विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

7पूर्ण समष्टियाँ: बेयर, आस्कोली, स्टोन–वाइरश्ट्रास

पूर्णता — अर्थात् प्रत्येक कोशी अनुक्रम का अभिसरित होना — वह गुण है जो विश्लेषण को वस्तुएँ उत्पन्न करने देता है: संकुचनों के स्थिर बिंदु, श्रेणियों के योग, सीमा के रूप में प्राप्त समीकरणों के हल। यह अध्याय मापीय सिद्धांत की तीन महान अस्तित्व-मशीनें जोड़ता है। बेयर की प्रमेय दिखाती है कि कोई पूर्ण समष्टि नगण्य टुकड़ों का गणनीय सम्मिलन नहीं हो सकती, और विशुद्ध गणनीयता जैसे तर्क से वस्तुएँ (संतत पर कहीं भी अनवकलनीय फलन!) प्रकट कर देती है। आर्ज़ेला–आस्कोली $\mathcal C(K)$ के संहत उपसमुच्चयों की पहचान कर देती है और विश्लेषण का संहतता-श्रमिक है — सप्ताहांत समस्या उससे अवकल समीकरणों के लिए पेआनो की अस्तित्व प्रमेय सिद्ध करती है। स्टोन–वाइरश्ट्रास दिखाती है कि बहुपद, और उनके अतिरिक्त बहुत कुछ, $\mathcal C(K)$ में सघन हैं: आसन्नन एक बीजीय सत्यापन बन जाता है। रास्ते में हम पूर्णन बनाते हैं और एकसमान संतत प्रतिचित्रणों के लिए विस्तार प्रमेय सिद्ध करते हैं, जो अध्याय 12, 13 और 14 की रोज की रोटी है।

7.1 पूर्ण समष्टियाँ, पूर्णन, विस्तार

परिभाषा 7.1

कोई मापीय समष्टि पूर्ण कहलाती है यदि उसका प्रत्येक कोशी अनुक्रम अभिसरित हो (दूसरा वर्ष: $\R^n$ पूर्ण है; $\norm\cdot_\infty$ के साथ $\mathcal C(\intcc01)$ पूर्ण है)। किसी पूर्ण समष्टि का संवृत उपसमुच्चय पूर्ण होता है; और किसी भी मापीय समष्टि का पूर्ण उपसमुच्चय संवृत होता है।

उपपत्ति. दोनों कथनों के लिए: संवृत $F$ का कोई कोशी अनुक्रम $X$ में अभिसरित होता है, और उसकी सीमा, $F$ की संलग्न होने के कारण, $F$ में ही होती है; और पूर्ण $A$ का $X$ में अभिसरित होने वाला कोई अनुक्रम कोशी है, अतः $A$ में अभिसरित होता है, और सीमाएँ अद्वितीय होती हैं। ∎

प्रमेय 7.2 (एकसमान संतत प्रतिचित्रणों का विस्तार)

मान लीजिए $D \subseteq X$ सघन है, $Y$ पूर्ण है, और $f \colon D \to Y$ एकसमान संतत। तब $f$ अद्वितीय रूप से किसी संतत $\bar f \colon X \to Y$ तक विस्तारित हो जाता है, और $\bar f$ एकसमान संतत होता है।

उपपत्ति. अद्वितीयता: दो संतत विस्तार सघन $D$ पर सहमत होते हैं, अतः सर्वत्र (सहमति समुच्चय $\{g = h\}$ संवृत है: $x\mapsto(g(x), h(x))$ के अंतर्गत संवृत विकर्ण का पूर्वप्रतिबिंब)। अस्तित्व: $x \in X$ के लिए $d_n \to x$ , $d_n \in D$ चुनिए। अनुक्रम $(f(d_n))$ कोशी है: $\varepsilon$ दिया हो तो एकसमान सांतत्य $d(u,v) < \delta \Rightarrow d(f(u), f(v)) < \varepsilon$ वाला $\delta$ दे देता है, और $(d_n)$ कोशी है। $\bar f(x) = \lim f(d_n)$ परिभाषित कीजिए; सीमा चुने गए अनुक्रम पर निर्भर नहीं करती (दो अनुक्रमों को गूँथ दीजिए)। $\bar f$ $f$ का विस्तार है (अचर अनुक्रम) और सांतत्य मापांक विरासत में पाता है: यदि $d(x, x') < \delta$ हो, तो दोनों को दूरी $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ पर $D$ के बिंदुओं से आसन्न करने पर सीमा में $d(\bar f(x), \bar f(x')) \leq \varepsilon$ मिलता है — अतः $\bar f$ एकसमान संतत है। ∎

प्रमेय 7.3 (पूर्णन)

प्रत्येक मापीय समष्टि $X$ किसी पूर्ण मापीय समष्टि $\hat X$ के सघन उपसमुच्चय के रूप में समदूरिक ढंग से अंतःस्थापित हो जाती है, और $X$ को बिंदुशः स्थिर रखने वाली समदूरीयता तक वह अद्वितीय है: यही उसका पूर्णन है।

उपपत्ति. अस्तित्व। मान लीजिए $\mathcal X$ $X$ के कोशी अनुक्रमों का समुच्चय है, जिस पर छद्म-दूरी

D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),

है; सीमा विद्यमान है क्योंकि $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)} \leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ वास्तविक अनुक्रम को कोशी बना देता है। $\hat X = \mathcal X/{\sim}$ लीजिए, जिसमें $D$ -दूरी $0$ वाले अनुक्रमों की पहचान कर दी गई है; $D$ उतरकर एक दूरी बन जाती है। $X$ को अचर अनुक्रमों द्वारा अंतःस्थापित कीजिए: यह समदूरीयता है और उसका प्रतिबिंब सघन है (किसी कोशी अनुक्रम का $D$ -आसन्नन उसके अपने ही पदों पर बने अचरों से हो जाता है: कोशीपन से $k \to \infty$ पर $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ )। $\hat X$ की पूर्णता: मान लीजिए $(\xi^k)$ $\hat X$ में कोशी है; सघनता से $D(\xi^k, x_k) \leq 2^{-k}$ वाले $x_k \in X$ चुनिए; तब $(x_k)$ $X$ में कोशी है ( $\xi$ से होकर त्रिभुज असमिका), जो एक बिंदु $\xi \in \hat X$ परिभाषित करता है, और $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (अचर $x_k$ से $(x_j)_j$ के वर्ग की दूरी $\lim_j d(x_k, x_j)$ है, जो बड़े $k$ के लिए छोटी है)।

अद्वितीयता: दो पूर्णन $\hat X_1, \hat X_2$ $X$ को सघन रूप से अंतर्विष्ट करते हैं; $X$ का तत्समक, जो एक समदूरीयता है, एकसमान संतत है, अतः $\hat X_1 \to \hat X_2$ तक विस्तारित हो जाता है (प्रमेय 7.2), और सघन समुच्चय पर समदूरीयता होने के कारण सर्वत्र समदूरीयता रहता है; सममित रूप से दूसरी दिशा में भी, और संयोजन सघन $X$ को स्थिर रखते हैं: अतः वे तत्समक हैं। ∎

प्रमेय 7.4 (बानाख स्थिर बिंदु)

मान लीजिए $X$ पूर्ण और अरिक्त है और $f \colon X \to X$ एक संकुचन: $k < 1$ के साथ $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ । तब $f$ का एक अद्वितीय स्थिर बिंदु $x^*$ होता है, और प्रत्येक कक्षा उस पर अभिसरित होती है, और स्पष्ट दर $d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$ के साथ।

उपपत्ति. (इसे दूसरे वर्ष में सिद्ध किया जा चुका है; स्वयंपूर्णता के लिए हम दो पंक्ति का तर्क फिर दर्ज कर देते हैं।) कक्षा $x_{n+1} = f(x_n)$ के लिए $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$ , अतः वह कोशी है (गुणोत्तर श्रेणी); उसकी सीमा $x^*$ स्थिर है ( $f$ का सांतत्य), और अद्वितीय है क्योंकि दो स्थिर बिंदु $d \leq k\,d$ को संतुष्ट करते हैं। दर: गुणोत्तर पुच्छ का योग लीजिए। ∎

उदाहरण 7.5 (तत्समक का विक्षोभ)

मान लीजिए $g \colon \R^d \to \R^d$ $k < 1$ के साथ $k$ -लिप्शिट्ज़ है। तब $\varphi = \mathrm{id} + g$ $\R^d$ की $\R^d$ पर समस्थितिकता है। एकैकीपन, एक मात्रात्मक मापांक सहित:

\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .

आच्छादकता स्थिर बिंदु प्रमेय है: $\varphi(x) = y$ हल करने का अर्थ है $x = y - g(x)$ , और $x \mapsto y - g(x)$ पूर्ण $\R^d$ का $k$ -संकुचन है — अतः प्रत्येक $y$ के लिए एक अद्वितीय हल $x = \psi(y)$ विद्यमान है। प्रदर्शित असमिका प्रतिलोम $\psi$ को नियतांक $\frac1{1-k}$ के साथ लिप्शिट्ज़ बना देती है: अर्थात् एक समस्थितिकता, जिसके दोनों मापांकों पर स्पष्ट परिबंध हैं। यह भोला-सा दिखने वाला कथन प्रतिलोम फलन प्रमेय (अध्याय 20) के भीतर का इंजन है: जिस बिंदु के निकट $Df$ व्युत्क्रमणीय है, वहाँ $f$ वस्तुतः एक व्युत्क्रमणीय रैखिक प्रतिचित्रण और एक छोटा लिप्शिट्ज़ विक्षोभ है, और शेष काम आज का उदाहरण कर देता है। यह सांख्यिक दृढ़ता को भी माप देता है: प्रतिलोम के अंतराल से कम विक्षुब्ध कोई निकाय हल्य बना रहता है, और हल विक्षोभ के अधिकतम $\frac{1}{1-k}$ गुना ही खिसकता है।

7.2 बेयर की प्रमेय

प्रमेय 7.6 (बेयर)

किसी पूर्ण मापीय समष्टि में सघन विवृत समुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेदन सघन होता है। समतुल्य रूप से: यदि $X = \bigcup_{n}F_n$ हो जहाँ प्रत्येक $F_n$ संवृत है, तो किसी $F_n$ का अंतःभाग अरिक्त होता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $(U_n)$ सघन विवृत हैं और $B_0 = B(x_0, r_0)$ कोई विवृत गोला; हम $B_0$ में $\bigcap U_n$ का कोई बिंदु ढूँढ़ते हैं। आगमन से: $U_{n}$ के सघन और विवृत होने से वह विवृत गोले $B_{n-1}$ से किसी विवृत समुच्चय में मिलता है, जो $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ और $\bar B(x_n, r_n) \subseteq B_{n-1}\cap U_n$ वाले किसी संवृत गोले $\bar B(x_n, r_n)$ को अंतर्विष्ट करता है। केंद्र एक कोशी अनुक्रम बनाते हैं ( $m \geq n$ के लिए $x_m \in B_n$ , त्रिज्याएँ $\to 0$ ); सीमा $x$ प्रत्येक $\bar B(x_n, r_n)$ में होती है (संवृतता), अतः प्रत्येक $U_n$ में और $B_0$ में भी। दूसरे रूप के लिए: यदि किसी $F_n$ का अंतःभाग न हो, तो $U_n = X \setminus F_n$ विवृत और सघन हैं, और $\bigcap U_n$ का कोई बिंदु $\bigcup F_n = X$ से बच निकलता है: निरर्थक। ∎

