभी $k \in \N$ के लिए $A^k$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 21.5.

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $N^2 = 0$ । चूँकि $2I$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं, द्विपद प्रसार दो पदों के बाद कट जाता है:

A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N = \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.

( $k = 2$ पर जाँच: $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ , जो सीधे गुणनफल से सही है।)

अभ्यास 21.6 ★★

सिद्ध कीजिए कि ऐसे कोई आव्यूह $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ नहीं हैं ( $K = \R$ अथवा $\C$ के साथ) जिनके लिए $AB - BA = I_n$ । (अनुरेख लीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 21.6.

अनुरेख: $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0$ (परिभाषा 21.5), जबकि $\R$ अथवा $\C$ में $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ । अतः कोई हल नहीं। (अनंत-विमीय समष्टियों पर यह सर्वसमिका साकार होती है — अवकलन और $x$ से गुणन उसे संतुष्ट करते हैं — और ठीक इसीलिए, क्योंकि वहाँ कोई अनुरेख होता ही नहीं।)

अभ्यास 21.7 ★★

आव्यूह $A$ शून्यंभावी कहलाता है जब किसी $m$ के लिए $A^m = 0$ । सिद्ध कीजिए कि तब $I - A$ व्युत्क्रमणीय है, और

(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .

अनुप्रयोग: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ का प्रतिलोम निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 21.7.

दूरबीनी गुणनफल, क्योंकि $A$ की सभी घातें क्रमविनिमेय हैं:

(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,

और प्रतिज्ञप्ति 21.4 एकतरफ़ा प्रतिलोम को उन्नत कर देता है। अनुप्रयोग के लिए: दिया हुआ आव्यूह $I + N$ है, जहाँ

N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \quad N^3 = 0 ,

अतः सूत्र में $A$ के स्थान पर $-N$ रखने पर:

(I + N)^{-1} = I - N + N^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

अभ्यास 21.8 ★★

मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ $A^2 = A$ संतुष्ट करता है (वर्गसम)। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$ । ( $A$ की व्याख्या किसी प्रक्षेप के रूप में कीजिए और कोई अनुकूलित आधार चुनिए; प्रमेय 21.10 कहता है कि अनुरेख आधार पर निर्भर नहीं करता, क्योंकि $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr} M$ ।)

हल

हल — अभ्यास 21.8.

$A^2 = A$ : अंतःसमाकारिता $a$ एक प्रक्षेप है (प्रमेय 20.15), $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$ के साथ $E = \operatorname{im} a \oplus \ker a$ । इस विघटन के अनुकूल किसी आधार में (प्रतिबिंब के $r$ सदिश, फिर अष्टि का आधार) $a$ का आव्यूह $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ है, जिसका अनुरेख $r$ है। अनुरेख आधार-परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तित रहता है: चक्रीय सर्वसमिका से $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) = \operatorname{tr} M$ । अतः $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$ ।

अभ्यास 21.9 ★★★

मान लीजिए $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ सब-इकाई आव्यूह है। $J^2$ संगणित कीजिए, और $a, b \in \R$ के लिए $M = aI + bJ$ की व्युत्क्रमणीयता की शर्त तथा $M^{-1}$ निकालिए (उसी रूप $\alpha I + \beta J$ का प्रतिलोम खोजिए)।

हल

हल — अभ्यास 21.9.

$J^2 = nJ$ ( $J^2$ की हर प्रविष्टि $n$ इकाइयों का योग है)। $M^{-1} = \alpha I + \beta J$ खोजिए:

(aI + bJ)(\alpha I + \beta J) = a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .

यह $I$ के बराबर है तभी जब $a\alpha = 1$ और $a\beta + b\alpha + nb\beta = 0$ , अर्थात् $\alpha = \frac1a$ तथा $\beta(a + nb) = -\frac ba$ । यदि $a \neq 0$ और $a + nb \neq 0$ :

M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .

