संहत दूरिक समष्टि কী?

उदाहरण 4.17 (हाइने प्रमेय, संहतता के साथ और उसके बिना)

$\intcc{0}{1}$ पर फलन $x \mapsto x^2$ एकसमान संतत है — हाइने बिना किसी परिकलन के यह कह देती है, परंतु सीधा आकलन शिक्षाप्रद है:

अतः $\delta = \varepsilon/2$ सभी बिंदुओं के लिए एक साथ काम करता है। $\R$ पर वही फलन एकसमान संतत नहीं है: $x_n = n$ और $y_n = n + \frac1n$ लेने पर अंतर $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ रहता है जबकि $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$: अर्थात् कोई एक $\delta$ $\varepsilon = 1$ के लिए काम नहीं आता। कार्यविधि दिखाई देती है: स्थानीय लिप्शिट्स अचर $\abs{x + y}$ संहत पर परिबद्ध है और $\R$ पर अपरिबद्ध — और हाइने प्रमेय ठीक यही कहती है कि संहतता ऐसे स्थानीय अचरों पर एकसमान ढक्कन लगा देती है।

उदाहरण 4.19 (समुच्चयों के बीच दूरी: संहतता अपनी रोटी कमाती है)

किसी दूरिक समष्टि में मान लीजिए $K$ संहत है, $F$ संवृत है और $K \cap F = \emptyset$। तब

क्योंकि फलन $x \mapsto d(x, F)$ संतत है (अभ्यास 4.11) और $K$ पर धनात्मक ($d(x, F) = 0$ से $x \in \overline F = F$ हो जाता), अतः वह संहत $K$ पर धनात्मक निम्नतम प्राप्त कर लेता है (प्रमेय 4.16 (3))। संहतता सजावट नहीं है: दो संवृत समुच्चयों के लिए निम्नतम बिना प्राप्त हुए लुप्त हो सकता है — $\R^2$ में अतिपरवलय $F_1 = \{xy = 1\}$ और अक्ष $F_2 = \{y = 0\}$ असंयुक्त संवृत समुच्चय हैं और $d(F_1, F_2) = 0$ (बिंदु $(n, \frac1n)$ अक्ष के पास पहुँचते जाते हैं)। अनंत की ओर भाग निकलना ठीक वही है जिसे संहतता रोकती है।

उदाहरण 4.21 (एक $\varepsilon$-जाल, गिनकर)

पूर्ण परिबद्धता (प्रमेय 4.20 की उपपत्ति से) $\intcc{0}{1}$ पर बहुत मूर्त है: $\varepsilon > 0$ के लिए $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ पर केंद्रित त्रिज्या $\varepsilon$ के $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ गोले उसे आच्छादित कर लेते हैं — लगभग $\frac1{2\varepsilon}$ गोले, और कोई भी आच्छादन उनमें से $\frac{1}{2\varepsilon}$ से कम में काम नहीं चला सकता (हर गोला अधिकतम $2\varepsilon$ लंबाई ढकता है)। $\intcc01^2$ में यह गिनती वर्ग हो जाती है, अर्थात् कोटि $\varepsilon^{-2}$: आच्छादन-संख्याएँ विमा $d$ में $\varepsilon^{-d}$ की तरह बढ़ती हैं — यह संहतता का एक परिमाणात्मक चेहरा है, और यही कारण है कि अध्याय 5 के अनंत-विमीय इकाई गोले (जहाँ कोई परिमित $\frac13$-जाल है ही नहीं) संहत नहीं हो सकते।