टिप्पणी 7.7

शब्दावली: कोई समुच्चय कहीं सघन नहीं कहलाता है यदि उसकी संवृति का अंतःभाग रिक्त हो, और क्षीण (प्रथम श्रेणी का) यदि वह कहीं सघन नहीं समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन हो। बेयर: कोई पूर्ण मापीय समष्टि अपने आप में क्षीण नहीं होती, और किसी क्षीण समुच्चय का पूरक सघन होता है। “क्षीण” छोटेपन की ऐसी धारणा है जो माप के लंबवत है (अध्याय 9 पूरे माप वाले क्षीण समुच्चय बना देगा), और बेयर के तर्क प्रचुरता से अस्तित्व सिद्ध करते हैं: गुण P न रखने वाली एक वस्तु प्रस्तुत करने के लिए दिखाइए कि P वाली वस्तुएँ एक क्षीण समुच्चय बनाती हैं।

उपप्रमेय 7.8

(क) $\R$ अगणनीय है। (ख) $\Q$ $\R$ के विवृत उपसमुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेदन नहीं है, और विविक्त बिंदुओं के बिना कोई अरिक्त पूर्ण मापीय समष्टि अगणनीय होती है।

उपपत्ति. (क) किसी गणनीय समुच्चय पर $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ से किसी एकल-अवयवी समुच्चय का अंतःभाग बन जाता। (ख) यदि विवृत $V_n$ (जो अनिवार्यतः सघन हैं, क्योंकि $\supseteq \Q$ ) के साथ $\Q = \bigcap_n V_n$ हो, तो समुच्चय $V_n$ और पूरक $\R\setminus\{q\}$ , $q \in \Q$ , सघन विवृत समुच्चयों का ऐसा गणनीय कुल बनाते हैं जिसका प्रतिच्छेदन रिक्त है — जो बेयर का खंडन है। यदि $X$ विविक्त बिंदुओं के बिना पूर्ण और गणनीय हो, तो $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ उसे रिक्त अंतःभाग वाले संवृत समुच्चयों के गणनीय सम्मिलन के रूप में प्रस्तुत कर देता है (कोई विविक्त बिंदु नहीं): फिर बेयर। ∎

प्रमेय 7.9 (वाइरश्ट्रास के राक्षस विद्यमान हैं)

$\intcc01$ पर ऐसे संतत फलन विद्यमान हैं जो किसी भी बिंदु पर अवकलनीय नहीं हैं। वस्तुतः, ऐसे $f \in \mathcal C(\intcc01)$ का समुच्चय जिनका एक भी बिंदु पर (परिमित) अवकलज हो, $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$ में क्षीण है।

उपपत्ति. $n \geq 1$ के लिए मान लीजिए

F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\ \forall h \neq 0 \text{ जिसके लिए } x + h \in \intcc01,\ \abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.

यदि $f$ $x$ पर अवकलनीय हो, तो किसी $n$ के लिए $f \in F_n$ : भागफल $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ $\abs h \leq \delta$ के लिए परिबद्ध है (अवकलनीयता: वह $\abs{f'(x)}$ की ओर जाता है) और $\abs h \geq \delta$ के लिए $2\norm f_\infty/\delta$ से परिबद्ध। अतः $\bigcup F_n$ समस्त कहीं-न-कहीं अवकलनीय फलनों को अंतर्विष्ट करता है, और केवल यह दिखाना पर्याप्त है कि प्रत्येक $F_n$ संवृत है और उसका अंतःभाग रिक्त है।

संवृत: मान लीजिए एकसमान रूप से $f_k \to f$ , और साक्षियों $x_k \to x$ के साथ $f_k \in F_n$ (संहतता, निष्कर्षण के बाद)। $x + h \in \intcc01$ वाले $h$ के लिए: $x_k + h_k \in \intcc01$ वाला $h_k \to h$ चुनिए (उदाहरणार्थ काटा हुआ $h_k = h + x - x_k$ ); तब एकसमान अभिसरण और संगत बिंदुओं पर $f$ के सांतत्य का उपयोग करते हुए $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)} \leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$ : अतः $f \in F_n$ ।

रिक्त अंतःभाग: $f \in F_n$ और $\varepsilon > 0$ दिए हों, तो हम $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ और $g \notin F_n$ वाला $g$ ढूँढ़ते हैं। पहले $f$ का $\varepsilon/2$ के भीतर किसी खंडशः आफ़ीन $\varphi$ से आसन्नन कीजिए (एकसमान सांतत्य: किसी सूक्ष्म जालिका पर अंतर्वेशन कीजिए), जिसकी ढालें किसी $M$ से परिबद्ध हों। अब एक छोटा आरादंत जोड़िए: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$ , जहाँ $s_N(x)$ आयाम $1$ और ढाल $\pm 2N$ वाला $\frac1N$ -आवर्ती टेढ़ा-मेढ़ा फलन है। प्रत्येक $x$ पर, किसी एक ओर मनमाना छोटा $h$ ऐसा है कि आरादंत $[x, x+h]$ पर ढाल $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 = \pm\varepsilon N$ का योगदान देता है: अतः बड़े $N$ के लिए $g$ का अंतर भागफल $\varepsilon N - M > n$ से अधिक हो जाता है। इसलिए $g \notin F_n$ , और यह $f$ से किसी भी एकसमान दूरी $\leq \varepsilon$ पर। निष्कर्ष: $\bigcup F_n$ क्षीण है; और बेयर से उसका पूरक — जो कहीं भी अनवकलनीय फलनों से बना है — $\mathcal C(\intcc01)$ में सघन है: ऐसे फलन प्रचुरता में विद्यमान हैं। ∎

7.3 आर्ज़ेला–आस्कोली

आगे सर्वत्र $K$ एक संहत मापीय समष्टि है और $\norm f_\infty = \sup_K \norm{f(x)}$ के साथ $\mathcal C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$ : एक पूर्ण समष्टि (संतत फलनों की एकसमान सीमाएँ संतत होती हैं — दूसरा वर्ष)।

परिभाषा 7.10

कोई कुल $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ समसंतत कहलाता है यदि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{\emph{सभी} } f \in \mathcal F \text{ के लिए}

(पूरे कुल के लिए एक ही $\delta$ — उदाहरणार्थ उभयनिष्ठ लिप्शिट्ज़ नियतांक वाला कोई कुल, अथवा उभयनिष्ठ होल्डर मापांक वाला), और बिंदुशः परिबद्ध यदि प्रत्येक $x$ के लिए $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ हो।

प्रमेय 7.11 (आर्ज़ेला–आस्कोली)

कोई उपसमुच्चय $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ सापेक्षतः संहत है (उसकी संवृति संहत है) तभी और केवल तभी जब वह समसंतत और बिंदुशः परिबद्ध हो। विशेष रूप से, प्रत्येक समसंतत, बिंदुशः परिबद्ध अनुक्रम का कोई एकसमान अभिसारी उपानुक्रम होता है।

उपपत्ति. ( $\Leftarrow$ ) मान लीजिए $(f_k)$ $\mathcal F$ का कोई अनुक्रम है। संहत मापीय $K$ पृथक्करणीय है: प्रत्येक $n$ के लिए त्रिज्या $\frac1n$ के परिमित संख्या के गोले $K$ को आच्छादित कर देते हैं (प्रमेय 6.16); उनके केंद्र एक गणनीय सघन समुच्चय $D = \{x_1, x_2, \dots\}$ बनाते हैं। बिंदुशः परिबद्धता और बोलत्सानो–वाइरश्ट्रास से क्रमशः $x_1$ पर, फिर $x_2$ पर भी, अभिसरित होने वाले उपानुक्रम निकालिए, इत्यादि, और विकर्ण उपानुक्रम $(g_j)$ लीजिए: वह $D$ के प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होता है। समसांतत्य इसे एकसमान कोशीपन तक उठा देता है: $\varepsilon$ दिया हो तो परिभाषा के अनुसार $\delta$ लीजिए, $K$ को $x_i \in D$ ( $i \leq m$ ) वाले परिमित संख्या के गोलों $B(x_i, \delta)$ से आच्छादित कीजिए, और इतना बड़ा $J$ चुनिए कि $j, j' \geq J$ , $i \leq m$ के लिए $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ हो। मनमाने $x \in B(x_i, \delta)$ के लिए:

\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)} \leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} + \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .

अतः $(g_j)$ एकसमान कोशी है और पूर्ण $\mathcal C(K)$ में अभिसरित होता है। इस प्रकार $\mathcal F$ के प्रत्येक अनुक्रम का कोई अभिसारी उपानुक्रम है: अर्थात् $\bar{\mathcal F}$ (अनुक्रमीय रूप से, और इसलिए प्रमेय 6.16 से) संहत है।

( $\Rightarrow$ ) यदि $\bar{\mathcal F}$ संहत हो: बिंदुशः परिबद्धता स्पष्ट है (मान-निर्धारण संतत है)। समसांतत्य के लिए $\mathcal F$ को $\mathcal C(K)$ के परिमित संख्या के गोलों $B(f_i, \varepsilon)$ से आच्छादित कीजिए; प्रत्येक $f_i$ एकसमान संतत है (हाइने, उपप्रमेय 6.17), जिससे $i \leq m$ के लिए एक उभयनिष्ठ $\delta$ मिलता है; तब $f \in B(f_i, \varepsilon)$ और $d(x,y) < \delta$ के लिए $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon + \norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$ । ∎

उदाहरण 7.12

$\mathcal C(\intcc01)$ का संवृत इकाई गोला संहत नहीं है ( $f_n(x) = x^n$ का कोई एकसमान अभिसारी उपानुक्रम नहीं है: बिंदुशः सीमा असंतत है), और वस्तुतः $(x^n)$ $1$ पर समसंतत नहीं है। इसके विपरीत $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ संहत है: परिबद्ध, $1$ -लिप्शिट्ज़-समसंतत, और संवृत। आस्कोली समझा देती है कि अनंत विमा में संहतता क्यों विफल हो जाती है (रीस, दूसरा वर्ष) और उसे बहाल करने के लिए क्या जोड़ना पड़ता है: एक एकसमान सांतत्य मापांक।

7.4 स्टोन–वाइरश्ट्रास

प्रमेयिका 7.13 (दीनी)

मान लीजिए $K$ संहत है और $(f_n)$ संतत वास्तविक फलनों का ऐसा एकदिष्ट अनुक्रम है जो किसी संतत $f$ पर बिंदुशः अभिसरित होता है। तब अभिसरण एकसमान है।

उपपत्ति. मान लीजिए $f_n \uparrow f$ ; तब $g_n = f - f_n \downarrow 0$ संतत है। $\varepsilon$ दिया हो, तो विवृत समुच्चय $U_n = \{g_n < \varepsilon\}$ बढ़ते जाते हैं और $K$ को आच्छादित करते हैं (बिंदुशः अभिसरण); कोई परिमित उपआवरण निकालिए: किसी $n_0$ के लिए $K = U_{n_0}$ (बढ़ता हुआ कुल), अर्थात् $n \geq n_0$ के लिए सर्वत्र $0 \leq g_n < \varepsilon$ । ∎

प्रमेयिका 7.14

ऐसे बहुपदों $u_n$ का एक अनुक्रम है जिसके लिए $\intcc01$ पर एकसमान रूप से $u_n(t) \to \sqrt t$ हो।

उपपत्ति. $u_0 = 0$ , $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t - u_n(t)^2\bigr)$ परिभाषित कीजिए: ये बहुपद हैं। $\intcc01$ पर आगमन से $0 \leq u_n(t) \leq \sqrt t$ : $n$ के लिए इसे मानकर,

\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr) \Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,

क्योंकि $\sqrt t + u_n \leq 2$ ; और $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$ । अतः $(u_n(t))$ अनवरोही है और $\sqrt t$ से परिबद्ध: वह बिंदुशः अभिसरित होता है, और सीमा $\ell(t)$ $\ell = \ell + \frac12(t - \ell^2)$ को संतुष्ट करती है: अर्थात् $\ell(t) = \sqrt t$ , जो संतत है। दीनी (प्रमेयिका 7.13) इसे एकसमान तक उठा देती है। ∎

