प्राचल परिवर्तन क्या है? — गणित

परिभाषा 18.2 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · 第 18 章 — वक्र

वर्ग $\mathcal{C}^k$ का प्राचल परिवर्तन अंतरालों के बीच कोई $\mathcal{C}^k$ अवकल समाकृतिकता $\theta \colon J \to I$ है (हर जगह $\theta' \neq 0$ )। चाप $\gamma$ और $\gamma \circ \theta$ तुल्य कहलाते हैं; ज्यामितीय चाप (या वक्र) कोई तुल्यता वर्ग है। प्राचल परिवर्तन के अंतर्गत निश्चर धारणाएँ — पथ, स्पर्श रेखा, चाप-लंबाई, वक्रता — ज्यामितीय कहलाती हैं।

示例

उदाहरण 18.4 (चाल ज्यामितीय रूप से कुछ नहीं बदलती)

इकाई वृत्त का प्राचलन इस प्रकार कीजिए:

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

चाल $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ रैखिक रूप से बढ़ती है, फिर भी

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

अर्थात् वही लंबाई जो अचर चाल पर मिलती — जैसा प्रमेय 18.7 वादा करती है, प्राचल परिवर्तन $t \mapsto t^2$ के द्वारा। स्पर्श रेखा, प्रतिज्ञप्ति 18.17 से परिकलित वक्रता, और हर दूसरी ज्यामितीय राशि भी मेल खाती है; केवल $t = 0$ एक नज़र का हक़दार है, जहाँ $\gamma'(0) = 0$ इस प्राचलन को अनियमित बना देता है यद्यपि पथ पूरा-पूरा वृत्त है। ज्यामितीय कथन बुरे प्राचलनों को बुरी तरह सहते हैं: पहले पुनःप्राचलन कीजिए, निष्कर्ष बाद में निकालिए।

उदाहरण 18.5

चाप $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ $\mathcal{C}^\infty$ है पर नियमित नहीं: $\gamma'(0) = (0, 0)$ । उसका पथ, अर्धघनीय परवलय $y^2 = x^3$ , मूल बिंदु पर एक उभयाग्र रखता है: प्राचलन की चिकनाई वहाँ ज्यामितीय विचित्रता नहीं रोकती जहाँ वेग लुप्त हो जाता है। इसीलिए नियमितता की परिकल्पना $\gamma' \neq 0$ केवल सजावट नहीं है।

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