विलोमतः, यदि $a = 0$ : तो $M = bJ$ की कोटि $\leq 1 < n$ है ( $n \geq 2$ के लिए): अतः व्युत्क्रमणीय नहीं ( $n = 1$ अदिश स्थिति है)। यदि $a + nb = 0$ : तो सदिश $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ $v \neq 0$ के साथ $Mv = (a + nb)v = 0$ संतुष्ट करता है: अतः व्युत्क्रमणीय नहीं। इस प्रकार $M \in GL_n \iff a \neq 0$ और $a + nb \neq 0$ ।

अभ्यास 21.10 ★★★

(कोटि-असमिकाएँ) $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ के लिए सिद्ध कीजिए

\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B, \qquad \operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n .

(दूसरी के लिए — सिल्वेस्टर की असमिका — $A$ के प्रतिचित्रण के $\operatorname{im} B$ तक के सीमन पर कोटि–शून्यता लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 21.10.

योग: $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A + \operatorname{im} B$ (हर $(A+B)x = Ax + Bx$ ), और ग्रासमान किसी योग की विमा को विमाओं के योग से परिबद्ध कर देता है।

सिल्वेस्टर: मान लीजिए $a$ $V = \operatorname{im} B$ तक सीमित $A$ का प्रतिचित्रण है (विमा $\operatorname{rk} B$ )। उसका प्रतिबिंब $\operatorname{im}(AB)$ है ( $a(Bx) = ABx$ ), और $V$ में कोटि–शून्यता:

\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .

अब $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$ , जिसकी विमा $n - \operatorname{rk} A$ है: अतः

\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n - \operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n . \qedhere

अभ्यास 21.11 ★★

मान लीजिए $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ , जहाँ $d_i$ युग्मशः भिन्न हैं।

सिद्ध कीजिए कि कोई आव्यूह $A$ $D$ के साथ क्रमविनिमेय है तभी जब $A$ विकर्ण हो। ( $AD$ और $DA$ की $(i,j)$ प्रविष्टियों की तुलना कीजिए।)
इससे $\mathcal{M}_n(K)$ का केंद्र निकालिए: हर आव्यूह के साथ क्रमविनिमेय आव्यूह ठीक अदिश आव्यूह $\lambda I_n$ हैं। (पहले $D$ के सामने परखिए, फिर आव्यूहों $E_{ij}$ के सामने।)

हल

हल — अभ्यास 21.11.

प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि, $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ और $(DA)_{ij} = d_i\,a_{ij}$ । अतः $AD = DA$ तभी जब सभी $i, j$ के लिए $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ ; और $i \neq j$ होने पर गुणनखंड $d_j - d_i$ अशून्य है, जो $a_{ij} = 0$ बाध्य कर देता है: अर्थात् $A$ विकर्ण है। विलोमतः विकर्ण आव्यूह आपस में क्रमविनिमेय हैं।
यदि $A$ हर आव्यूह के साथ क्रमविनिमेय है, तो वह $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ के साथ भी है, अतः (1) से $A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ । तब $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ ( $E_{ij}$ की केवल $i$ पंक्ति बचती है) जबकि $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : अतः $E_{ij}$ के साथ क्रमविनिमय $\lambda_i = \lambda_j$ बाध्य कर देता है। इस प्रकार $A = \lambda I_n$ ; और अदिश आव्यूह सचमुच हर चीज़ के साथ क्रमविनिमेय हैं। $\mathcal{M}_n(K)$ का केंद्र $K\,I_n$ है।

अभ्यास 21.12 ★★★

(एक-कोटि आव्यूह) मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(K)$ , $A \neq 0$ ।

सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{rk} A = 1$ तभी जब किसी अशून्य स्तंभ $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ और किसी अशून्य पंक्ति $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ के लिए $A = CL$ ।
ऐसे $A$ के लिए सिद्ध कीजिए $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ; और निष्कर्ष निकालिए कि एक-कोटि आव्यूह शून्यंभावी है तभी जब उसका अनुरेख शून्य हो।
यदि $\operatorname{tr} A \neq -1$ , तो सिद्ध कीजिए कि $I_n + A$ व्युत्क्रमणीय है, और

$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr} A}\,A ,$

और यह कि $\operatorname{tr} A = -1$ होने पर $I_n + A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है। ( $I_n + A$ द्वारा मारा जाने वाला कोई सदिश खोजिए।)

हल

हल — अभ्यास 21.12.