प्रमेय 7.15 (स्टोन–वाइरश्ट्रास, वास्तविक रूप)

मान लीजिए $K$ एक संहत (हाउसडॉर्फ) समष्टि है और $\mathcal A \subseteq \mathcal C(K, \R)$ ऐसा उपबीजगणित (योग, गुणनफल और अदिश गुणजों के अंतर्गत स्थिर) है जो अचरों को अंतर्विष्ट करता है और बिंदुओं को पृथक करता है ( $x \neq y$ के लिए किसी $f \in \mathcal A$ के लिए $f(x) \neq f(y)$ )। तब $\mathcal A$ $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$ में सघन है।

उपपत्ति. मान लीजिए $\bar{\mathcal A}$ उसकी संवृति है, जो पुनः एक बीजगणित है (परिबद्ध समुच्चयों पर एकसमान सीमाओं के गुणनफल अभिसरित होते हैं)।

चरण 1: $\bar{\mathcal A}$ एक जालक है, अर्थात् $\max$ और $\min$ के अंतर्गत स्थिर। चूँकि $\max(f,g) = \frac{f + g + \abs{f-g}}2$ और वैसे ही $\min$ , इतना ही पर्याप्त है कि $f \in \bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$ : $M = \norm f_\infty > 0$ के साथ $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$ , और प्रमेयिका 7.14 से ऐसे बहुपद $u_n$ मिलते हैं जिनके लिए एकसमान रूप से $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ ; और बीजगणित के सदस्यों के बहुपद (अचर पद सहित: अचर वहाँ हैं ही) $\bar{\mathcal A}$ में ही रहते हैं।

चरण 2: दो-बिंदु अंतर्वेशन। $x \neq y$ और $a, b \in \R$ के लिए किसी $g \in \mathcal A$ के लिए $g(x) = a$ , $g(y) = b$ : $x, y$ को पृथक करने वाला $h$ लीजिए और $g = a + (b - a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$ रखिए।

चरण 3. मान लीजिए $f \in \mathcal C(K)$ , $\varepsilon > 0$ । प्रत्येक युग्म $x, y$ के लिए $g_{x,y}(x) = f(x)$ , $g_{x,y}(y) = f(y)$ वाला $g_{x,y} \in \mathcal A$ चुनिए (चरण 2; $x = y$ के लिए अचर फलन $g_{x,x} = f(x)$ लीजिए)। $x$ स्थिर कीजिए: प्रत्येक $y$ के लिए विवृत समुच्चय $V_y = \{g_{x,y} < f + \varepsilon\}$ $y$ को अंतर्विष्ट करता है; संहतता से $K = \bigcup V_{y_j}$ वाले $y_1, \dots, y_m$ निकल आते हैं, और $h_x = \min_j g_{x, y_j} \in \bar{\mathcal A}$ (चरण 1) सर्वत्र $h_x < f + \varepsilon$ को संतुष्ट करता है, तथा $h_x(x) = f(x)$ । अब $x$ को बदलिए: $W_x = \{h_x > f - \varepsilon\}$ विवृत है और $x$ को अंतर्विष्ट करता है; $K$ को आच्छादित करने वाले $x_1, \dots, x_l$ निकालिए, और $h = \max_i h_{x_i} \in \bar{\mathcal A}$ $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$ को संतुष्ट करता है: अतः $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$ । इसलिए $f \in \bar{\mathcal A}$ । ∎

उपप्रमेय 7.16

(क) (वाइरश्ट्रास) बहुपद $\mathcal C(\intcc ab, \R)$ में सघन हैं; और संहत $K \subseteq \R^n$ के लिए $n$ चरों के बहुपद $\mathcal C(K, \R)$ में सघन हैं। (ख) (सम्मिश्र रूप) यदि $\mathcal A \subseteq \mathcal C(K, \C)$ ऐसा उपबीजगणित हो जो अचरों को अंतर्विष्ट करता हो, बिंदुओं को पृथक करता हो, और संयुग्मन के अंतर्गत स्थिर हो, तो वह सघन है। (ग) (त्रिकोणमितीय रूप) त्रिकोणमितीय बहुपद $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ $\norm\cdot_\infty$ के साथ संतत $2\pi$ -आवर्ती फलनों की समष्टि में सघन हैं।

उपपत्ति. (क) बहुपद अचरों सहित एक बीजगणित बनाते हैं; और निर्देशांक फलन $\R^n$ के बिंदुओं को पृथक करते हैं। (ख) $\mathcal A$ के सदस्यों के वास्तविक और काल्पनिक भाग $\frac{f + \bar f}2$ , $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ अचरों सहित एक वास्तविक बीजगणित $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ बनाते हैं; वह बिंदुओं को पृथक करता है ( $f(x) \ne f(y)$ से $\operatorname{Re}f$ या $\operatorname{Im}f$ का पृथक करना अनिवार्य हो जाता है)। वास्तविक प्रमेय लगाइए और पुनः जोड़ लीजिए। (ग) $2\pi$ -आवर्ती फलनों को $\mathcal C(S^1, \C)$ के रूप में देखिए ( $S^1 = \R/2\pi\Z$ , जो संहत है: अभ्यास 6.5); $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ और अचरों से जनित बीजगणित संयुग्मन के अंतर्गत स्थिर है और वृत्त के बिंदुओं को पृथक करता है ( $\eu^{\iu t}$ उस पर एकैकी है)। अब (ख) लगाइए। ∎

टिप्पणी 7.17

त्रिकोणमितीय रूप दूसरे वर्ष के फूरिये अध्याय में छूटे अंतर की मरम्मत कर देता है, और उसका विशाल सामान्यीकरण भी: $(\mathcal C(S^1), \norm\cdot_2)$ में त्रिकोणमितीय बहुपदों की सघनता उससे और भी सहजता से निकल आती है (मानकीकरण नियतांक तक $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ ), जिससे फूरिये निकाय अध्याय 13 में एक प्रसामान्य लांबिक आधार बन जाएगा और अंततः पार्सेवाल पूरी व्यापकता में सिद्ध हो जाएगा।

7.5 अभ्यास

अभ्यास 7.1 ★

(क) दर्शाइए कि $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ के साथ $\mathcal C(\intcc01, \R)$ पूर्ण नहीं है: $\intcc0{\frac12}$ पर $0$ के बराबर, $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$ पर $1$ के बराबर और बीच में आफ़ीन फलन $f_n$ $\norm\cdot_1$ -कोशी हैं पर उनकी कोई संतत सीमा नहीं है। (ख) दर्शाइए कि जिस मानकित समष्टि में प्रत्येक निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणी अभिसरित होती है वह पूर्ण होती है। (किसी कोशी अनुक्रम से $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ वाला उपानुक्रम निकालिए।)

हल

हल — अभ्यास 7.1.

(क) $m \geq n$ के लिए $f_n - f_m$ लंबाई $\frac1n$ के किसी अंतराल के बाहर लुप्त हो जाता है और $1$ से परिबद्ध है: $\norm{f_n - f_m}_1 \leq \frac1n \to 0$ : अतः कोशी। यदि संतत $f$ के साथ $\norm\cdot_1$ में $f_n \to f$ हो: तो स्थिर $\alpha < \frac12$ के लिए $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f - f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ (बड़े $n$ के लिए वहाँ $f_n \equiv 0$ ), अतः $[0, \frac12)$ पर $f \equiv 0$ (सांतत्य); और इसी प्रकार $(\frac12, 1]$ पर $f \equiv 1$ : कोई संतत फलन दोनों नहीं कर सकता। अतः यह समष्टि अपूर्ण है — उसका पूर्णन $L^1$ है, जो अध्याय 12 में बनाया गया है।

(ख) मान लीजिए $(x_n)$ कोशी है; $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ वाले $n_1 < n_2 < \cdots$ चुनिए। श्रेणी $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है, अतः अभिसरित होती है; उसके आंशिक योग $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$ हैं, इसलिए $(x_{n_k})$ अभिसरित होता है, और अभिसारी उपानुक्रम वाला कोई कोशी अनुक्रम अभिसरित होता है।

अभ्यास 7.2 ★

बेयर का उपयोग करते हुए: (क) दर्शाइए कि किसी पूर्ण मानकित समष्टि का कोई गणनीय (बीजीय) आधार नहीं होता — इससे निष्कर्ष निकालिए कि बहुपदों की समष्टि किसी भी मानक के लिए पूर्ण नहीं है; (ख) दर्शाइए कि यदि संतत $f_n \colon \R \to \R$ का कोई अनुक्रम बिंदुशः $f$ पर अभिसरित हो, तो $f$ के सांतत्य बिंदुओं का समुच्चय सघन है। ((ख) के लिए: यह स्वीकार कीजिए या सिद्ध कीजिए कि $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_x f < \delta\}$ विवृत है, और $\R$ को आच्छादित करने वाले संवृत समुच्चयों $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\ \forall n,m \geq N\}$ का उपयोग करके उसे सघन दिखाइए; बेयर लगाने के लिए किसी मनमाने संवृत गोले में कार्य कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 7.2.

(क) मान लीजिए $E$ बीजीय आधार $(e_n)_{n\in\N}$ के साथ पूर्ण है, और $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$ लीजिए: यह संवृत है (परिमित-विमीय उपसमष्टियाँ पूर्ण, अतः संवृत होती हैं — दूसरा वर्ष), और उसका अंतःभाग रिक्त है: यदि $B(x, r) \subseteq F_n$ हो, तो $v \notin F_n$ लीजिए; तब $x + \frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r) \setminus F_n$ , जो असंगत है। पर $E = \bigcup F_n$ (प्रत्येक सदिश कोई परिमित संचय है): यह बेयर (प्रमेय 7.6) का खंडन करता है। समष्टि $\R[X]$ का गणनीय आधार $(X^n)$ है, अतः कोई भी मानक उसे पूर्ण नहीं बना सकता।

(ख) $\delta > 0$ और कोई अरिक्त विवृत गोला $B$ स्थिर कीजिए; हम $B$ में $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf < \delta\}$ का कोई बिंदु ढूँढ़ते हैं, जहाँ $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni x}\operatorname{diam} f(V)$ । ( $\Omega_\delta$ विवृत है: यदि किसी विवृत $V \ni x$ के लिए $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ हो, तो प्रत्येक $y \in V$ का दोलन $< \delta$ होता है।) समुच्चय

F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\ \ \forall\, n, m \geq N \bigr\}

संवृत हैं (संवृत समुच्चयों के पूर्व-प्रतिबिंबों के प्रतिच्छेद) और $\R$ को आच्छादित करते हैं (बिंदुशः अभिसरण $(f_n(x))$ को कोशी बना देता है)। पूर्ण $\bar B$ के भीतर बेयर लगाने पर: कोई $F_N \cap \bar B$ किसी गोले $B' = B(x_0, \rho)$ को धारण करता है। $m \to \infty$ लेने पर: $B'$ पर $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$ । $x_0$ पर $f_N$ की सांतत्य से $B'' \ni x_0$ तक सिकोड़िए जहाँ $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$ ; तब $x \in B''$ के लिए

\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) - f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$ , अतः $x_0 \in \Omega_{3\delta} \cap B$ । इस प्रकार प्रत्येक $\Omega_\delta$ विवृत और सघन है; और बेयर से $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — अर्थात् सांतत्य बिंदुओं का समुच्चय — सघन है।

अभ्यास 7.3 ★★

(क) दर्शाइए कि $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ ( $a > 1$ ) $[\sqrt a, +\infty)$ का संकुचन है और उसका स्थिर बिंदु पहचानिए — हेरोन की विधि। $a = 2$ के लिए $x_0 = a$ से आरंभ करके $10^{-12}$ -यथार्थता के लिए पुनरावृत्तियों की संख्या आँकिए। (ख) (केपलर समीकरण) $0 \leq e < 1$ और $m \in \R$ के लिए दर्शाइए कि $x = m + e\sin x$ का एक अद्वितीय हल है, जो $m$ पर संततता से निर्भर करता है।

हल

हल — अभ्यास 7.3.

(क) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ $[\sqrt a, \infty)$ को स्वयं पर भेजता है (समांतर माध्य–गुणोत्तर माध्य: $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$ ), और वहाँ $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$ : अर्थात् किसी संवृत (पूर्ण) समुच्चय का $\frac12$ -लिपशित्ज़ संकुचन। स्थिर बिंदु: $x = f(x) \iff x^2 = a$ : $x^* = \sqrt a$ । दर (प्रमेय 7.4): $d(x_n, \sqrt a) \leq 2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$ । $a = 2$ , $x_0 = 2$ के लिए: $d(x_1, x_0) = \frac12$ , अतः $n = 40$ $2^{-40} < 10^{-12}$ की प्रत्याभूति देता है। (वास्तव में न्यूटन की विधि द्विघातीय रूप से अभिसरित होती है: मुट्ठी भर पुनरावृत्तियाँ पर्याप्त हैं; संकुचन आकलन निराशावादी है पर मुफ़्त।)

(ख) $f_m(x) = m + e\sin x$ पूर्ण $\R$ पर $e < 1$ के साथ $e$ -लिपशित्ज़ है: अतः अद्वितीय स्थिर बिंदु $x(m)$ । दो प्राचलों के लिए:

\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))} \leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},

अतः $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$ : अर्थात् $m$ में लिपशित्ज़ तक।

अभ्यास 7.4 ★★

(क) मान लीजिए $X$ पूर्ण है और $f \colon X \to X$ ऐसा है कि उसकी कोई पुनरावृत्ति $f^p$ संकुचन है। दर्शाइए कि $f$ का एक अद्वितीय स्थिर बिंदु है। अनुप्रयोग: $\mathcal C(\intcc0a)$ पर समाकल संकारक $T$ , $Tf(x) = \int_0^x f$ , $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ को संतुष्ट करता है — इससे निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $\lambda$ के लिए $u = g + \lambda Tu$ हल्य है। (ख) (एडेलश्टाइन) मान लीजिए $K$ संहत है और $f\colon K \to K$ ऐसा कि $x \neq y$ के लिए $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ । दर्शाइए कि $f$ का एक अद्वितीय स्थिर बिंदु है, पर संकुचन दर खो सकती है: $X = [1, +\infty)$ (पूर्ण, पर संहत नहीं) पर $f(x) = x + \frac1x$ का कोई स्थिर बिंदु नहीं है, यद्यपि वह दूरियाँ कड़ाई से घटाता है।

हल

हल — अभ्यास 7.4.

(क) मान लीजिए $x^*$ $f^p$ का अद्वितीय स्थिर बिंदु है। तब $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$ : अतः $f(x^*)$ $f^p$ का स्थिर बिंदु है, इसलिए $f(x^*) = x^*$ । $f$ का कोई स्थिर बिंदु $f^p$ का भी होता है: अद्वितीयता अंतरित हो जाती है। $T$ के लिए: आगमन से $\abs{T^pf(x)} \leq \norm f_\infty x^p/p!$ (प्रत्येक समाकलन एक गुणक $\frac xk$ जोड़ता है), अतः $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ । प्रतिचित्रण $S(u) = g + \lambda Tu$ $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$ संतुष्ट करता है, जिसका मानक $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$ है: अतः कोई $S^p$ संकुचन है, और $S$ का कोई अद्वितीय स्थिर बिंदु है: अर्थात् वोल्तेरा समीकरण $u = g + \lambda Tu$ प्रत्येक $\lambda$ के लिए अद्वितीय रूप से हल-योग्य है।

(ख) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ संहत $K$ पर संतत है: अतः वह किसी $x_0$ पर अपना निम्निष्ठ प्राप्त कर लेता है। यदि $f(x_0) \neq x_0$ हो, तो $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) = \min\varphi$ : असंगत। अद्वितीयता: दो स्थिर बिंदु $x \ne y$ $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ दे देते। संहतता के बिना: $[1, \infty)$ पर $f(x) = x + \frac1x$ $x < y$ के लिए $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) < y - x$ संतुष्ट करता है, फिर भी सदैव $f(x) > x$ : कोई स्थिर बिंदु नहीं — कड़ाई से दूरी घटना किसी एकसमान संकुचन गुणक से दुर्बल है।

अभ्यास 7.5 ★★

(क) किसी हाउसडॉर्फ समष्टि में जाने वाले दो संतत प्रतिचित्रण जो किसी सघन उपसमुच्चय पर सहमत हों सर्वत्र सहमत होते हैं; इस अध्याय में इसका उपयोग कहाँ हुआ? (ख) मान लीजिए $D \subseteq X$ सघन है और $f \colon D \to Y$ पूर्ण $Y$ के किसी सघन उपसमुच्चय पर एक समदूरिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण, जहाँ $X$ पूर्ण है। दर्शाइए कि $f$ किसी समदूरिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $X \to Y$ तक विस्तारित हो जाता है। इससे पूर्णनों की अद्वितीयता पुनः निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 7.5.

(क) समुच्चय $A = \{g = h\}$ संतत $x \mapsto (g(x), h(x))$ के अंतर्गत विकर्ण $\Delta_Y$ का पूर्व-प्रतिबिंब है; और $\Delta_Y$ संवृत है क्योंकि $Y$ हाउसडॉर्फ है ( $y_1 \neq y_2$ के लिए असंयुक्त विवृत प्रतिवेश $(y_1, y_2)$ के चारों ओर विकर्ण से असंयुक्त कोई विवृत बक्सा देते हैं, अतः $\Delta_Y$ का पूरक विवृत है): इसलिए $A$ संवृत है, किसी सघन समुच्चय को धारण करता है, और $X$ के बराबर है। उपयोग: प्रमेय 7.2 में अद्वितीयता, अतः पूर्णनों की अद्वितीयता में।

(ख) $f$ , जो कोई समदूरीयता है, एकसमान रूप से संतत है: अतः वह $F\colon X \to Y$ (प्रमेय 7.2) तक बढ़ जाती है और समदूरीय बनी रहती है (संबंध $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ युग्मों के किसी सघन समुच्चय पर लागू है और दोनों पक्ष संतत हैं)। इसी प्रकार $f^{-1}\colon f(D) \to X$ $G \colon Y \to X$ तक बढ़ जाती है। संयोजन $G \circ F$ संतत है और सघन $D$ को स्थिर रखता है: अतः वह $\mathrm{id}_X$ है (भाग (क)); और सममित रूप से $F \circ G = \mathrm{id}_Y$ । इसलिए $F$ कोई समदूरीय एकैकी आच्छादन है। पूर्णनों की अद्वितीयता: इसे दो पूर्णनों में सघन रूप से बैठे $D = X$ पर लगाइए।

अभ्यास 7.6 ★★

निम्नलिखित में से कौन-से कुल $\mathcal C(\intcc01)$ में समसंतत, बिंदुशः परिबद्ध और सापेक्षतः संहत हैं?

\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad \{x \mapsto x^n\}_n,

\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\ \norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad \{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.

प्रत्येक उत्तर को आस्कोली से अथवा किसी प्रतिउदाहरण अनुक्रम से उचित ठहराइए।

हल

हल — अभ्यास 7.6.

$\{\sin(nx)\}$ : $1$ से बिंदुशः परिबद्ध; पर समसंतत नहीं: $x = 0$ पर $\frac\pi{2n} \to 0$ के साथ $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ , जो $\varepsilon = \frac12$ के लिए किसी भी उभयनिष्ठ $\delta$ का उल्लंघन करता है। अतः सापेक्षतः संहत नहीं (आस्कोली की आवश्यकता, प्रमेय 7.11)।

$\{x^n\}$ : परिबद्ध; $1$ पर समसंतत नहीं: स्थिर $\delta$ के लिए $n \to \infty$ पर $1 - (1 - \delta)^n \to 1$ । सापेक्षतः संहत नहीं — और संगत रूप से, उसकी बिंदुशः सीमा असंतत है, अतः कोई उपानुक्रम एकसमान रूप से अभिसरित नहीं होता।

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$ : माध्य मान असमिका कुल को $1$ -लिपशित्ज़ बना देती है, अतः समसंतत; और परिबद्ध: इसलिए आस्कोली से सापेक्षतः संहत। (संहत नहीं: वह संवृत नहीं है — एकसमान सीमाओं का $\mathcal C^1$ होना आवश्यक नहीं; उसका संवरण मानक $\leq 1$ वाले $1$ -लिपशित्ज़ फलन हैं।)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$ : समसंतत; बिंदुशः परिबद्ध ( $\abs{f(x)} \leq x \leq 1$ ); और एकसमान सीमाओं के अंतर्गत संवृत (लिपशित्ज़ असमिका और $0$ पर मान सीमाओं तक चले जाते हैं): अतः संहत।

अभ्यास 7.7 ★★★

(संहत समाकल संकारक) मान लीजिए $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ और $f \in \mathcal C(\intcc01)$ के लिए $Tf(x) = \int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$ । (क) दर्शाइए कि $T$ $\mathcal C(\intcc01)$ के इकाई गोले को किसी समसंतत, एकसमान परिबद्ध समुच्चय पर भेजता है; निष्कर्ष निकालिए कि $T$ एक संहत संकारक है: परिबद्ध समुच्चयों के प्रतिबिंब सापेक्षतः संहत होते हैं। (ख) इससे निष्कर्ष निकालिए कि यदि $(f_n)$ परिबद्ध हो, तो $(Tf_n)$ का कोई एकसमान अभिसारी उपानुक्रम है, और यह कि $T$ संतत प्रतिलोम वाला एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण नहीं हो सकता। (इकाई गोले का प्रतिबिंब $\mathcal C(\intcc01)$ में $0$ का संहत प्रतिवेश होता: जिसे दूसरे वर्ष की रीस प्रमेय वर्जित करती है।)

हल

हल — अभ्यास 7.7.

(क) $\norm f_\infty \leq 1$ के लिए: $\abs{Tf(x)} \leq \norm k_\infty$ , और

\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) - k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),

जहाँ $\omega_k$ संहत वर्ग पर $k$ की एकसमान सांतत्य का कोई मापांक है (हाइने): अतः इकाई गोले का प्रतिबिंब एकसमान रूप से परिबद्ध और समसंतत है, इसलिए सापेक्षतः संहत (आस्कोली)। रैखिकता से प्रत्येक परिबद्ध समुच्चय का प्रतिबिंब सापेक्षतः संहत है: अतः $T$ कोई संहत संकारक है।

(ख) उपानुक्रम वाला कथन $\{Tf_n\}$ पर लगाई गई सापेक्ष संहतता की परिभाषा है। यदि $T$ संतत प्रतिलोम के साथ एकैकी-आच्छादक होता, तो किसी $\varepsilon > 0$ के लिए $T(B(0,1)) \supseteq B(0, \varepsilon)$ ( $0$ पर $T^{-1}$ संतत); तब संवृत गोला $\bar B(0,\varepsilon)$ , जो संहत $\overline{T(B(0,1))}$ का संवृत उपसमुच्चय है, संहत होता — जो रीस की प्रमेय (दूसरा वर्ष) से अनंत-विमीय $\mathcal C(\intcc01)$ में असंभव है।

अभ्यास 7.8 ★★

संतत $f_n \colon \intcc01 \to \R$ के लिए सिद्ध या खंडित कीजिए: (क) बिंदुशः $f_n \downarrow 0$ $\Rightarrow$ एकसमान (दीनी — इसे फिर से सिद्ध कीजिए); (ख) वही, एकदिष्टता के बिना; (ग) वही, एकदिष्टता के साथ पर $f$ असंतत होते हुए; (घ) वही, एकदिष्टता और संतत सीमा के साथ, परंतु $\intoo01$ पर।

हल

हल — अभ्यास 7.8.