यदि $\operatorname{rk} A = 1$ : तो $A$ का प्रतिबिंब एक रेखा $\operatorname{Vect}(C)$ है, $C \neq 0$ , अतः $A$ का $j$ -वाँ स्तंभ अदिशों $\ell_j$ (सब शून्य नहीं) के लिए $\ell_j\,C$ है, अर्थात् $L = (\ell_1, \dots, \ell_n) \neq 0$ के साथ $A = C L$ । विलोमतः यदि $A = CL \neq 0$ , तो सभी स्तंभ $C$ के गुणज हैं: कोटि $1$ ।
$A^2 = C\,(L C)\,L$ , और $LC$ अदिश $\sum_i \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr} A$ है। अतः $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ , इसलिए आगमन से $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ । यदि $\operatorname{tr} A \neq 0$ , तो कोई भी घात शून्य नहीं होती; और यदि $\operatorname{tr} A = 0$ , तो $A^2 = 0$ : अर्थात् एक-कोटि आव्यूह शून्यंभावी है तभी जब उसका अनुरेख शून्य हो।
$t = \operatorname{tr} A \neq -1$ के साथ:

$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr) = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t} = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$

$A^2 = tA$ का प्रयोग करते हुए। यदि $t = -1$ : तो $A \neq 0$ के साथ $(I_n + A)A = A + A^2 = A - A = 0$ , अतः $I_n + A$ $A$ के हर (अशून्य) स्तंभ को मार देता है: अतः न एकैकी, न व्युत्क्रमणीय।

21.5 समस्या: बहुपद-भाग से आव्यूह की घातें

समस्या 21.1

$A^{100}$ को प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि संगणित करना निराशाजनक है; उसे $A$ द्वारा संतुष्ट किसी बहुपद-सर्वसमिका के द्वारा संगणित करना तीन पंक्तियों का काम है। यह समस्या उस विधि को शून्य से बनाती है: $X^n$ का यूक्लिडीय भाग, वह सर्वसमिका $A^2 - sA + pI = 0$ जिसे हर $2 \times 2$ आव्यूह सत्यापित करता है (विमा $2$ में केली–हैमिल्टन प्रमेय), और आव्यूह-घातों तथा रैखिक पुनरावृत्तियों के बीच का शब्दकोश — और साथ चलता उदाहरण फ़िबोनाच्ची अंक।

भाग I — शेषफल-कलन। $s, p \in K$ और $D = X^2 - sX + p$ नियत कीजिए।

औचित्य दीजिए कि हर $n \in \N$ के लिए अद्वितीय $Q_n \in K[X]$ और $(a_n, b_n) \in K^2$ ऐसे हैं कि

$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$

और $(a_0, b_0)$ तथा $(a_1, b_1)$ संगणित कीजिए।
$X$ से गुणा करके और फिर से भाग देकर पुनरावृत्तियाँ स्थापित कीजिए

$a_{n+1} = s\,a_n + b_n, \qquad b_{n+1} = -p\,a_n ,$

और $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ निकालिए: अर्थात् गुणांक-अनुक्रम $D$ से जुड़ी रैखिक पुनरावृत्ति का पालन करता है।
मान लीजिए $D$ के दो भिन्न मूल $\lambda \neq \mu$ हैं। भाग-सर्वसमिका का मूल्यांकन करके सिद्ध कीजिए

$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$
मान लीजिए $D = (X - \lambda)^2$ । भाग-सर्वसमिका के अवकलज का प्रयोग करके $a_n = n\lambda^{n-1}$ और $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ सिद्ध कीजिए।
दिखाइए कि बहुपदों में किसी नियत आव्यूह $M \in \mathcal{M}_k(K)$ का प्रतिस्थापन योग और गुणनफल का आदर करता है: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$ । इससे निष्कर्ष निकालिए कि यदि $D(M) = 0$ , तो