(क) दीनी: प्रमेयिका 7.13 देखिए — वही आवरण तर्क। (ख) असत्य: चलता हुआ उभार $f_n(x) = \max(0, 1 - \abs{nx - 1})$ बिंदुशः $0$ की ओर जाता है ( $x > 0$ के लिए $n > 2/x$ होते ही $f_n(x) = 0$ ; $f_n(0) = 0$ ) पर $\norm{f_n}_\infty = 1$ । (ग) असत्य: $f_n(x) = x^n$ असंतत $\mathbf 1_{\{1\}}$ तक घटता है; $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)} x^n = 1$ । (घ) असत्य: असंहत $\intoo01$ पर बिंदुशः $x^n \downarrow 0$ , जिसमें $\sup_{(0,1)}x^n = 1$ । दीनी की प्रत्येक परिकल्पना आवश्यक है।

अभ्यास 7.9 ★★

(क) (आघूर्ण निर्धारण कर देते हैं) मान लीजिए $f \in \mathcal C(\intcc01)$ ऐसा है कि सभी $n \in \N$ के लिए $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ । दर्शाइए कि $f = 0$ । ( $f$ का बहुपदों से एकसमान आसन्नन कीजिए और $\int f^2$ परिकलित कीजिए।) (ख) दर्शाइए कि सम बहुपद $\mathcal C(\intcc01)$ में सघन हैं पर $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ में नहीं; स्टोन–वाइरश्ट्रास की कौन-सी परिकल्पना विफल होती है? (ग) क्या केवल $x \mapsto \eu^{\iu x}$ से ( $\eu^{-\iu x}$ के बिना) जनित बीजगणित $\mathcal C(S^1, \C)$ में सघन है? ( $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$ पर विचार कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 7.9.

(क) रैखिकता से प्रत्येक बहुपद $P$ के लिए $\int_0^1 fP = 0$ । एकसमान रूप से $P_n \to f$ चुनिए (उपप्रमेय 7.16): $\int_0^1 f^2 = \lim\int_0^1 fP_n = 0$ , और शून्य समाकल वाला संतत $f^2 \geq 0$ सर्वथा लुप्त हो जाता है।

(ख) $\intcc01$ पर: $x^2$ में बहुपद अचरों के साथ एक बीजगणित बनाते हैं जो बिंदुओं को पृथक करता है ( $\intcc01$ पर $x \mapsto x^2$ एकैकी है): अतः स्टोन–वाइरश्ट्रास से सघन। $\intcc{-1}1$ पर: $x^2$ $\pm x$ पर बराबर मान लेता है, और $x^2$ में प्रत्येक बहुपद भी: अतः ऐसों की कोई एकसमान सीमा सम फलन होती है। यदि सम फलन $g_n$ एकसमान रूप से तत्समक पर अभिसरित होते, तो सभी $x$ के लिए $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ : असंगत — इसलिए सघन नहीं। पृथक्करण परिकल्पना युग्मों $\{x, -x\}$ पर विफल हो जाती है।

(ग) नहीं। अचरों और $\eu^{\iu t}$ से जनित बीजगणित $\mathcal A$ के $f$ के लिए — $\eu^{\iu nt}$ , $n \geq 0$ के रैखिक संचय — $\Lambda(f) = \int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ होता है (प्रत्येक $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$ )। $\Lambda$ $\norm\cdot_\infty$ के लिए संतत है ( $\abs{\Lambda(f)}\leq 2\pi\norm f_\infty$ ), अतः $\Lambda$ $\bar{\mathcal A}$ पर लुप्त हो जाता है; पर $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$ : $\eu^{-\iu t} \notin \bar{\mathcal A}$ । (स्टोन–वाइरश्ट्रास लागू नहीं होती: $\mathcal A$ संयुग्मन के अंतर्गत स्थायी नहीं है — और यह बाधा ठीक वही है जिसे समविश्लेषिक फलन सिद्धांत अध्याय 16 में व्यवस्थित करेगा।)

अभ्यास 7.10 ★★★

(एकसमान परिबद्धता, मापीय रूप) मान लीजिए $X$ एक पूर्ण मापीय समष्टि है और $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ ऐसा कुल जो बिंदुशः परिबद्ध है: प्रत्येक $x$ के लिए $\sup_{f \in \mathcal F}\abs{f(x)} < \infty$ । दर्शाइए कि कोई अरिक्त विवृत $U \subseteq X$ है जिस पर $\mathcal F$ एकसमान परिबद्ध है: $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$ । ( $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$ पर विचार कीजिए।) यही अध्याय 8 में बानाख–श्टाइनहाउस के पीछे का इंजन है।

हल

हल — अभ्यास 7.10.

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेद है: अतः संवृत। बिंदुशः परिबद्धता $X = \bigcup_n F_n$ दे देती है। बेयर (प्रमेय 7.6) $U = \mathring F_{n_0} \neq \varnothing$ वाला $n_0$ प्रदान करती है: अर्थात् $U$ पर एक साथ प्रत्येक $f \in \mathcal F$ के लिए $\abs f \leq n_0$ ।

अभ्यास 7.11 ★★

( $\mathcal C^1$ को अपने ही मानक की आवश्यकता है) $E = \mathcal C^1(\intcc01, \R)$ पर $\norm f_{\mathcal C^1} = \norm f_\infty + \norm{f'}_\infty$ पर विचार कीजिए। (क) दर्शाइए कि $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ पूर्ण है (किसी $\mathcal C^1$ -कोशी अनुक्रम के लिए $f_n \to f$ और $f_n' \to g$ एकसमान रूप से होते हैं; $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$ में सीमा लेकर $g = f'$ की पहचान कीजिए)। (ख) दर्शाइए कि $(E, \norm\cdot_\infty)$ पूर्ण नहीं है: $\mathcal C^1$ फलनों की ऐसी एकसमान सीमा प्रस्तुत कीजिए जो अवकलनीय न हो (उदाहरणार्थ $\abs{x - \tfrac12}$ के चिकने आसन्नन)। (ग) (क), (ख) और विवृत प्रतिचित्रण संबंधी विचारों से — अथवा सीधे — निष्कर्ष निकालिए कि $E$ पर कोई नियतांक $C$ $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ को संतुष्ट नहीं करता: इसका साक्षी एक अनुक्रम प्रस्तुत कीजिए। अवकलन अपरिबद्ध है; यही प्रमेय 7.9 के पीछे का ढलान है।

हल

हल — अभ्यास 7.11.

(क) $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ के लिए कोई कोशी अनुक्रम अपने अवकलजों सहित एकसमान रूप से कोशी होता है: अतः एकसमान रूप से $f_n \to f$ और $f_n' \to g$ , जिसमें $f, g$ संतत है। $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ में सीमा लेने पर (एकसमान अभिसरण उसे समाकल के भीतर करने देता है) $f(x) = f(0) + \int_0^xg$ मिलता है: अतः $f$ $f' = g$ के साथ $\mathcal C^1$ है, और $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$ । पूर्ण।

(ख) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ $\mathcal C^1$ फलनों की कोई एकसमान सीमा है, उदाहरणार्थ $h_n(x) = \sqrt{(x - \frac12)^2 + \frac1n}$ (संयुग्म-राशि परिबंध से $\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ ), फिर भी $h \notin E$ : अतः $E$ पर $\sup$ -मानक पूर्ण नहीं है — उसका पूर्णन $\mathcal C(\intcc01)$ है।

(ग) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ के लिए $\norm{f_n}_\infty = 1$ और $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$ : अतः कोई $C$ विद्यमान नहीं। (धारणात्मक रूप से: यदि अवकलन उच्चतम मानक के लिए परिबद्ध होता, तो (क)–(ख) के दोनों मानक तुल्य होते, जिससे $(E, \norm\cdot_\infty)$ पूर्ण हो जाता — जो (ख) का खंडन करता है। यही अपरिबद्धता ठीक वह कारण है कि प्रारूपिक संतत फलन कहीं भी अवकलनीय न होने में विफल हो सकते हैं, प्रमेय 7.9।)

अभ्यास 7.12 ★★★

(क्रॉफ्ट की प्रमेयिका) मान लीजिए $f\colon\intoo0\infty\to\R$ संतत है और मान लीजिए कि प्रत्येक $x > 0$ के लिए पूर्णांक $n \to \infty$ पर $f(nx) \to 0$ । दर्शाइए कि $t \to +\infty$ पर $f(t) \to 0$ । ( $\varepsilon > 0$ स्थिर कीजिए; समुच्चय $F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n \geq N\}$ संवृत हैं और $\intoo0\infty$ को आच्छादित करते हैं; किसी अंतराल $\intcc ab$ में बेयर $N$ और कोई उपअंतराल $\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ दे देता है; तब $n(b' - a') \geq a'$ हो जाने पर प्रसार $\bigl[na', nb'\bigr]$ , $n \geq N$ , $+\infty$ के एक पूरे प्रतिवेश को आच्छादित कर देते हैं।) परिकल्पना “प्रत्येक $x$ के लिए” (केवल परिमेय $x$ के लिए नहीं) का उपयोग कहाँ होता है?

हल

हल — अभ्यास 7.12.

$\varepsilon > 0$ स्थिर कीजिए। प्रत्येक $F_N$ संतत $x \mapsto f(nx)$ के अंतर्गत संवृत $\intcc{-\varepsilon} \varepsilon$ के पूर्व-प्रतिबिंबों का $n \geq N$ पर प्रतिच्छेद है: अतः संवृत। परिकल्पना कहती है कि प्रत्येक $x > 0$ किसी $F_N$ में है। पूर्ण $\intcc ab$ (कोई भी $0 < a < b$ ) के भीतर बेयर लगाने पर कोई $F_N$ किसी उपअंतराल में सघन है; और संवृत होने के कारण वह $0 < a' < b'$ वाला कोई अंतराल $\intcc{a'}{b'}$ धारण करता है। तब प्रत्येक $n \geq \max(N, \frac{a'}{b' - a'})$ के लिए अंतराल $\intcc{na'}{nb'}$ और $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ अतिच्छादित होते हैं ( $nb' \geq (n+1)a'$ ), अतः

\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq \intco{n_0a'}{+\infty},

और प्रत्येक $t \geq n_0a'$ $n \geq N$ , $x \in \intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ के साथ $t = nx$ है: $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$ । अतः सभी $\varepsilon$ के लिए $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$ : $f \to 0$ । पूरी परिकल्पना आवश्यक है क्योंकि $F_N$ को $x$ के एक पूरे अंतराल-भर को आच्छादित करना पड़ता है — केवल परिमेय $x$ के साथ $F_N$ का संघ गणनीय होता और बेयर कुछ भी नहीं देती; वस्तुतः ऐसे संतत प्रतिउदाहरण हैं जो सभी परिमेय किरणों के अनुदिश लुप्त होते हैं पर अनंत पर नहीं।

7.6 समस्या: पेआनो की अस्तित्व प्रमेय

समस्या 7.1

सप्ताहांत समस्या — लिप्शिट्ज़ के बिना $x' = f(t, x)$ के हलों का अस्तित्व

कोशी–लिप्शिट्ज़ (दूसरा वर्ष; अध्याय 19 में पुनः सिद्ध) $f$ से $x$ में लिप्शिट्ज़ होने की माँग करती है। पेआनो (1890): $f$ का संतत होना ही अस्तित्व दे देता है — यद्यपि अद्वितीयता नहीं। हम इसे ऑयलर बहुभुजों और आस्कोली से सिद्ध करते हैं। व्यवस्था: $f \colon R \to \R^d$ आयत $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$ पर संतत है, $M = \sup_R\norm f$ , और

T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr) \qquad (\text{यदि } M = 0 \text{ हो तो समस्या तुच्छ है}).

भाग I — ऑयलर बहुभुज। $n \geq 1$ के लिए $[t_0, t_0 + T]$ का $t_k = t_0 + kT/n$ ( $0 \leq k \leq n$ ) द्वारा उपविभाजन कीजिए और $\varphi_n$ को खंडशः आफ़ीन रूप से परिभाषित कीजिए: $\varphi_n(t_0) = x_0$ और $[t_k, t_{k+1}]$ पर

\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t - t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).

आगमन से दर्शाइए कि $\varphi_n$ सुपरिभाषित है, और $[t_0, t_0 + T]$ पर $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ — अतः मान-निर्धारण बिंदु $R$ में ही रहते हैं। (यहीं $T \leq b/M$ प्रवेश करता है।)
दर्शाइए कि प्रत्येक $\varphi_n$ $M$ -लिप्शिट्ज़ है।
आर्ज़ेला–आस्कोली (प्रमेय 7.11) से निष्कर्ष निकालिए कि कोई उपानुक्रम $(\varphi_{n_j})$ $[t_0, t_0 + T]$ पर एकसमान रूप से किसी $\varphi$ पर अभिसरित होता है, जो स्वयं $\varphi(t_0) = x_0$ के साथ $M$ -लिप्शिट्ज़ है।

भाग II — सीमा समीकरण को हल कर देती है। अजालिका बिंदुओं पर दोष $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) - f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ परिभाषित कीजिए।

दर्शाइए कि $f$ $R$ पर एकसमान संतत है, और निष्कर्ष निकालिए: प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $n_0$ है कि $n \geq n_0$ और प्रत्येक अजालिका $t$ के लिए $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ । ( $(t_k, t_{k+1})$ पर $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$ , और $(t, \varphi_n(t))$ $(t_k, \varphi_n(t_k))$ से $(1 + M)\,T/n$ दूरी के भीतर है।)
समाकल रूप स्थापित कीजिए: सभी $t$ के लिए

$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s + \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$

जिसमें बीच का समाकल्य खंडशः संतत है।
$(n_j)$ के अनुदिश सीमा लीजिए: दर्शाइए कि $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ एकसमान रूप से (फिर $f$ का एकसमान सांतत्य), और निष्कर्ष निकालिए

$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$
निष्कर्ष निकालिए कि $\varphi$ $[t_0, t_0 + T]$ पर $\mathcal C^1$ है और $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x_0$ को हल कर देता है; रचना को $[t_0 - T, t_0]$ तक विस्तारित कीजिए (समय का उत्क्रमण)। यही पेआनो की प्रमेय है।

भाग III — अद्वितीयता वास्तव में विफल हो जाती है। $\R$ पर $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ पर विचार कीजिए।

जाँचिए कि $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ संतत है पर $0$ के किसी भी प्रतिवेश पर लिप्शिट्ज़ नहीं।
सत्यापित कीजिए कि $x \equiv 0$ और प्रत्येक $c \geq 0$ के लिए

$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t \geq c,\end{cases}$

सभी $(0,0)$ से होकर जाने वाले हल हैं: भिन्न-भिन्न हलों का एक सातत्य।
इस $f$ के लिए पिकार पुनरावृत्ति का तर्क (बानाख स्थिर बिंदु) कहाँ टूट जाता है?

भाग IV — विधि की सीमाएँ।

दर्शाइए कि पेआनो की प्रमेय अनंत विमा में विफल हो जाती है: हम शून्य अनुक्रमों की समष्टि $c_0$ में द्यूदोने का शास्त्रीय उदाहरण स्वीकार कर लेते हैं (आप उसे मान भी सकते हैं); इसके स्थान पर वह परिमित-विमीय अवयव सिद्ध कीजिए जो वहाँ विफल हो जाता है: $c_0$ (उच्चतम मानक) का संवृत इकाई गोला संहत नहीं है — ऐसा परिबद्ध अनुक्रम प्रस्तुत कीजिए जिसका कोई अभिसारी उपानुक्रम न हो, और समझाइए कि भाग I का कौन-सा चरण टूट जाता है।
सार लिखिए: कौन-सी परिकल्पनाएँ अस्तित्व देती हैं? और कौन-सी अस्तित्व तथा अद्वितीयता? दोनों प्रमेयों (पेआनो; कोशी–लिप्शिट्ज़) का ठीक-ठीक कथन साथ-साथ दीजिए।

भाग V — ऑस्गुड: लिप्शिट्ज़ से आगे अद्वितीयता। मान लीजिए $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ संतत, अनवरोही है, और

\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty \qquad(0 \text{ पर अपसरण}),

तथा मान लीजिए $f$ $R$ पर $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq \omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ को संतुष्ट करता है।

जाँचिए कि $\omega(r) = Lr$ योग्य है (लिप्शिट्ज़), कि $\omega(r) = r\log\frac1r$ (छोटे $r$ के लिए संततता से विस्तारित) योग्य है यद्यपि वह $O(r)$ नहीं है, और यह कि $\omega(r) = 2\sqrt r$ योग्य नहीं है। प्रत्येक स्थिति में समाकल परिकलित कीजिए।
मान लीजिए $x_1, x_2$ $x_1(t_0) = x_2(t_0)$ के साथ $[t_0, t_0 + T]$ पर समीकरण को हल करते हैं, और $\delta(t) = \norm{x_1(t) - x_2(t)}$ । केवल समाकल रूपों से दर्शाइए कि $t_0 \leq s \leq t$ के लिए:

$\delta(t) \leq \delta(s) + \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$
(ऑस्गुड की प्रमेय) मान लीजिए किसी $t_1$ के लिए $\delta(t_1) > 0$ , और मान लीजिए $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) = 0\}$ । $s \in \intoo\tau{t_1}$ के लिए $u(t) = \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ रखिए। दर्शाइए कि $\delta \leq u$ , $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ , और निष्कर्ष निकालिए

$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)} \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$

अब $s \downarrow \tau$ लीजिए और समाकल के अपसरण से विरोधाभास निकालिए। निष्कर्ष निकालिए: किसी उभयनिष्ठ आरंभिक शर्त से होकर जाने वाले हल एक ही होते हैं — अर्थात् ऑस्गुड की शर्त के अंतर्गत अद्वितीयता।
परिणाम निकालिए: कोशी–लिप्शिट्ज़ अद्वितीयता $\omega(r) = Lr$ की स्थिति है; समीकरण $x' = x\log\frac1{\abs x}$ ( $0$ पर $0$ से विस्तारित) के हल अद्वितीय हैं, यद्यपि उसका दायाँ पक्ष $0$ पर लिप्शिट्ज़ नहीं है; और $x' = 2\sqrt{\abs x}$ के लिए $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ का अभिसरण ही वह बात है जो किसी हल को परिमित समय में $0$ छोड़ने देती है — समाकल $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ के मान का $x_c$ के पलायन व्यवहार से मिलान कीजिए।

भाग VI — दरें, योजनाएँ, कीपें।

(समाकल ग्रोनवाल प्रमेयिका) मान लीजिए $e, \eta \geq 0$ $[t_0, t_0+T]$ पर संतत है और सभी $t$ के लिए $e(t) \leq \int_{t_0} ^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ । दर्शाइए

$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} - 1\bigr)$

( $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$ रखिए, $G' \leq LG + \sup\eta$ पर ध्यान दीजिए, और $\eu^{-Lt}G(t)$ का अवकलन कीजिए।)
(ऑयलर एक दर के साथ अभिसरित होता है) अब मान लीजिए $f$ $R$ पर $x$ में $L$ -लिप्शिट्ज़ और $t$ में $L'$ -लिप्शिट्ज़ है। प्रश्न 4 के दोष परिबंध को (मात्रात्मक बनाकर: $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$ ) प्रश्न 17 के साथ मिलाकर सिद्ध कीजिए

$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi} \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$

जहाँ $\varphi$ वही हल है: लिप्शिट्ज़ आँकड़ों के साथ पूरा अनुक्रम अभिसरित होता है, और एक स्पष्ट दर के साथ — किसी उपानुक्रम की आवश्यकता नहीं। इस परिकलन के बिना भी अद्वितीयता उपानुक्रमीय अभिसरण को पूर्ण अभिसरण तक क्यों उठा देती है?
(योजना चुन लेती है) $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ के लिए: दर्शाइए कि प्रत्येक ऑयलर बहुभुज सर्वथा शून्य है, अतः योजना हल $x \equiv 0$ पर अभिसरित होती है; परंतु $x(0) = \varepsilon > 0$ से आरंभ करने पर वह (पहले $n \to \infty$ , फिर $\varepsilon \to 0$ ) $t \mapsto t^2$ पर अभिसरित होती है, जो मूल बिंदु से होकर जाने वाला एक भिन्न हल है। अनद्वितीयता सांख्यिक योजना की विक्षोभों के प्रति संवेदनशीलता के रूप में फिर उभर आती है।
दर्शाइए कि $[t_0, t_0+T]$ पर $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ के समस्त हलों का समुच्चय $\mathcal S$ (मान $\bar B(x_0, b)$ में) अरिक्त (भाग II), एकसमान रूप से $M$ -लिप्शिट्ज़ और $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d), \norm\cdot_\infty\bigr)$ में संवृत है; आस्कोली से निष्कर्ष निकालिए कि $\mathcal S$ संहत है। (क्नेज़र की प्रमेय यह भी जोड़ती है कि $\mathcal S$ संबद्ध है; हम उसे सिद्ध नहीं करेंगे।)
उदाहरण पर क्नेज़र की परिघटना सत्यापित कीजिए: $[0, 1]$ पर $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ के लिए दर्शाइए कि $x_\infty \equiv 0$ के साथ $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ (किसी भी हल के लिए $c = \sup\{t : x(t) = 0\}$ लीजिए और $\{x > 0\}$ पर $(\sqrt x)' = 1$ का समाकलन कीजिए), कि $c \mapsto x_c$ $\intcc0\infty$ (एक-बिंदु संहतीकरण, अर्थात् सीमा के रूप में जुड़ा $c = \infty$ ) से $\mathcal C([0,1])$ में संतत है, और निष्कर्ष निकालिए कि $\mathcal S$ वस्तुतः संहत और संबद्ध है — एक रेखाखंड के आकार की कीप।
(पहुँच-योग्य समुच्चय) प्रश्न 20 से निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक स्थिर $t$ के लिए पहुँच-योग्य समुच्चय $\mathcal S(t) = \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ संहत है; प्रश्न 21 के उदाहरण के लिए उसे परिकलित कीजिए और जाँचिए कि वह संबद्ध भी है: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — अर्थात् प्रत्येक मध्यवर्ती अवस्था किसी न किसी हल से प्राप्त होती है।

भाग VII — पूरक: निर्भरता, इष्टतमता, और हाथ से परिकलित एक योजना।

(संतत निर्भरता) मान लीजिए $f$ $R$ पर $x$ में $L$ -लिप्शिट्ज़ है, और मान लीजिए $x, y$ $t_0$ पर आरंभिक मानों $x_0, y_0$ वाले दो हल हैं। प्रश्न 17 की उपपत्ति को असमिका $e(t) \leq \norm{x_0 - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$ के अनुकूल बनाकर दर्शाइए

$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\, \eu^{L(t - t_0)},$

और $x' = Lx$ पर जाँचिए कि यह परिबंध प्राप्त हो जाता है: ग्रोनवाल तीक्ष्ण है। इससे अद्वितीयता पुनः निकालिए ( $x_0 = y_0$ ), और यह भी कि प्रवाह प्रतिचित्रण $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ जहाँ भी परिभाषित है वहाँ नियतांक $\eu^{LT}$ के साथ लिप्शिट्ज़ है।
(ऑस्गुड इष्टतम है) विलोमतः, मान लीजिए $\omega$ संतत, अनवरोही, $\intoo0\infty$ पर धनात्मक है, जिसके लिए $r \to 0^+$ पर $\omega(r) \to 0$ , परंतु