$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$

भाग II — विमा 2: अनुरेख, सारणिक संख्या, केली–हैमिल्टन। $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ के लिए $s = a + d = \operatorname{tr} A$ और $p = ad - bc$ रखिए (वही संख्या जिसे अध्याय 22 सारणिक नाम देगा)।

सीधी संगणना से विमा $2$ में केली–हैमिल्टन सर्वसमिका सत्यापित कीजिए:

$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$
सीधे प्रसार से सिद्ध कीजिए कि $p$ गुणात्मक है: स्पष्ट संकेतन में $p(AB) = p(A)\,p(B)$ । फिर दिखाइए: $A$ व्युत्क्रमणीय है तभी जब $p \neq 0$ , और तब

$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$
मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ । $s$ , $p$ , तथा $D$ के मूल संगणित कीजिए, और $A^n$ के लिए संवृत सूत्र निकालिए; उसे $A^2$ की सीधी संगणना के सामने जाँचिए।
मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ । दिखाइए कि $D$ का एक दुहरा मूल है और $A^n$ संगणित कीजिए; $n = 2$ पर जाँचिए।
मान लीजिए $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , और फ़िबोनाच्ची अंकों को $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ से परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए

$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$

इससे बिने का सूत्र $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$ निकालिए, जहाँ $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ , $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$ , और प्रश्न 7 का प्रयोग करके कासिनी की सर्वसमिका $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ ।

भाग III — रैखिक पुनरावृत्तियाँ, संरचनात्मक दृष्टि से। $p \neq 0$ के साथ $s, p \in K$ नियत कीजिए, और मान लीजिए $E_D$ उन अनुक्रमों का समुच्चय है जो सभी $n$ के लिए $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ संतुष्ट करते हैं।

दिखाइए कि $E_D$ विमा $2$ वाली सदिश समष्टि है (अभ्यास 19.10 को अनुकूलित कीजिए)।
दिखाइए कि भाग I का अनुक्रम $(a_n)$ $E_D$ का वही अवयव है जिसके आरंभिक मान $0, 1$ हैं, और यह कि हर $u \in E_D$ संतुष्ट करता है

$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$

जहाँ $(b_n)$ भाग I जैसा ही है: अर्थात् भाग के शेषफल सभी पुनरावृत्तियाँ एक ही साथ हल कर देते हैं।
यदि $\lambda \neq \mu$ $D$ के मूल हैं, तो दिखाइए कि $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ $E_D$ का आधार है; और यदि $\lambda \neq 0$ के साथ $D = (X-\lambda)^2$ , तो दिखाइए कि $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ एक आधार है।
पूरी तरह हल कीजिए: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; और उत्तर $u_2$ तथा $u_3$ पर जाँचिए।
मान लीजिए $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ ( $D$ का सहचर आव्यूह)। दिखाइए कि

$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix} \quad (u \in E_D),$

और यह कि $\operatorname{tr} C = s$ तथा $p(C) = p$ : अर्थात् पुनरावृत्ति और आव्यूह वही एक बहुपद $D$ ढोते हैं।

भाग IV — घात तीन। मान लीजिए $D_3 = X^3 - \alpha X^2 - \beta X - \gamma$ और

C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix}.

दिखाइए कि $D_3(C_3) = 0$ । ( $C_3$ की घातों के अंतर्गत विहित आधार-सदिशों के प्रतिबिंब संगणित कीजिए: $C_3$ का प्रतिचित्रण $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ भेजता है, जो अंतिम पंक्ति से बाध्य संयोजन है।)
दिखाइए कि यदि $D_3$ के तीन भिन्न मूल $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ हैं, तो $X^n$ को $D_3$ से भाग देने पर मिला शेषफल $R_n$ गाँठों $\lambda_i$ पर मानों $\lambda_i^n$ का लाग्रांज अंतर्वेशक है (प्रमेय 8.23); और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $C_3^{\,n}$ की हर प्रविष्टि $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ का कोई नियत रैखिक संयोजन है।
हल कीजिए: $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ के साथ $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ । ( $D_3 = (X - 1)(X + 1)(X - 2)$ का गुणनखंडन कीजिए।) $u_3$ पर जाँचिए।
$(X - \lambda)^3$ के सापेक्ष $X^n$ का शेषफल संगणित कीजिए ( $\lambda$ पर $X^n$ का टेलर प्रसार), और जब $N^3 = 0$ हो तथा $N$ आसपास की हर चीज़ के साथ क्रमविनिमेय हो, तब $(\lambda I + N)^n$ के लिए एक सूत्र निकालिए; उसे द्विपद प्रमेय के सामने जाँचिए।
दिखाइए कि भिन्न मूलों वाले $D_3$ के लिए कोटि- $3$ की पुनरावृत्ति का व्यापक हल $u_n = c_1 \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ है: सिद्ध कीजिए कि तीनों गुणोत्तर अनुक्रम हल-समष्टि का आधार बनाते हैं। (स्वतंत्रता के लिए किसी शून्य संयोजन का $n = 0, 1, 2$ पर मूल्यांकन कीजिए और भिन्न-भिन्न गाँठों $\lambda_i$ पर एक अंतर्वेशन-निकाय पहचानिए।)