$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$

और $f(x) = \omega(\abs x)$ को $f(0) = 0$ से विस्तारित कीजिए। दर्शाइए कि $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ $\intoc0{1}$ से $\intoc0{\Omega(1)}$ पर एक बढ़ता हुआ एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है, कि उसका प्रतिलोम $g$ $g(0^+) = 0$ के साथ $g' = \omega(g)$ को हल करता है, और यह कि $g$ , जिसे $t \leq 0$ के लिए $0$ से विस्तारित किया गया हो, $(0, 0)$ से होकर जाने वाला $x' = f(x)$ का ऐसा $\mathcal C^1$ हल है जो $x \equiv 0$ से भिन्न है ( $g'(0) = 0$ के लिए $\frac{g(t)}t$ को $\omega(g(t))$ से परिबद्ध कीजिए)। निष्कर्ष निकालिए: प्रश्न 15 की अपसरण परिकल्पना कोई सुविधा नहीं, बल्कि अद्वितीयता की ठीक-ठीक सीमा है; $\omega(r) = 2\sqrt r$ , $\Omega(x) = \sqrt x$ से भाग III पुनः प्राप्त कीजिए।
(ऑयलर हाथ से परिकलित) $[0, 1]$ पर $x' = x$ , $x(0) = 1$ के लिए: दर्शाइए कि ऑयलर बहुभुज $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ को संतुष्ट करता है। प्रसार

$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n} = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr) \Bigr),$

सिद्ध कीजिए, अतः $t = 1$ पर त्रुटि $\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ है: यही प्रश्न 18 की $O(\frac1n)$ दर है, ठीक नियतांक सहित। $n = 10$ के लिए संख्यात्मक जाँच कीजिए: $\eu \approx 2.71828$ के सामने $1.1^{10} = 2.59374$ , अर्थात् त्रुटि $0.12454$ , जिसकी तुलना $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ से कीजिए।

हल

हल — समस्या 7.1.

1. $k$ पर आगमन: यदि $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} \leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$ हो, तो बिंदु $(t_k, \varphi_n(t_k))$ $R$ में होता है, अतः ढाल $f(t_k, \varphi_n(t_k))$ परिभाषित है, जिसका मानक $\leq M$ है; तब $t \in [t_k, t_{k+1}]$ के लिए $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq \norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq MT \leq b$ ।

2. प्रत्येक आफ़ीन टुकड़े की ढाल का मानक $\leq M$ है; और $M$ से परिबद्ध ढालों वाला कोई खंडशः आफ़ीन फलन $M$ -लिपशित्ज़ होता है (जालक बिंदुओं से शृंखला बनाइए)।

3. कुल $(\varphi_n)$ बिंदुशः परिबद्ध (मान $\bar B(x_0, b)$ में) और समसंतत (उभयनिष्ठ लिपशित्ज़ अचर $M$ ) है: अतः आस्कोली (प्रमेय 7.11) $[t_0, t_0 + T]$ पर एकसमान रूप से $\varphi_{n_j} \to \varphi$ निकाल लेती है। परिबंध सीमा तक चले जाते हैं: $\varphi$ $M$ -लिपशित्ज़ है, $\varphi(t_0) = x_0$ ।

4. $R$ संहत है और $f$ संतत: अतः एकसमान रूप से संतत (हाइने, उपप्रमेय 6.17); मान लीजिए $\delta(\varepsilon)$ कोई मापांक है। जालक-रहित $t \in (t_k, t_{k+1})$ के लिए: $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$ , और $f$ के दोनों मान-बिंदु समय में $\abs{t - t_k} \leq T/n$ और स्थान में $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ भिन्न होते हैं। $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$ वाले $n \geq n_0$ के लिए: $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ ।

5. प्रत्येक $[t_k, t_{k+1}]$ पर $\varphi_n$ आफ़ीन है, अतः $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}} \varphi_n'(s)\dd s$ , जिसमें अवकलज वही अचर ढाल है; टुकड़ों पर योग करने पर (और अंतिम को $t$ पर काटने पर): $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$ । $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ लिखने पर (खंडशः संतत समाकल्य, परिमित संख्या के उछाल) प्रदर्शन मिल जाता है।

6. $\varepsilon$ दिया हो: बड़े $j$ के लिए $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$ , अतः सभी $s$ के लिए $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq \varepsilon$ : अर्थात् समाकल्यों का एकसमान अभिसरण, और $t$ में एकसमान रूप से $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$ । साथ ही $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}} \to 0$ (प्रश्न 4)। प्रश्न 5 की सर्वसमिका में सीमा लेने पर: $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\,\dd s$ ।

7. समाकल्य $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ संतत है, अतः दायाँ पक्ष $t$ में $\mathcal C^1$ है जिसका अवकलज $f(t, \varphi(t))$ है: इसलिए $\varphi$ $[t_0, t_0 + T]$ पर कोशी समस्या हल कर देता है। बाएँ आधे के लिए $g(t, x) = -f(2t_0 - t, x)$ रखिए, जो परावर्तित आयत पर उसी परिबंध $M$ के साथ संतत है; $[t_0, t_0 + T]$ पर $y' = g(t,y)$ , $y(t_0) = x_0$ का कोई हल $\psi$ $[t_0 - T, t_0]$ पर मूल समीकरण हल करने वाला $\varphi(t) = \psi(2t_0 - t)$ दे देता है; और दोनों आधे किसी $\mathcal C^1$ हल में चिपक जाते हैं ( $t_0$ पर दोनों एकपक्षीय अवकलज $f(t_0, x_0)$ के बराबर हैं)। — पेआनो की प्रमेय: कोई संतत $f$ प्रत्येक प्रारंभिक शर्त से होकर कोई स्थानीय हल स्वीकार करता है।

8. सांतत्य स्पष्ट है। $0$ के निकट लिपशित्ज़ होना विफल हो जाता है: $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$ , और $h < 4/L^2$ के लिए $2\sqrt h \leq L h$ असत्य है।

9. $t \leq c$ के लिए: $x_c \equiv 0$ हल करता है। $t \geq c$ के लिए: $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$ । $t = c$ पर दोनों एकपक्षीय अवकलज $0$ हैं: अतः $x_c$ $\mathcal C^1$ है और वैश्विक रूप से हल करता है, जिसमें प्रत्येक $c \geq 0$ के लिए $x_c(0) = 0$ — और $x \equiv 0$ के साथ मिलकर मूल बिंदु से होकर हलों का एक सातत्य।

10. पिकार की पुनरावृत्ति $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_0^t f(x(s))\dd s$ खड़ी करती है और उसे किसी उपयुक्त गोले पर $k < 1$ वाला $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)} \leq k\norm{x - y}$ चाहिए — जो $f$ पर किसी लिपशित्ज़ परिबंध से, समाकल के भीतर अंतरित होकर, निकलता है। यहाँ $\sqrt\cdot$ $0$ के निकट कोई लिपशित्ज़ परिबंध स्वीकार नहीं करता, और अंतराल या गोले का कोई चयन इसे नहीं सुधारता। और वस्तुतः अद्वितीयता की कोई भी उपपत्ति सफल नहीं हो सकती थी: अद्वितीयता असत्य है (प्रश्न 9)।

11. $c_0$ में इकाई सदिश $e_n = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)$ $n \neq m$ के लिए $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ संतुष्ट करते हैं: अतः कोई उपानुक्रम कोशी नहीं है, इसलिए संवृत इकाई गोला संहत नहीं है। जो चरण टूटता है वह निष्कर्षण है (प्रश्न 3): $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ के लिए आस्कोली को यह चाहिए कि मान ऐसी समष्टि में रहें जहाँ परिबद्ध समुच्चय सापेक्षतः संहत हों — $\R^d$ में सत्य (बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास), $c_0$ में असत्य; बिंदुशः निष्कर्षण अब उपलब्ध नहीं है (वस्तुतः द्यूदोने के उदाहरण का तो कोई स्थानीय हल ही नहीं है)।

12. पेआनो: $\R\times\R^d$ में $(t_0, x_0)$ के किसी प्रतिवेश पर संतत $f$ $\Rightarrow$ किसी $[t_0 - T, t_0 + T]$ पर $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ का कोई $\mathcal C^1$ हल विद्यमान है। कोशी–लिपशित्ज़ (अध्याय 19): यदि इसके अतिरिक्त $f$ $x$ -चर में स्थानीय रूप से लिपशित्ज़ हो, तो हल अद्वितीय है (कोई भी दो अपने उभयनिष्ठ अंतराल पर सहमत होते हैं) — अर्थात् अस्तित्व और अद्वितीयता। युग्म $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ दोनों प्रमेयों को पृथक कर देता है।

13. $\omega(r) = Lr$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} = +\infty$ : योग्य। $\omega(r) = r\log\frac1r$ ( $0$ के निकट): $r \to 0$ पर $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr] \to +\infty$ : योग्य — फिर भी $\omega(r)/r = \log\frac1r \to \infty$ : लिपशित्ज़ नहीं। $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \bigl[\sqrt r\bigr]_0^1 = 1 < \infty$ : विफल।

14. दोनों समाकल रूप घटाइए:

x_1(t) - x_2(t) = x_1(s) - x_2(s) + \int_s^t\bigl(f(v, x_1(v)) - f(v, x_2(v))\bigr)\dd v,

मानक लीजिए और ऑस्गुड मापांक का उपयोग कीजिए: $\delta(t) \leq \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ ।

15. $\tau$ सुपरिभाषित है ( $\delta(t_0) = 0$ ) जिसमें $\delta(\tau) = 0$ (सांतत्य) और $\intoc\tau{t_1}$ पर $\delta > 0$ । $s \in \intoo\tau{t_1}$ स्थिर कीजिए। तब $u$ $\mathcal C^1$ है, $[s, t_1]$ पर $u(s) = \delta(s) > 0$ , $u \geq \delta$ (प्रश्न 14), और $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ ( $\omega$ अनह्रासमान, $u > 0$ )। भाग दीजिए और समाकलन कीजिए:

\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)} = \int_s^{t_1}\frac{u'(v)}{\omega(u(v))}\,\dd v \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .

यद्यपि $u$ $s$ पर निर्भर करता है, परिबंध $u(t_1) \geq \delta(t_1)$ प्रत्येक $s$ के लिए लागू है, अतः बायाँ पक्ष कम से कम $\int_{\delta(s)}^{\delta(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}$ है, जो $s \downarrow \tau$ पर $+\infty$ की ओर जाता है (तब $\delta(s) \to \delta(\tau) = 0$ , और समाकल $0$ पर अपसारित होता है): इससे परिबद्ध दाएँ पक्ष का खंडन हो जाता है। अतः $\delta \equiv 0$ : अद्वितीयता।

16. लिपशित्ज़ $\omega = Lr$ है: अद्वितीयता पुनः प्राप्त। $x' = x\log\frac1{\abs x}$ के लिए: दायाँ पक्ष $0$ के निकट ऑस्गुड मापांक $\omega(r) = r\log\frac1r$ संतुष्ट करता है ( $x \mapsto x\log\frac1x$ पर माध्य मान असमिका, जिसका अवकलज $\log\frac1x - 1$ अपरिबद्ध है — लिपशित्ज़ विफल, ऑस्गुड लागू): अतः अद्वितीय हल; और ध्यान दीजिए कि $x \equiv 0$ उनमें से एक है, इसलिए कोई अन्य हल $0$ को छू नहीं सकता। $\omega(r) = 2\sqrt r$ के लिए: $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — $0$ से ऊँचाई $h^2$ तक चढ़ने का “ऑस्गुड बजट” ठीक समय $h$ है, और वस्तुतः $x_c(c + h) = h^2$ : हल ठीक उतना समय $h$ वही करने में बिताता है जितना अभिसारी समाकल अनुमति देता है। समाकल का अपसरण $0$ को परिमित समय में छोड़ने की असंभवता है; और अभिसरण ही पलायन का मार्ग।

17. $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ $G' = Le + \eta \leq LG + \sup\eta$ के साथ $\mathcal C^1$ है (परिकल्पना $e \leq G$ )। तब $\bigl(\eu^{-Lt}(G + \tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' = \eu^{-Lt}(G' - LG - \sup\eta) \leq 0$ : कोष्ठक घटता है, अतः $G(t) + \frac{\sup\eta}L \leq \eu^{L(t - t_0)}\bigl(G(t_0) + \frac{\sup\eta}L\bigr) = \eu^{L(t-t_0)}\frac{\sup\eta}L$ , अर्थात् $e(t) \leq G(t) \leq \frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$ ।

18. मात्रात्मक दोष: $(t_k, t_{k+1})$ पर $\Delta_n(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k)) - f(t, \varphi_n(t))$ जिसमें $\abs{t - t_k} \leq T/n$ और $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ , अतः $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n + LMT/n$ । $\varphi_n$ (प्रश्न 5) और $\varphi$ की समाकल सर्वसमिकाएँ घटाकर और लिपशित्ज़ परिबंध का उपयोग करके:

\norm{\varphi_n(t) - \varphi(t)} \leq \int_{t_0}^t L\,\norm{\varphi_n - \varphi}(s)\,\dd s + \int_{t_0}^t\norm{\Delta_n(s)}\,\dd s,

और $\eta = \norm{\Delta_n}$ के साथ प्रश्न 17 कहा गया $O(1/n)$ परिबंध दे देता है, जिसमें $\varphi$ कोशी–लिपशित्ज़ (अथवा ऑस्गुड) से अद्वितीय है। दरों के बिना भी: समपरिबद्ध, सम-लिपशित्ज़ $(\varphi_n)$ के प्रत्येक उपानुक्रम का कोई उप-उपानुक्रम किसी हल पर अभिसरित होता है (आस्कोली + भाग II), जिसे अद्वितीयता $\varphi$ होने पर बाध्य कर देती है: और वह अनुक्रम अभिसरित होता है जिसके सभी उपानुक्रमों के उप-उपानुक्रमों की सीमा एक ही हो।

19. $\varphi_n(t_k) = 0$ से: ढाल $2\sqrt0 = 0$ $\varphi_n(t_{k+1}) = 0$ देती है; आगमन: $\varphi_n \equiv 0$ , जो शून्य हल पर अभिसरित होता है। $\varepsilon > 0$ से: $\varepsilon' < \varepsilon$ वाले $[\varepsilon', \infty)$ पर फलन $2\sqrt x$ लिपशित्ज़ है, अतः प्रश्न 18 लागू होता है और ऑयलर $(0, \varepsilon)$ से होकर जाते अद्वितीय हल पर अभिसरित होता है, अर्थात् $x(t) = (t + \sqrt\varepsilon)^2$ पर (जाँचिए: $x' = 2(t + \sqrt \varepsilon) = 2\sqrt x$ )। $\varepsilon \to 0$ पर $[0,1]$ पर एकसमान रूप से $(t + \sqrt\varepsilon)^2 \to t^2$ : अतः द्विक सीमा $x_0(t) = t^2$ पर उतरती है, $0$ पर नहीं। प्रारंभिक आँकड़े का स्वेच्छ रूप से छोटा विक्षोभ योजना को एक हल से दूसरे पर मोड़ देता है: अद्वितीयता का अभाव, संख्यात्मक अस्थिरता के रूप में पढ़ा गया।

20. अरिक्त: भाग II। प्रत्येक हल $\norm{x'} = \norm{f(t, x)} \leq M$ संतुष्ट करता है: $\mathcal S$ एकसमान रूप से $M$ -लिपशित्ज़ और एकसमान रूप से परिबद्ध है (मान $\bar B(x_0, b)$ में)। संवृत: यदि एकसमान रूप से $x_n \in \mathcal S \to x$ हो, तो $x_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x_n(s))\dd s$ में सीमा लीजिए (संहत $R$ पर $f$ की एकसमान सांतत्य से समाकल्य एकसमान रूप से अभिसरित होते हैं): $x \in \mathcal S$ । आस्कोली: $\mathcal S$ $\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d)$ का कोई संवृत, परिबद्ध, समसंतत उपसमुच्चय है: अतः संहत।

21. कोई भी हल $x(0) = 0$ के साथ अनह्रासमान ( $x' = 2\sqrt{\abs x} \geq 0$ ) है, अतः $x \geq 0$ । मान लीजिए $c = \sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}$ (यदि $x \equiv 0$ हो तो संभवतः $c = \infty$ , जिस दशा में $x = x_\infty$ )। $t > c$ के लिए: $x > 0$ (एकदिष्टता और $c$ की परिभाषा), और वहाँ $(\sqrt x)' = \frac{x'}{2\sqrt x} = 1$ , अतः $\sqrt{x(t)} = t - c$ ( $c$ पर सांतत्य): $x = x_c$ । $c \mapsto x_c$ की सांतत्य: $c, c' \in [0, 1]$ के लिए $\sup_{[0,1]}\abs{(t - c)_+^2 - (t - c')_+^2} \leq 2\abs{c - c'}$ (प्रतिचित्रण $c \mapsto (t-c)_+^2$ $t \in [0,1]$ में एकसमान रूप से $2$ -लिपशित्ज़ है), और चूँकि प्रत्येक $c \geq 1$ के लिए $[0,1]$ पर $x_c \equiv 0$ , अतः कुल $\mathcal S = \{x_c : c \in [0,1]\}$ तक सिमट जाता है ( $x_1 = 0 = x_\infty$ के साथ)। इसलिए $\mathcal S$ संहत संबद्ध $[0,1]$ का संतत प्रतिचित्रण $c \mapsto x_c$ के अंतर्गत प्रतिबिंब है: अतः संहत और संबद्ध। हलों की कीप $t^2$ (तात्कालिक पलायन) से $0$ (चिरंतन विश्राम) तक चलता एक संतत रेखाखंड है।

22. मान-निर्धारण $\operatorname{ev}_t\colon \mathcal C([0,1]) \to \R$ , $x \mapsto x(t)$ , संतत है ( $\abs{x(t) - y(t)} \leq \norm{x - y}_\infty$ ), अतः $\mathcal S(t) = \operatorname{ev}_t(\mathcal S)$ किसी संहत का संतत प्रतिबिंब है: संहत — और किसी संबद्ध समुच्चय का भी: संबद्ध। उदाहरण के लिए: $x_c(t) = (t - c)_+^2$ , जैसे-जैसे $c$ $[0, 1]$ पर चलता है, $c = 0$ पर $t^2$ से लेकर $c \geq t$ पर $0$ तक के सभी मान संतत रूप से झाड़ देता है: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ । प्रत्येक क्षण पर कीप का अनुप्रस्थ काट एक पूरा रेखाखंड है: विश्राम और अधिकतम पलायन के बीच प्रत्येक समझौता किसी वास्तविक हल से साकार होता है।

23. समाकल रूप $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ और $y$ के लिए उसका समरूप घटाकर, तथा $e(t) = \norm{x(t) - y(t)}$ , $d = \norm{x_0 - y_0}$ रखकर:

e(t) \leq d + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s = G(t).

तब $G(t_0) = d$ और $G' = Le \leq LG$ , अतः $\bigl(\eu^{-L(t - t_0)}G\bigr)' \leq 0$ और $G(t) \leq d\,\eu^{L(t - t_0)}$ ; इसलिए $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$ । तीक्ष्णता: $x' = Lx$ के लिए $x_0$ और $y_0$ से होकर जाते हल $x_0\eu^{L(t - t_0)}$ और $y_0\eu^{L(t-t_0)}$ हैं, जिनकी दूरी ठीक $d\,\eu^{L(t-t_0)}$ है। $d = 0$ के साथ $e \equiv 0$ : कोशी–लिपशित्ज़ अद्वितीयता, दो पंक्तियों में पुनः व्युत्पन्न। और स्थिर $t \in [t_0, t_0 + T]$ के लिए $\norm{x(t; x_0) - x(t; y_0)} \leq \eu^{LT}\norm{x_0 - y_0}$ : प्रवाह प्रारंभिक शर्त में लिपशित्ज़ है — नियतांकी निर्भरता, एक नियंत्रित चरघातांकी क़ीमत पर।

24. $\intoc01$ पर $\Omega$ सुपरिभाषित है (परिकल्पना से समाकल $0$ पर अभिसरित होता है), $\Omega' = \frac1\omega > 0$ के साथ $\mathcal C^1$ : अर्थात् $\intoc0{\Omega(1)}$ पर कोई वर्धमान एकैकी आच्छादन, जिसमें $x \to 0^+$ पर $\Omega(x) \to 0$ । उसका प्रतिलोम $g \colon \intoc0{\Omega(1)} \to \intoc01$ $\mathcal C^1$ है जिसमें

g'(t) = \frac1{\Omega'(g(t))} = \omega\bigl(g(t)\bigr) > 0, \qquad g(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 .

$g$ को $t \leq 0$ पर $0$ रखकर बढ़ाइए: सांतत्य स्पष्ट है, और $t = 0$ पर, $t > 0$ के लिए,

\frac{g(t)}t = \frac1t\int_0^tg'(s)\dd s = \frac1t\int_0^t\omega\bigl(g(s)\bigr)\dd s \leq \omega\bigl(g(t)\bigr) \xrightarrow[t\to0^+]{} 0

( $\omega$ अनह्रासमान, $g$ वर्धमान, $\omega(0^+) = 0$ ): अतः $g'(0) = 0 = f(g(0))$ , और $0$ के दोनों ओर $g' = f(g)$ लागू है। इसलिए $x \equiv 0$ और $g$ $(0, 0)$ से होकर जाते दो भिन्न $\mathcal C^1$ हल हैं: अर्थात् जब $\int_0\frac{\dd r} {\omega(r)}$ अभिसरित होता है तब अद्वितीयता विफल हो जाती है — और प्रश्न 15 का अपसरण ठीक वही सीमांत है। $\omega(r) = 2\sqrt r$ के लिए: $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \sqrt x$ , $g(t) = t^2$ , और समय स्थानांतरण भाग III का समूचा कुल $x_c$ दे देते हैं।

25. चरण $h = \frac1n$ के साथ: $\varphi_n(t_{k+1}) = \varphi_n(t_k) + h\,\varphi_n(t_k) = (1 + h)\varphi_n(t_k)$ , अतः $n$ चरणों के बाद $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$ । प्रसार:

n\log\Bigl(1 + \frac1n\Bigr) = n\Bigl(\frac1n - \frac1{2n^2} + O\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr) \Bigr) = 1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),

और चरघातांक लेने पर $(1 + \frac1n)^n = \eu\,\eu^{-1/(2n) + O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})\bigr)$ । अतः $t = 1$ पर त्रुटि $\eu - \varphi_n(1) = \frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ है: यही प्रश्न 18 का $O(\frac1n)$ है, यहाँ अपने यथार्थ अचर $\frac\eu2$ के साथ। संख्यात्मक रूप से, $n = 10$ : $1.1^{10} = 2.5937424601$ ( $1.1^2 = 1.21$ , $1.1^4 = 1.4641$ , $1.1^8 = 2.14358881$ , गुणा $1.21$ ), और $\eu - 2.59374 \approx 0.12454$ , जबकि अनंतस्पर्शी भविष्यवाणी $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ है: अर्थात् $O(n^{-2})$ संशोधन के भीतर सहमति, जिसका अग्रणी पद यहाँ भविष्यवाणी को प्रेक्षित मान की ओर नीचे लाता है।

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