भाग V — फ़िबोनाच्ची लाभांश, और संश्लेषण।

$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ सिद्ध कीजिए।
$F^{m+n} = F^m F^n$ से योग-सूत्र निकालिए

$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$

और $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$ निकालिए।
सिद्ध कीजिए कि हर $n \geq 0$ के लिए $F_n$ $\varphi^n/\sqrt5$ के सबसे निकट का पूर्णांक है।
मान लीजिए $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (लूका अंक $L_n$ )। $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ दिखाइए, यह कि $L_n = \varphi^n + \psi^n$ , और $F_{2n} = F_n L_n$ फिर से प्राप्त कीजिए।
संश्लेषण, चार वाक्यों में: $2 \times 2$ आव्यूह की घातें $\mathcal{M}_2(K)$ के समतल $\operatorname{Vect}(I, A)$ में क्यों रहती हैं (कौन-सा विमा-तर्क किसी द्विघातीय सर्वसमिका की गारंटी देता है, और भाग II ने कौन-सी स्पष्ट सर्वसमिका दी); यूक्लिडीय भाग घातांकन को दो-पदीय पुनरावृत्ति में कैसे बदल देता है; इस समस्या का कौन-सा कथन सभी विमाओं में मान्य किसी प्रमेय की $n = 2$ वाली स्थिति है (उसका नाम बताइए, और कहिए कि इस शृंखला में वह कहाँ सिद्ध की गई है); और सहचर आव्यूह वाली रचना इस चित्र में क्या जोड़ती है।

हल

हल — समस्या 21.1.

1. $X^n$ का घात- $2$ वाले इकाई-अग्र $D$ से यूक्लिडीय भाग (प्रमेय 8.3): भागफल और शेषफल हैं और अद्वितीय हैं, तथा शेषफल की घात $\leq 1$ है: $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ । $n = 0$ के लिए: $Q_0 = 0$ , $(a_0, b_0) = (0, 1)$ ; $n = 1$ के लिए: $(a_1, b_1) = (1, 0)$ ।

2. $X$ से गुणा कीजिए और $X^2 = D + sX - p$ का लघुकरण कीजिए:

X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X = (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .

अंतिम व्यंजक शेषफल के आकार का है (घात $\leq 1$ ), अतः अद्वितीयता से $a_{n+1} = s a_n + b_n$ और $b_{n+1} = -p a_n$ । $a_{n+2} = s a_{n+1} + b_{n+1}$ में $b_{n+1} = -pa_n$ प्रतिस्थापित करने पर $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ मिलता है।

3. $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ का मूलों पर मूल्यांकन कीजिए: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ और $\mu^n = a_n\mu + b_n$ । घटाकर $\lambda - \mu \neq 0$ से भाग देने पर:

a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \lambda^n - a_n\lambda = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .

4. दुहरे मूल पर: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ । सर्वसमिका का अवकलन करने पर $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2 + 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$ , और $\lambda$ पर मूल्यांकन करने पर: $a_n = n\lambda^{n-1}$ ; फिर $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 - n)\lambda^{n}$ ।

5. $P = \sum_i p_i X^i$ और $Q = \sum_j q_j X^j$ के लिए,

P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),

क्योंकि अकेले आव्यूह $M$ की घातें आपस में क्रमविनिमेय हैं (योग तो रैखिकता से स्पष्ट हैं)। यदि $D(M) = 0$ , तो $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ में $M$ प्रतिस्थापित करने पर $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n M + b_n I = a_n M + b_n I$ मिलता है।

6. सीधे गुणनफल:

A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a + d)\\ c(a + d) & d^2 + bc \end{pmatrix}, \qquad s A = \begin{pmatrix} a(a+d) & b(a+d)\\ c(a+d) & d(a+d) \end{pmatrix},

अतः $A^2 - sA$ की विकर्णेतर प्रविष्टियाँ शून्य हैं और विकर्ण प्रविष्टियाँ $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$ : $A^2 - sA + pI_2 = 0$ ।

7. $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' & d'\end{pmatrix}$ के साथ $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') - (ab' + bd')(ca' + dc')$ का प्रसार कीजिए: पद $aa'cb'$ और $ab'ca'$ कट जाते हैं, पद $bc'dd'$ और $bd'dc'$ कट जाते हैं, और जो बचता है वह है

aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c' = (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').

यदि $p \neq 0$ , तो केली–हैमिल्टन $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 - A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$ देता है, जिससे प्रतिलोम मिल जाता है (और प्रतिज्ञप्ति 21.4 उसे दुतरफ़ा बना देता है)। यदि $p = 0$ और $A$ व्युत्क्रमणीय होता, तो गुणात्मकता $1 = p(I_2) = p(A)\,p(A^{-1}) = 0$ देती: असंभव। अतः $A \in GL_2 \iff p \neq 0$ ।

8. $s = 3$ , $p = 2$ , $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$ : $\lambda = 2$ , $\mu = 1$ , अतः $a_n = 2^n - 1$ और $b_n = 2 - 2^n$ (प्रश्न 3)। इस प्रकार

A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.

जाँच: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ , सूत्र से भी और सीधे वर्ग करने से भी।

9. $s = 4$ , $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$ : $D = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ , दुहरा मूल $\lambda = 2$ । प्रश्न 4: $a_n = n\,2^{n-1}$ , $b_n = (1 - n)2^n$ , अतः

A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I = 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n \end{pmatrix}.

$n = 2$ पर: $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ , जो सीधे संगणित $A^2$ ही है।

10. आगमन: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 & F_0\end{pmatrix}$ , और

F^{n+1} = F^n F = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\ F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n \end{pmatrix}.

यहाँ $s = 1$ , $p = -1$ , $D = X^2 - X - 1$ , जिसके मूल $\varphi, \psi$ हैं ( $\varphi - \psi = \sqrt5$ , $\varphi\psi = -1$ )। अनुक्रम $(F_n)$ में $F_0 = 0 = a_0$ , $F_1 = 1 = a_1$ है और वह $(a_n)$ जैसी ही पुनरावृत्ति का पालन करता है: $F_n = a_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$ , अर्थात् बिने का सूत्र। कासिनी: प्रश्न 7 की गुणात्मकता को $F^n$ पर लगाने से,

F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .

11. शर्त रैखिक है और उसमें शून्य अनुक्रम है: अतः एक उपसमष्टि। आगमन से $u_0, u_1$ $u$ को रैखिक रूप से तय कर देते हैं, और आरंभिक मानों की हर जोड़ी ठीक एक ही हल से साकार होती है: अभ्यास 19.10 की तरह $E_D$ $(u_0, u_1) \in K^2$ के द्वारा एकैकी आच्छादक तथा रैखिक रूप से प्राचलित है: $\dim E_D = 2$ ।

12. $(a_n)$ पुनरावृत्ति का पालन करता है (प्रश्न 2), जहाँ $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ । $(b_n)$ भी वैसा ही करता है: $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} = -p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ ( $b_{n+1} = -pa_n$ का दो बार प्रयोग करके), जहाँ $b_0 = 1$ , $b_1 = 0$ । तब संयोजन $v_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ ऐसा हल है जिसमें $v_0 = u_0$ , $v_1 = u_1$ ; और एक ही आरंभिक मानों वाले दो हल एक ही होते हैं (आगमन), अतः सभी $n$ के लिए $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ ।

13. $(\lambda^n)$ एक हल है तभी जब सभी $n$ के लिए $\lambda^{n+2} = s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ , अर्थात् $D(\lambda) = 0$ ( $\lambda^n \neq 0$ से भाग देने के बाद; ध्यान दीजिए कि $\lambda, \mu \neq 0$ , क्योंकि $p = \lambda\mu \neq 0$ )। $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ की स्वतंत्रता: $n = 0, 1$ पर कोई संबंध $c + c' = 0$ , $c\lambda + c'\mu = 0$ देता है, अतः $c(\lambda - \mu) = 0$ : $c = c' = 0$ । विमा $2$ में दो स्वतंत्र सदिश: अतः आधार। दुहरा मूल: $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ एक हल है, क्योंकि $s = 2\lambda$ के साथ $p = \lambda^2$ :

s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n = \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;

$n = 0, 1$ पर स्वतंत्रता: $c = 0$ , फिर $\lambda \neq 0$ के साथ $c'\lambda = 0$ ।

14. $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$ । व्यापक हल $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$ ; आरंभिक शर्तें $A + B = 1$ और $3A - 2B = 8$ देती हैं, अतः $A = 2$ , $B = -1$ :

u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .

जाँच: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$ ; $u_3 = 54 + 8 = 62 = u_2 + 6u_1 = 14 + 48$ ।

15. $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$ , और आगमन $C^n$ के साथ सूत्र दे देता है। इसके अतिरिक्त $\operatorname{tr} C = 0 + s = s$ और $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$ : अर्थात् सहचर आव्यूह का केली–हैमिल्टन बहुपद ठीक $D$ है।

16. $u_{n+3} = \alpha u_{n+2} + \beta u_{n+1} + \gamma u_n$ के किसी भी हल $u$ के लिए अवस्था-सदिश $v_n = (u_n, u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ $C_3 v_n = v_{n+1}$ संतुष्ट करते हैं (पहली दो पंक्तियाँ सरका देती हैं, और अंतिम पंक्ति पुनरावृत्ति लगाती है)। अतः

D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,

जिसके तीनों घटक $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ हैं ( $k = 0, 1, 2$ )। और चूँकि आरंभिक अवस्था $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ पूरे $K^3$ पर घूमती है (आरंभिक मान मुक्त हैं), अतः आव्यूह $D_3(C_3)$ हर सदिश को मार देता है: $D_3(C_3) = 0$ ।

17. $\deg R_n \leq 2$ के साथ $X^n = Q\,D_3 + R_n$ लिखिए और हर मूल पर मूल्यांकन कीजिए: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$ । अतः $R_n$ $\leq 2$ घात का ऐसा बहुपद है जो तीन भिन्न गाँठों $\lambda_i$ पर तीनों मानों $\lambda_i^n$ का अंतर्वेशन करता है: प्रमेय 8.23 की अद्वितीयता से $R_n = \sum_i \lambda_i^n L_i$ , जहाँ $(L_i)$ उन गाँठों का लाग्रांज आधार है। $C_3$ प्रतिस्थापित करने पर (प्रश्न 5 और 16):

C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),

जहाँ तीनों आव्यूह $L_i(C_3)$ $n$ से स्वतंत्र हैं: अतः $C_3^{\,n}$ की हर प्रविष्टि $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ का कोई नियत संयोजन है।

18. $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$ । व्यापक हल $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$ । आरंभिक शर्तें: $A + B + C = 0$ , $A - B + 2C = 1$ , $A + B + 4C = 1$ । तीसरी में से पहली घटाने पर: $3C = 1$ , $C = \frac13$ ; फिर $A + B = -\frac13$ और $A - B = \frac13$ : $A = 0$ , $B = -\frac13$ । इस प्रकार

u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}

(याकोब्स्टाल अंक)। जाँच: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 = 2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$ ।

19. $\lambda$ पर बहुपद $X^n$ का टेलर प्रसार:

X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,

और $k \geq 3$ वाले सभी पद $(X - \lambda)^3$ से विभाज्य हैं: अतः शेषफल है

R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .

$N^3 = 0$ के साथ $M = \lambda I + N$ के लिए: $(M - \lambda I)^3 = N^3 = 0$ , अतः प्रश्न 5 देता है

M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2 \lambda^{n-2} N^2 ,

जो ठीक $(\lambda I + N)^n$ का वही द्विपद प्रसार है, $N^2$ पर कटा हुआ — अर्थात् दोनों विधियाँ सहमत हैं।

20. हल-समष्टि की विमा $3$ है (प्रश्न 11 जैसा ही $(u_0, u_1, u_2)$ से प्राचलन), और हर $(\lambda_i^n)$ एक हल है। स्वतंत्रता: मान लीजिए $n = 0, 1, 2$ के लिए $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ । $i$ नियत कीजिए और $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ को उन गाँठों का वह लाग्रांज बहुपद लीजिए जिसके लिए $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ । तब

0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr) = \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .

अतः सभी $c_i = 0$ : विमा $3$ में तीन स्वतंत्र हल, यानी एक आधार; और व्यापक हल $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ है।

21. $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ से योग दूरबीनी हो जाता है:

\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

22. $F^{m+n} = F^m F^n$ की $(1,2)$ प्रविष्टि लीजिए: बायाँ पक्ष $F_{m+n}$ है; और दायाँ पक्ष ( $F^m$ की $1$ पंक्ति) गुणा ( $F^n$ का $2$ स्तंभ) है, अर्थात् $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$ । $m = n$ के साथ:

F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).

23. बिने से $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} = -\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$ , और $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 < 1$ , अतः

\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr| \leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12 \qquad (n \geq 0):

$F_n$ $\varphi^n/\sqrt5$ के सबसे निकट का पूर्णांक है।

24. $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ सरकाए हुए फ़िबोनाच्ची अनुक्रमों का संयोजन है, अतः वह वही पुनरावृत्ति संतुष्ट करता है: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ ; और $t_1 = F_2 + F_0 = 1$ , $t_2 = F_3 + F_1 = 3$ : ये लूका अंक $L_n$ हैं। अनुक्रम $\varphi^n + \psi^n$ ऐसा हल है जिसके पहले दो मान वही हैं ( $\varphi + \psi = 1$ , $\varphi^2 + \psi^2 = ( \varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$ ), अतः $L_n = \varphi^n + \psi^n$ । अंत में

F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n + \psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} = F_{2n},

जिससे प्रश्न 22 फिर से मिल जाता है।

25. (क) पाँचों आव्यूह $I, A, A^2, A^3, A^4$ $4$ -विमीय $\mathcal{M}_2(K)$ में रहते हैं, अतः $\leq 4$ घात का कोई न कोई अशून्य बहुपद $A$ को मार देता है; और भाग II ने इसे स्पष्ट द्विघातीय $A^2 = sA - pI$ तक तीक्ष्ण कर दिया, जो सभी घातों को समतल $\operatorname{Vect}(I, A)$ में बंद कर देता है। (ख) यूक्लिडीय भाग $X^n$ का उस द्विघातीय के सापेक्ष लघुकरण कर देता है, और शेषफल के दोनों गुणांक दो-पदीय पुनरावृत्ति $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ का पालन करते हैं: इस प्रकार घातांकन पुनरावृत्ति बन गया। (ग) प्रश्न 6 केली–हैमिल्टन प्रमेय की $n = 2$ वाली स्थिति है, जो हर विमा में मान्य है और स्नातक वर्ष 2 के खंड में सिद्ध की गई है। (घ) सहचर आव्यूह घेरा पूरा कर देता है: हर रैखिक पुनरावृत्ति किसी आव्यूह की घात है, और वही बहुपद $D$ अनुरेख-और-सारणिक के आँकड़ों के रूप में आ जाता है, अतः शेषफल-कलन एक ही झटके में पुनरावृत्तियाँ हल करता है और घातें संगणित करता है।